13.1.2 线段的垂直平分线的性质-【拔尖特训】2024-2025学年八年级上册数学（人教版2012）

又∵ α+∠BCA=180°, ∴ ∠BCA=180°-α. ∴ ∠BCA = ∠BCE + ∠FCA = 180°-α. ∴ ∠EBC=∠FCA. 在△BCE 和△CAF 中, ∠BEC=∠CFA, ∠EBC=∠FCA, BC=CA, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BCE≌△CAF(AAS). ∴ BE=CF. 9. (1) 72°. (2) ∵ 由题意,知BD 平分∠ABC, ∠ABC=2∠C, ∴ ∠ABC=2∠ABD=2∠DBC= 2∠C. ∴ ∠ABD=∠DBC=∠C. ∴ 易得BD=CD. 在△ABD 和△ECD 中, ∠A=∠DEC, ∠ABD=∠C, BD=CD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABD≌△ECD(AAS). ∴ AB=EC. (3) 如图,延长BD 至点T,连接CT, 使CD=CT. ∵ CD=CT, ∴ ∠T=∠CDT=∠ADB. 由(2),得BD=CD, ∴ BD=CT. 在△ABD 和△ECT 中, ∠A=∠TEC, ∠ADB=∠T, BD=CT, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABD≌△ECT(AAS). ∴ AB=EC. (第9题) 第十三章　轴 对 称 13.1　轴 对 称 第1课时 轴 对 称 1. B 2. D 3. A 4. 60° 5. 300° 6. A [解析] 如图,连接AB',BB', 过点A 作AE⊥CD 于点E.∵ 点B 关于AC 的对称点B'恰好落在CD 上,∴ 易 得 AB=AB',∠BAC= ∠B'AC.∵ AB=AD,∴ AD=AB'. 又∵ AE⊥CD,∴ 易 得∠DAE= ∠B'AE.∴ 易得∠CAE=12∠BAD= 50°.又 ∵ ∠AEC =90°,∴ 易 得 ∠ACB=∠ACB'=90°-50°=40°. (第6题) 7. B [解 析] 连 接 OP1,OP2, P1P2.∵ 点P 关于直线AB,CD 的 对称点分别是P1,P2,∴ 易得OP1= OP=4,OP2=OP=4.∵ OP1- OP2<P1P2<OP1+OP2,∴ 0< P1P2<8.∴ 点P1,P2 之间的距离 可能是7. 8. C [解析] 如图,易得小球每经过 6次反弹为一个循环.∵ 2024÷6= 337(个)……2(次),∴ 第2024次碰 到长方形的边时的点为图中的M. (第8题) 9. 80° 10. (1) α+2∠B=90°. [解析] ∵ ∠C=90°,∴ ∠CAB+ ∠B=90°,即α+∠NAB+∠B= 90°.∵ 点A,B 关于直线MN 对称, ∴ 易得∠NAB=∠B.∴ α+2∠B= 90°. (2) ∵ △ABC的周长为24, ∴ AC+BC+AB=24. ∵ BC=43AC ,AB=53AC , ∴ AC+43AC+ 5 3AC=24 ,解得 AC=6. ∴ AC的长为6. 11. 连接A'A 交BC 于点D,延长 A'A 交B'C'于点E. ∵ 点A 关于BC的对称点为A', ∴ DA'=DA,AA'⊥BC. ∵ 点B 关于AC的对称点为B', ∴ BA=B'A,BB'⊥AC. ∵ 点C关于AB 的对称点为C', ∴ AC=AC',CC'⊥AB. ∴ 易得∠BAC=∠B'AC'=90°. 在△ABC和△AB'C'中, AB=AB', ∠BAC=∠B'AC', AC=AC', 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABC≌△AB'C'. ∴ BC =B'C',∠B = ∠AB'C', S△ABC=S△AB'C'. ∴ BC∥B'C'. ∵ AA'⊥BC, ∴ 易得AE⊥B'C',S△ABC= 1 2BC · AD. ∴ S△AB'C'= 1 2B'C' ·AE. ∴ AD=AE. ∴ A'E=3AD. ∴ S△A'B'C'= 1 2B'C' ·A'E=12× BC·3AD=3S△ABC=3×1=3. 