第十一章三角形复习-【拔尖特训】2024-2025学年八年级上册数学（人教版2012）

② 当∠EBQ=3∠Q 时,则90°= 3× 90°-12∠A , ∴ ∠A=120°. ③ 当 ∠Q =3∠E 时,则 90°- 1 2∠A=3× 1 2∠A , ∴ ∠A=45°. ④ 当∠E=3∠Q 时,则 12 ∠A= 3× 90°-12∠A , ∴ ∠A=135°. 综上所述,∠A 的度数是60°或120° 或45°或135°. 专题特训（二）　三角形 中的数学思想方法 1. A 2. 24° 3. 设∠A=x,则∠C=∠ABC= 3 2x. ∵ BD 是边AC上的高, ∴ ∠ADB=∠CDB=90°. ∴ ∠ABD=90°-∠A=90°-x, ∠DBC=90°-∠C=90°-32x. ∵ ∠ABD+∠DBC=∠ABC, ∴ 90°-x+90°-32x= 3 2x ,解得 x=45°. ∴ ∠DBC =90°- ∠C =90°- 3 2x=22.5°. 4. B 5. 360° 6. ∵ ∠AKG = ∠A + ∠B, ∠DHG = ∠C + ∠D,∠FGK = ∠E+∠F,∠AKG,∠DHG,∠FGK 是△GKH 的外角, ∴ ∠AKG+ ∠DHG+ ∠FGK = 360°. ∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+ ∠F=360°. 7. A 8. 220° 9. ∵ ∠ABC 和∠ACB 的三等分线 分别交于点E,D,F,G, ∴ ∠CBG = ∠EBG = ∠ABE = 1 3∠ABC ,∠BCF = ∠ECF = ∠ACE=13∠ACB. 在△BCG 中,∠BGC=118°, ∴ ∠CBG+∠BCE=180°-∠BGC. ∴ ∠CBG+2∠BCF=62°①. 在△BCF 中,∠BFC=132°, ∴ ∠BCF+∠CBF=180°-∠BFC. ∴ ∠BCF+2∠CBG=48°②. ①+②,得3∠BCF+3∠CBG= 110°. ∴ ∠A = 180°- (3 ∠BCF + 3∠CBG)=70°. 10. D 11. 80°或40° 12. (1) ∵ ∠BAC=90°,AE⊥BC, ∴ ∠CAF+∠BAF=90°,∠B+ ∠BAF=90°. ∴ ∠CAF=∠B. 由折叠的性质,可知∠B=∠E, ∴ ∠CAF=∠E. ∴ DE∥AC. (2) ① ∵ ∠C = 2 ∠B,∠C + ∠B=90°, ∴ 易得∠C=60°,∠B=30°. ∵ DE⊥BC,∠E=∠B=30°, ∴ ∠BFE=60°. ∵ ∠BFE=∠B+∠BAF, ∴ ∠BAF=30°. 由折叠的性质,可知∠BAD=x°= 1 2∠BAF=15° , ∴ x=15. ② 存在. ∵ ∠BAD=x°, ∴ 易 得 ∠FDE = (120-2x)°, ∠DFE=(2x+30)°. 当∠FDE=∠DFE 时,120-2x= 2x+30,解得x=22.5. 当∠DFE=∠E=30°时,2x+30= 30,解得x=0. ∵ 0<x<60, ∴ 不合题意,舍去. 当∠FDE=∠E=30°时,120-2x= 30,解得x=45. 综上所述,存在x=22.5或45,使得 △DEF 中有两个角相等. 第十一章复习 ［知识体系构建］ (n-2)×180° 360° (n-2)×180° n 360° n ［高频考点突破］ 典例1 D [解析] 设第三边的长为 x.∴ 5-2<x<5+2,即3<x<7. ∵ △ABC 的第三边的长是偶数, ∴ x=4或x=6.∴ 此三角形的周长 为2+5+4=11或2+5+6=13. [跟踪训练] 1. D 典例2 (1) 150°. (2) ∠BDC+∠BAC=2∠BEC. 理由:由题意,得∠BDC=∠BEC+ ∠1+ ∠2①,∠BEC = ∠BAC + ∠ABE+∠ACE②. ∵ BE 平 分 ∠ABD,CE 平 分 ∠ACD, ∴ ∠ABE=∠1,∠ACE=∠2. ① - ②,得 ∠BDC - ∠BEC = ∠BEC-∠BAC. ∴ ∠BDC+∠BAC=2∠BEC. (3) 2∠BDC+∠BAC=3∠BEC. 