考向四整式的化简与求值&考向五分式的运算与求值-【拔尖特训】2024-2025学年八年级上册数学（人教版2012）

122 考向四　整式的化简与求值 ▶ “答案与解析”见P54 1. 下列计算结果正确的是 ( ) A. (a2)3·a4=a9 B. (a+1)5·(1+a)·(a+1)2=(a+1)7 C. (a-b)3·(b-a)2=(a-b)5 D. -2b(a3b-3a2+2b)=-2a3b2- 6a2b+4b2 2. 已知(2x+1)(x-3)=2x2+px+q,则p,q 的值分别为 ( ) A. 5,3 B. 5,-3 C. -5,3 D. -5,-3 3. 如图,正方形ABCD 和长方形DEFG 的面积 相等,且四边形AEFH 也为正方形.欧几里 得在《几何原本》中利用该图得到了AH2= AB×BH.设AB=a,BH=b.若ab=45,则 图中涂色部分的周长为 ( ) (第3题) A. 25 B. 26 C. 28 D. 30 4. 计算:-14ab 2 3÷(0.5a2b)= . 5. 若a2+a-5=0,则(a2-5)(a+1)的值为 . 6. 多项式 M 与多项式x2-3x+1的乘积为 2x4+ax3+bx2+cx-3,则2a+b+c= . 7. 计算: (1) 2x3·(-x)3-(-2x4)2÷(-2x2). (2) 4x · [(-x)2]3 + (-2x)3 ·x4 + (-x5)2÷(-x)3. (3) (-8x3y2+12x2y-4x2)÷(-2x)2. (4) (-2x)32x3-12x-1 -2x(2x3+4x2). (5) (3x-2)(2x-3)-(x-1)(6x+5). (6) 4(x-1)2+(2x+3)(3-2x). 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)八年级上 123 (7) [(a-2b)2+(a+2b)(a-2b)+2a· (2a-b)]÷3a. 8. 先化简,再求值: (1) (a+5)(2a-2)-2a2+2a,其中a= -15. (2) (x+3)2+(x+2)(x-2)-4x(x+3), 其中x2+3x=2. (3) (a+2b)(a-2b)+(a+2b)2+(2ab2- 8a2b2)÷2ab,其中a=1,b=2. 答案讲解 9. (2023·乐山期末)我们已经知道, 通过计算图形的面积可以表示一些 恒等式.如图①,可以得到(a+ b)2=a2+2ab+b2.请解答下列问题: (1) 若x+y=3,x2+y2=5,求xy的值. (2) ① 若(x-3)(x-4)=1,则(x-3)2+ (x-4)2= . ② 若x 满足(2023-x)2+(2020-x)2= 2023,求(2023-x)(2020-x)的值. (3) 两把全等的特制直角三角尺(∠AOB= ∠COD=90°)按图②所示的方式放置,其中 A,O,D 三点在同一条直线上,连接AC, BD.若AD=16,S△AOC+S△BOD=68,求一把 直角三角尺的面积. (第9题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 期末压轴题特训 124 考向五　分式的运算与求值 ▶ “答案与解析”见P55 1. 如图所示为涂涂同学完成的一组分式计算的 练习题,每小题20分,他的得分是 ( ) (第1题) A. 40分 B. 60分 C. 80分 D. 100分 2. 若 5x-7 x2-4x-5= A x+1+ B x-5 ,则A,B 的值分 别为 ( ) A. 3,-2 B. 2,3 C. 3,2 D. -2,3 3. 若2x2+2xy-5=0,则 x+2xy+y 2 x ÷ x+y x2 的值为 . 4. 计算: (1) -2y3x -2 ·6x y÷ - 3x2 y 3 . (2) 81-a2 a2+6a+9÷ a-9 2a+6 ·a+3 a+9. (3) x2-16 x2+8x+16- 2x-3 2x+8 ÷ 10x+4. (4) 1 2x- 1 x+y x+y 2x -x-y . 5. 先化简,再求值: (1) -a+ba -1 + a 2+ab a2+3ab+2b2÷ a2-b2 a2+2ab , 其中a=20,b=24. (2) 2 m+n- m-n m-2÷ m+2- n2-4 m-2 ,其中 m,n满足(m-1)2+n2+6n+9=0. 