2.5.1 等腰三角形的性质-【拔尖特训】2024-2025学年八年级上册数学（苏科版2012）

38 2.5　等腰三角形的轴对称性 第1课时 等腰三角形的性质 ▶ “答案与解析”见P20 1. (易错题)如图,∠EAF=15°,AB=BC= CD=DE=EF,则∠DEF 的度数为 ( ) (第1题) A. 90° B. 75° C. 70° D. 60° 2. 如图,AB=AC=AD,E、F 分别为BC、CD 的中点.若∠EAF=40°,则∠BAD 的度数为 ( ) (第2题) A. 80° B. 100° C. 90° D. 75° 3. 如图,在△ABC 中,边BC 的垂直平分线交 BC 于点 D,交 AB 于 点E.若 CE 平 分 ∠ACB,∠B=40°,则∠A 的度数为 . (第3题) 4. 定义:一个三角形的一边长是另一边长的 2倍,这样的三角形被称为“倍长三角形”.若 等腰三角形ABC 为“倍长三角形”,底边BC 的 长为5,则等腰三角形 ABC 的周长为 . 5. 如图,在△ABC 中,AB 的垂直平分线EF 交 BC 于点E,交AB 于点F,D 为线段CE 的 中点,BE=AC. (1) 求证:AD⊥BC. (2) 若∠BAC=75°,求∠B 的度数. (第5题) 6. 如图,在△ABC 中,AB=AC,点D 在BC 上,点 E 在 AC 上,且 DA =DE.如 果 ∠BAD=35°,∠EDC=25°,那么∠DAE 的 度数为 ( ) A. 80° B. 65° C. 60° D. 50° (第6题) (第7题) 7. 如图,在△ABC 中,AB 的垂直平分线分别交 AB、BC 于点D、E,AC 的垂直平分线分别 交AC、BC 于点F、G.若∠EAG=40°,则 ∠BAC 的度数为 ( ) A. 140° B. 130° C. 120° D. 110° 8. 如图,在△ABC 中,∠B=∠C,点D 在BC 上,∠BAD=50°,AE=AD,则∠EDC 的度 数为 . (第8题) (第9题) 9. 如图,线段AB、BC 的垂直平分线l1、l2相交 于点O.若∠B=50°,则∠AOC= . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)八年级上 39 10. 如图,在四边形ABCD 中,AB∥CD,连接 DB,点E 在BD 上,连接CE,∠1=∠2, AB=ED. (1) 求证:DB=CD. (2) 若∠A=120°,∠BDC=2∠1,求∠DBC 的度数. (第10题) 11. 如图,在△ABC 中,AB=AC,∠BAC= 100°,BD 平分∠ABC,且BD=AB,连接 AD、DC. (1) 求证:∠CAD=∠DBC. (2) 求∠BDC 的度数. (第11题) 答案讲解 12. 过等腰三角形顶角顶点的一条直 线,将该等腰三角形分成两个三角 形,且这两个三角形均为等腰三角 形.原等腰三角形的底角度数为 . 13. 如图,在△ABC 中,AB=BC,∠ABC> 90°,CD 与 直 线 AB 垂 直,垂 足 为 D, ∠BCD 的平分线CE 交BD 于点E,点H 在线段AC 上,HE 的延长线与CD 的延长 线相交于点F. (1) 求证:∠ACE=45°. (2) 若FH⊥AC,求证:AE=FC. (第13题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第2章　轴对称图形 ∠DAM)=90°,即DM⊥AM. (3) CD+AB=AD. 理由:∵ ME⊥AD, ∴ ∠DEM=90°=∠C. 在Rt△DCM 和Rt△DEM 中, DM=DM, MC=ME, ∴ Rt△DCM≌Rt△DEM. ∴ CD=ED. 同理,可得AE=AB. ∵ ED+AE=AD, ∴ CD+AB=AD. 2.5　等腰三角形的轴对称性 第1课时 等腰三角形的性质 1. D 2. A 3. 60° 4. 