理由:∵ ∠1= 13 ∠ABD ,∠2= 1 3∠ACD , ∴ ∠ABE= 23 ∠ABD ,∠ACE= 2 3∠ACD. ∵ 由 题 意,知∠BEC= ∠BAC+ ∠ABE + ∠ACE = ∠BAC + 2 3∠ABD+ 2 3∠ACD① ,∠BDC= ∠BAC+∠ABD+∠ACD②, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 6 ∴ ②+①,得∠BDC+∠BEC= 2∠BAC+53∠ABD+ 5 3∠ACD. ∴ 3∠BDC+3∠BEC=6∠BAC+ 5∠ABD+5∠ACD. ∴ 3∠BDC+3∠BEC=∠BAC+ 5(∠BAC+∠ABD+∠ACD). ∴ 3∠BDC+3∠BEC=∠BAC+ 5∠BDC. ∴ 2∠BDC+∠BAC=3∠BEC. [跟踪训练] 2. (1) ∵ ∠A=50°, ∴ ∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠A=130°. ∵ BD 平分∠ABC,CE 平分∠ACB, ∴ ∠MBC= 12 ∠ABC ,∠MCB= 1 2∠ACB. ∴ ∠MBC+∠MCB=12 (∠ABC+ ∠ACB)=65°. ∴ ∠BMC =180°- (∠MBC + ∠MCB)=115°. ∴ ∠CMD=180°-∠BMC=65°. (2) ∵ ∠A=60°, ∴ ∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠A=120°. 同理 (1),得 ∠MBC + ∠MCB = 1 2 (∠ABC+∠ACB)=60°. ∴ ∠BMC =180°- (∠MBC + ∠MCB)=120°. ∴ ∠1+∠BMN=120°①. ∵ MN⊥BC, ∴ ∠2+∠BMN=90°②. ①-②,得∠1-∠2=30°. (3) 60°+x+y3 . [解析] 如图,易得 ∠BMC =180°- 12 (∠ABC + ∠ACB)=180°-12 (180°-∠A)= 90°+12∠A.∴ ∠A=2∠BMC- 180°.∵ 易知∠4=∠5,∠6=∠7, ∠BEC=∠A+∠6,∠BDC=∠A+ ∠4,∴ x=∠A+∠7①,y=∠A+ ∠5②.①+②,得x+y=2∠A+ (∠7+∠5).∵ ∠7+∠5=180°- ∠BMC,∴ x+y=4∠BMC-360°+ 180°-∠BMC.∴ ∠BMC=60°+ x+y 3 . (第2题) 典例3 (1) 设这个多边形的边数是 n,多 算 了 一 次 的 内 角 是 x(0°< x<180°). 根 据 题 意,得 (n-2)×180°= 1840°-x. ∵ n为正整数,1840°-x 为180°的 倍数, ∴ n=12,x=40°. ∴ 这个多边形的边数是12. (2) 设这个多边形的边数是m,漏算 的内角是y(0°<y<180°). 根据 题 意,得 (m -2)×180°= 1840°+y. ∵ m 为正整数,1840°+y 为180°的 倍数, ∴ m=13,y=140°. ∴ 漏算的内角是140°,这个多边形是 十三边形. [跟踪训练] 3. (1) 根据题意,得 (n-2)×180°=2004°,解得n= 13215. ∵ n为正整数, ∴ 多边形的边数是13. ∴ 这个n边形是十三边形,内角和是 (13-2)×180°=1980°. (2) ∵ 2004°-1980°=24°, ∴ 这个多加的内角是24°. ［综合素能提升］ 1. A 2. C 3. C [解析] 如图,连接CD 并延 长,交 AB 于 点 E.∵ ∠BDE 是 △BCD 的外角,∠ADE 是△ACD 的 外角,∴ ∠BDE=∠DBC+∠BCD, ∠ADE = ∠CAD + ∠ACD. ∴ ∠BDE+ ∠ADE = ∠DBC + ∠BCD + ∠CAD + ∠ACD,即 ∠ADB = ∠DBC + ∠CAD + ∠ACB.