第2课时 线段的垂直平分线的 性质 1. A 2. B 3. 4 4. 40° [解析] ∵ ED 是AC 的垂直 平分线,∴ AE=EC.∴ ∠EAC= ∠C.∵ ∠ABC=90°,∠BAE=10°, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 71 ∴ ∠EAC+∠C=∠AEB=180°- ∠BAE-∠ABC=80°.∴ ∠EAC= ∠C=40°. 5. 过点 D 作DE⊥AB 于点E,则 ∠AED=90°. ∵ ∠C=90°, ∴ ∠AED=∠C=90°. ∵ AD 平分∠BAC, ∴ ∠EAD=∠CAD. 在△AED 和△ACD 中, ∵ ∠AED=∠C,∠EAD=∠CAD, AD=AD, ∴ △AED≌△ACD. ∴ AE=AC. ∵ AB=2AC, ∴ AB=2AE. ∴ BE=AE. 又∵ DE⊥AB, ∴ DE 所在的直线是线段AB 的垂直 平分线. ∴ 点D 在线段AB 的垂直平分线上. 证明一条直线是某条线段的 垂直平分线的条件 (1) 存在两点:直线上有两个 不同的点. (2) 到两端点的距离相等:两点 到线段两个端点的距离分别相等. 根据两点确定一条直线,推导 出这两个点所在的直线就是这条 线段的垂直平分线. 6. C [解析] 如图,连接AO.∵ l1 垂直 平 分 AB,l2 垂 直 平 分 AC, ∴ AO=BO,AO=CO.∴ ∠OBA= ∠OAB,∠OCA=∠OAC. ∵ ∠OAB+∠OAC=∠BAC=78°, ∴ ∠OBA + ∠OCA = ∠OAB + ∠OAC=78°.∵ ∠ABC+∠ACB= 180°-∠BAC=180°-78°=102°, ∴ ∠OBC + ∠OCB = ∠ABC - ∠OBA+∠ACB-∠OCA=102°- 78°=24°.∵ AO=BO,AO=CO, ∴ BO=CO.∴ ∠OBC= ∠OCB=12°. (第6题) 7. C [解析] 如图,连接CE.∵ 线 段AB,DE 的垂直平分线交于点C, ∴ CA =CB,CE =CD.∵ 易 得 ∠ABC=∠EDC=72°=∠DEC= ∠BAC,∴ ∠ACB=∠ECD=36°. ∴ 易得∠ACE=∠BCD.在△ACE 和 △BCD 中, CA=CB, ∠ACE=∠BCD, CE=CD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ACE≌△BCD.∴ ∠AEC= ∠BDC.设∠AEC=∠BDC=α,则 ∠BDE=∠EDC-∠BDC=72°-α, ∠CEB=∠AEB-∠AEC=92°-α. ∴ ∠BED=∠DEC-∠CEB=72°- (92°-α)=α-20°.∴ 在△BDE 中, ∠EBD=180°-∠BDE-∠BED= 180°-(72°-α)-(α-20°)=128°. (第7题) 8. 1<m<5 [解析] ∵ AD=3, AC=5,DE 垂直平分BC,∴ BD= CD=5-3=2.∵ AD-BD<AB< AD+BD,∴ 3-2<m<3+2,即1< m<5. 9. (1) ∵ BD 垂直平分线段AE, ∴ BA=BE,DA=DE. 又∵ AB=6, ∴ BE=6. ∵ △DEC的周长为7,即DE+CE+ CD=7, ∴ AC+EC=AD+DC+EC= DE+DC+EC=7. ∴ △ABC 的 周 长 为 AB+BC+ AC=AB+BE+EC+AC=6+6+ 7=19. (2) ∵ BD 垂直平分线段AE, ∴ AB=BE,DA=DE,∠AFB= 90°. ∵ ∠ABD=15°, ∴ ∠BAE=∠BEA=180°-90°- 15°=75°. 又∵ ∠C=45°, ∴ ∠CAE=75°-45°=30°. ∵ DA=DE, ∴ ∠DEA=∠DAE=30°. ∴ ∠CED=180°-75°-30°=75°. 10. (1) 如图,连接CD. ∵ DG 是BC的垂直平分线, ∴ BD=CD. ∵ DE⊥AB,DF⊥AC,AD 平分 ∠BAC, ∴ DE=DF,∠BED=∠CFD=90°. 在Rt△BDE 和Rt△CDF 中, BD=CD, DE=DF, ∴ Rt△BDE≌Rt△CDF. ∴ BE=CF. (2) 由(1),得 BE=CF,设 BE= CF=x. ∵ DE⊥AB,DF⊥AC, ∴ ∠DEA=∠DFA=90°. 