2.4.2 角平分线的性质定理及其逆定理-【拔尖特训】2024-2025学年八年级上册数学（苏科版2012）

∴ ∠P'OP″= ∠1+ ∠2+ ∠3+ ∠4=2∠2+2∠3=2∠AOB=60°. ∴ △P'OP″为等边三角形. ∴ P'P″=OP'=OP=10,即△PQR 周长的最小值为10. (2) 如图②,作点M 关于OB 的对称 点M',点N 关于OA 的对称点N',连 接M'N'交OB 于点P,交 OA 于 点Q,连接ON'、OM',则∠M'OB= ∠AOB,∠N'OA=∠AOB. ∴ OM'=OM=2,ON'=ON=2, MP=M'P,QN=QN'. ∴ MP+PQ+QN=M'P+PQ+ QN'=M'N'. 此时MP+PQ+QN 的值最小,最小 值为M'N'的长. ∵ OM'=OM=2,ON'=ON=2, ∴ OM'=ON'. ∵ ∠M'OB = ∠AOB = 20°, ∠N'OA=∠AOB=20°, ∴ ∠M'ON'=60°. ∴ △M'ON'为等边三角形. ∴ M'N'=OM'=2,即 MP+PQ+ QN 的最小值为2. (第12题) 解答阅读理解题的一般方法 阅读理解题是一种给定阅读 材料,先从中获取新知识、新方法、 新思路,再解决新问题的题型.该 题型能够较好地考查同学们阅读 理解、分析问题、解决问题的能力. 解答这类问题时,往往是先阅读问 题的背景材料,再从中获取信息、 方法,最后用获得的方法、思路解 决问题. 第2课时 角平分线的 性质定理及其逆定理 1. B 2. C 3. 4 4. 72 5. (1) ∵ AD 平分∠BAC,∠C= 90°,DE⊥AB 于点E, ∴ DC=DE,∠C=∠DEB=90°. 在Rt△CDF 和Rt△EDB 中, DF=DB, DC=DE, ∴ Rt△CDF≌Rt△EDB. ∴ CF=EB. (2) 设CF=x,则EB=x. ∴ AE=12-x. 由(1),得DC=DE, 在Rt△ACD 和Rt△AED 中, AD=AD, DC=DE, ∴ Rt△ACD≌Rt△AED. ∴ AC=AE,即8+x=12-x,解得 x=2,即CF=2. 6. C 7. C [解析] ∵ AD 平分∠BAC, DM⊥AB,DN⊥AC,∴ ∠BMD= ∠CND=90°,DM=DN,∠BAD= ∠CAD.∵ DE 是BC的垂直平分线, ∴ BD = CD.在 Rt△BDM 和 Rt△CDN 中, BD=CD, DM=DN, ∴ Rt△BDM≌Rt△CDN.∴ BM= CN,∠BDM =∠CDN.故①正确. ∴ ∠BDC=∠MDN.∵ ∠BAC+ ∠AMD+∠AND+∠MDN=360°, ∠AMD=∠AND=90°,∴ ∠BAC+ ∠MDN = 180°.∴ ∠BAC + ∠BDC=180°.故③正确.∵ BD= CD,∴ 易 得 ∠DBC = ∠DCB. ∵ ∠DBC + ∠DCB + ∠BDC = 180°,∴ ∠BDC+2∠DBC=180°. ∵ ∠MDN + ∠BAC = 180°= ∠MDN+2∠DAN,∴ ∠DBC= ∠DAN.故②正 确.在△ACD 中, ∠ACD>90°,∴ AD>CD.故④错 误.综上所述,正确的是①②③. 8. 7.5 [解析] 如图,过点P 分别作 PF⊥AN 于点F,PG⊥AM 于点G, 连接AP.∵ ∠GBC、∠FCB 的平分 线BP、CP 交 于 点 P,PE ⊥BC, ∴ PF=PG=PE=3cm.∵ S△BPC= 1 2BC ·PE=7.5cm2,∴ BC=5cm. ∵ △ABC的周长为15cm,∴ AB+ AC+BC=15cm.∴ AB+AC= 10cm.∴ S△ABC=S△ACP+S△ABP- S△BCP= 1 2 (AB+AC-BC)·PE= 1 2× (10-5)×3=7.5(cm2). (第8题) 9. 37° [解析] 如图,连接CE,过 点E 作ER⊥AC于点R,交CD 于点 Q,设AE 交BC 于点O.∵ DE 是线 段BC 的垂直平分线,∴ ∠EDC= 90°,CE =BE.∴ 易 得 ∠ECB = ∠EBD=25°.∴ ∠DEB=∠CED= 90°-25°=65°.∵ ER⊥AC,ED⊥ BC,∴ ∠QRC = ∠QDE =90°. ∴ ∠ACB+∠CQR=90°,∠EQD+ ∠QED=90°.∵ ∠CQR=∠EQD, ∴ ∠ACB=∠QED=28°.