1.3.2 用“角边角”判定两个三角形全等-【拔尖特训】2024-2025学年八年级上册数学（苏科版2012）

8 第2课时 用“角边角”判定两个三角形全等 ▶ “答案与解析”见P4 1. (易错题)如图所示的四个三角形中,能构成 全等三角形的是 ( ) (第1题) A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ③④ (第2题) 2. 如图,点B 在AE 上,∠CBE=∠DBE,要通 过“ASA”判定△ABC≌△ABD,可补充的一 个条件是 ( ) A. ∠CAB=∠DAB B. ∠ACB=∠DAB C. AC=AD D. BC=BD 3. 如图,AB∥CF,E 为DF 的中点.若AB= 10,CF=7,则BD= . (第3题) (第4题) 4. 如图,点B、C、E 在同一条直线上,AC∥DE, BC=DE,∠ACD=∠B.若AC=0.8cm,则 CE= cm. 5. 如图,点E、C、D、A 在同一条直线上,AB∥ DF,ED=AB,∠E=∠CPD,求证:△ABC≌ △DEF. (第5题) (第6题) 6. 如图,在△ABC 中,AB=AC,AB>BC,点 D 在边BC 上,点 E、F 在AD 上,BD= 1 2DC ,∠BED = ∠CFD = ∠BAC.若 S△ABC=30,则涂色部分的面积为 ( ) A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 7. 如图,AD、BE 是△ABC 的高,AD 与BE 相 交于点F.若AD=BD=6,且△ACD 的面 积为12,则AF 的长为 ( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1.5 (第7题) (第8题) 8. 如图,∠ADB=∠ACB=90°,AD 与BC 相 交 于 点 O,且 OA =OB.有 下 列 结 论: ① AD=BC;② AC=BD;③ ∠CDA = ∠DCB;④ CD∥AB.其中,正确的有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 如 图,在 △ABC 中,∠CAD = ∠EAD, ∠ADC=∠ADE,CB=5cm,BD=3cm,则 ED 的长为 cm. (第9题) (第10题) 10. 如图,AC 和BD 相交于点O,∠1=∠2, ∠3=∠4,则 AC 和BD 的位置关系是 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)八年级上 9 11. 将△ABC 和△DEF 按如图所示的方式放 置,已知AB=DE,∠D+∠CHF=180°, AB∥EF.求证:△ABC≌△DEF. (第11题) 12. 如图,∠A=∠B,AE=BE,点D 在边AC 上,∠CED=∠AEB,AE 交BD 于点F. 求证: (1) △AEC≌△BED. (2) DE 平分∠BDC. (第12题) 答案讲解 13. 如图,点A 在DE 上,点F 在AB 上,且BC=DC,ED=3,∠BCD= ∠ACE=∠BAD,则AB 的长为 . (第13题) 14. ★如图,在△ABC 中,AB=AC,∠BAC= 90°,D 是直线AB 上的一个动点(不与 点A、B 重合),BE⊥CD,交直线CD 于点 E,交直线AC 于点F. (1) 若点D 在边AB 上,试判断线段BD、 AB 和AF 之间的数量关系,并证明你的 结论. (2) 若点D 在AB 的延长线或反向延长线 上,则问题(1)中的结论是否成立? 若不成 立,请直接写出正确的结论. (第14题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第1章　全等三角形 ∴ BF=CF. 在△BFE 和△CFM 中, BF=CF, ∠BFE=∠CFM, EF=MF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BFE≌△CFM. ∴ ∠FBE=∠FCM,BE=CM. ∵ △BDE≌△ADC, ∴ ∠DBE=∠DAC,BE=AC. ∴ ∠DAC=∠FCM,AC=MC. ∵ ∠DAC+∠ACD=90°, ∴ ∠FCM+∠ACD=90°, 即∠ACM=90°. ∴ AC⊥MC. 综上所述,AC⊥MC且AC=MC. 第2课时 用“角边角”判定 两个三角形全等 1. C 2. A 3. 3 4. 0.8 5. ∵ AB∥DF, ∴ ∠B=∠CPD,∠A=∠FDE. ∵ ∠E=∠CPD, ∴ ∠E=∠B. 