在Rt△ADE 和Rt△ADF 中, AD=AD, DE=DF, ∴ Rt△ADE≌Rt△ADF. ∴ AE=AF. ∵ AB=15,AC=9, ∴ 15-x=9+x,解得x=3. ∴ BE=3. (第10题) 11. (1) 60°. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 81 (2) 90°-12α. [解析] ∵ DM,EN 分别垂直平分AC,BC,∴ MA=MC, NB=NC.∴ ∠ACM = ∠CAM, ∠NCB= ∠NBC.又 ∵ 在 △ABC 中,∠CAM + ∠NBC+ ∠ACM + ∠NCB+∠MCN=180°, ∴ 2(∠CAM+∠NBC)+∠MCN= 180°,即2(∠CAM+∠NBC)+α= 180°.∴ ∠CAM + ∠NBC = 1 2 (180°-α)=90°- 12α.∵ 在 △FMN 中,∠MFN = 180° - ∠FMN-∠FNM,易得∠FMN= ∠AMD=90°-∠CAM,∠FNM= ∠BNE=90°-∠NBC, ∴ ∠MFN=180°-(90°- ∠CAM)-(90°-∠NBC)= ∠CAM+∠NBC=90°-12α. (3) ∵ △CMN 的周长为6cm, ∴ MC+MN+NC=6cm. 又∵ MC=MA,NC=NB, ∴ MA +MN +NB =6cm,即 AB=6cm. ∵ △FAB 的周长为14cm, ∴ FA+FB+AB=14cm. ∴ FA+FB=8cm. ∵ DF,EF 分别垂直平分AC,BC, ∴ FA=FC,FB=FC. ∴ 2FC=8cm. ∴ FC=4cm. 13.2　画轴对称图形 1. B 2. C 3. (6,2) 4. (1) 如图,△A1B1C1即为所求. (2) 如图,点D 即为所求. (第4题) 5. A 6. D 7. C 8. (-6-m,n) [解析] ∵ 点A(-6, 6)的对称点A'的坐标为(0,6),∴ 对 称轴为直线x=-3.设点M 的对称 点 的 坐 标 为 (m',n').∴ 易 得 m+m' 2 =-3 ,n'=n.∴ m'=-6- m.∴ 点M 的对称点的坐标为(-6- m,n). 9. (1) 如图,△A'B'C'即为所求. (2) 如图,直线EF 即为所求. (3) 如图,连接BO,B'O,B″O. ∵ △ABC和△A'B'C'关于直线MN 对称, ∴ ∠BOM=∠B'OM. 又∵ △A'B'C'和△A″B″C″关于直线 EF 对称, ∴ ∠B'OE=∠B″OE. 由题意,得∠B'OM+∠B'OE=α, ∴ ∠BOB″=∠BOM +∠B'OM + ∠B'OE+ ∠B″OE =2(∠B'OM + ∠B'OE)=2α,即∠BOB″=2α. (第9题) 10. (1) 如图,△A1B1C1 即为所求, 点A1,B1,C1 的坐标分别为(0,4), (2,2),(1,1). (2) ① 当0<a≤3时, ∵ 点P 与点P1 关于y轴对称,点P 的坐标为(-a,0), ∴ 点P1的坐标为(a,0). 又∵ 点P1与点P2关于直线l:x=3 对称,设点P2的坐标为(m,0), ∴ m+a 2 =3 ,即m=6-a. ∴ 点P2的坐标为(6-a,0). ∴ P1P2=6-a-a=6-2a. ② 当a>3时, ∵ 点P 与点P1关于y轴对称,点P 的坐标为(-a,0), ∴ 点P1的坐标为(a,0). 又∵ 点P1与点P2关于直线l:x=3 对称,设点P2的坐标为(n,0), ∴ n+a 2 =3 ,即n=6-a. ∴ 点P2的坐标为(6-a,0). ∴ P1P2=a-(6-a)=2a-6. 综上所述,当0<a≤3时,P1P2=6- 2a;当a>3时,P1P2=2a-6. (3) 当0<a≤3时,易得 PP2= PP1+P1P2=2a+6-2a=6. 当a>3 时,易 得 PP2 =PP1 - P1P2=2a-(2a-6)=6. 综上所述,PP2的长不会随点P 位置 的变化而变化. (第10题) 13.3　等腰三角形 第1课时 等腰三角形的性质 1. C 2. C 3. B 4. 