1.3.3 用“角角边”判定两个三角形全等-【拔尖特训】2024-2025学年八年级上册数学（苏科版2012）

10 第3课时 用“角角边”判定两个三角形全等 ▶ “答案与解析”见P5 (第1题) 1. 如图,B、C、E 三点在同一条直线上,AC= CD,∠B=∠E=90°,AC⊥CD,则下列结论 不一定正确的是 ( ) A. ∠A 与∠D 互为余角 B. ∠A=∠2 C. △ABC≌△CED D. ∠1=∠2 (第2题) 2. 如图,∠A=∠E,AC⊥BE, AB=EF,BE=25,CF=8, 则AC 的长为 ( ) A. 15 B. 17 C. 19 D. 21 3. 如图,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE, BE⊥CE,垂足分别是 D、E.若 AD=3, BE=1,则DE 的长是 . (第3题) (第4题) 4. 如图,在△ABC 中,D 为AB 延长线上一点, E 为AC 的中点,过点C 作CF∥AB,交射线 DE 于点F.若BD=1,CF=5,则AB 的长 为 . 5. 如图,在四边形ABCD 中,点E 在AD 上,其 中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°,且BC= CE.求证:△ABC≌△DEC. (第5题) 6. 如图,OB 平分∠AOC,D、E、F 分别是射线 OA、OB、OC 上的点(不与点O 重合),连接 ED、EF.若添加下列条件中的一个,不能使 △DOE≌△FOE 成立的是 ( ) A. OD=OF B. DE=FE C. ∠OED=∠OEF D. ∠ODE=∠OFE (第6题) (第7题) 7. 如图,∠C=∠D,AC=AD,有下列条件: ① AB=AE;② BC=ED;③ ∠1=∠2; ④ ∠B=∠E.其中,能使△ABC≌△AED 的条件有 ( ) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 8. 如图,∠AOB=90°,OA=OB,直线l经过点 O,分别过A、B 两点作AC⊥l于点C,BD⊥ l于点D.已知AC=6,BD=4,则CD= . (第8题) 9. 如图,AB⊥CD,AB=CD,E、F 是AD 上的 两个点,CE⊥AD,BF⊥AD.若AD=a, BF=b,CE=c,则EF 的长为 . (第9题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)八年级上 11 10. 如图,小张同学拿着等腰直角三角尺,将其 摆放在两摞长方体教具之间.若每个长方体 教具的高度均为6cm,∠ACB=90°,AC= BC,则两摞长方体教具之间的距离DE= cm. (第10题) 11. 如图,AC、BD 相交于点O,AB∥CD,BF= DE,∠OAE=∠OCF.求证:AE=CF. (第11题) 答案讲解 12. 如 图,∠BAD = ∠CAE =90°, AB=AD,AE=AC,AF⊥CB,交 CB 的延长线于点F. (1) 求证:△ABC≌△ADE. (2) 求∠FAE 的度数. (3) 求证:CD=2BF+DE. (第12题) 13. 如图,在 △ABC 中,D 为 BC 的 中 点, △AEF 的边EF 过点C,且AE=EF,AB∥ EF,AD 平分∠BAE.若CE=2,AB=9,则 CF 的长为 . (第13题) 14. 已知△ABC 的高AD 所在直线与高BE 所 在直线相交于点F,过点F 作FG∥BC,交 直线AB 于点G. (1) 如图①,若△ABC 为锐角三角形,且 ∠ABC=45°.求证: ① △BDF≌△ADC. ② FG+DC=AD. (2) 如图②,若∠ABC=135°,试探究FG、 DC、AD 之间的数量关系. (第14题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第1章　全等三角形 (2) 问题(1)中的结论不成立. 如图①,当点D 在AB 的延长线上 时,同(1),可得AF=AD, ∴ AB=AD-BD=AF-BD. 如图②,当点D 在AB 的反向延长线 上时,同(1),可得AF=AD, ∴ AB=BD-AD=BD-AF. (第14题) 没有画出符合题意的图形 解决这类探究题时,要了解条 件中“动点”的真正含义,需要画出 符合题意的图形,不要受问题原有 图形的影响直接加以解答.