∴ ∠CAD = ∠ADB - ∠DBC-∠ACB=100°-25°-53°= 22°.∵ AD 是 ∠BAC 的 平 分 线, ∴ ∠BAD=∠CAD=22°.在△ABD 中,∠BAD =22°,∠ADB =100°, ∴ ∠DBA = 180°- ∠BAD - ∠ADB=180°-22°-100°=58°. (第3题) 4. 8 5. 22° [解 析] 在 △ABC 中, ∵ ∠B=36°,∠C=80°,∴ ∠BAC= 180°-∠B-∠C=180°-36°-80°= 64°. ∵ AD 平 分 ∠BAC, ∴ ∠BAD=∠CAD=12∠BAC= 1 2 ×64°=32°.∵ FE ⊥ BC, ∴ ∠DEF = 90°.∵ ∠ADB 是 △ACD 的外角,∠ADB 是△DEF 的 外角,∴ ∠ADB=∠CAD+∠C= ∠F+∠DEF,即32°+80°=∠F+ 90°.∴ ∠F=22°. 6. 540° 7. (1) 由题意,得1 4× (n-2)× 180°-360°=90°,解得n=12. (2) ∵ 正n 边形的一个内角与一个 外角的度数比是13∶2, ∴ (n-2)×180° n ∶ 360° n =13∶2. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 7 ∴ n=15. 8. (1) ① 110°. ② 260°. (2) ① 85°. ② 142°. ③ ∵ 易 得 ∠DOC + ∠D = ∠DAC+∠C, ∴ ∠D=∠DAC+∠C-∠DOC. ∵ AD,OD 分别是∠BAC,∠BOC 的平分线, ∴ ∠DAC= 12 ∠BAC ,∠DOC= 1 2∠BOC= 1 2 (∠BAC + ∠B + ∠C). ∴ ∠D = 12 ∠BAC + ∠C - 1 2 (∠BAC+∠B+∠C)=12∠C- 1 2∠B= 1 2 (∠C-∠B). 9. (1) ① ∵ BP,CP 分 别 平 分 △ABC的外角∠CBM 和∠BCN, ∴ ∠PBC=∠PBM=12∠CBM= 1 2 (∠BAC+∠ACB)=12 (α+β), ∠BCP= 12 ∠BCN = 1 2 (180°- ∠ACB)=12 (180°-β). ∴ ∠BPC = 180° - ∠PBC - ∠BCP =180°- 12 (α +β)- 1 2 (180°-β)=90°- 1 2α. ② ∵ BD⊥AP, ∴ ∠BDP=90°. 在 Rt△PBD 中,∠PBD =90°- ∠BPD. ∵ AP 平分∠BAC, ∴ ∠BPD = ∠PBM - ∠BAP = ∠PBM-12∠BAC= 1 2 (α+β)- 1 2α= 1 2β. ∴ ∠PBD=90°-12β. (2) ① 补全图形如图所示. ② (1)中的两个结论发生了变化. ∵ ∠BAC=α,∠ACB=β, ∴ ∠ABC + ∠ACB =180°-α, ∠ABC+∠BAC=180°-β. ∵ P 为△ABC的三条内角平分线的 交点, ∴ ∠PBC= 12 ∠ABC ,∠PCB = 1 2∠ACB. ∴ ∠PBC+∠PCB=12 (∠ABC+ ∠ACB). ∴ ∠BPC =180°- (∠PBC + ∠PCB)=180°- 12 (∠ABC + ∠ACB)=180°-12× (180°-α)= 90°+12α. ∵ 由题意,知BD⊥AD, ∴ ∠PDB=90°. ∵ 易知∠BPD=∠ABP+∠BAP= 1 2 (∠ABC+∠BAC)= 12 (180°- β)=90°- 1 2β , ∴ ∠PBD = 180°- ∠PDB - ∠BPD=180°-90°- 90°-12β = 1 2β. (第9题) 第十二章　全等三角形 12.1　全等三角形 1. B 2. D 3. B 4. 