2.4.1 线段垂直平分线的性质定理及其逆定理-【拔尖特训】2024-2025学年八年级上册数学（苏科版2012）

(第12题) 13. 答案不唯一,如图①②所示. (第13题) 2.4　线段、角的轴对称性 第1课时 线段垂直平分线的 性质定理及其逆定理 1. A 2. C 3. 9 4. 5 5. (1) ∵ AD∥BC, ∴ ∠ADE=∠FCE. ∵ E 是CD 的中点, ∴ DE=CE. 在△ADE 和△FCE 中, ∠ADE=∠FCE, DE=CE, ∠AED=∠FEC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADE≌△FCE. ∴ AD=FC. (2) ∵ △ADE≌△FCE, ∴ AE=FE,AD=FC. 又∵ BE⊥AF, ∴ BE 是线段AF 的垂直平分线. ∴ AB=BF=BC+FC. ∵ AD=FC, ∴ AB=BC+AD. 6. B [解析] ∵ EF 垂直平分AB, ∴ 点A、B 关于EF 对称.如图,设 AC交EF 于点D,连接AP.∴ AP= BP,即BP+CP=AP+CP.∴ 当点 P 和点D 重合时,BP+CP 的值最 小,最小值等于AC 的长.∴ BP+ CP 的最小值为6. (第6题) 7. B [解析] ∵ DE 垂直平分AC, ∴ AD=CD.∵ △ADC 的周长是 16,∴ AD +CD +AC =16.又 ∵ AC=2AD-4,∴ AD+AD+ 2AD-4=16.∴ AD=5.∴ CD=5. 8. 9 [解析] ∵ DE 是BC的垂直平 分线,∴ CD=BD.∵ FG 是AC的垂 直平分线,∴ AF=CF.∵ △ADF 的 周长为13,∴ AD+AF+DF=13. ∵ AD=4,∴ AF+DF=9.∵ AF= CF,∴ CF+DF=9,即 CD=9. ∴ BD=CD=9. 9. 18 10. (1) ∵ l1 垂直平分AB,l2 垂直 平分AC, ∴ BD=AD,EA=EC. ∵ △ADE 的周长为12cm,即AD+ DE+EA=12cm, ∴ BC=BD+DE+EC=AD+ DE+EA=12cm. (2) ∵ l1 垂直平分AB,l2 垂直平 分AC, ∴ OB=OA,OA=OC. ∴ OA=OB=OC. ∵ △OBC 的周长为26cm,BC= 12cm, ∴ OB+OC=26-12=14(cm). ∴ OB=OC=7cm. ∴ OA=7cm. 11. (1) 如图,DE 即为所求作. (2) 如图,∠ADE=∠CBH. ∵ DE 是AC的垂直平分线, ∴ AD=CD,AE=CE. 又∵ DE=DE, ∴ △ADE≌△CDE. ∴ ∠ADE=∠CDE. ∵ BH⊥AC,DE⊥AC, ∴ DE∥BH. ∴ ∠CDE=∠CBH. ∴ ∠ADE=∠CBH. (第11题) 12. (1) 如图①,作点P 关于OB 的 对称点P',点P 关于OA 的对称点 P″,连接P'P″交OB 于点R,交OA 于 点Q,连接OP'、OP″,则∠1=∠2, ∠3=∠4. ∴ OP=OP',OP=OP″,RP=RP', QP=QP″. ∴ △PQR 的 周 长 为 RP+RQ+ QP=RP'+RQ+QP″=P'P″. 此时△PQR 的周长最小,最小值为 P'P″的长. ∵ OP=OP',OP=OP″, ∴ OP'=OP″. ∵ ∠1=∠2,∠3=∠4, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 61 ∴ ∠P'OP″= ∠1+ ∠2+ ∠3+ ∠4=2∠2+2∠3=2∠AOB=60°. ∴ △P'OP″为等边三角形. ∴ P'P″=OP'=OP=10,即△PQR 周长的最小值为10. (2) 如图②,作点M 关于OB 的对称 点M',点N 关于OA 的对称点N',连 接M'N'交OB 于点P,交 OA 于 点Q,连接ON'、OM',则∠M'OB= ∠AOB,∠N'OA=∠AOB. ∴ OM'=OM=2,ON'=ON=2, MP=M'P,QN=QN'. ∴ MP+PQ+QN=M'P+PQ+ QN'=M'N'. 