1.3.5 用直尺和圈规作角平分线及过已知点作已知直线的垂线-【拔尖特训】2024-2025学年八年级上册数学（苏科版2012）

12. (1) 在△ABC和△ADC中, AB=AD, BC=DC, AC=AC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABC≌△ADC. ∴ ∠B=∠D. (2) ∵ E、F 分别是DC、BC 的中点, BC=DC, ∴ DE=BF. 在△ADE和△ABF中, AD=AB, ∠D=∠B, DE=BF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADE≌△ABF. ∴ AF=AE=2. 13. AC⊥BC. 理由:∵ AE⊥CD,BF⊥CD, ∴ ∠AEC=∠F=90°. ∴ ∠CAE+∠ACE=90°. ∵ CF=CE+EF,CE=BF, ∴ CF=BF+EF. ∵ AE=BF+EF, ∴ AE=CF. 又∵ AC=CB, ∴ △ACE≌△CBF. ∴ ∠CAE=∠BCF. ∴ ∠ACB = ∠BCF + ∠ACE = ∠CAE+∠ACE=90°. ∴ AC⊥BC. 14. 4 [解析] 如图,以AB 为公共边 的格点三角形有3个,以BC 为公共 边的格点三角形有0个,以AC 为公 共边的格点三角形有1个,∴ 共有 3+0+1=4(个). (第14题) 15. (1) 在 △ABD 和 △CDB 中, ∵ AD=CB,AB=CD,BD=DB, ∴ △ABD≌△CDB. ∴ ∠ADB=∠CBD. ∴ AD∥BC. (2) 由题意,得DE=t,点F 沿C→B 移动时,BF=8-3t,点F 沿B→C 移 动时,BF=3t-8. 当△DEG≌△BFG 时,DE=BF, DG=BG=12BD=6 , ∴ t=8-3t或t=3t-8,解得t= 2或t=4. 当△DEG≌△BGF 时,DE=BG, DG=BF, ∴ DE+BF=BG+DG=BD. ∴ t+(3t-8)=12或t+(8-3t)= 12,解得t=5或t=-2(不合题意, 舍去). 当t=5时,BG=t=5. 综上所述,△DEG 与△BFG 全等的 情况会出现3次,此时t=2,BG= 6或t=4,BG=6或t=5,BG=5. 第5课时 用直尺和圆规作 角平分线及过已知点作 已知直线的垂线 1. D 2. B 3. 40° 4. 125° 5. 如图,∠AOB 即为所求作. (第5题) 6. C 7. D 8. 14 9. 130° [解析] 由题意,得AP 是 ∠BAC 的 平 分 线,∴ ∠CAM = ∠BAM.∵ AB∥CD,∴ ∠BAM= ∠CMA =25°.∴ ∠CAM =25°. ∴ ∠C=180°-∠CMA-∠CAM= 130°. 10. (1) 如图所示. (2) ∵ AB=AC,AE=AB, ∴ AE=AC. ∵ AF 是∠EAC的平分线, ∴ ∠EAF=∠CAF. 在△AEF 和△ACF 中, AE=AC, ∠EAF=∠CAF, AF=AF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AEF≌△ACF. ∴ ∠E=∠ACF. (第10题) 11. (1) 如图所示. (2) 图中相等的线段有BA=BC= DA、OC=OA、BO=DO. ∵ AC平分∠BAE, ∴ ∠BAC=∠EAC. ∵ BD⊥AC, ∴ ∠AOB=∠AOD=90°. 在△ABO 和△ADO 中, ∠BAO=∠DAO, AO=AO, ∠AOB=∠AOD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABO≌△ADO. ∴ BA=DA,BO=DO. ∵ AE∥BF, ∴ ∠EAC=∠BCO. ∴ ∠BCO=∠BAO. ∵ BD⊥AC, ∴ ∠BOC=∠BOA=90°. 在△BOC和△BOA 中, ∠BCO=∠BAO, ∠BOC=∠BOA, OB=OB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BOC≌△BOA. ∴ BC=BA,OC=OA. ∴ BA=BC=DA. 