考向一数轴及其应用-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级上册数学（浙教版2024）

117 考向一　数轴及其应用 ▶ “答案与解析”见P47 1. 若将表示 2,- 3,- 7,- 11的点分别标 在数轴(如图)上,则其中被墨迹覆盖的点所 表示的数是 ( ) (第1题) A. 2 B. -3 C. -7 D. - 11 2. 如图,数轴上点A,B 表示的数分别是-1和 3,若点P 到A,B 两点的距离之和为6,则 点P 表示的数是 ( ) (第2题) A. -3 B. -3或5 C. -2 D. -2或4 3. 数轴上A,B,C 三点表示的数分别为a,1,c, 且|c-1|-|a-1|=|a-c|.下列选项中, 能表示A,B,C 三点在数轴上的位置关系 的是 ( ) A. B. C. D. 答案讲解 4. 如图,在数轴上有A,B,C,D 四个 整数 点 (各 点 均 表 示 整 数),且 2AB=BC=3CD.若A,D 两点表 示的数分别为-5和6,则BD 的中点表示的 数是 ( ) (第4题) A. 3 B. 0 C. 1 D. 2 5. 如图①,A,B,C 是一条不完整的数轴上从左 到右排列的三点,分别表示的数为-5,b,4. 某同学将刻度尺按如图②所示的方式放置, 使刻度尺上的数字0与数轴上的点A 对齐, 发现点B 对应的刻度为1.8cm,点C 对应的 刻度为5.4cm,则b= . (第5题) 6. 如图,在一条不完整的数轴上从左到右有A, B,C 三点,其中AB=2,BC=1.设点A,B, C 所表示的数之和是p. (1) 若以B 为原点,写出点A,C 所表示的 数,并求p 的值;若以C 为原点,p 的值又是 多少? (2) 若原点 O 在数轴上点C 的右边,且 CO=28,求p的值. (第6题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 期末压轴题特训 期末压轴题特训 118 7. (1) 如图,有一根木棒MN 放置在数轴上,它 的两端M,N 分别落在数轴上的点A,B 处. 已知数轴上1个单位长度表示1cm,现将木 棒在数轴上水平移动,当点M 移动到点B 处 时,点 N 表示的数为20;当点 N 移动到 点A 处时,点M 表示的数为5.由此,可得木 棒MN 的长为 cm. (2) 一天,小美问爷爷的年龄,爷爷说:“我若 是你现在这么大,你还要40年才出生呢! 你 若是我现在这么大,我已经116岁了!”小美 纳闷,爷爷到底是多少岁呢? 请你借助(1)中 的方法,画出示意图,并求出爷爷和小美现在 的年龄. (第7题) 答案讲解 8. 如图,将一条数轴在原点O 和点B 处各折一下,得到一条“折线数轴”. 图中点A 表示的数为-10,点B 表 示的数为10,点C 表示的数为18,我们称 点A 和点C 在数轴上相距28个单位长度. 动点P 从点A 出发,以2个单位长度/秒的 速度沿着“折线数轴”的正方向运动,从点O 运动到点B 期间的速度变为原来的一半,之 后立刻恢复原速;同时,动点Q 从点C 出发, 以1个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴” 的负方向运动,从点B 运动到点O 期间的速 度变为原来的两倍,之后也立刻恢复原速.设 运动的时间为t秒. (1) 点P 从点A 运动至点C 需要多长时间? (2) 当P,Q 两点相遇时,相遇点M 表示的 数是多少? (3) 当t为何值时,P,O 两点在数轴上相距 的长度与Q,B 两点在数轴上相距的长度 相等? (第8题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)七年级上 ∠APC=12∠APB=40°. 所以30°+ 40°=70°.所以轮船C 位于灯塔P 的 北偏东70°方向. 典 例 5 互 补 的 角:∠AOC 与 ∠BOC,∠AOD 与 ∠BOD,∠AOE 与∠BOE,∠AOD 与∠COE,∠AOE 与∠DOE,∠AOE 与∠COD. 互余的角:∠BOE 与∠COE,∠BOD 与∠COD,∠BOD 与∠DOE,∠BOD 与∠BOE,∠COE 与∠DOE,∠COE 与∠COD. [跟踪训练] 5. 270° [解析] 根据 题意,得∠α+∠β=90°.