40° [解 析] ∵ ∠D =110°, ∴ ∠1+∠BCD=180°-∠D=70°. ∵ ∠1= ∠2,∴ ∠2+ ∠BCD = ∠ACB = 70°.∵ AB = AC, ∴ ∠ABC=∠ACB=70°.∴ ∠A= 180°-70°-70°=40°. 5. (1) 如图,连接CD. ∵ AC=BC,D 是AB 的中点, ∴ CD ⊥AB,∠ACD = ∠BCD = 1 2∠ACB. ∴ ∠BCD+∠B=90°. ∵ DE⊥BC, ∴ ∠B+∠BDE=90°. ∴ ∠BCD=∠BDE. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 91 42 第2课时 线段的垂直平分线的性质 ▶ “答案与解析”见P17 1. 如图,在△ABC中,分别以点A,B 为圆心,大 于1 2AB 的长为半径画弧,两弧相交于点E, F,连接AE,BE,作直线EF 交AB 于点M, 连接CM,则下列判断中,不正确的是 ( ) (第1题) A. AB=2CM B. EF⊥AB C. AE=BE D. AM=BM 2. (2023·黔南期末)如图,在△ABC 中,AB 的 垂直平分线DE 交AC 于点D,垂足为E,连 接BD.如果△DBC 的周长为10cm,BC= 4cm,那么AC 的长为 ( ) (第2题) A. 5cm B. 6cm C. 7cm D. 9cm 3. (易错易混题)如图,在△ABC 中,AB=AC, D 是BC 的中点,AC 的垂直平分线分别交 AC,AD,AB 于点E,O,F,连接OC,OB,则 图中全等三角形的对数是 . (第3题) (第4题) 4. (2022·青海)如图,在Rt△ABC中,∠ABC= 90°,ED 是AC 的垂直平分线,交AC 于点 D,交BC 于点E,∠BAE=10°,则∠C 的度 数为 . 5. ★如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AB= 2AC,AD 平分∠BAC,交BC 于点D.求证: 点D 在线段AB 的垂直平分线上. (第5题) 6. 如图,在△ABC 中,AB,AC 的垂直平分线 l1,l2相交于点O,连接OB,OC.若∠BAC= 78°,则∠OBC 的度数为 ( ) A. 6° B. 8° C. 12° D. 16° (第6题) (第7题) 7. 如图,线段AB,DE 的垂直平分线交于点C, 且∠ABC=∠EDC=72°,∠AEB=92°,则 ∠EBD 的度数为 ( ) A. 168° B. 158° C. 128° D. 118° 答案讲解 8. 如图,在△ABC 中,BC 的垂直平分 线DE 交AC 于点D,交BC 于点 E,连接BD.若AD=3,AC=5,设 AB 的长为m,则m 的取值范围是 . (第8题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)八年级上 43 9. (2023·亳州期末)如图,在△ABC 中,E 是 边BC 上的一点,连接AE,BD 垂直平分线 段AE,垂足为F,交AC 于点D,连接DE. (1) 若 AB =6,△DEC 的 周 长 为 7,求 △ABC 的周长. (2) 若∠ABD=15°,∠C=45°,求∠CED 的 度数. (第9题) 答案讲解 10. 如图,∠BAC 的平分线与BC 的垂 直平分线DG 相交于点D,连接 BD,过点D 作DE⊥AB 于点E, DF⊥AC 交AC 的延长线于点F. (1) 求证:BE=CF. (2) 若AB=15,AC=9,求BE 的长. (第10题) 答案讲解 11. (核心素养·模型构造)如图,在 △ABC 中,DM,EN 分别垂直平 分AC,BC,交AB 于M,N 两点, DM 与EN 的延长线相交于点F,连接 CM,CN. (1) 若∠ACB=120°,则∠MCN 的度数为 . (2) 若∠MCN=α,则∠MFN 的度数为 (用含α的式子表示). (3) 连接FA,FB,FC,若△CMN 的周长 为6cm,△FAB 的周长为14cm,求FC 的长. (第11题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第十三章　轴 对 称