考向三等腰三角形的性质与判定-【拔尖特训】2024-2025学年八年级上册数学（人教版2012）

∴ ∠AGB=∠AFD. ∵ CE∥BD, ∴ ∠E=∠AFD. ∴ ∠AGB=∠E. 在△ABG 和△CAE 中, ∠AGB=∠E, ∠ABG=∠CAE, AB=CA, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABG≌△CAE. ∴ AG=CE. (2) 如图,在BD 上截取BH=AE,连 接AH. 在△ABH 和△CAE 中, AB=CA, ∠ABH=∠CAE, BH=AE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABH≌△CAE. ∴ AH=CE=3,∠AHB=∠CEA. ∴ ∠AHD=180°-∠AHB=180°- ∠CEA=∠CED. ∵ CE∥BD, ∴ ∠CED=∠D. ∴ ∠AHD=∠D. ∴ AD=AH=3. ∴ DE=AD-AE=3-1=2. ∴ DE 的长为2. (第7题) 8. (1) ∵ AB=BC, ∴ ∠BAC=∠BCA. ∵ ∠BAC = ∠BAD + ∠DAC, ∠BCA = ∠CAE + ∠E, 且 ∠CAE=∠BAD, ∴ ∠DAC=∠E. ∵ CD=CA, ∴ ∠CDA=∠DAC. ∴ ∠CDA=∠E. ∴ AD=AE. (2) AG=12AC. 如图,在AB 上截取AH=AC,连接 DH. 在△ADH 和△AEC中, AH=AC, ∠HAD=∠CAE, AD=AE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADH≌△AEC. ∴ ∠DHA=∠ECA,DH=EC. ∵ AF=CE, ∴ DH=AF. ∵ ∠BAC=∠BCA,∠FAG=180°- ∠BAC,∠ECA=180°-∠BCA, ∴ ∠ECA=∠FAG. ∴ ∠DHA=∠FAG. 在△HGD 和△AGF 中, ∠DGH=∠FGA, ∠DHG=∠FAG, DH=FA, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △HGD≌△AGF. ∴ AG=HG=12AH= 1 2AC. (第8题) 9. (1) ∵ ∠BAD=∠CAE=90°, ∴ ∠BAC+∠CAD=90°,∠CAD+ ∠DAE=90°. ∴ ∠BAC=∠DAE. 在△ABC和△ADE 中, AB=AD, ∠BAC=∠DAE, AC=AE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABC≌△ADE. (2) ∵ ∠CAE=90°,AC=AE, ∴ ∠E=∠ECA=45°. 由(1),知△ABC≌△ADE. ∴ ∠BCA=∠E=45°. ∵ AF⊥BC, ∴ ∠CFA=90°. ∴ ∠FAC=45°. ∴ ∠FAE=∠FAC+∠CAE=45°+ 90°=135°. (3) 如图,延长 BF 到 点G,使 得 FG=FB,连接AG. ∵ AF⊥BG, ∴ ∠AFG=∠AFB=90°. 在△AFB 和△AFG 中, BF=GF, ∠AFB=∠AFG, AF=AF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AFB≌△AFG. ∴ AB=AG,∠ABF=∠G. ∵ △ABC≌△ADE, ∴ AB =AD,∠CBA = ∠EDA, CB=ED. ∴ AG =AD,∠ABF =180°- ∠CBA=180°-∠EDA=∠CDA. ∴ ∠G=∠CDA. 在△CGA 和△CDA 中, ∠GCA=∠DCA=45°, ∠G=∠CDA, AG=AD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △CGA≌△CDA. ∴ CG=CD. ∵ CG=CB+BF+FG=CB+ 2BF=DE+2BF, ∴ CD=2BF+DE. (第9题) 考向三　等腰三角形的 性质与判定 1. D 2. C 3. C [解析] 如图,连接 AC.在 △ABC 和 △ADC 中, AB=AD, BC=DC, AC=AC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 25 ∴ △ABC≌△ADC.∴ ∠BAC= ∠DAC.∵ CE∥AB,∴ ∠BAC= ∠ACE. ∴ ∠DAC = ∠ACE. ∴ EA=EC.∵ CE=9,∴ AE=9. ∴ ED=12-9=3.∵ AB=AD, ∠BAD=60°,∴ △ABD 是等边三角 形.∴ ∠ABD = ∠ADB =60°. ∵ CE∥AB,∴ ∠EFD=∠ABD= 60°,∠FED = ∠BAD = 60°. ∴ △EFD 是等边三角形.∴ EF= ED=3.∴ CF=CE-EF=9-3=6. (第3题) 4. 6 [解析] 延长AD 交CB 的延长 线 于 点 M.∵ ∠C = ∠CAD, ∴ MC=MA.∵ BD 平分∠ABM, ∴ ∠ABD=∠MBD.∵ BD⊥AD, ∴ ∠ADB = ∠MDB = 90°. ∴ ∠BAD=∠M.∴ MB=AB=10. ∵ BC=2,∴ MC=MB+BC=12. ∴ MA=MC=12.