答案讲解 (3) x2+2x+1 x2-1 + x+1 x-1 ÷x+1x2-x, 再从不等式组 2-x<4①, 2(x-3)≤-2② 的 解集中选一个合适的整数作为x 的值代入 求值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)八年级上 8. (1) ∠DCB. (2) △ADC是等腰三角形. 如图①,在射线BE 上截取BO=BA, 连接DO. ∵ BF 平分∠ABE, ∴ ∠ABD=∠OBD. 在△ABD 和△OBD 中, BA=BO, ∠ABD=∠OBD, BD=BD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABD≌△OBD. ∴ DA=DO,∠DAB=∠DOB. ∵ 由(1),知∠DAB=∠DCB, ∴ ∠DOB=∠DCB. ∴ DO=DC. ∴ DA=DC,即△ADC是等腰三角形. (3) 如图②,过点D 作DM⊥BE 于 点M. ∵ DH⊥AB,DM⊥BE, ∴ ∠BMD=∠BHD=90°. 在△MBD 和△HBD 中, ∠BMD=∠BHD, ∠MBD=∠HBD, BD=BD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △MBD≌△HBD. ∴ BM=BH=1,DM=DH. 在△DAH 和△DCM 中, ∠DAH=∠DCM, ∠AHD=∠CMD=90°, DH=DM, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △DAH≌△DCM. ∴ CM=AH=7. ∴ CB=CM-BM=7-1=6. (第8题) 9. (1) ∵ AB=AC, ∴ ∠B=∠DCA. 在△BED 和△CDF 中, BE=CD, ∠B=∠DCF, BD=CF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BED≌△CDF. ∴ ∠BED=∠CDF. (2) ① 在FC 上截取CM=CD,连 接GM. ∵ ∠BED = ∠CDF,∠BED = 2∠DFC, ∴ ∠CDF=2∠DFC. ∵ CG 平分∠ACB, ∴ ∠DCG=∠MCG. 在△DCG 和△MCG 中, CD=CM, ∠DCG=∠MCG, CG=CG, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △DCG≌△MCG. ∴ GD=GM,∠GDC=∠GMC. ∴ ∠GMC=2∠DFC. ∵ ∠GMC=∠DFC+∠FGM, ∴ ∠DFC=∠FGM. ∴ GM=FM=GD. ∵ FM+CM=FC, ∴ GD+CD=FC. ② ∵ GD+CD=FC,BE=CD, BD=CF, ∴ GD+BE=BD. ∵ BC=BD+CD, ∴ BC=GD+BE+BE=2BE+GD. ∵ DG=3,BC=13, ∴ BE=5. 考向四　整式的 化简与求值 1. C 2. D 3. D 4. -132ab 5 5. -5 6. -4 [解析] ∵ 多项式M 与多项 式x2-3x+1的乘积为2x4+ax3+ bx2+cx-3,∴ 设多项式M=2x2+ mx-3.由题意,得(2x2+mx-3)· (x2-3x+1)=2x4-6x3+2x2+ mx3-3mx2+mx-3x2+9x-3= 2x4+(m-6)x3-(3m+1)x2+ (m+9)x-3.∴ m-6=a,-3m- 1=b,m+9=c.∴ 2a+b+c=2m- 12-3m-1+m+9=-4. 7. (1) 原式=-2x3·x3-4x8÷ (-2x2)=-2x6+2x6=0. (2) 原式=4x·x6+(-8x3)·x4+ x10÷(-x3)=4x7-8x7-x7= -5x7. (3) 原 式=(-8x3y2+12x2y- 4x2)÷(4x2)=-2xy2+3y-1. (4) 原式=(-8x3)2x3-12x- 1 -4x4-8x3=-16x6+4x4+ 8x3-4x4-8x3=-16x6. (5) 原 式=6x2-9x-4x+6- (6x2+5x-6x-5)=6x2-9x- 4x+6-6x2 -5x +6x +5= -12x+11. (6) 原式 =4(x2-2x+1)-(2x+3)· (2x-3)=4x2-8x+4-4x2+9= -8x+13. (7) 原式=(a2-4ab+4b2+a2- 4b2+4a2 -2ab)÷3a= (6a2 - 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 45 6ab)÷3a=2a-2b. 8. (1) 原式 =2a2-2a+10a-10- 2a2+2a=10a-10. 