1.3.6 用“斜边、直角边”判定两个三角形全等-【拔尖特训】2024-2025学年八年级上册数学（苏科版2012）

12. (1) 作法不唯一,如图①,过点O 作 OT ⊥OA,作 射 线 OH 平 分 ∠BOT,则∠AOH 与∠BOH 互余. (2) 如 图 ②,∵ ∠EPQ (45°< ∠EPQ<60°)和∠FPQ 互余, ∴ ∠EPQ+∠FPQ=90°. ∵ ∠EPQ=2∠APF=β, ∴ ∠APF=12∠EPQ= 1 2β. ∴ ∠APE=90°-12β. 如图③,设∠APQ=x,则∠APE= β-x. ∵ ∠EPQ=2∠APF=β, ∴ ∠APF=12∠EPQ= 1 2β. ∵ ∠EPQ+∠FPQ=90°, ∴ β+x+ 1 2β=90°. ∴ x=90°-32β. ∴ ∠APE=β-x=β-90°+ 3 2β= 5 2β-90°. 综上所述,∠APE 的度数为90°- 1 2β 或5 2β-90°. (第12题) 第6课时 用“斜边、直角边” 判定两个三角形全等 1. A 2. AC=BD(或BC=AD) 3. 3 4. 连接BD. 在Rt△ABD 和Rt△CBD 中, BD=BD, AB=CB, ∴ Rt△ABD≌Rt△CBD. ∴ AD=CD. ∵ AE⊥EF,CF⊥EF, ∴ ∠E=∠F=90°. 在Rt△ADE 和Rt△CDF 中, AD=CD, AE=CF, ∴ Rt△ADE≌Rt△CDF. 5. C 6. C [解析] ∵ CD⊥AB,BE⊥ AC,∴ ∠ADC=∠AEB=90°.在 △ADC 和 △AEB 中, ∠ADC=∠AEB, AD=AE, ∠DAC=∠EAB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADC ≌ △AEB.∴ AC=AB,∠C=∠B. ∴ 易 得 BD =CE.在 △BOD 和 △COE 中, ∠B=∠C, ∠BOD=∠COE, BD=CE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BOD≌△COE.∴ OD=OE.在 Rt△ADO 和Rt△AEO 中, OA=OA, OD=OE, ∴ Rt△ADO≌Rt△AEO.∴ 共有 3对全等的直角三角形. 7. 50° 8. 55° [解 析] ∵ ∠CFD + ∠AFD = 180°,∠AFD = 145°, ∴ ∠CFD=35°.∵ DE⊥AB,DF⊥ BC,∴ ∠BED= ∠CDF =90°.在 Rt△BDE和Rt△CFD 中, BD=CF, BE=CD, ∴ Rt△BDE≌Rt△CFD.∴ ∠BDE= ∠CFD=35°.∵ ∠EDF+∠BDE= 180°-∠CDF=90°,∴ ∠EDF=55°. 9. (1) ∵ BM⊥直线l,CN⊥直线l, ∴ ∠AMB=∠CNA=90°. 在Rt△AMB 和Rt△CNA 中, AB=CA, BM=AN, ∴ Rt△AMB≌Rt△CNA. (2) 由(1),得Rt△AMB≌Rt△CNA, ∴ ∠BAM=∠ACN. ∵ ∠CAN+∠ACN=90°, ∴ ∠CAN+∠BAM=90°. ∴ ∠BAC=180°-90°=90°. 10. ∵ AD 平分∠BAC,DE⊥AB, DF⊥AC, ∴ ∠EAD = ∠FAD,∠AED = ∠AFD=90°. 又∵ AD=AD, ∴ △AED≌△AFD. ∴ AE=AF,DE=DF. 在Rt△BED 和Rt△CFD 中, ∵ BD=CD,DE=DF, ∴ Rt△BED≌Rt△CFD. ∴ BE=CF. 11. (1) ∵ DE⊥AC,BF⊥AC, ∴ ∠DEC=∠BFA=90°. ∵ AE=CF, ∴ AE+EF=CF+EF, 即AF=CE. 在Rt△ABF 和Rt△CDE 中, AB=CD, AF=CE, ∴ Rt△ABF≌Rt△CDE. ∴ BF=DE. 在△BFG 和△DEG 中, ∠BGF=∠DGE, ∠BFG=∠DEG, BF=DE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BFG≌△DEG. ∴ FG=EG. (2) 结论仍成立. 