综上所述,相等的线段有BA=BC= DA、OC=OA、BO=DO. (第11题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 7 12. (1) 作法不唯一,如图①,过点O 作 OT ⊥OA,作 射 线 OH 平 分 ∠BOT,则∠AOH 与∠BOH 互余. (2) 如 图 ②,∵ ∠EPQ (45°< ∠EPQ<60°)和∠FPQ 互余, ∴ ∠EPQ+∠FPQ=90°. ∵ ∠EPQ=2∠APF=β, ∴ ∠APF=12∠EPQ= 1 2β. ∴ ∠APE=90°-12β. 如图③,设∠APQ=x,则∠APE= β-x. ∵ ∠EPQ=2∠APF=β, ∴ ∠APF=12∠EPQ= 1 2β. ∵ ∠EPQ+∠FPQ=90°, ∴ β+x+ 1 2β=90°. ∴ x=90°-32β. ∴ ∠APE=β-x=β-90°+ 3 2β= 5 2β-90°. 综上所述,∠APE 的度数为90°- 1 2β 或5 2β-90°. (第12题) 第6课时 用“斜边、直角边” 判定两个三角形全等 1. A 2. AC=BD(或BC=AD) 3. 3 4. 连接BD. 在Rt△ABD 和Rt△CBD 中, BD=BD, AB=CB, ∴ Rt△ABD≌Rt△CBD. ∴ AD=CD. ∵ AE⊥EF,CF⊥EF, ∴ ∠E=∠F=90°. 在Rt△ADE 和Rt△CDF 中, AD=CD, AE=CF, ∴ Rt△ADE≌Rt△CDF. 5. C 6. C [解析] ∵ CD⊥AB,BE⊥ AC,∴ ∠ADC=∠AEB=90°.在 △ADC 和 △AEB 中, ∠ADC=∠AEB, AD=AE, ∠DAC=∠EAB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADC ≌ △AEB.∴ AC=AB,∠C=∠B. ∴ 易 得 BD =CE.在 △BOD 和 △COE 中, ∠B=∠C, ∠BOD=∠COE, BD=CE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BOD≌△COE.∴ OD=OE.在 Rt△ADO 和Rt△AEO 中, OA=OA, OD=OE, ∴ Rt△ADO≌Rt△AEO.∴ 共有 3对全等的直角三角形. 7. 50° 8. 55° [解 析] ∵ ∠CFD + ∠AFD = 180°,∠AFD = 145°, ∴ ∠CFD=35°.∵ DE⊥AB,DF⊥ BC,∴ ∠BED= ∠CDF =90°.在 Rt△BDE和Rt△CFD 中, BD=CF, BE=CD, ∴ Rt△BDE≌Rt△CFD.∴ ∠BDE= ∠CFD=35°.∵ ∠EDF+∠BDE= 180°-∠CDF=90°,∴ ∠EDF=55°. 9. (1) ∵ BM⊥直线l,CN⊥直线l, ∴ ∠AMB=∠CNA=90°. 在Rt△AMB 和Rt△CNA 中, AB=CA, BM=AN, ∴ Rt△AMB≌Rt△CNA. (2) 由(1),得Rt△AMB≌Rt△CNA, ∴ ∠BAM=∠ACN. ∵ ∠CAN+∠ACN=90°, ∴ ∠CAN+∠BAM=90°. ∴ ∠BAC=180°-90°=90°. 10. ∵ AD 平分∠BAC,DE⊥AB, DF⊥AC, ∴ ∠EAD = ∠FAD,∠AED = ∠AFD=90°. 又∵ AD=AD, ∴ △AED≌△AFD. ∴ AE=AF,DE=DF. 在Rt△BED 和Rt△CFD 中, ∵ BD=CD,DE=DF, ∴ Rt△BED≌Rt△CFD. ∴ BE=CF. 11. (1) ∵ DE⊥AC,BF⊥AC, ∴ ∠DEC=∠BFA=90°. ∵ AE=CF, ∴ AE+EF=CF+EF, 即AF=CE. 在Rt△ABF 和Rt△CDE 中, AB=CD, AF=CE, ∴ Rt△ABF≌Rt△CDE. ∴ BF=DE. 在△BFG 和△DEG 中, ∠BGF=∠DGE, ∠BFG=∠DEG, BF=DE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BFG≌△DEG. ∴ FG=EG. (2) 结论仍成立. 理由:∵ △CDE 只是作了平移, ∴ 仍有Rt△ABF≌Rt△CDE. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 8 14 第5课时 用直尺和圆规作角平分线 及过已知点作已知直线的垂线 ▶ “答案与解析”见P7 (第1题) 1. 如图,用直尺和圆规作∠MON 的平分线OP. 由作图知△OAC≌△OBC,从而得OP 平分 ∠MON.这两个三角形全等的依据是( ) A. AAS B. ASA C. SAS D. SSS 2. 已知△ABC,作边BC 上的高AD,正确的是 ( ) A. B. C. D. 3. 如图,在△ABC 中,∠B=90°,以点A 为圆 心,任意长为半径作弧,与边AB、AC 相交于 点E、F,再分别以点E、F 为圆心,大于12EF 的长为半径作弧,过点A 与两弧交点作射 线,与边BC 交于点D.若∠ADB=65°,则 ∠C 的度数为 . (第3题) (第4题) 4. 如图,在△ABC 中,∠A=70°,根据作图痕迹 推断,∠BOC 的度数为 . 5. 如图,有一条射线OA,以OA 为角的一边,画 ∠AOB=135°(不写作法,保留作图痕迹). (第5题) 6. 如图,在∠AOB 中,以点O 为圆心,任意长为 半径画弧①,分别交OA、OB 于点E、F,再以 点E 为圆心,EF 长为半径画弧,交弧①于点 D,作射线OD.若∠AOB=32°,则∠BOD 的 度数为 ( ) A. 32° B. 54° C. 64° D. 68° (第6题) (第7题) 7. 如图,点C 在∠AOB 的边OB 上,作图痕迹 显示的是 ( ) A. 作线段CE 的垂线 B. 作∠AOB 的平分线 C. 作线段OC 的中点 D. 作CN∥OA 8. (易错题)如图,在△ABC 中,AB=6,AC= 9,BC=11,以点A 为圆心,适当的长为半径 作弧,交AB、AC 于点M、N;分别以点M、N 为圆心,大于1 2MN 的长为半径作弧,两弧在 ∠BAC 的内部相交于点P;作射线AP,交 BC 于点D,点E 在边AC 上,AE=AB,连 接DE,则△CDE 的周长为 . (第8题) (第9题) 9. 如图,AB∥CD,以点A 为圆心,小于AC 的 长为半径画弧,分别交AB、AC 于E、F 两 点;再分别以点E、F 为圆心,大于12EF 的长 为半径画弧,两弧交于点P;作射线AP,交 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)八年级上 15 CD 于点M.若∠CMA=25°,则∠C 的度数 为 . 10. 如图,在△ABC 中,AB=AC. (1) 尺规作图:AC 上有一点D,连接BD, 并在BD 的延长线上取点E,使AE=AB, 连接AE,作∠EAC 的平分线交DE 于点 F,连接CF(不写作法,保留作图痕迹). (2) 在(1)的条件下,求证:∠E=∠ACF. (第10题) 11. 如图,AE∥BF,AC 平分∠BAE,交BF 于 点C. (1) 尺规作图:过点B 作AC 的垂线,交AC 于点O,交AE 于点D(不写作法,保留作图 痕迹). (2) 在(1)作出的图形中,找出相等的线段, 并予以证明. (第11题) 答案讲解 12. 阅读材料: 小钟遇到这样一个问题:如图①, ∠AOB=α(0°<α<90°),请画一 个∠AOC,使∠AOC 与∠BOC 互补.小钟 是这样思考的:① 通过分析明确射线OC 在 ∠AOB 的外部,画出示意图,如图②;② 通 过构造平角找到∠AOC 的补角∠COD,如 图③;③ 要使∠AOC 与∠BOC 互补,则需 ∠BOC=∠COD.因此,小钟找到了解决问 题的方法:反向延长射线OA 得到射线OD, 利用直尺和圆规作出∠BOD 的平分线OC, 这样就得到了∠BOC 与∠AOC 互补. (1) 请参考小钟的画法:在图④中作出 ∠AOH,使∠AOH 与∠BOH 互余,并简 要介绍你的作法. (2) 已知∠EPQ(45°<∠EPQ<60°)和 ∠FPQ 互余,射线PA 在∠FPQ 的内部, ∠EPQ=2∠APF=β,请直接用β 表示 ∠APE 的度数. (第12题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第1章　全等三角形