13.3.2 等腰三角形的判定-【拔尖特训】2024-2025学年八年级上册数学（人教版2012）

48 第2课时 等腰三角形的判定 ▶ “答案与解析”见P21 1. 如图,在△ABC 中,AB=AC,∠A=36°, BD,CE 分别平分∠ABC 和∠ACB,且相交 于点P,则图中等腰三角形(不再添加辅助线 和字母)的个数为 ( ) A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 (第1题) (第2题) 2. ★(2023· 亳州 期 末)如图,在△ABC 中, AB=AC,BD 平分∠ABC 交AC 于点G, DM∥BC 交△ABC 的 外 角 的 平 分 线 于 点M,交AB,AC 于点F,E.下列结论中,正 确的是 ( ) A. EF=ED B. FD=BC C. EC=MF D. EC=AG 3. 如图,在△ABC 中,∠ABC 的平分线交AC 于点D,AD=6,过点D 作DE∥BC,交AB 于点E.若△AED 的周长为16,则边AB 的 长为 . (第3题) (第4题) 4. 如图,在△ABC 中,∠A=∠ABE,CD 平分 ∠BCE,且CD⊥BE 于点D,AC=5,BC= 3,则DE 的长为 . 5. 如图,在△ABC中,AB=AC.过点A 作AD∥ BC,交∠ACB 的平分线于点D,连接BD. (1) 求证:△ABD 是等腰三角形. (2) 若∠BDC=20°,求∠ADC 的度数. (第5题) (第6题) 6. 如图,在△ABC 中,AB=AC, 点M 在CA 的延长线上,MN⊥ BC 于点N,交AB 于点O.若 AO=3,BO=4,则MC 的长为 ( ) A. 12 B. 9 C. 10 D. 11 答案讲解 7. (易错易混题)在如图所示的5个三 角形中,均有AB=AC,经过三角形 一个顶点的一条直线不能够将这个 三角形分成两个小等腰三角形的为 (填序号). (第7题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)八年级上 49 8. 如图,CE 平分∠ACB,且CE⊥DB 于点E, ∠DAB=∠DBA.若AC=14,△CDB 的周 长为20,则BD 的长为 . (第8题) 9. ★如图,在锐角三角形ABC 中,E 是边AB 上 一点,BE=CE,AD⊥BC 于点D,AD 与CE 交于点G.求证: (1) ∠BEC=2∠AGE. (2) △AEG 是等腰三角形. (第9题) 10. 如图,在△ABC 中,∠A=60°,BE,CF 交于 点P,且分别平分∠ABC,∠ACB,连接 EF. (1) 求∠BPC 的度数. (2) 求证:△EFP 是等腰三角形. (第10题) 答案讲解 11. 如图,在△ABC 中,AB=AC=2, ∠B=∠C=40°.点D 在线段BC 上运动(点D 不与点B,C 重合), 连接AD,作∠ADE=40°,DE 交线段AC 于点E. (1) 当∠BAD=20°时,∠EDC 的度数为 . (2) 当 DC 的 长 为 多 少 时,△ABD ≌ △DCE? 请给出结论并说明理由. (3) △ADE 能成为等腰三角形吗? 若能, 请直接写出此时∠BAD 的度数;若不能,请 说明理由. (第11题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第十三章　轴 对 称 ∴ BH=EH. ∵ ∠MDE + ∠ADB + ∠ADE = 180°,∠MCB+∠ACE+∠ACB= 180°, ∴ ∠MDE=∠MCB. 又∵ DE=CB,∠MED=∠MBC, ∴ △MDE≌△MCB. ∴ ME=MB. ∵ AB=AE,BH=EH, ∴ A,H,M 三点在线段BE 的垂直 平分线上. ∴ A,H,M 三点在同一条直线上. (第11题) 第2课时 等腰三角形的判定 1. B 2. C 角平分线和平行线构造等腰 三角形模型 常见的角平分线和平行线构 造等腰三角形模型有以下四种: 3. 