考向一与三角形相关的角度计算问题-【拔尖特训】2024-2025学年八年级上册数学（人教版2012）

116 考向一　与三角形相关的角度计算问题 ▶ “答案与解析”见P49 1. 如图,在△ABC 中,BO 平分∠ABC,过点O 作PO⊥BO,交线段AC 的延长线于点P.若 ∠ACB-∠A=20°,则∠APO 的度数是 ( ) A. 10° B. 20° C. 30° D. 40° (第1题) (第2题) (第3题) 2. 如 图,在 △ABC 中,BI,CI 分 别 平 分 ∠ABC,∠ACB,且∠BIC=140°,BM 平分 △ABC 的外角∠DBC,CM 平分△ABC 的 外角∠ECB,则∠BMC 的度数是 ( ) A. 25° B. 30° C. 35° D. 40° 3. 如图,在△ABC 中,AD⊥BC 于点D,DE∥ AC 交AB 于点E,DF 平分∠EDC,AF 平 分∠CAD,则∠AFD 的度数是 . 4. 如图,在△ABC 中,∠B=40°,∠C=30°,D 为边BC 上一点,将△ADC 沿AD 折叠,使 点C 落到点E 处.若DE∥AB,则∠ADE 的 度数为 . (第4题) (第5题) 5. 如图,BE 是△ABC 的角平分线,D 是边AB 上的一点,CD 交BE 于点F.若∠BDC= ∠ACB,∠ACD=24°,则∠CFE 的度数为 . 6. 如图,在△ABC 中,AD⊥BC,D 为BC 的中 点,且∠BAC=2∠B. (1) 求∠B 的度数. (2) E 为AC 上一点,连接DE 并延长至点 F,连接CF,过点C 作CH⊥DF 于点H,当 点H 在线段EF 上时,若DH=CF+HF, 求证:∠F=2∠FDC. (第6题) 答案讲解 7. 数学课上,同学们探索三角形中角 之间的关系.如图①,在△ABC 中, E 是 边 AC 上 一 点,∠AEB = ∠ABC. (1) 作∠BAC 的平分线交CB,BE 于D,F 两点.若∠ABC=70°,∠C=30°,求∠EFD 和∠ADC 的度数. (2) 某小组在(1)的基础上,改变∠ABC 的 度数,经过探究,他们发现∠EFD 与∠ADC 之间存在特定的等量关系,请写出这一等量 关系,并说明理由. (3) 如图②,作△ABC 的外角∠BAG 的平分 线,交CB 的延长线于点D,延长BE,DA 交 于点F,请在图②中画出符合题意的图,则 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)八年级上 期末压轴题特训 117 (2)中的结论是否仍然成立? 若成立,请说明 理由;若不成立,请写出相应的结论. (第7题) 答案讲解 8. 如图①,点 P 在△ABC 内,连接 BP,CP,且∠BPC=90°. (1) 若 ∠A =60°,则 ∠ABC + ∠ACB 的度数为 . (2) 求证:∠ABP+∠ACP=90°-∠A. (3) 将题干中“点P 在△ABC 内”改成“点P 在△ABC 外”,其他条件不变,点P 的位置 如图②所示. ① 若∠A=60°,则∠ACP-∠ABP 的度数 为 . ② 如图③,若BO,CO 分别平分∠ABP, ∠ACP,直接写出∠O 与∠A 的数量关系. (第8题) 答案讲解 9. (2023·佛山期末)已知∠AOB= 90°,直线CD 与OA 交于点C,与 OB 交于点D,点C,D 均不与点O 重合,CE 平分∠DCO,DE 平分∠CDO. (1) 如图①,当∠OCD=40°时,求∠CED 的 度数. (2) 如图②,延长CE 交BO 于点F,过点E 作射线EG 交CD 于点G,且满足∠CFO- ∠GED=45°.求证:GE∥DO. (3) 如图③,过点C 作CM⊥CN,MN 在 ∠COD 的外角平分线所在的直线上,与射线 CE 交于点N,与CM 交于点M.在△CMN 中,若有一个角的度数是另一个角度数的 3倍,请直接写出∠CDE 的度数. (第9题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 期末压轴题特训 解 不 等 式 组 x+4>0, 5x+1<2(x-1), 得 -4<x<-1. ∴ 不等式组的整数解是-3,-2. 由题意,易得x不能为3,0,-3. ∴ x=-2. 当x=-2时,原式=--2+33 = -13. 7. (1) 当a=5时,方程为 5x-1+ 3 1-x=1 ,解得x=3. 