12.3 角的平分线的性质-【拔尖特训】2024-2025学年八年级上册数学（人教版2012）

34 12.3　角的平分线的性质 ▶ “答案与解析”见P14 1. 如图,在四边形ABCD 中,∠BCD=90°,BD 平分∠ABC,AB=6,BC=9,CD=4,则四边 形ABCD 的面积是 ( ) A. 24 B. 30 C. 36 D. 42 (第1题) (第2题) 2. 如图,△ABC 的外角的平分线BD 与CE 相 交于点P.若点P 到AC 的距离为3,则点P 到AB 的距离为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 如图,在Rt△ABC 中,∠C=90°,AD 平分 ∠BAC,交BC 于点D.若AC=6,BC=8, AB=10,则CD 的长为 ( ) (第3题) A. 2.4 B. 3 C. 3.6 D. 4 4. (2023·惠州期末)如图,在Rt△ABC 中, ∠C=90°,以顶点A 为圆心,适当长为半径 画弧,分别交AC,AB 于点M,N,再分别以 点M,N 为圆心,大于12MN 的长为半径画 弧,两弧交于点P,作射线AP 交边BC 于点 D.若CD=3,AB=10,则△ABD 的面积是 . (第4题) 5. 如图,在四边形ABCD 中,AB=AC,∠D= 90°,BE⊥AC 于点F,交CD 于点E,连接 EA,EA 平分∠DEF. (1) 求证:AF=AD. (2) 若BF=7,DE=3,求CE 的长. (第5题) 6. (易错易混题)如图,AB∥CD,BE 和CE 分 别 平分∠ABC 和∠BCD,AD 过点E,且 DA⊥AB于点A,P为线段BC上一动点,连接 PE.若AD=8,则PE 长的最小值为 ( ) A. 8 B. 5 C. 4 D. 2 (第6题) (第7题) 7. 如图,△ABC的三边AB,BC,CA 的长分别是 20,30,40,三条角平分线将△ABC 分为三个 三角形.若S△ABO=30,则S△ABC 等于( ) A. 180 B. 155 C. 150 D. 135 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)八年级上 35 8. 如图,△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与 内角∠ABC 的平分线BP 交于点P,连接 AP.若∠BPC=36°,则∠CAP 的度数为 . (第8题) (第9题) 答案讲解 9. 如图,在∠AOB 的边OA,OB 上取 点 M,N,连 接 MN,MP 平 分 ∠AMN,NP 平 分 ∠MNB.若 MN=4,△PMN 的面积是6,△OMN 的面 积是9,则OM+ON 的值是 . 答案讲解 10. 如图,在四边形ABCD 中,AC 平 分∠BAD,CE⊥AB 于点E. (1) 若∠ADC+∠ABC=180°,求 证:AB+AD=2AE. (2) 若AB+AD=2AE,求证:CD=CB. (第10题) 答案讲解 11. 如图,在△ABC 中,点D 在边BC 上,∠BAD=100°,∠ABC 的平分 线交AC 于点E,过点E 作EF⊥ AB,交BA 的延长线于点F,且∠AEF= 50°,连接DE. (1) 求∠CAD 的度数. (2) 求证:DE 平分∠ADC. (3) 若AB=7,AD=4,CD=8,且S△ACD= 15,求△ABE 的面积. (第11题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第十二章　全等三角形 ∴ AF+EF=AF+CF=AC=DE. ∴ (1)中的两个结论成立. (3) AF=DE+EF. 如图③,连接BF. ∵ △ABC≌△DBE, ∴ BC=BE,AC=DE. ∵ ∠ACB=∠DEB=90°, ∴ ∠BCF=∠BEF=90°. 在Rt△BCF 和Rt△BEF 中, BF=BF, BC=BE, ∴ Rt△BCF≌Rt△BEF(HL). ∴ CF=EF. ∴ AF=AC+CF=DE+EF. (第4题) 12.3　角的平分线的性质 1. B 2. C 3. B 4. 