∵ BD⊥AD, MB=AB,∴ AD=DM=12MA=6. 5. 45° [解析] ∵ 在△ABC 中, ∠ACB=90°,∴ ∠A+∠B=90°.依 题 意,得 AD =AE,BD =BC. ∴ ∠ADE = ∠AED,∠BDC = ∠BCD.∵ ∠ADE + ∠AED + ∠A=180°,∴ ∠ADE=12 (180°- ∠A)=90°-12∠A. 又∵ ∠BDC+ ∠BCD+∠B=180°,∴ ∠BDC= 1 2 (180°- ∠B)=90°- 12 ∠B. ∴ ∠ADE+ ∠BDC = 180° - 1 2 (∠A+∠B)=180°-12×90°= 135°.∴ ∠EDC=180°-(∠ADE+ ∠BDC)=180°-135°=45°. 6. (1) ∵ AB=AC, ∴ ∠ABC=∠C. ∵ EH∥AD, ∴ ∠EHC=∠ABC. ∴ ∠EHC=∠C. ∴ HE=CE. ∵ EG⊥BC, ∴ HG=GC. (2) BC=2FG. ∵ HE=CE,BD=CE, ∴ HE=BD. ∵ EH∥AD, ∴ ∠FEH=∠D. 在△FEH 和△FDB 中, ∠EFH=∠DFB, ∠FEH=∠D, HE=BD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △FEH≌△FDB. ∴ HF=BF. ∵ HG=GC, ∴ HF+HG+BF+GC=2(HF+ HG)=2FG. ∵ HF+HG+BF+GC=BC, ∴ BC=2FG. 7. (1) 如图①,延长AP,DE 交于 点F. ∵ P 为BE 的中点, ∴ BP=EP. ∵ ∠BAC+∠CDE=180°,∠BAC= α=90°, ∴ ∠BAC=∠D=90°. ∴ AB∥DE. ∴ ∠BAP=∠F. 在△ABP 和△FEP 中, ∠BAP=∠F, ∠APB=∠FPE, BP=EP, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABP≌△FEP. ∴ AB=FE. 又∵ DC=DE,AB=AC, ∴ DA=DC+AC=DE+AB= DE+FE=DF. ∵ ∠D=90°, ∴ ∠PAC=45°. (2) 如图②,延长 AP 至点F,使 PF=AP,连接EF,DF,AD. ∵ P 为BE 的中点, ∴ BP=EP. 在△ABP 和△FEP 中, BP=EP, ∠APB=∠FPE, AP=FP, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABP≌△FEP. ∴ AB=FE=AC,∠B=∠FEP. ∴ AB∥EF. 易得在五边形 ABEDC 中,∠B+ ∠C+∠BED=540°-180°=360°. ∴ ∠C=360°-∠B-∠BED. ∵ ∠DEF = 360°- ∠FEP - ∠BED=360°-∠B-∠BED, ∴ ∠C=∠DEF. ∴ 易得△ACD≌△FED. ∴ DA=DF. ∴ △DAF 是等腰三角形. ∵ P 为AF 的中点, ∴ AP⊥DP. (第7题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 35 8. (1) ∠DCB. (2) △ADC是等腰三角形. 如图①,在射线BE 上截取BO=BA, 连接DO. ∵ BF 平分∠ABE, ∴ ∠ABD=∠OBD. 在△ABD 和△OBD 中, BA=BO, ∠ABD=∠OBD, BD=BD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABD≌△OBD. ∴ DA=DO,∠DAB=∠DOB. ∵ 由(1),知∠DAB=∠DCB, ∴ ∠DOB=∠DCB. ∴ DO=DC. ∴ DA=DC,即△ADC是等腰三角形. (3) 如图②,过点D 作DM⊥BE 于 点M. ∵ DH⊥AB,DM⊥BE, ∴ ∠BMD=∠BHD=90°. 在△MBD 和△HBD 中, ∠BMD=∠BHD, ∠MBD=∠HBD, BD=BD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △MBD≌△HBD. ∴ BM=BH=1,DM=DH. 在△DAH 和△DCM 中, ∠DAH=∠DCM, ∠AHD=∠CMD=90°, DH=DM, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △DAH≌△DCM. ∴ CM=AH=7. ∴ CB=CM-BM=7-1=6. (第8题) 9. (1) ∵ AB=AC, ∴ ∠B=∠DCA. 在△BED 和△CDF 中, BE=CD, ∠B=∠DCF, BD=CF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BED≌△CDF. ∴ ∠BED=∠CDF. (2) ① 在FC 上截取CM=CD,连 接GM. ∵ ∠BED = ∠CDF,∠BED = 2∠DFC, ∴ ∠CDF=2∠DFC. ∵ CG 平分∠ACB, ∴ ∠DCG=∠MCG. 