此时MP+PQ+QN 的值最小,最小 值为M'N'的长. ∵ OM'=OM=2,ON'=ON=2, ∴ OM'=ON'. ∵ ∠M'OB = ∠AOB = 20°, ∠N'OA=∠AOB=20°, ∴ ∠M'ON'=60°. ∴ △M'ON'为等边三角形. ∴ M'N'=OM'=2,即 MP+PQ+ QN 的最小值为2. (第12题) 解答阅读理解题的一般方法 阅读理解题是一种给定阅读 材料,先从中获取新知识、新方法、 新思路,再解决新问题的题型.该 题型能够较好地考查同学们阅读 理解、分析问题、解决问题的能力. 解答这类问题时,往往是先阅读问 题的背景材料,再从中获取信息、 方法,最后用获得的方法、思路解 决问题. 第2课时 角平分线的 性质定理及其逆定理 1. B 2. C 3. 4 4. 72 5. (1) ∵ AD 平分∠BAC,∠C= 90°,DE⊥AB 于点E, ∴ DC=DE,∠C=∠DEB=90°. 在Rt△CDF 和Rt△EDB 中, DF=DB, DC=DE, ∴ Rt△CDF≌Rt△EDB. ∴ CF=EB. (2) 设CF=x,则EB=x. ∴ AE=12-x. 由(1),得DC=DE, 在Rt△ACD 和Rt△AED 中, AD=AD, DC=DE, ∴ Rt△ACD≌Rt△AED. ∴ AC=AE,即8+x=12-x,解得 x=2,即CF=2. 6. C 7. C [解析] ∵ AD 平分∠BAC, DM⊥AB,DN⊥AC,∴ ∠BMD= ∠CND=90°,DM=DN,∠BAD= ∠CAD.∵ DE 是BC的垂直平分线, ∴ BD = CD.在 Rt△BDM 和 Rt△CDN 中, BD=CD, DM=DN, ∴ Rt△BDM≌Rt△CDN.∴ BM= CN,∠BDM =∠CDN.故①正确. ∴ ∠BDC=∠MDN.∵ ∠BAC+ ∠AMD+∠AND+∠MDN=360°, ∠AMD=∠AND=90°,∴ ∠BAC+ ∠MDN = 180°.∴ ∠BAC + ∠BDC=180°.故③正确.∵ BD= CD,∴ 易 得 ∠DBC = ∠DCB. ∵ ∠DBC + ∠DCB + ∠BDC = 180°,∴ ∠BDC+2∠DBC=180°. ∵ ∠MDN + ∠BAC = 180°= ∠MDN+2∠DAN,∴ ∠DBC= ∠DAN.故②正 确.在△ACD 中, ∠ACD>90°,∴ AD>CD.故④错 误.综上所述,正确的是①②③. 8. 7.5 [解析] 如图,过点P 分别作 PF⊥AN 于点F,PG⊥AM 于点G, 连接AP.∵ ∠GBC、∠FCB 的平分 线BP、CP 交 于 点 P,PE ⊥BC, ∴ PF=PG=PE=3cm.∵ S△BPC= 1 2BC ·PE=7.5cm2,∴ BC=5cm. ∵ △ABC的周长为15cm,∴ AB+ AC+BC=15cm.∴ AB+AC= 10cm.∴ S△ABC=S△ACP+S△ABP- S△BCP= 1 2 (AB+AC-BC)·PE= 1 2× (10-5)×3=7.5(cm2). (第8题) 9. 37° [解析] 如图,连接CE,过 点E 作ER⊥AC于点R,交CD 于点 Q,设AE 交BC 于点O.∵ DE 是线 段BC 的垂直平分线,∴ ∠EDC= 90°,CE =BE.∴ 易 得 ∠ECB = ∠EBD=25°.∴ ∠DEB=∠CED= 90°-25°=65°.∵ ER⊥AC,ED⊥ BC,∴ ∠QRC = ∠QDE =90°. ∴ ∠ACB+∠CQR=90°,∠EQD+ ∠QED=90°.∵ ∠CQR=∠EQD, ∴ ∠ACB=∠QED=28°.∵ AE 平 分∠CAM,ER ⊥AC,EF ⊥AM, ∴ ER = EF.在 Rt△ERC 和 Rt△EFB 中,∵ CE=BE,ER=EF, ∴ Rt△ERC≌Rt△EFB.∴ ∠EBF= ∠ECR=∠ACB+∠ECD=28°+ 25°=53°.∵ ∠EFB=90°,∴ ∠BEF= 90°- ∠EBF =90°-53°=37°. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 71 32 2.4　线段、角的轴对称性 第1课时 线段垂直平分线的性质定理及其逆定理 ▶ “答案与解析”见P16 1. 