检验:当x=3时,x-1≠0. ∴ x=3是原分式方程的解. (2) 方程两边同时乘x-1,得a-3= x-1,解得x=a-2. ∵ 该方程去分母后所得整式方程的 解不是原分式方程的解, ∴ x-1=0. ∴ x=1. 把x=1代入x=a-2中,得1=a- 2,解得a=3. ∴ a的值为3. (3) 小明的说法不对. 方程两边同时乘x-1,得a-3=x- 1,解得x=a-2. ∵ 分式方程的解是正数, ∴ x>0且x-1≠0,即x>0且 x≠1. ∴ a-2>0且a-2≠1,解得a>2且 a≠3. ∴ a的取值范围是a>2且a≠3. ∴ 小明的说法不对. (4) m 的值为3或4或0. 8. (1) 设甲商店硬面笔记本的单价 为x元,则甲商店软面笔记本的单价 为(x-3)元. 根据题意,得240 x = 195 x-3 ,解得x=16. 经检验,x=16是原分式方程的解,且 符合题意. ∴ 甲商店硬面笔记本的单价为16元. (2) 设乙商店硬面笔记本原来的单价 为y元,则乙商店软面笔记本原来的 单价为(y-3)元. 根据题意,得my=(m+5)(y-3). 整理,得5y-3m=15. ∴ y= 3 5m+3. ∵ m<30, m+5≥30, 且m,y均为正整数, ∴ m=25, y=18. ∴ 乙商店硬面笔记本原来的单价为 18元. 期末压轴题特训 考向一　与三角形相关的 角度计算问题 1. A [解析] 如图,延长BO 交AC 于点 D.∵ ∠ACB - ∠A =20°, ∴ ∠ACB=20°+∠A.∴ ∠ABC= 180°-∠A-∠ACB=180°-2∠A- 20°=160°-2∠A.∵ BO 平 分 ∠ABC,∴ ∠ABD = 12 ∠ABC= 80°-∠A.∵ ∠ABD=∠BDP- ∠A,∴ ∠BDP=80°.∵ OP⊥BD, ∴ ∠POD=90°.∴ ∠APO=90°- ∠BDP=10°. (第1题) 2. D [解析] 根据题意,得∠ABC+ ∠DBC=180°,∠ACB+∠ECB= 180°.∵ BI,CI 分别平分∠ABC, ∠ACB,BM,CM 分别平分∠DBC, ∠ECB,∴ ∠IBC = 12 ∠ABC , ∠CBM = 12 ∠DBC ,∠ICB = 1 2∠ACB ,∠BCM = 12 ∠ECB. ∴ ∠IBC+∠CBM=12 (∠ABC+ ∠DBC)= 12 ×180°=90°. 同 理, ∠ICB+ ∠BCM =90°.在 四 边 形 IBMC 中,∠BIC=140°,∠IBM = ∠ICM=90°,∴ ∠BMC=360°- 140°-90°-90°=40°. 3. 135° [解析] 设∠ADE=x. ∵ AD ⊥BC,∴ ∠ADC =90°. ∴ ∠EDC=90°+x.∵ DF 平 分 ∠EDC,∴ ∠EDF = 12∠EDC = 1 2 (90°+x).∴ ∠ADF=∠EDF- ∠ADE=45°- 12x.∵ DE∥AC, ∴ ∠CAD=∠ADE=x.∵ AF 平分 ∠CAD,∴ ∠DAF= 12 ∠CAD= 1 2x.∴ ∠AFD=180°-∠ADF- ∠DAF = 180°- 45°-12x - 1 2x=135°. 4. 110° [解析] ∵ ∠B=40°,∠C= 30°,∴ ∠BAC=110°.由折叠的性质, 得 ∠E = ∠C =30°,∠EAD = ∠CAD,∠ADE=∠ADC.∵ DE∥ AB,∴ ∠BAE = ∠E = 30°. ∴ ∠CAD=12 (∠BAC-∠BAE)= 40°.∴ ∠ADE=∠ADC=180°- ∠CAD-∠C=110°. 5. 78° [解析] ∵ ∠BDC 是△ADC 的外角,∴ ∠BDC=∠A+∠ACD. ∵ ∠ACB = ∠BCF + ∠ACD, ∠BDC=∠ACB,∴ ∠A=∠BCF. ∵ BE 是 △ABC 的 角 平 分 线, ∴ ∠ABE=∠CBF.∵ ∠CEF 是 △ABE 的外角,∴ ∠CEF=∠A+ ∠ABE.∵ ∠CFE 是△BCF 的 外 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 94 角,∴ ∠CFE=∠BCF+∠CBF. ∴ ∠CEF=∠CFE.在△CEF 中, ∠CEF+∠CFE+∠ECF=180°, ∵ ∠ACD=24°,即∠ECF=24°, ∴ ∠CFE=180°-24°2 =78°. 