理由:∵ △CDE 只是作了平移, ∴ 仍有Rt△ABF≌Rt△CDE. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 8 ∴ BF=DE. 同(1),可证△BFG≌△DEG, ∴ FG=EG. 解决开放型问题的一般方法 开放型问题可以分为条件开 放型问题和结论开放型问题.解决 条件开放型问题的一般方法是从 结论入手,根据两个三角形全等的 结论,结合已经具备的条件和全等 三角形 的 判 定 方 法 判 断 还 可 以 添加哪些条件;解决结论开放型 问题的一般方法是直接从条件出 发,拓 展 思 维,往 往 得 到 的 结 论 是不唯一的. 12. C [解 析] 若 △ABC 和 △A1B1C1 如图①②所示,则易得 Rt△ACD≌Rt△A1C1D1,∴ ∠ACB= ∠A1C1B1.若△ABC 和△A1B1C1 如 图①③所 示,则 易 得 Rt△ACD≌ Rt△A1C1D1,∴ ∠ACD=∠A1C1D1. ∴ ∠ACB + ∠A1C1B1 = ∠A1C1D1+∠A1C1B1=180°.综上 所述,∠ACB 和∠A1C1B1 的关系是 相等或互补. (第12题) 13. (1) 如图①,连接AD. ∵ AB⊥BD,AC⊥CD, ∴ ∠B=∠C=90°. 在Rt△ACD 和Rt△DBA 中, CD=BA, AD=DA, ∴ Rt△ACD≌Rt△DBA. ∴ AC=DB. 在△ACE 和△DBE 中, ∠AEC=∠DEB, ∠C=∠B, AC=DB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ACE≌△DBE. ∴ CE=BE. (2) 如图②,连接AD,延长AC、DB 交于点F. 由题意,得∠ACE=∠DBE=90°, ∠AEC=∠BED, ∴ 易得∠CAE=∠BDE=22.5°. ∵ AB=BD, ∴ 易得∠ADB=45°. ∴ ∠ADC=∠ADB-∠BDE=22.5°. ∴ ∠ADC=∠FDC. 在△ACD 和△FCD 中, ∠ACD=∠FCD=90°, CD=CD, ∠ADC=∠FDC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ACD≌△FCD. ∴ AC=FC. ∴ AF=2AC. 在△ABF 和△DBE 中, ∠ABF=∠DBE=90°, AB=DB, ∠BAF=∠BDE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABF≌△DBE. ∴ AF=DE. ∵ AF=2AC, ∴ DE=2AC. (第13题) 专题特训（一）　全等三角形 中常见的几何题型 1. AB=AD+BE. ∵ ∠DCE=∠A, ∴ ∠D + ∠ACD = ∠ACD + ∠BCE. ∴ ∠D=∠BCE. 在△ACD 和△BEC中, ∠A=∠B, ∠D=∠BCE, CD=EC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ACD≌△BEC. ∴ AD=BC,AC=BE. ∴ BC+AC=AD+BE,即 AB= AD+BE. 2. (1) AD=CE. 理由:∵ AD⊥MN,BE⊥MN, ∴ ∠ADC=∠BEC=90°. ∴ ∠DAC+∠ACD=90°. ∵ ∠ACB=90°, ∴ ∠ACD+∠BCE=90°. ∴ ∠DAC=∠BCE. 又∵ ∠ADC=∠BEC,AC=BC, ∴ △ADC≌△CEB. ∴ AD=CE. (2) DE+BE=AD. (3) DE=AD+BE. 理由:∵ BE⊥MN,AD⊥MN, ∴ ∠BEC=∠ADC=90°. ∴ ∠EBC+∠ECB=90°. ∵ ∠ACB=90°, ∴ ∠ECB+∠ACD=90°. ∴ ∠ACD=∠EBC. 又∵ ∠ADC=∠BEC,AC=BC, ∴ △ADC≌△CEB. ∴ AD=CE,CD=BE. ∵ DE=CD+CE, ∴ DE=AD+BE. 3. (1) ∵ C是AB 的中点, ∴ AC=CB. ∵ CD∥BE, ∴ ∠ACD=∠B. 