如图,在△ABC 中,DE 是AC 的垂直平分 线.如果AE=3,△ABC 的周长为19,那么 △ABD 的周长为 ( ) (第1题) A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 2. 有下列说法:① 若直线PE 是线段AB 的垂 直平分线,则 EA=EB,PA=PB;② 若 PA=PB,EA=EB,则直线PE 垂直平分线 段AB;③ 若PA=PB,则P 必是线段AB 的垂直平分线上的点;④ 若EA=EB,则过 点E 的直线垂直平分线段AB.其中,正确 的有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. (易错题)如图,在△ABC 中,AB<AC,边 BC 上的垂直平分线DE 交BC 于点D,交 AC 于点E,AC=15cm,△ABE 的周长为 24cm,则AB 的长为 cm. (第3题) (第4题) 4. 如图,线段AB 的垂直平分线与线段BC 的 垂直平分线的交点P 恰好在AC 上,且AC= 10cm,则点B、P之间的距离为 cm. 5. 如图,在四边形ABCD 中,AD∥BC,E 是 CD 的中点,连接AE、BE,BE⊥AE,延长 AE 交BC 的延长线于点F.求证: (1) AD=FC. (2) AB=BC+AD. (第5题) 6. 如图,等腰三角形ABC 的底边BC 的长为4, 腰长为6,EF 垂直平分AB,P 为直线EF 上 一动点,则BP+CP 的最小值为 ( ) A. 10 B. 6 C. 4 D. 2 (第6题) (第7题) 7. 如图,在△ABC 中,边AC 的垂直平分线交 AB 于点D,交 AC 于点E,连接 CD.若 AC=2AD-4,△ADC 的周长是16,则CD 的长为 ( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 4.5 8. 如图,在△ABC 中,BC 的垂直平分线DE 分 别与AB、BC 交于点D、E,连接CD,AC 的 垂直平分线FG 分别与CD、AC 交于点F、 G,连接AF.若△ADF 的周长为13,AD= 4,则BD 的长为 . (第8题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)八年级上 33 答案讲解 9. 如图,在△ABC 中,AB=AC= 10cm,BC=8cm,AB 的垂直平分 线交AB 于点M,交AC 于点N.若 (第9题) 直线 MN 上存在一点P,使P、 B、C 三点构成的△PBC 的周长 最小,则△PBC 的周长最小为 cm. 10. 如图,在△ABC 中,AB 的垂直平分线l1交 BC 于点D,AC 的垂直平分线l2 交BC 于 点E,l1 与l2 相交于点O,连接AD、AE, △ADE 的周长为12cm. (1) 求BC 的长. (2) 连接OA、OB、OC.若△OBC 的周长为 26cm,求OA 的长. (第10题) 11. 钝角三角形ABC 如图所示. (1) 尺规作图:作AC 的垂直平分线,与边 BC、AC 分别交于点D、E(不写作法,保留 作图痕迹). (2) 在(1)的条件下,作出△ABC 的边AC 上的高BH(可用三角尺作图),连接AD,猜 想∠ADE 和∠CBH 之间的关系,并证明你 的结论. (第11题) 12. ★已知有一个角是60°的等腰三角形是等边 三角形.如图①,A、B 是直线l同侧的两个 定点.若要在直线l上确定一点P,使PA+ PB 的值最小,我们可以作点A 关于直线l 的对称点A',连接A'B 交直线l于点P,则 此时PA+PB 的值最小. (1) 如图②,∠AOB=30°,P 是∠AOB 内 的一点,OP=10,Q、R 分别是OA、OB 上的 动点.求△PQR 周长的最小值. (2) 如图③,∠AOB=20°,点M、N 分别在 边OA、OB 上,且OM=ON=2,点P、Q 分 别在OB、OA 上.求 MP+PQ+QN 的最 小值. (第12题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第2章　轴对称图形