10 4. 1 5. (1) ∵ AD∥BC, ∴ ∠ADC=∠DCB. ∵ CD 平分∠ACB, ∴ ∠ACD=∠DCB. ∴ ∠ADC=∠ACD. ∴ AD=AC. ∵ AB=AC, ∴ AD=AB. ∴ △ABD 是等腰三角形. (2) 设∠ADC=x. 由(1),可 得 ∠ADC = ∠ACD = ∠DCB=x. ∴ ∠ACB=∠ACD+∠DCB=2x. ∵ AB=AC, ∴ ∠ABC=∠ACB=2x. ∵ ∠BDC=20°, ∴ ∠ADB = ∠ADC + ∠BDC = x+20°. ∵ AD=AB, ∴ ∠ADB=∠ABD=x+20°. ∵ ∠BDC + ∠DBC + ∠DCB = 180°, ∴ ∠BDC + ∠ABD + ∠ABC + ∠DCB=180°. ∴ 20°+x+20°+2x+x=180°,解得 x=35°. ∴ ∠ADC=35°. 6. C [解析] ∵ AB=AC,∴ ∠B= ∠C.∵ MN ⊥BC,∴ ∠MNC= ∠MNB=90°.∴ ∠B+∠BON= 90°,∠C+ ∠M =90°.∴ ∠M = ∠BON.∵ ∠BON = ∠MOA, ∴ ∠M=∠MOA.∴ AM=AO=3. ∵ BO=4,∴ AB=AC=AO+BO= 7.∴ MC=AM+AC=10. 7. ②⑤ [解析] ① 如图①,过点B 作∠ABC 的平分线,交AC 于点D. ∵ AB=AC,∠A =36°,∴ 易 得 ∠ABC= ∠C =72°.∴ ∠ABD= ∠CBD= 12 ∠ABC=36°= ∠A. ∴ BD=AD,∠BDC=36°+36°= 72°.∴ ∠BDC=∠C.∴ BD=BC. ∴ △ABD 和△BCD 是等腰三角形. ∴ 能将这个三角形分成两个小等腰 三角形.② 不能将这个三角形分成两 个小等腰三角形.③ 如图②,过点A 作∠BAC 的平分线,交BC 于点D. ∴ ∠BAD=∠CAD=12∠BAC= 45°.∵ ∠BAC=90°,AB=AC,∴ 易 得∠B=∠C=45°.∴ 易得△ABD 和△ACD 是等腰三角形.∴ 能将这 个三角形分成两个小等腰三角形. ④ 如图③,过点A 把∠BAC分成36° 和 72°两 个 角,则 ∠BAD =36°, ∠CAD =72°.∵ ∠BAC =108°, AB=AC,∴ 易得∠B=∠C=36°. ∴ ∠BAD = ∠B,易 得 ∠ADC= ∠CAD.∴ 易得△ABD 和△ACD 是 等腰三角形.∴ 能将这个三角形分成 两个小等腰三角形.⑤ 不能将这个三 角形分成两个小等腰三角形.综上所 述,不能将这个三角形分成两个小等 腰三角形的为②⑤. (第7题) 8. 8 [解 析] ∵ CE ⊥ DB, ∴ ∠CED=∠CEB=90°.∵ CE 平 分∠ACB,∴ ∠DCE=∠BCE.在 △CDE 和△CBE 中, ∠DCE=∠BCE, CE=CE, ∠CED=∠CEB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △CDE ≌ △CBE.∴ CD=CB.∵ ∠DAB= ∠DBA,∴ AD=BD.∵ △CDB 的 周长为20,∴ CD+CB+BD=20. ∵ AC =14,∴ AD +CD =14. ∴ BD+CD=14.∴ CB=20-14= 6.∴ CD=CB=6.∴ BD=AD= 14-6=8. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 12 9. (1) 如图,过点E 作EF⊥BC 于 点F. ∵ BE=CE,EF⊥BC, ∴ ∠BEF=∠CEF=12∠BEC. 