因为∠α的 补角 为180°-∠α,∠β 的 补 角 为 180°-∠β,所以∠α的补角与∠β的 补角的和是180°-∠α+180°-∠β= 360°-(∠α+∠β)=360°-90°= 270°. ［综合素能提升］ 1. D [解析] 根据正方体的特征可 知,盒子里的水能形成的几何体是长 方体、三棱柱和三棱锥,不可能是正方 体和圆柱. 2. D [解析] 如图,因为C 是线段 AB 的中点,所以AC=BC=12AB. 所以CD=BC-BD=AC-BD= 1 2AB-BD ,CD=AD-AC=AD- BC.故选项A,B,C正确.因为D 不 一定是BC 的中点,所以CD 不一定 等于1 2BC. 故选项D不一定正确. (第2题) 3. D [解 析] 因 为 ∠AOB = ∠COD = 90°,所 以 ∠AOB + ∠COD = 180°.因 为 ∠AOB = ∠AOC+∠BOC,∠COD=∠BOC+ ∠BOD,所 以 ∠AOC + ∠BOC + ∠BOC + ∠BOD = 180°.所 以 ∠AOD + ∠BOC = 180°.因 为 ∠AOD=4∠BOC,所以4∠BOC+ ∠BOC=180°.所以∠BOC=36°.因 为 OE 是 ∠BOC 的 平 分 线,所 以 ∠COE = 12 ∠BOC =18°. 所 以 ∠DOE=∠COD-∠COE=90°- 18°=72°. 4. 6或12 [解析] 因为AB=6, BC=3AB,所以BC=18.因为D 为 AB 的中点,E 为BC 的中点,所以 BD=12AB=3 ,BE=12BC=9. 如 图①,当点C 在线段AB 的延长线上 时,DE=BE+BD=9+3=12;如图 ②,当点C 在线段AB 的反向延长线 上时,DE=BE-BD=9-3=6.综上 所述,DE 的长为6或12. (第4题) 5. 67.5° [解 析] 由 题 意,得 ∠AOB+ ∠AOC=90°,∠AOD + ∠AOC=180°.设 ∠AOC=x°,则 ∠AOB=(90-x)°,∠AOD=(180- x)°.因为OC 是∠BOD 的平分线,所 以∠DOC=∠BOC.所以∠AOD- ∠AOC = ∠AOC - ∠AOB.所 以 (180-x)°-x°=x°-(90-x)°,解得 x=67.5.所以∠AOC的度数为67.5°. 6. (1) 44°. [解析] 因为∠COE= 90°,∠COF =32°,所 以 ∠EOF = ∠COE-∠COF=90°-32°=58°.因 为OF 平分∠AOE,所以∠AOE= 2∠EOF =2×58°=116°.因 为 ∠AOB = 160°,所 以 ∠BOE = ∠AOB-∠AOE=160°-116°=44°. (2) (2m-20)°;∠BOE=2∠COF- 20°. [解析] 因 为∠COE=90°, ∠COF=m°,所以∠EOF=∠COE- ∠COF=(90-m)°.因为OF 平分 ∠AOE,所以∠AOE=2∠EOF= 2(90-m)°.因为∠AOB=160°,所以 ∠BOE=∠AOB-∠AOE=160°- 2(90-m)°=(2m-20)°,即∠BOE= 2∠COF-20°. (3) 成立. 理由:设∠COF=x°. 因为∠COE=90°,∠COF=x°, 所以∠EOF=∠COE-∠COF= (90-x)°. 因为OF 平分∠AOE, 所以∠AOE=2∠EOF=2(90-x)°. 因为∠AOB=160°, 所以∠BOE=∠AOB-∠AOE= 160°-2(90-x)°=(2x-20)°. 所以∠BOE=2∠COF-20°. 期末压轴题特训 考向一　数轴及其应用 1. C [解析] 由数轴可知,被墨迹覆 盖的点所表示的数是负数,且这个数 在-3与-2之 间.因 为- 9< -7<-4,即-3<- 7<-2,所 以四个数 2,- 3,- 7,- 11中 符合题意的是-7. 2. D [解析] 由题意可知,A,B 两点 之间的距离为4.当点P 在点A 的左 边时,因为点P 到A,B 两点的距离 之和为6,所以点P 到点A 的距离为 1,到点B 的距离为5,此时点P 表示 的数为-2.当点P 在点B 的右边时, 因为点P 到A,B 两点的距离之和为 6,所以点P 到点A 的距离为5,到点 B 的距离为1,此时点P 表示的数为 4.综上所述,点P 表示的数是-2 或4. 3. A [解析] 由选项A的数轴,得 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 74 1<a<c,所以|c-1|-|a-1|=c- 1-a+1=c-a,|a-c|=c-a.所以 |c-1|-|a-1|=|a-c|成立.故选 项A符合题意.由选项B的数轴,得 1<c<a,所以|c-1|-|a-1|=c- 1-a+1=c-a,|a-c|=a-c.