当a=-15 时,原式=-12. (2) 原式=x2+6x+9+x2-4- 4x2-12x=-2x2-6x+5. 将x2 +3x=2 代 入,得 原 式 = -2(x2+3x)+5=1. (3) 原式=a2-4b2+a2+4ab+ 4b2+b-4ab=2a2+b. ∵ a=1,b=2, ∴ 原式=4. 9. (1) ∵ (x+y)2=x2+2xy+y2, x+y=3,x2+y2=5, ∴ 32=5+2xy. ∴ 2xy=9-5=4. ∴ xy=2. (2) ① 3. [解析] 设x-3=a,x- 4=b.∴ a-b=1.∵ (x-3)(x- 4)=1,∴ ab=1.∵ (a-b)2=a2- 2ab+b2,∴ 12=a2+b2-2.∴ a2+ b2=3.∴ (x-3)2+(x-4)2=3. ② 设2023-x=a,2020-x=b. ∴ a-b=3. ∵ (2023-x)2 + (2020-x)2 = 2023, ∴ a2+b2=2023. ∵ (a-b)2=a2-2ab+b2, ∴ 32=2023-2ab. ∴ 2ab=2023-9=2014. ∴ ab=1007. ∴ (2023-x)(2020-x)=1007. (3) 设OA=OC=x,OB=OD=y. ∵ ∠AOB=∠COD=90°,A,O,D 三点共线, ∴ △AOC,△BOD 均为直角三角形. ∴ S△AOC = 1 2OA ·OC= 12x 2, S△BOD= 1 2OB ·OD=12y 2. ∵ S△AOC+S△BOD=68, ∴ 1 2x 2+12y 2=68. ∴ x2+y2=136. ∵ AD=16, ∴ x+y=16. ∵ (x+y)2=x2+2xy+y2, ∴ 162=136+2xy. ∴ 2xy=256-136=120. ∴ xy=60. ∴ S△AOB= 1 2xy=30. ∴ 一把直角三角尺的面积为30. 考向五　分式的 运算与求值 1. A 2. B 3. 5 2 4. (1) 原 式 = -3x2y 2 ·6x y · -y3x2 3 =9x 2 4y2 ·6x y · -y 3 27x6 = - 12x3. (2) 原式= (9+a)(9-a) (a+3)2 · 2(a+3) a-9 ·a+3 a+9=-2. (3) 原 式 = (x+4)(x-4)(x+4)2 - 2x-3 2(x+4) · x+410 = x-4x+4 - 2x-3 2(x+4) ·x+410 =2x-8-2x+32(x+4) · x+4 10 = -5 2(x+4) ·x+4 10 =- 1 4. (4) 原式= 12x- 1 x+y · x+y2x - (x+y) =12x-12x+1=1. 5. (1) 原式=- aa+b+ a(a+b) (a+2b)(a+b) · a(a+2b)(a+b)(a-b)= - aa+b+ a2 (a+b)(a-b)= -a(a-b)+a2 (a+b)(a-b)= ab a2-b2. 当a=20,b=24时,原式=-3011. (2) 原式= 2m+n- m-n m-2÷ m2-4 m-2- n2-4 m-2 = 2m+n-m-nm-2÷m 2-n2 m-2 = 2 m+n- m-n m-2 · m-2(m+n)(m-n)= 2 m+n- 1 m+n= 1 m+n. ∵ (m-1)2+n2+6n+9=0, ∴ (m-1)2+(n+3)2=0. ∴ m-1=0且n+3=0,解得m=1, n=-3. ∴ 原式= 11-3=- 1 2. (3) 原式= (x+1) 2 (x+1)(x-1)+ x+1 x-1 · x(x-1) x+1 = x+1 x-1+ x+1 x-1 · x(x-1) x+1 = 2(x+1) x-1 ·x(x-1) x+1 =2x. 解 2-x<4①, 2(x-3)≤-2②, 由①,得 x> -2,由②,得x≤2. ∴ 该不等式组的解集为-2<x≤2. ∴ 该不等式组的整数解为x=-1, 0,1,2. ∵ x2-1≠0,x-1≠0,x+1≠0, x2-x≠0, ∴ x≠0且x≠±1. ∴ x=2. 当x=2时,原式=2×2=4. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 55