25 5. (1) 如图,连接AE. ∵ EF 垂直平分AB, ∴ AE=BE. ∵ BE=AC, ∴ AE=AC. ∵ D 是EC的中点, ∴ AD⊥BC. (2) 设∠B=x. ∵ AE=BE, ∴ ∠BAE=∠B=x. 由三角形的外角的性质,得∠AEC= 2x. ∵ AE=AC, ∴ ∠AEC=∠C=2x. 在△ABC 中,x+2x+75°=180°,解 得x=35°. ∴ ∠B=35°. (第5题) 6. B 7. D 8. 25° [解 析] ∵ AD =AE, ∴ ∠ADE=∠AED.∵ ∠B=∠C, ∠AED=∠EDC+∠C,∠ADC= ∠B+∠BAD,∴ ∠B+∠BAD= ∠EDC+∠C+∠EDC,即∠BAD= 2∠EDC. ∵ ∠BAD = 50°, ∴ ∠EDC=25°. 9. 100° [解析] 如图,连接 OB. ∵ OD 垂直平分AB,∴ OA=OB. ∴ ∠A=∠ABO.∴ ∠AOB=180°- 2∠ABO.∵ OE 垂 直 平 分 BC, ∴ OC =OB.∴ ∠C = ∠CBO. ∴ ∠COB = 180° - 2∠CBO. ∵ ∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°, ∴ ∠AOC=360°-(180°-2∠CBO+ 180°-2∠ABO)=2(∠CBO + ∠ABO)=2∠ABC=2×50°=100°. (第9题) 10. (1) ∵ AB∥CD, ∴ ∠ABD=∠EDC. 在△ABD 和△EDC中, ∠1=∠2, ∠ABD=∠EDC, AB=ED, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABD≌△EDC. ∴ DB=CD. (2) ∵ △ABD≌△EDC, ∴ ∠A=∠DEC=120°. ∵ ∠BDC=2∠1, ∴ ∠BDC=2∠2. ∵ ∠BDC+∠2+∠DEC=2∠2+ ∠2+120°=180°, ∴ ∠2=20°. ∴ ∠BDC=40°. ∵ DB=CD, ∴ ∠DBC=∠DCB= 12 (180°- ∠BDC)=12× (180°-40°)=70°. 11. (1) ∵ AB=AC,∠BAC=100°, ∴ ∠ABC=∠ACB=40°. ∵ BD 平分∠ABC, ∴ ∠ABD=∠DBC=20°. ∵ BD=AB, ∴ ∠ADB=∠DAB=80°. ∴ ∠CAD=20°. ∴ ∠CAD=∠DBC. (2) 如图,延长 AD 到点E,使得 AE=BC,连接EC. ∵ AB=AC,BD=AB, ∴ BD=AC. 又∵ BC=AE,∠CAD=∠DBC, ∴ △DBC≌△CAE. ∴ CD=EC,∠BDC=∠ACE. ∴ ∠CDE=∠CED. 设∠CDE=∠CED=α. ∵ ∠ADB=80°, ∴ ∠BDE=100°. ∴ ∠BDC=∠ACE=100°+α. ∵ 在△ACE 中,20°+100°+α+ α=180°, ∴ α=30°. ∴ ∠BDC=130°. (第11题) 12. 36°或45° [解析] 如图①,在 △ABC 中,∵ AB=AC,BD=AD, AC=CD,∴ ∠B=∠C=∠BAD, ∠CAD = ∠CDA.∵ ∠CDA = ∠B+∠BAD=2∠B,∴ ∠BAC= 3∠B.∵ ∠BAC+∠B+∠C=180°, ∴ 5∠B=180°.∴ ∠B=36°.如图 ②,在△ABC 中,∵ AB=AC,AD= BD=CD,∴ ∠B=∠C=∠DAC= ∠DAB. ∴ ∠BAC = 2∠B. ∵ ∠BAC + ∠B + ∠C =180°, ∴ 4∠B=180°.∴ ∠B=45°.综上所 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 02 述,原等腰三角形的底角度数为36° 或45°. ① ② (第12题) 13. (1) ∵ CD⊥AD, ∴ ∠ADC=90°. ∴ ∠ACD+∠A=90°. ∵ CE 平分∠BCD, ∴ ∠BCE=∠DCE. ∵ AB=BC, ∴ ∠A=∠ACB. ∴ ∠ACD + ∠A =2∠ACB + 2∠BCE=90°. ∴ ∠ACE=∠ACB+∠BCE=45°. (2) ∵ FH⊥AC, ∴ ∠AHE=∠FHC=90°. 