6. (1) ∵ D 为BC的中点, ∴ BD=CD. ∵ AD⊥BC, ∴ AD 垂直平分线段BC. ∴ AB=AC. ∴ ∠B=∠ACB. ∵ ∠BAC=2∠B, ∴ ∠B+∠BAC+∠ACB=4∠B= 180°. ∴ ∠B=45°. (2) 如图,作点F 关于CH 的对称点 M,连接CM. ∴ CM=CF,MH=HF. ∴ ∠F=∠FMC. ∵ DH =CF+HF,DH =MH + DM, ∴ MH+DM=CF+HF=CM+ MH. ∴ DM=CM. ∴ ∠FDC=∠MCD. ∴ ∠FMC=2∠FDC. ∴ ∠F=2∠FDC. (第6题) 7. (1) ∵ ∠ABC=70°,∠C=30°, ∴ ∠BAC=180°-70°-30°=80°. 又∵ AD 平分∠BAC, ∴ ∠BAD=∠CAD=12∠BAC= 40°. ∵ ∠ADC = ∠BAD + ∠ABC, ∠EFD = ∠AEB + ∠CAD, ∠AEB=∠ABC=70°, ∴ ∠ADC =40°+70°=110°, ∠EFD=40°+70°=110°. (2) ∠ADC=∠EFD. 理由:∵ AD 平分∠BAC, ∴ ∠BAD=∠CAD=12∠BAC. ∵ ∠ADC = ∠BAD + ∠ABC, ∠EFD = ∠AEB + ∠CAD, ∠AEB=∠ABC, ∴ ∠ADC=∠EFD. (3) 如图所示,(2)中的结论仍然成立. 理由:∵ AD 平分∠BAG, ∴ ∠BAD=∠GAD=12∠BAG= ∠FAC. ∵ ∠ABC = ∠BAD + ∠ADC, ∠AEB = ∠EFD + ∠FAC, ∠ABC=∠AEB, ∴ ∠ADC=∠EFD. (第7题) 8. (1) 120°. (2) 由题意,可知∠ABC+∠ACB= 180°-∠A. ∵ ∠BPC=90°, ∴ ∠PBC+∠PCB=90°. ∵ ∠ABP = ∠ABC - ∠PBC, ∠ACP=∠ACB-∠PCB, ∴ ∠ABP + ∠ACP = ∠ABC - ∠PBC + ∠ACB - ∠PCB = (∠ABC + ∠ACB)- (∠PBC + ∠PCB)=180°-∠A-90°=90°- ∠A. (3) ① 30°. [解析] 设AB 与PC交 于 点 H.∵ ∠A + ∠AHC + ∠ACP =180°,∠P + ∠PHB + ∠ABP=180°,且∠AHC=∠PHB, ∴ ∠A+∠ACP=∠P+∠ABP. ∴ 60°+ ∠ACP =90°+ ∠ABP. ∴ ∠ACP-∠ABP=90°-60°= 30°. ② 由 ①,同 理 可 得 ∠ACP - ∠ABP=90°-∠A. ∵ BO,CO 分 别 平 分 ∠ABP, ∠ACP, ∴ ∠OBA= 12 ∠ABP ,∠OCP= 1 2∠ACP. 由题意,可得∠O=180°-(∠OBC+ ∠OCB)= 180° - (∠OBA + ∠ABC+∠OCP+∠PCB)=180°- 12∠ABP+∠ABC+12∠ACP+ ∠ACB - ∠ACP = 180° - 12(∠A-90°)+(180°-∠A) = 1 2∠A+45°. ∴ ∠O=12∠A+45°. 9. (1) ∵ ∠OCD=40°,∠AOB= 90°, ∴ ∠CDO=50°. ∵ CE 平分∠DCO,DE 平分∠CDO, ∴ ∠DCE= ∠OCE= 12 ∠DCO , ∠CDE=∠ODE=12∠CDO. ∴ ∠DCE=20°,∠CDE=25°. ∴ ∠CED = 180°- ∠DCE - ∠CDE=135°. (2) ∵ CE 平分∠DCO,DE 平分 ∠CDO, ∴ ∠DCE= ∠OCE= 12 ∠DCO , ∠CDE=∠ODE=12∠CDO. ∴ ∠CED = 180°- ∠DCE - ∠CDE =180°- 12 (∠DCO + ∠CDO)= 180°- 12 (180°- 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 05 ∠AOB)=135°. ∵ ∠CED = ∠CFD + ∠EDF, ∠CFD=180°-∠CFO, ∴ ∠CED=180°-∠CFO+∠EDF. ∵ ∠CFO-∠GED=45°, ∴ ∠CFO=∠GED+45°. ∴ ∠CED =180°- (∠GED + 45°)+∠EDF. ∴ 135°=180°- ∠GED -45°+ ∠EDF. ∴ ∠GED=∠EDF. ∴ GE∥DO. (3) ① 当∠MCN=3∠N 时, ∵ CM⊥CN, ∴ ∠MCN=90°. ∴ ∠N=13∠MCN=30°. ∴ ∠M=60°. ∵ ∠COD=90°, ∴ 易得∠DON=45°. ∴ ∠COM = 180°- ∠COD - ∠DON=45°. ∴ ∠MCO = 180° - ∠M - ∠COM=75°. ∴ ∠NCO=90°-∠MCO=15°. ∵ CE 平分∠DCO, ∴ ∠DCO=2∠NCO=30°. ∴ ∠CDO=90°-∠DCO=60°. ∵ DE 平分∠CDO, ∴ ∠CDE=12∠CDO=30°. ② 当∠M=3∠N 时, ∵ CM⊥CN, ∴ ∠MCN=90°. ∴ ∠M+∠N=90°. ∴ ∠N=22.5°,∠M=67.5°. 由①,知∠COM=45°. ∴ ∠MCO=180°-∠M-∠COM= 67.5°. ∴ ∠NCO=90°-∠MCO=22.5°. ∵ CE 平分∠DCO, ∴ ∠DCO=2∠NCO=45°. ∴ ∠CDO=90°-∠DCO=45°. ∵ DE 平分∠CDO, ∴ ∠CDE=12∠CDO=22.5°. 综上所述,在△CMN 中,若有一个角 的度数是另一个角度数的3倍,则 ∠CDE 的度数为30°或22.5°. 考向二　全等三角形的 性质与判定 1. D 2. A [解析] 在△BCD 和△DEF 中, BC=DE, ∠C=∠E, CD=EF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BCD ≌ △DEF.∴ BD =DF.同 理,可 得 BD=AG.∴ BD=DF=AG.∵ 四 边形 ABFG 的周长=AG+AB+ FG+BF=b,AB=FG=DE=EF, ∴ 四边形 ABFG 的周长=BD+ DE+EF+BF=b.又∵ △BDF 的 周长=BD+DF+BF=a,DE+ EF>DF,∴ a<b. 3. C 4. 48° [解析] ∵ △ABC≌△ADE, 且点B 与点D 对应,点C 与点E 对 应,∴ ∠B = ∠D,AC = AE, ∠BAC = ∠BAD.∴ ∠ACE = ∠AEC.∵ ∠ACE + ∠AEC + ∠BAC = 180°,∠BAC = 28°, ∴ ∠ACE= ∠AEC = 12 (180°- ∠BAC)= 76°,∠BAD = 28°. ∴ ∠CAD=56°.∵ ∠D+∠CAD+ ∠ACE =180°,∴ ∠D =180°- ∠CAD-∠ACE=48°.∴ ∠B=48°. 5. (-3,3) [解析] 如图,过点C 作 CD⊥x轴于点D,CE⊥y 轴于点E, 则 ∠ADC = ∠BEC =90°,易 得 ∠DCE=90°.∵ ∠BCA=90°,∴ 易 得∠ACD=∠BCE.又∵ AC=BC, ∴ △ACD≌△BCE.∴ AD=BE, CD=CE.∵ 易知CD=OE,CE= OD,∴ OD=OE.设OD=OE=a. ∵ A(-8,0),B(0,-2),∴ BE=2+ a,AD=8-a.∴ 2+a=8-a,解得 a=3.∴ 易得点C的坐标为(-3,3). (第5题) 6. (1) ∵ EF⊥AC, ∴ ∠E=90°. ∵ ∠ACB=90°, ∴ ∠DCB=180°-∠ACB=90°. ∴ ∠E=∠DCB=90°. 在△DCB 和△DEF 中, ∠CDB=∠EDF, ∠DCB=∠E, CB=EF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △DCB≌△DEF. ∴ CD=ED. (2) ∠FGE+∠ABC=90°. ∵ CD=ED, ∴ CE=2CD. ∵ AG=2CD, ∴ AG=CE. ∴ AG+CG=CE+CG,即AC=GE. 在△FEG 和△BCA 中, EF=CB, ∠E=∠ACB, GE=AC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △FEG≌△BCA. ∴ ∠FGE=∠A. ∵ ∠ACB=90°, ∴ ∠A+∠ABC=90°. ∴ ∠FGE+∠ABC=90°. 7. (1) ∵ AG=AF, ∴ ∠AGF=∠AFG. ∵ ∠AGB + ∠AGF = 180°, ∠AFD+∠AFG=180°, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 15