又∵ EF⊥BC,AD⊥BC, ∴ EF∥AD. ∴ ∠AGE=∠CEF=12∠BEC. ∴ ∠BEC=2∠AGE. (2) 由(1),知∠BEF=∠CEF= ∠AGE,EF∥AD. ∴ ∠BEF= ∠BAD,即 ∠BEF = ∠EAG. ∴ ∠AGE=∠EAG. ∴ EG=EA. ∴ △AEG 是等腰三角形. (第9题) 判定等腰三角形的关键——— 证明有两条边相等 (1) 通过角之间的等量代换证 明 有 两 个 角 相 等,利 用 等 角 对 等边. (2) 证明有所证两条边的两个 三角形全等,得相等线段. (3) 垂直平分线的性质:线段 垂直平分线上的点到该线段两个 端点的距离相等. (4) 角平分线上的点到角两边 的距离相等. 10. (1) ∵ ∠A=60°, ∴ ∠ABC+∠ACB=180°-∠A= 120°. ∵ BE 平分∠ABC,CF 平分∠ACB, ∴ ∠ABE= ∠CBE= 12 ∠ABC , ∠BCF=∠ACF=12∠ACB. ∴ ∠CBE+∠BCF=12 (∠ABC+ ∠ACB)=60°. ∴ ∠BPC =180°- (∠CBE + ∠BCF)=180°-60°=120°. (2) 如图,在BC 上截取BQ=BF,连 接PQ. 在△FBP 和△QBP 中, BP=BP, ∠FBP=∠QBP, BF=BQ, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △FBP≌△QBP. ∴ FP=QP,∠BFP=∠BQP. ∵ ∠A=60°,∠FPE=∠BPC=120°, ∴ ∠AFP+∠AEP=360°-60°- 120°=180°. ∴ 易得∠BFP+∠CEP=180°. ∵ ∠CQP+∠BQP=180°, ∴ ∠CEP=∠CQP. 在△CQP 和△CEP 中, ∠CQP=∠CEP, ∠QCP=∠ECP, CP=CP, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △CQP≌△CEP. ∴ QP=EP. ∵ FP=QP, ∴ FP=EP. ∴ △EFP 是等腰三角形. (第10题) 11. (1) 20°. (2) 当DC=2时,△ABD≌△DCE. 理由:∵ ∠ADE=40°,∠B=40°, ∠ADC=∠B+∠BAD,∠ADC= ∠ADE+∠CDE, ∴ ∠BAD=∠CDE. ∵ AB=2,DC=2, ∴ AB=DC. 在△ABD 和△DCE 中, ∠B=∠C, AB=DC, ∠BAD=∠CDE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABD≌△DCE. (3) 能. 当∠BAD=30°或60°时,△ADE 能 成为等腰三角形. 第3课时 等边三角形 1. C 2. B 3. 60° 4. (1) ∵ BD=BC,∠DBC=60°, ∴ △DBC是等边三角形. ∴ ∠BDC=60°,DB=DC=BC. 在△ADB 和△ADC中, AB=AC, AD=AD, DB=DC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADB≌△ADC. ∴ ∠ADB=∠ADC. ∴ ∠ADC=∠ADB= 12 (360°- ∠BDC)=150°. (2) △ABE 是等边三角形. ∵ ∠ABE=∠DBC=60°, ∴ 易得∠ABD=∠EBC. 在△ABD 和△EBC中, ∠ADB=∠ECB=150°, BD=BC, ∠ABD=∠EBC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABD≌△EBC. ∴ AB=EB. ∵ ∠ABE=60°, ∴ △ABE 是等边三角形. 5. A [解析] 如图,在AC 上截取 CN=AE,连接FN.∵ △ABC 是等 边三角形,∴ ∠A=60°,AB=AC. ∵ BD=2AE,∴ 易得 AD=NE. ∵ △DEF 是等边三角形,∴ DE= EF,∠DEF =60°.∵ ∠ADE = 180°-∠A-∠AED=180°-60°- ∠AED=120°-∠AED,∠NEF= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 22