∵ AE 平 分∠CAM,ER ⊥AC,EF ⊥AM, ∴ ER = EF.在 Rt△ERC 和 Rt△EFB 中,∵ CE=BE,ER=EF, ∴ Rt△ERC≌Rt△EFB.∴ ∠EBF= ∠ECR=∠ACB+∠ECD=28°+ 25°=53°.∵ ∠EFB=90°,∴ ∠BEF= 90°- ∠EBF =90°-53°=37°. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 71 ∴ ∠REF = ∠RED + ∠DEB + ∠BEF=28°+65°+37°=130°. ∵ ∠ARE=∠AFE=90°,∴ ∠CAM= 360°-90°-90°-130°=50°.∵ AE 平分 ∠CAM,∴ ∠CAE=12∠CAM=25°. ∴ ∠DOE = ∠CAE + ∠ACB = 25°+28°=53°.∵ ED ⊥ BC, ∴ ∠EDB=90°.∴ ∠AED=90°- ∠DOE=90°-53°=37°. (第9题) 10. 连接CO,过点O 作OM⊥BC, ON⊥AC,OH⊥AB,垂足分别为M、 N、H. ∵ AE、BF 是△ABC的角平分线, ∴ ON=OH,OM=OH. ∴ OM=ON. 在Rt△OEM 和Rt△OFN 中, OE=OF, OM=ON, ∴ Rt△OEM≌Rt△OFN. ∴ ∠EOM=∠FON. ∴ 易得∠EOF=∠MON=180°- ∠ACB. ∵ AE、BF 是△ABC的角平分线, ∴ 易得∠AOB=90°+12∠ACB. ∵ ∠AOB=∠EOF, ∴ 90°+12∠ACB=180°-∠ACB. ∴ ∠ACB=60°. 11. (1) 如图,过点P 作PC⊥OA 于 点C,PD⊥MN 于点D,PE⊥OB 于 点E. ∵ MP 平 分 ∠AMN,PC ⊥OA, PD⊥MN, ∴ PC=PD. ∵ NP 平 分 ∠MNB,PD ⊥MN, PE⊥OB, ∴ PD=PE. ∴ PC=PE. 又∵ PC⊥OA,PE⊥OB, ∴ OP 平分∠AOB. (2) ∵ △PMN 的面积是16,MN=8, ∴ 1 2MN ·PD=16, 即1 2×8PD=16. ∴ PD=4. ∴ PD=PC=PE=4. ∵ △OMN 的面积是24, ∴ 四边形MONP 的面积=△PMN 的面 积+△OMN 的 面 积=16+ 24=40. ∴ △POM 的面积+△PON 的面 积=40. ∴ 1 2OM ·PC+12ON ·PE=40, 即1 2OM ·4+12ON ·4=40. ∴ OM+ON=20. ∴ 线段OM 与ON 的长度之和为20. (第11题) 12. 50° [解析] 过点P 作PN⊥BD 于点N,PF⊥BA,交BA 的延长线于 点F,PM⊥AC 于点M.设∠PCD= x°.∵ CP 平分∠ACD,∴ ∠ACP= ∠PCD=x°,PM=PN.∵ BP 平分 ∠ABC,∴ ∠ABP=∠PBC,PF= PN.∴ PF =PM.∴ AP 平 分 ∠CAF.∴ ∠FAP = ∠MAP. ∵ ∠BPC = 40°,∴ ∠ABP = ∠PBC=∠PCD-∠BPC=x°- 40°.∴ ∠BAC=∠ACD-∠ABC= 2x°-(x°-40°)-(x°-40°)=80°. ∴ ∠CAF =100°.∴ ∠FAP = ∠MAP=50°,即∠CAP=50°. 13. (1) 过点A 作AH⊥BC于点H. 在△ABC和△ADE 中, BC=DE, ∠C=∠E, CA=EA, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABC≌△ADE. ∴ S△ABC=S△ADE. ∴ 1 2BC ·AH=12DE ·AF. ∴ AH=AF. 又∵ AF⊥DE,AH⊥BC, ∴ GA 平分∠DGB. (2) ∵ △ABC≌△ADE, ∴ AB=AD. 在Rt△ADF 和Rt△ABH 中, AD=AB, AF=AH, ∴ Rt△ADF≌Rt△ABH. ∴ S△ADF=S△ABH. ∴ S四边形DGBA=S四边形AFGH=6. 在Rt△AFG 和Rt△AHG 中, AG=AG, AF=AH, ∴ Rt△AFG≌Rt△AHG. ∴ S△AFG=S△AHG=3. ∵ AF=32 , ∴ 1 2FG ·3 2=3. ∴ FG=4. 专题特训（三）　线段的 垂直平分线与角平分线 1. C [解析] ∵ DE 是边AB 的垂 直平分线,∴ EB=EA.