在△ACD 和△CBE 中, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 9 16 第6课时 用“斜边、直角边”判定两个三角形全等 ▶ “答案与解析”见P8 (第1题) 1. 如图,AB⊥BD,CD⊥BD,若用“HL”判定 Rt△ABD 和Rt△CDB 全等,则需要添加的 条件是 ( ) A. AD=CB B. ∠A=∠C C. BD=DB D. AB=CD 2. 如图,AC⊥BC,AD⊥BD,垂足分别是C、 D,若要用“HL”判定Rt△ABC≌Rt△BAD, 则可添加的条件是 (写出一种 即可). (第2题) (第3题) 3. 如图,在△ABC 中,∠A=90°,D 为BC 上的 点,且CD=CA,DE⊥BC 交AB 于点E.若 AB=5cm,DE=2cm,则BE= cm. 4. 如图,AB=BC,∠BAD=∠BCD=90°,D 是 EF上一点,AE⊥EF 于点E,CF⊥EF 于点 F,AE=CF,求证:△ADE≌△CDF. (第4题) 5. 如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC= 12cm,BC=6cm,P、Q 两点分别在线段AC 和AC 的垂线AX 上移动,PQ=AB.若以 A、B、C 为顶点的三角形与以A、P、Q 为顶 点的三角形全等,则AP 的长为 ( ) A. 6cm B. 12cm C. 12cm或6cm D. 10cm (第5题) (第6题) 6. 如图,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D、 E,BE、CD 相交于点O,连接AO.若AD= AE,则全等的直角三角形的对数是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 如图,AD、BC 相交于点O,AD=BC,∠C= ∠D=90°.若∠ABC=20°,则∠CAO 的度数 为 . (第7题) (第8题) 8. 如图,点 D 在BC 上,DE⊥AB 于点E, DF⊥BC 交AC 于点F,BD=CF,BE= CD.若∠AFD=145°,则∠EDF 的度数为 . 9. 如图,在△ABC 中,AB=AC,直线l过点A, BM⊥直线l,CN⊥直线l,垂足分别为M、 N,且BM=AN.求证: 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)八年级上 17 (1) △AMB≌△CNA. (2) ∠BAC=90°. (第9题) 10. 如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC,DE⊥ AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F,且BD= CD.求证:BE=CF. (第10题) 11. ★(1) 如图①,A、E、F、C 四点在同一条直 线上,AE=CF,过点E、F 分别作DE⊥ AC,BF⊥AC,连接BD 交AC 于点G.若 AB=CD,求证:FG=EG. (2) 若将△CDE 沿AC 方向移动,变为如图 ②所示的图形,问题(1)中的其他条件不变, 则上述结论是否仍成立? 请说明理由. (第11题) 12. 在△ABC 和△A1B1C1 中,AB=A1B1, AC=A1C1,高AD=A1D1,且AB>AC, A1B1>A1C1,则∠ACB 和∠A1C1B1的关 系是 ( ) A. 相等 B. 互补 C. 相等或互补 D. 以上都不对 答案讲解 13. 线段AB 与CD 相交于点E,AB⊥ BD,垂足为 B,AC⊥CD,垂足 为C. (1) 如图①,若AB=CD,试探究线段BE 与CE 的数量关系. (2) 如图②,若AB=BD,∠BDE=22.5°, 试探究线段DE 与AC 的数量关系. (第13题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第1章　全等三角形