由(1),得∠ACE=45°, ∴ ∠HEC=45°=∠ACE. ∴ HE=HC. ∵ CD⊥AB, ∴ ∠EDF=90°. ∴ ∠AHE=∠EDF. ∵ ∠AEH=∠FED, ∴ ∠A=∠F. 在△AHE 和△FHC中, ∠A=∠F, ∠AHE=∠FHC, HE=HC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AHE≌△FHC. ∴ AE=FC. 第2课时 等腰三角形的判定、 等边三角形的性质与判定 1. A 2. 4 3. 60° 4. 等边三角形 5. ∵ △ABC为等边三角形, ∴ AB=CA,∠BAC=∠ACB=60°. ∴ ∠EAB=∠DCA=120°. 在△EAB 和△DCA 中, AE=CD, ∠EAB=∠DCA, AB=CA, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △EAB≌△DCA. ∴ BE=AD. 6. C 7. A [解 析] ∵ DE ∥BC, ∴ ∠DFB= ∠FBC, ∠EFC = ∠FCB.∵ BF 是∠ABC 的平分线, CF 是∠ACB 的平分线,∴ ∠FBC= ∠DBF, ∠FCE = ∠FCB. ∴ ∠DBF=∠DFB,∠EFC=∠ECF. ∴ △BDF和△CEF 都是等腰三角形, 即BD=DF,FE=CE.∴ ①正确. ∴ DE =DF +FE =BD +CE. ∴ ②正 确.∴ △ADE 的 周 长 = AD+AE+DE=AD+AE+BD+ CE=AB+AC.∴ ③正确.∵ 现有条 件无法证明BF=CF,∴ ④不一定正 确.综上所述,一定正确的是①②③. 8. 15 [解析] 如图,分别作边AB、 CD、EF 的延长线和反向延长线,使 它们 交 于 点 G、H、P.∵ 六 边 形 ABCDEF 的六个角的度数都是120°, ∴ 六边形ABCDEF 的每一个外角的 度 数 都 是 60°.∴ 易 得 △APF、 △BGC、△DHE、△GHP 都是等边 三角形.∴ PA=AF=PF,BG= GC=BC=3cm,DH=DE=EH= 2cm,PG=GH=PH.∴ GH=3+ 3+2=8(cm).∴ FA=PA=PG- AB-BG=8-1-3=4(cm).∴ EF= PH-PF-EH=8-4-2=2(cm). ∴ 这个六边形的周长是1+3+3+ 2+2+4=15(cm). (第8题) 9. 2 [解析] 如图,过点P 作PF∥ BC,交AC于点F.∵ △ABC 是等边 三角形,∴ ∠A=∠B=∠ACB= 60°.∵ PF ∥BC,∴ ∠PFD = ∠QCD,∠APF = ∠B = 60°, ∠AFP=∠ACB=60°.∴ △APF 是 等边 三 角 形.∴ AP=PF=AF. ∵ PE⊥AC,∴ AE=EF.∵ AP= PF,AP =QC,∴ PF =QC.在 △PFD 和 △QCD 中, ∠PFD=∠QCD, ∠PDF=∠QDC, PF=QC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △PFD ≌ △QCD.∴ FD=CD.∵ AE=EF, ∴ EF+FD=AE+CD.∴ DE= AE+CD = 12AC.∵ AC =4, ∴ DE=12×4=2. (第9题) 10. 过点 D 作DM∥AC,交BC 于 点M. ∴ ∠DMB=∠ACB,∠FDM=∠E. 在△DMF 和△ECF 中, ∠FDM=∠E, DF=EF, ∠DFM=∠EFC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △DMF≌△ECF. ∴ DM=EC. ∵ EC=BD, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 12