因此, 解题时我们要认真审题,在原有思 路的基础上让图形中的动点真正 动起来,寻求正确的结论. 第3课时 用“角角边”判定 两个三角形全等 1. D 2. B 3. 2 4. 4 5. 如图,∵ ∠BCE=∠ACD=90°, ∴ ∠3+∠4=∠4+∠5. ∴ ∠3=∠5. 在△ACD 中,∵ ∠ACD=90°, ∴ ∠2+∠D=90°. ∵ ∠BAE=∠1+∠2=90°, ∴ ∠1=∠D. 在△ABC和△DEC中, ∠1=∠D, ∠3=∠5, BC=EC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABC≌△DEC. (第5题) 6. B 7. B [解析] ① ∵ ∠C=∠D, AC=AD,AB=AE,∴ △ABC 和 △AED 不一定全等.故①不符合题 意.② ∵ BC=ED,∠C=∠D,AC= AD,∴ △ABC≌△AED.故②符合 题 意.③ ∵ ∠1= ∠2,∴ ∠1+ ∠EAB=∠2+∠EAB.∴ ∠CAB= ∠DAE.又∵ ∠C=∠D,AC=AD, ∴ △ABC≌△AED.故③符合题意. ④ ∵ ∠B=∠E,∠C=∠D,AC= AD,∴ △ABC≌△AED.故④符合 题 意.综 上 所 述,能 使 △ABC ≌ △AED 的条件有3个. 8. 2 9. c-a+b [解析] ∵ AB⊥CD, CE⊥AD,∴ ∠C+∠D=90°,∠A+ ∠D=90°.∴ ∠A=∠C.∵ CE⊥ AD,BF ⊥ AD,∴ ∠AFB = ∠CED=90°.在△ABF 和△CDE 中, ∠A=∠C, ∠AFB=∠CED, AB=CD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABF≌ △CDE.∴ BF=DE=b,AF=CE= c.∵ AE =AD -DE =a-b, ∴ EF=AF-AE=c-(a-b)=c- a+b. 10. 42 [解析] ∵ ∠ACB=90°, AD⊥DE,BE⊥DE,∴ ∠ADC= ∠CEB=90°,∠ACD+∠BCE=90°. ∴ ∠ACD+∠DAC=90°.∴ ∠BCE= ∠DAC.在 △ADC 和 △CEB 中, ∠ADC=∠CEB, ∠DAC=∠ECB, AC=CB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADC≌△CEB. ∴ CD=BE,AD=CE.∵ DE= CD+CE,∴ DE=BE+AD.∵ 每个 长方 体 教 具 的 高 度 均 为 6cm, ∴ AD=24cm,BE=18cm.∴ 两摞 长方体教具之间的距离DE=18+ 24=42(cm). 11. ∵ AB∥CD, ∴ ∠B=∠D,∠BAO=∠DCO. ∵ ∠OAE=∠OCF, ∴ ∠BAO - ∠OAE = ∠DCO - ∠OCF. ∴ ∠BAE=∠DCF. ∵ BF=DE, ∴ BF-EF=DE-EF. ∴ BE=DF. 在△ABE 和△CDF 中, ∠B=∠D, ∠BAE=∠DCF, BE=DF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABE≌△CDF. ∴ AE=CF. 12. (1) ∵ ∠BAD=∠CAE=90°, ∴ ∠BAC+∠CAD=90°,∠CAD+ ∠DAE=90°. ∴ ∠BAC=∠DAE. 在△ABC和△ADE 中, AB=AD, ∠BAC=∠DAE, AC=AE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABC≌△ADE. (2) ∵ ∠CAE=90°,AC=AE, ∴ 易得∠E=∠ECA=45°. 由(1),知△ABC≌△ADE, ∴ ∠BCA=∠E=45°. ∵ AF⊥BC, ∴ ∠CFA=90°. ∴ ∠CAF=45°. ∴ ∠FAE=∠FAC+∠CAE=45°+ 90°=135°. (3) 如图,延长 BF 到 点G,使 得 FG=FB,连接AG. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 5 ∵ AF⊥BG, ∴ ∠AFB=∠AFG=90°. 在△AFB 和△AFG 中, BF=GF, ∠AFB=∠AFG, AF=AF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AFB≌△AFG. ∴ AB=AG,∠ABF=∠G. ∵ △ABC≌△ADE,AB=AD, ∴ AG =AD,∠CBA = ∠EDA, CB=ED. ∴ ∠ABF=∠CDA. ∴ ∠G=∠CDA. 