所以 |c-1|-|a-1|=|a-c|不成立.故 选项B不符合题意.由选项C的数 轴,得c<1<a,所以|c-1|-|a- 1|=1-c-a+1=2-c-a,|a- c|=a-c.所以|c-1|-|a-1|= |a-c|不成立.故选项C不符合题 意.由选项D的数轴,得a<c<1,所 以|c-1|-|a-1|=1-c-1+a= a-c,|a-c|=c-a.所以|c-1|- |a-1|=|a-c|不成立.故选项D不 符合题意. 4. D [解析] 因 为 AD =|6- (-5)|=11,2AB=BC=3CD,所以 AB=1.5CD.所以1.5CD+3CD+ CD=11.所以CD=2.所以AB=3. 所以BD=AD-AB=11-3=8.设 BD 的中点为E.所以ED=12BD= 4.设点E 表示的数为x,则6-x=4. 所以x=2,即点E 所表示的数是2. 所以BD 的中点表示的数是2. 5. -2 [解析] 因为点A,C 在数轴 上表示的数分别为-5,4,所以在数轴 上点A,C的距离为9个单位长度.因 为刻度尺上点A,C 对应的刻度分别 为0cm,5.4cm,所以点A,C 的实际 距离为5.4cm.所以数轴上1个单位 长度对应的实际距离是5.4÷9= 0.6(cm).因为点 B 对应的刻度为 1.8cm,1.8÷0.6=3,所以在数轴上 点A,B 之间的距离为3个单位长度. 所以b=-5+3=-2. 6. (1) 以B 为原点,点A,C 所表示 的数分别为-2,1,所以p=-2+0+ 1=-1. 以C 为原点,点A,B 所表示的数分 别为-3,-1, 所以p=-3+(-1)+0=-4. (2) 由题意知,p=(-28-1-2)+ (-28-1)+(-28)=-88. 7. (1) 5. [解析]由题意知,木棒 MN 的长为(20-5)÷3=5(cm). (2) 画出示意图如图所示(数轴上 1个单位长度表示1岁).当点N 移 动到点A 处时,点 M 表示的数为 -40;当点M 移动到点B 处时,点N 表示的数为116. 所以MN=[116-(-40)]÷3=52. 所以-40+52=12,12+52=64. 所以点A 表示的数为12,点B 表示 的数为64,即小美现在12岁,爷爷现 在64岁. (第7题) 8. (1) 由题意,得点P 从点O 运动到 点B 期 间 的 速 度 为 1个 单 位 长 度/秒. 因为10÷2+10÷1+(18-10)÷2= 19(秒), 所以点P 从点A 运动至点C 需要 19秒. (2) 由题意知,点M 在点O,B 之间. 设点M 表示的数为x,则0<x<10. 因为易知点Q 从点B 运动到点O 期 间的速度为2个单位长度/秒, 所以10÷2+x÷1=8÷1+(10- x)÷2,解得x=163. 所以相遇点M 表示的数是163. (3) 由题意,易得动点P 在AO,OB, BC上运动所需的时间分别为5秒, 10秒,4秒;动点Q 在CB,BO,OA 上 运动所需的时间分别为8秒,5秒, 10秒. 因为P,O 两点在数轴上相距的长度 与Q,B 两点在数轴上相距的长度 相等, 所以分四种情况讨论: ① 当动点Q 在点C,B 之间运动,动 点P 在点A,O 之间运动时, 根据题意,得8-t=10-2t,解得 t=2. ② 当动点Q 在点C,B 之间运动,动 点P 在点O,B 之间运动时, 根据题意,得8-t=t-5,解得t= 6.5. ③ 当动点Q 在点O,B 之间运动,动 点P 在点O,B 之间运动时, 根据题意,得2(t-8)=t-5,解得 t=11. ④ 当动点Q 在射线OA 上运动,动点 P 在射线BC上运动时, 根据题意,得10+(t-13)=2(t- 15)+10,解得t=17. 综上所述,t的值为2,6.5,11或17. 考向二　自定义 （新概念）问题 1. D [解析] 由题意,得1 8※3= 3 1 8= 1 2. 2. A [解析] 因为x※y=xy-x- y-1,y※x=yx-y-x-1=xy- x-y-1,所以x※y=y※x.故选项 A正确.因为x※y※z=(xy-x- y-1)※z=z(xy-x-y-1)- (xy-x-y-1)-z-1,x※(y※ z)=x※(yz-y-z-1)=x(yz- y-z-1)-x-(yz-y-z-1)-1, 所以x※y※z≠x※(y※z).故选项 B错误.因为(-1)※2=-1×2+1- 2-1=-4,1※(-2)=1×(-2)- 1+2-1=-2,所以(-1)※2≠1※ 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 84