15 5. (1) ∵ ∠D=90°, ∴ AD⊥DE. ∵ EA 平分∠DEF, 又∵ AF⊥EF, ∴ AF=AD. (2) ∵ BE⊥AC, ∴ ∠AFB=90°. 在Rt△ABF 和Rt△ACD 中, AB=AC, AF=AD, ∴ Rt△ABF≌Rt△ACD(HL). ∴ BF=CD=7. ∵ DE=3, ∴ CE=CD-DE=7-3=4. 6. C 7. D 8. 54° [解析] 如图,过点 P 作 PF⊥BA,交BA 的延长线于点F, PN⊥BD 于点N,PM⊥AC 于点M. 设∠PCD=x°.∵ CP 平分∠ACD, ∴ ∠ACP=∠PCD=x°,PM=PN. ∴ ∠ACD=∠ACP+∠PCD=2x°. ∵ BP 平 分 ∠ABC,∴ ∠ABP= ∠PBC,PF=PN.∴ PF=PM.又 ∵ PF⊥BA,PM⊥AC,∴ AP 平分 ∠FAC. ∴ ∠FAP = ∠CAP. ∵ ∠BPC= 36°, ∴ ∠ABP = ∠PBC = x°- 36°.∴ ∠BAC= ∠ACD - ∠ABC =2x°- (x°- 36°)-(x°-36°)=72°.∴ ∠CAF= 180°-72°=108°.∴ ∠FAP = ∠CAP=12∠CAF=54°. (第8题) 9. 10 [解析] 如 图,过 点 P 作 PH⊥MN 于点H,PC⊥OA 于点C, PD⊥OB 于点D,连接PO.∵ MP 平 分 ∠AMN,NP 平 分 ∠MNB, ∴ PC=PH,PD=PH.∴ PC= PD.∵ △PMN 的面积=12MN · PH =6,MN =4,∴ PH =3. ∴ PC=PD=3.∵ △PMN 的面积 是 6,△OMN 的 面 积 是 9, ∴ △POM+△PON =6+9=15. ∴ 1 2OM ·PC+12ON ·PD=15. ∴ (OM+ON)×3=15×2.∴ OM+ ON=10,即OM+ON 的值是10. (第9题) 10. (1) 延长AB 至点M,使AE= ME,连接CM. ∵ CE⊥AB, ∴ ∠AEC=∠MEC=90°. 在△ACE 和△MCE 中, AE=ME, ∠AEC=∠MEC, CE=CE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ACE≌△MCE(SAS). ∴ AC=MC,∠CAE=∠CME. ∵ AC平分∠BAD, ∴ ∠DAC=∠CAE. ∴ ∠DAC=∠BMC. ∵ ∠ADC+∠ABC=180°,∠ABC+ ∠CBM=180°, ∴ ∠ADC=∠CBM. 在△ADC和△MBC中, ∠ADC=∠MBC, ∠DAC=∠BMC, AC=MC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADC≌△MBC(AAS). ∴ AD=MB. ∴ AM=2AE=AB+BM=AB+ AD,即AB+AD=2AE. (2) 延长AB 至点N,使BN=AD, 连接CN. ∵ AB+AD=2AE=AB+BN= AN, ∴ 易得AE=NE. 又∵ CE⊥AN, ∴ 同 理 (1),得 AC = NC, ∠CAE=∠CNE. ∵ AC平分∠BAD, ∴ ∠DAC=∠CAE. ∴ ∠DAC=∠BNC. 在△ADC和△NBC中, AD=NB, ∠DAC=∠BNC, AC=NC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADC≌△NBC(SAS). ∴ CD=CB. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 41 11. (1) ∵ EF⊥AB,∠AEF=50°, ∴ ∠FAE=90°-50°=40°. ∵ ∠BAD=100°, ∴ ∠CAD = 180°- ∠BAD - ∠FAE=180°-100°-40°=40°. (2) 如图,过点E 作EG⊥AD 于点 G,EH⊥BC于点H. ∵ ∠FAE=∠DAE=40°,EF⊥BF, EG⊥AD, ∴ AE 平分∠FAG,EF=EG. ∵ BE 平 分 ∠ABC,EF ⊥BF, EH⊥BC, ∴ EF=EH. ∴ EG=EH. ∵ EG⊥AD,EH⊥BC, ∴ DE 平分∠ADC. (3) ∵ S△ACD=15,S△ACD=S△ADE+ S△CDE,EG=EH, ∴ 1 2AD ·EG+12CD ·EH=15, 即1 2×4EG+ 1 2×8EG=15 ,解得 EG=EH=52. ∴ EF=EH=52. ∴ △ABE 的面积=12AB ·EF= 1 2×7× 5 2= 35 4. (第11题) 第十二章复习 ［知识体系构建］ 完全重合 相等 相等 相等 相等 相等 相等 ［高频考点突破］ 典例1 65° [跟踪训练] 1. 40° [解析] ∵ △ABC≌△ADE,∠AED= 105°,∠B = 50°,∴ ∠ACB = ∠AED=105°,∠D = ∠B =50°. ∴ ∠ACF=180°-∠ACB=75°. ∵ ∠CAD=15°,∴ ∠AFC=180°- ∠CAF-∠ACF=90°.∴ ∠AFG= 180°-∠AFC=90°.∴ ∠DGF= ∠AFG-∠D=90°-50°=40°. 典例2 (1) ∵ AD 为△ABC的角平 分线, ∴ ∠BAD=∠CAD. 由作图,知AE=AF. 在△ADE 和△ADF 中, AE=AF, ∠EAD=∠FAD, AD=AD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADE≌△ADF(SAS). (2) ∵ ∠BAC=80°,AD 为△ABC 的角平分线, ∴ ∠EAD=12∠BAC=40°. 由作图,知AE=AD. ∴ ∠AED=∠ADE. ∴ ∠ADE=12× (180°-40°)=70°. 在△ABD 和△ACD 中, AB=AC, ∠BAD=∠CAD, AD=AD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABD≌△ACD(SAS). ∴ 易得∠ADB=∠ADC=90°. ∴ ∠BDE=90°-∠ADE=20°. [跟踪训练] 2. (1) ∵ ∠BAC= ∠FAG, ∴ ∠BAC - ∠CAD = ∠FAG - ∠CAD,即∠BAF=∠CAG. 在△ABF 和△ACG 中, ∠BAF=∠CAG, AB=AC, ∠ABF=∠ACG, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABF≌△ACG(ASA). (2) ∵ △ABF≌△ACG, ∴ AF=AG,BF=CG. ∵ AB=AC,AD⊥BC, ∴ 易得∠BAF=∠CAD. ∵ ∠BAF=∠CAG, ∴ ∠CAD=∠CAG. 在△AEF 和△AEG 中, AF=AG, ∠FAE=∠GAE, AE=AE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AEF≌△AEG(SAS). ∴ EF=EG. ∴ BE=BF+EF=CG+EG. 典例3 (1) 如图,延长DC 至点F, 使CF=AD,连接BF. ∵ ∠ABE=60°, ∴ ∠A+∠E=120°. ∵ ∠ADB=∠BDC=60°, ∴ ∠CDE=60°. ∴ ∠DCE+∠E=120°. ∴ ∠A=∠DCE=∠BCF. 又∵ AB=CB,AD=CF, ∴ △ABD≌△CBF(SAS). ∴ BD=BF,∠ABD=∠CBF. ∵ ∠ABC=∠ABD+∠DBC=60°, ∴ ∠DBF=∠DBC+∠CBF=60°. 又∵ ∠BDF=60°, ∴ 易得BF=DF. ∴ BD=DF. ∵ CF+CD=DF, ∴ AD+CD=BD. (2) ∵ BD=AD+CD, 又∵ CD=2DH, ∴ BD=AD+2DH=AH+DH. ∴ 7=6+DH. ∴ DH=1. (典例3图) [跟踪训练] 3. (1) 如图,∵ BE, CE 分别是∠ABC 和∠BCD 的平 分线, ∴ ∠1=∠2,∠3=∠4. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 51