∵ FG 是边 BC 的 垂 直 平 分 线,∴ GB=GC. ∵ △BEG 的 周 长 为16,∴ GB+ GE+EB=16.∴ GC+GE+EA= 16.∴ AC+GE+GE=16.∵ GE= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 81 34 第2课时 角平分线的性质定理及其逆定理 ▶ “答案与解析”见P17 1. 如图,AD 是△ABC 的角平分线,过点D 作 DE⊥AB 于点E,DF⊥AC 于点F,则下列 结论不一定正确的是 ( ) A. DE=DF B. BD=CD C. AE=AF D. ∠ADE=∠ADF (第1题) (第2题) 2. 如图,BD 是△ABC 的角平分线,DE⊥AB, 垂足为E.若△ABC 的面积为12,AB=7, DE=2,则BC 的长为 ( ) A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 3. 如图,在Rt△ABC 中,∠C=90°,AD 平分 ∠BAC,交BC 于点D,且BD∶CD=5∶4, BC=9,则点D 到AB 的距离为 . (第3题) (第4题) 4. 如图,△ABC 的周长是36,BO、CO 分别平 分∠ABC、∠ACB,OD⊥BC 于点 D.若 OD=4,则△ABC 的面积是 . 5. 如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC,∠C= 90°,DE⊥AB 于 点 E,点 F 在 AC 上, DF=DB. (1) 求证:CF=EB. (2) 若AB=12,AF=8,求CF 的长. (第5题) 6. 如图,△ABC 的外角的平分线BD 与CE 相 交于点P.若点P 到AC 的距离为3,则点P 到AB 所在直线的距离为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 (第6题) (第7题) 7. 如图,在△ABC 中,∠BAC 的平分线AD 与 BC 的垂直平分线DE 交于点D,DM⊥AB 于点M,DN⊥AC,交AC 的延长线于点N, 连接BD、CD.有下列结论:① BM=CN; ② ∠DBC=∠DAN;③ ∠BAC+∠BDC= 180°;④ 点D 到△ABC 各顶点的距离相等. 其中,正确的是 ( ) A. ①②④ B. ②③④ C. ①②③ D. ①③④ 8. (2024· 青 岛 期 中)如图,△ABC 的外角 ∠MBC、∠NCB 的平分线BP、CP 相交于点 P,PE⊥BC 于 点E,且 PE=3cm.若 △ABC 的周长为15cm,S△BPC=7.5cm2,则 △ABC 的面积为 cm2. (第8题) (第9题) 9. 如图,AE 是∠CAM 的平分线,点B 在射线 AM 上,线段BC 的垂直平分线交BC、AE 于 点D、E,过点E 作EF⊥AM 于点F.若 ∠ACB=28°,∠EBD=25°,则∠AED 的度 数为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)八年级上 35 10. 如图,AE、BF 是△ABC 的角平分线,且相 交于点O.若OE=OF,AC≠BC,求∠ACB 的度数. (第10题) 11. 如图,在∠AOB 的两边OA、OB 上分别取 点M、N,连接MN,MP 平分∠AMN,NP 平分∠MNB,MP、NP 交于点P. (1) 求证:OP 平分∠AOB. (2) 若MN=8,且△PMN 与△OMN 的面 积分别是16和24,求线段OM 与ON 的长 度之和. (第11题) 答案讲解 12. 如图,△ABC 的外角∠ACD 的平 分线CP 与内角∠ABC 的平分线 BP 交于点P.若∠BPC=40°,则 ∠CAP 的度数为 . (第12题) 13. 如图,在△ABC 和△ADE 中,∠C=∠E, BC=DE,CA=EA,过点A 作AF⊥DE, 垂足为F,DE 交CB 的延长线于点G,连 接AG. (1) 求证:GA 平分∠DGB. (2) 若S四边形DGBA=6,AF= 3 2 ,求FG 的长. (第13题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第2章　轴对称图形