在△DCG 和△MCG 中, CD=CM, ∠DCG=∠MCG, CG=CG, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △DCG≌△MCG. ∴ GD=GM,∠GDC=∠GMC. ∴ ∠GMC=2∠DFC. ∵ ∠GMC=∠DFC+∠FGM, ∴ ∠DFC=∠FGM. ∴ GM=FM=GD. ∵ FM+CM=FC, ∴ GD+CD=FC. ② ∵ GD+CD=FC,BE=CD, BD=CF, ∴ GD+BE=BD. ∵ BC=BD+CD, ∴ BC=GD+BE+BE=2BE+GD. ∵ DG=3,BC=13, ∴ BE=5. 考向四　整式的 化简与求值 1. C 2. D 3. D 4. -132ab 5 5. -5 6. -4 [解析] ∵ 多项式M 与多项 式x2-3x+1的乘积为2x4+ax3+ bx2+cx-3,∴ 设多项式M=2x2+ mx-3.由题意,得(2x2+mx-3)· (x2-3x+1)=2x4-6x3+2x2+ mx3-3mx2+mx-3x2+9x-3= 2x4+(m-6)x3-(3m+1)x2+ (m+9)x-3.∴ m-6=a,-3m- 1=b,m+9=c.∴ 2a+b+c=2m- 12-3m-1+m+9=-4. 7. (1) 原式=-2x3·x3-4x8÷ (-2x2)=-2x6+2x6=0. (2) 原式=4x·x6+(-8x3)·x4+ x10÷(-x3)=4x7-8x7-x7= -5x7. (3) 原 式=(-8x3y2+12x2y- 4x2)÷(4x2)=-2xy2+3y-1. (4) 原式=(-8x3)2x3-12x- 1 -4x4-8x3=-16x6+4x4+ 8x3-4x4-8x3=-16x6. (5) 原 式=6x2-9x-4x+6- (6x2+5x-6x-5)=6x2-9x- 4x+6-6x2 -5x +6x +5= -12x+11. (6) 原式 =4(x2-2x+1)-(2x+3)· (2x-3)=4x2-8x+4-4x2+9= -8x+13. (7) 原式=(a2-4ab+4b2+a2- 4b2+4a2 -2ab)÷3a= (6a2 - 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 45 120 考向三　等腰三角形的性质与判定 ▶ “答案与解析”见P52 1. 如图,AB∥CD,E 为直线AB 上方的一点, 连接BD,DE,BE.若DE⊥CD,BE=DE, ∠BDC=25°,则∠ABE 的度数是 ( ) A. 125° B. 130° C. 135° D. 140° (第1题) (第2题) 2. 如图,在△ABC 中,ED∥BC,∠ABC 和 ∠ACB的平分线分别交ED 于点F,G.若 FG=1,ED=3.5,则DB+EC的值为( ) A. 3.5 B. 3 C. 2.5 D. 2 3. 如图,在四边形ABCD 中,AB=AD=12, BC=DC,∠A=60°,点E 在AD 上,连接 BD,CE 相交于点F,CE∥AB.若CE=9,则 CF 的长为 ( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 (第3题) (第4题) 4. 如图,D 为△ABC 外一点,BD⊥AD,BD 平 分△ABC 的一个外角,∠C=∠CAD.若 AB=10,BC=2,则AD 的长为 . (第5题) 5. 如图,在△ABC 中,∠ACB= 90°,以点B 为圆心,BC 长为 半径画弧,交线段 AB 于点 D;以点A 为圆心,AD 长为半 径画弧,交线段AC 于点E,连接DE,DC,则 ∠EDC 的度数为 . 6. 如图,在△ABC 中,AB=AC,点E 在线段 AC 上,点D 在AB 的延长线上,且BD= CE,连接DE 交BC 于点F,过点E 作EH∥ AD,交BC 于点H,作EG⊥BC 于点G. (1) 求证:HG=GC. (2) 试猜想线段BC 与FG 之间的数量关系, 并加以证明. (第6题) 答案讲解 7. 已知AB=AC,DC=DE,∠BAC+ ∠CDE=180°.设∠BAC=α,连接 BE,P 为BE 的中点. (1) 如图①,当α=90°时,若A,C,D 三点共 线,求∠PAC 的度数. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)八年级上 121 (2) 如图②,若A,C,D 三点不共线,求证: AP⊥DP. (第7题) 答案讲解 8. 已 知 BF 平 分 △ABC 的 外 角 ∠ABE,D 为BF 上一点,∠ABC= ∠ADC. (1) 如图①,图中与∠DAB 相等的角是 . (2) 判断图①中△ADC的形状,并加以证明. (3) 如图②,过点D 作DH⊥AB 于点H,若 AH=7,BH=1,求线段CB 的长. (第8题) 答案讲解 9. 如图,在△ABC 中,AB=AC,BE= CD,BD=CF. (1) 求证:∠BED=∠CDF. (2) 若∠ACB 的 平 分 线 交 DF 于 点 G, ∠BED=2∠DFC,DG=3,BC=13. ① 求证:GD+CD=FC. ② 求BE 的长. (第9题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 期末压轴题特训