在△CGA 和△CDA 中, ∠GCA=∠DCA=45°, ∠G=∠CDA, AG=AD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △CGA≌△CDA. ∴ CG=CD. ∵ CG=CB+BF+FG=CB+ 2BF=DE+2BF, ∴ CD=2BF+DE. (第12题) 13. 5 [解析] 延长FE 交AD 的延 长线于点 H.∵ AD 平分∠BAE, ∴ ∠BAD=∠HAE.∵ AB∥FH, ∴ ∠H = ∠BAD.∴ ∠H = ∠HAE.∴ 易得AE=HE.∵ AE= EF,∴ EF=HE.∵ D 为BC 的中 点,∴ DC =DB.在 △HDC 和 △ADB 中, ∠H=∠BAD, ∠HDC=∠ADB, DC=DB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △HDC≌△ADB.∴ CH=BA. ∵ AB=9,∴ CH=HE+CE=9.又 ∵ CE=2,∴ HE=7.∴ EF=7. ∴ CF=EF-CE=5. 14. (1) ① 由题意,可知∠ADB= 90°,∠ABC=45°, ∴ ∠BAD=∠ABC=45°. ∴ 易得AD=BD. ∵ ∠BEC=∠ADC=90°, ∴ ∠CBE + ∠C = ∠DAC + ∠C=90°. ∴ ∠CBE=∠DAC. 又∵ ∠FDB=∠CDA=90°, ∴ △BDF≌△ADC. ② ∵ △BDF≌△ADC, ∴ DF=DC. ∵ GF∥BC, ∴ ∠AGF=∠ABC=45°. ∴ ∠AGF=∠BAD. ∴ 易得FA=FG. ∴ FG+DC=FA+DF=AD. (2) ∵ ∠ABC=135°, ∴ ∠ABD=45°. ∵ ∠BDA=90°,FG∥BC, ∴ ∠DAB=45°,∠G=∠ABD=45°. ∴ 易得BD=AD,FG=AF. ∵ ∠FAE + ∠DFB = ∠FAE + ∠C=90°, ∴ ∠DFB=∠C. 又 ∵ ∠FDB = ∠CDA = 90°, BD=AD, ∴ △BDF≌△ADC. ∴ DF=DC. ∴ FG=AF=AD+DF=AD+DC. 第4课时 用“边边边”判定 两个三角形全等 1. B 2. C 3. 答案不唯一,如 BC=EF 4. 三角形具有稳定性 5. ∵ AD=BC, ∴ AD+CD=BC+CD,即AC=BD. 在△ACE 和△BDF 中, AE=BF, AC=BD, CE=DF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ACE≌△BDF. ∴ ∠A=∠B. ∴ AE∥BF. 6. D 7. B 8. D [解析] 在△ABC 和△DFE 中, AB=DF, BC=FE, AC=DE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABC≌△DFE. ∴ ∠ACB=∠DEF.又∵ ∠AFE= ∠ACB + ∠DEF,∴ ∠AFE = 2∠ACB.∴ ∠ACB=12∠AFE. 9. 3 10. 24 [解析] 在△ABC 和△ADC 中,∵ AB=AD,AC=AC,BC=DC, ∴ △ABC≌ △ADC.∴ ∠BAC= ∠DAC.设 AC、BD 交 于 点 O. ∵ AO = AO,∠BAO = ∠DAO, AB =AD,∴ △ABO ≌ △ADO. ∴ ∠AOB=∠AOD.∵ ∠AOB+ ∠AOD=180°,∴ ∠AOB=90°,即 AC⊥BD.∴ S四边形ABCD =S△ABD + S△CBD= 1 2AO ·BD+12OC ·BD= 1 2AC ·BD=24. 11. 20° [解析] 如图,连接AD 并延 长至点F.在△ABD 和△ACD 中, AB=AC, AD=AD, BD=CD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABD ≌ △ACD. ∴ ∠B=∠C.∵ ∠BDF=∠B+ ∠BAD,∠CDF = ∠C + ∠CAD, ∴ ∠BDF + ∠CDF = ∠B + ∠BAD + ∠C + ∠CAD. ∴ ∠BDC=∠B+∠C+∠BAC. ∵ ∠BAC =80°,∠BDC =120°, ∴ ∠B=20°. (第11题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 6