60° 5. (1) ∵ △ABC≌△DEB, ∴ BC=EB=3,AB=DE. ∵ AB=AE+EB=2+3=5, ∴ DE=AB=5. (2) ∵ △ABC≌△DEB, ∴ ∠A = ∠D =35°,∠DBE = ∠C=50°. ∵ ∠AFD = ∠A + ∠AEF, ∠AEF=∠D+∠DBE, ∴ ∠AFD=∠A+∠D+∠DBE= 35°+35°+50°=120°. 6. B 7. B 8. 180° 9. 20° 10. ∵ △ADE≌△BDE, ∴ AE=BE. ∴ C△AEC=AE+EC+AC=BE+ EC+AC=BC+AC. ∵ AC∶AB∶BC=2∶3∶4, ∴ 设AC=2x,则AB=3x,BC=4x. ∵ △ABC 的周长比△AEC 的周长 大6, ∴ C△ABC-C△AEC=6. ∴ (AB +BC +AC)- (BC + AC)=6. ∴ AB=3x=6,解得x=2. ∴ AC=2x=4,BC=4x=8. ∴ C△AEC=BC+AC=8+4=12. 11. ∵ △BKC≌△BKE≌△DKC, ∠BKC=135°,∠E=22°, ∴ ∠DCK=∠E=22°,∠BKE= ∠DKC=∠BKC=135°. ∴ ∠DKP = ∠BKC + ∠DKC + ∠BKE-360°=45°. ∴ ∠EKC = ∠DKC - ∠DKE = 135°-45°=90°. ∴ ∠KPD = ∠PCK + ∠PKC = 22°+90°=112°. 12. A [解析] 如图,延长C'D 交 AC 于点 M.∵ △ADC≌△ADC', △AEB ≌ △AEB',∴ ∠ACD = ∠C',∠ABE = ∠B',∠CAD = ∠C'AD=∠B'AE=α.∴ ∠C'MC= ∠C' + ∠C'AM = ∠C' + 2α. ∵ C'D∥EB',∴ ∠AEB'=∠C'MC. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 8 16 第十一章复习 ▶ “答案与解析”见P6 考点一 三角形的三边关系 典例1 (2023·日照期末)在△ABC 中,有两 边长分别是2和5,且△ABC 的第三边的长是 偶数,则此三角形的周长为 ( ) A. 11 B. 12 C. 13 D. 11或13 跟踪训练 1. (2023·宁波期末)现有长度分别是30cm 和25cm的两根木棒,如果不改变木棒的 长度,要将木棒首尾顺次相接钉成一个三 角形木架,那么下列长度的木棒中,不能选 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)八年级上 17 取的是 ( ) A. 10cm的木棒 B. 30cm的木棒 C. 50cm的木棒 D. 70cm的木棒 考点二 三角形内角和及其相关定理 典例2 如图①,运用三角形外角的性质不难得 到结论:∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD. 我们可以运用这个结论解决同类图形的角度 问题. (1) 若∠1=20°,∠2=30°,∠BEC=100°,则 ∠BDC 的度数为 . (2) 若BE 平分∠ABD,CE 平分∠ACD,BE 与CE 相交于点E,请写出∠BDC,∠BEC 和 ∠BAC 之间的数量关系,并说明理由. (3) 如图②,若∠1=13∠ABD ,∠2=13∠ACD , 试探究∠BDC,∠BEC 和∠BAC 之间的数量关 系,并说明理由. (典例2图) 跟踪训练 2. 如图①,在△ABC 中,BD 平分∠ABC,CE 平分∠ACB,BD 与CE 相交于点M. (1) 若∠A=50°,求∠CMD 的度数. (2) 如图②,若 MN⊥BC 于点N,∠A= 60°,求∠1-∠2的度数. (3) 若∠BEC=x,∠BDC=y,则∠BMC= (用含x,y的式子表示). (第2题) 考点三 多边形的内角和与外角和 典例3 小明在计算某个多边形的内角和时得 到的结果是1840°,老师说他算错了,于是小明 认真地检查了一遍. (1) 若他检查后发现其中一个内角多算了一次, 则这个多边形的边数是多少? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第十一章　三 角 形 18 (2) 若他检查后发现漏算了一个内角,则漏算的 内角是多少度? 这个多边形是几边形? 跟踪训练 3. 小刚在求一个n边形的内角和时,由于疏忽, 把一个内角加了两遍,求出的结果为2004°. (1) 这个n边形是几边形? 这个n边形的内 角和是多少度? (2) 这个多加的内角是多少度? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1. 把12cm长的铁丝截成三段,首尾顺次相接, 围成三边长均不相等的三角形,且使三边长 均为整数,截法有 ( ) A. 一种 B. 两种 C. 三种 D. 四种 2. (2023·宣城期末)如图,在△ABC 中,M,N 分别是边AB,BC 上的点,将△BMN 沿MN 折叠,使点B 落在点B'处.若∠B=35°, ∠BNM=28°,则∠AMB'的度数为 ( ) (第2题) A. 30° B. 37° C. 54° D. 63° 3. (2023·常德期末)如图,AD 是∠BAC 的平 分线,∠ADB=100°,∠DBC=25°,∠C= 53°,则∠DBA 的度数为 ( ) A. 52° B. 42° C. 58° D. 32° (第3题) (第4题) 4. 如图,在△ABC 中,AB=AC,P 是边BC 上 一点,PE⊥AB,PF⊥AC,BD 是边AC 上的 高.若PE=5cm,PF=3cm,则BD 的长为 cm. 5. (2023·德州期末)如图,在△ABC 中,AD 是△ABC 的角平分线,点F 在射线AD 上, FE⊥BC 于点E,∠C=80°,∠B=36°,则 ∠F 的度数为 . (第5题) (第6题) 6. 如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+ ∠F+∠G 的度数为 . 7. 已知一个多边形的边数为n. (1) 若这个多边形的内角和的1 4 比一个四边 形的外角和多90°,求n的值. (2) 若这个多边形是正n边形,且一个内角 与一个外角的度数比是13∶2,求n的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)八年级上 19 答案讲解 8. 【模型规律】如图①,延长CO 交AB 于点D,则∠BOC=∠1+∠B= ∠A+∠C+∠B.因为凹四边形 ABOC 形如箭头,其四角具有“∠BOC= ∠A+∠B+∠C”这个规律,所以我们把这 个模型叫做“箭头四角形”. 【模型应用】(1) ① 如图②,∠A=60°,∠B= 20°,∠C=30°,则∠BOC的度数为 . ② 如图③,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+ ∠F 的度数为 . (2) ① 如图④,∠ABO,∠ACO 的平分线 BO1,CO1 交 于 点 O1.若∠BOC=120°, ∠A=50°,则∠BO1C 的度数为 . ② 如图⑤,∠ABO,∠BAC 的平分线BD, AD 交于点D.若∠BOC=120°,∠C=44°, 则∠ADB 的度数为 . ③ 如图⑥,∠BAC,∠BOC 的平分线AD, OD 交于点D,求∠B,∠C,∠D 之间的数量 关系. (第8题) 答案讲解 9. 在 △ABC 中,记 ∠BAC =α, ∠ACB=β. (1) 如图①,若 AP 平分∠BAC, BP,CP 分别平分△ABC 的外角∠CBM 和 ∠BCN,BD⊥AP 于点D. ① 用含α的式子表示∠BPC 的度数. ② 用含β的式子表示∠PBD 的度数. (2) 如图②,若P 为△ABC 的三条内角平分 线的交点,且BD⊥AP 于点D. ① 请补全图形. ② (1)中的两个结论是否发生变化? 如果不 变,请说明理由;如果变化,请直接写出正确 的结论. (第9题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第十一章　三 角 形