在△ABC和△DEF 中, ∠B=∠E, AB=DE, ∠A=∠FDE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABC≌△DEF. 6. D 7. C [解析] ∵ AD、BE 是△ABC 的 高,∴ ∠ADB = ∠ADC = ∠AEB=90°.∵ ∠BFD=∠AFE, ∴ ∠FBD=∠CAD.在△ACD 和 △BFD 中, ∠CAD=∠FBD, AD=BD, ∠ADC=∠BDF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ACD≌△BFD.∴ DC=DF. ∵ △ACD 的面积为12,∴ 1 2×6× CD=12.∴ CD=4.∴ DF=4. ∴ AF=AD-DF=2. 8. D [解析] ∵ ∠COA=∠DOB, ∠ACB=∠ADB=90°,∴ ∠CAO= ∠DBO.在 △AOC 和 △BOD 中, ∠COA=∠DOB, OA=OB, ∠CAO=∠DBO, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AOC ≌ △BOD.∴ AC=BD,OC =OD. ∵ OA=OB,∴ 易得AD=BC.故 ①②正确.在△ACD 和△BDC 中, AD=BC, ∠CAD=∠DBC, AC=BD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ACD ≌ △BDC.∴ ∠CDA=∠DCB.故③正 确. 在 △ABC 和 △BAD 中, AC=BD, ∠ACB=∠BDA, BC=AD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABC ≌ △BAD.∴ ∠CBA = ∠DAB. ∵ ∠COD = ∠AOB,∠CDA = ∠DCB,∴ 易得∠CDA=∠DAB. ∴ CD∥AB.故④正确.综上所述,正 确的有4个. 9. 2 10. AC⊥BD [解析] 在△ABC 和 △ADC 中, ∠1=∠2, AC=AC, ∠3=∠4, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABC≌ △ADC.∴ AB=AD.在△ABO 和 △ADO 中, AB=AD, ∠1=∠2, AO=AO, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABO≌ △ADO.∴ ∠AOB = ∠AOD. ∵ ∠AOB + ∠AOD = 180°, ∴ ∠AOB = ∠AOD = 90°,即 AC⊥BD. 11. ∵ ∠D + ∠CHF = 180°, ∠CHF+∠CHE=180°, ∴ ∠D=∠CHE. ∵ AB∥EF, ∴ ∠B=∠DEF,∠CHE=∠A. ∴ ∠A=∠D. 在△ABC和△DEF 中, ∠A=∠D, AB=DE, ∠B=∠DEF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABC≌△DEF. 12. (1) ∵ ∠CED=∠AEB, ∴ ∠CED + ∠AED = ∠AEB + ∠AED,即∠AEC=∠BED. 在△AEC和△BED 中, ∠A=∠B, AE=BE, ∠AEC=∠BED, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AEC≌△BED. (2) ∵ △AEC≌△BED, ∴ ∠C=∠EDB,CE=DE. ∴ 易得∠C=∠EDC. ∴ ∠EDB=∠EDC. ∴ DE 平分∠BDC. 13. 3 [解析] ∵ ∠BCD=∠BAD, ∠BFC= ∠DFA,∴ ∠B = ∠D. ∵ ∠BCD = ∠ACE,∴ 易 得 ∠BCA = ∠DCE.在 △ABC 和 △EDC 中, ∠B=∠D, BC=DC, ∠BCA=∠DCE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABC ≌ △EDC.∴ AB = ED=3. 14. (1) AB=AF+BD. ∵ BE⊥CD, ∴ ∠BEC=∠FEC=90°. ∴ ∠F+∠FCE=90°. ∵ ∠BAC=90°, ∴ ∠FAB=90°. ∴ ∠F+∠FBA=90°. ∴ ∠FBA=∠FCE. 在△AFB 和△ADC中, ∠FAB=∠DAC, AB=AC, ∠FBA=∠DCA, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AFB≌△ADC. ∴ AF=AD. ∴ AB=AD+BD=AF+BD. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 4 (2) 问题(1)中的结论不成立. 如图①,当点D 在AB 的延长线上 时,同(1),可得AF=AD, ∴ AB=AD-BD=AF-BD. 如图②,当点D 在AB 的反向延长线 上时,同(1),可得AF=AD, ∴ AB=BD-AD=BD-AF. (第14题) 没有画出符合题意的图形 解决这类探究题时,要了解条 件中“动点”的真正含义,需要画出 符合题意的图形,不要受问题原有 图形的影响直接加以解答.因此, 解题时我们要认真审题,在原有思 路的基础上让图形中的动点真正 动起来,寻求正确的结论. 第3课时 用“角角边”判定 两个三角形全等 1. D 2. B 3. 2 4. 4 5. 如图,∵ ∠BCE=∠ACD=90°, ∴ ∠3+∠4=∠4+∠5. ∴ ∠3=∠5. 在△ACD 中,∵ ∠ACD=90°, ∴ ∠2+∠D=90°. ∵ ∠BAE=∠1+∠2=90°, ∴ ∠1=∠D. 在△ABC和△DEC中, ∠1=∠D, ∠3=∠5, BC=EC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABC≌△DEC. (第5题) 6. B 7. B [解析] ① ∵ ∠C=∠D, AC=AD,AB=AE,∴ △ABC 和 △AED 不一定全等.故①不符合题 意.② ∵ BC=ED,∠C=∠D,AC= AD,∴ △ABC≌△AED.故②符合 题 意.③ ∵ ∠1= ∠2,∴ ∠1+ ∠EAB=∠2+∠EAB.∴ ∠CAB= ∠DAE.又∵ ∠C=∠D,AC=AD, ∴ △ABC≌△AED.故③符合题意. ④ ∵ ∠B=∠E,∠C=∠D,AC= AD,∴ △ABC≌△AED.故④符合 题 意.综 上 所 述,能 使 △ABC ≌ △AED 的条件有3个. 8. 2 9. c-a+b [解析] ∵ AB⊥CD, CE⊥AD,∴ ∠C+∠D=90°,∠A+ ∠D=90°.∴ ∠A=∠C.∵ CE⊥ AD,BF ⊥ AD,∴ ∠AFB = ∠CED=90°.在△ABF 和△CDE 中, ∠A=∠C, ∠AFB=∠CED, AB=CD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABF≌ △CDE.∴ BF=DE=b,AF=CE= c.∵ AE =AD -DE =a-b, ∴ EF=AF-AE=c-(a-b)=c- a+b. 10. 42 [解析] ∵ ∠ACB=90°, AD⊥DE,BE⊥DE,∴ ∠ADC= ∠CEB=90°,∠ACD+∠BCE=90°. ∴ ∠ACD+∠DAC=90°.∴ ∠BCE= ∠DAC.在 △ADC 和 △CEB 中, ∠ADC=∠CEB, ∠DAC=∠ECB, AC=CB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADC≌△CEB. ∴ CD=BE,AD=CE.∵ DE= CD+CE,∴ DE=BE+AD.∵ 每个 长方 体 教 具 的 高 度 均 为 6cm, ∴ AD=24cm,BE=18cm.∴ 两摞 长方体教具之间的距离DE=18+ 24=42(cm). 11. ∵ AB∥CD, ∴ ∠B=∠D,∠BAO=∠DCO. ∵ ∠OAE=∠OCF, ∴ ∠BAO - ∠OAE = ∠DCO - ∠OCF. ∴ ∠BAE=∠DCF. ∵ BF=DE, ∴ BF-EF=DE-EF. ∴ BE=DF. 在△ABE 和△CDF 中, ∠B=∠D, ∠BAE=∠DCF, BE=DF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABE≌△CDF. ∴ AE=CF. 12. (1) ∵ ∠BAD=∠CAE=90°, ∴ ∠BAC+∠CAD=90°,∠CAD+ ∠DAE=90°. ∴ ∠BAC=∠DAE. 在△ABC和△ADE 中, AB=AD, ∠BAC=∠DAE, AC=AE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABC≌△ADE. (2) ∵ ∠CAE=90°,AC=AE, ∴ 易得∠E=∠ECA=45°. 由(1),知△ABC≌△ADE, ∴ ∠BCA=∠E=45°. ∵ AF⊥BC, ∴ ∠CFA=90°. ∴ ∠CAF=45°. ∴ ∠FAE=∠FAC+∠CAE=45°+ 90°=135°. (3) 如图,延长 BF 到 点G,使 得 FG=FB,连接AG. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 5