12.2.4 用HL判定三角形全等-【拔尖特训】2024-2025学年八年级上册数学（人教版2012）

28 第4课时 用“HL”判定三角形全等 ▶ “答案与解析”见P11 1. 如图,AB⊥AC 于点A,BD⊥CD 于点D.若 AC=DB,则下列结论中,不正确的是( ) (第1题) A. ∠A=∠D B. ∠ABC=∠DCB C. OB=CD D. OA=OD 2. 根据下列已知条件,不能画出唯一的△ABC 的是 ( ) A. ∠A=60°,∠B=45°,AB=4 B. ∠A=30°,AB=5,BC=3 C. ∠B=60°,AB=6,BC=10 D. ∠C=90°,AB=5,BC=3 3. 如图,在△ABC 中,∠C=90°,AD=AC, DE⊥AB 交BC 于点E.若∠B=28°,则 ∠AEC 的度数为 . (第3题) 4. 如图,MN∥PQ,AB⊥PQ,点A,D 在直线 MN 上,点B,C 在直线PQ 上,点E 在AB 上,AD+BC=7,AD=EB,DE=EC,则 AB 的长为 . (第4题) 5. ★如 图,在 四 边 形 ABCD 中,∠ABC = ∠ADC=90°,BE⊥AC 于点E,DF⊥AC 于 点F,AE=CF,BC=DA.求证:Rt△ABE≌ Rt△CDF. (第5题) 6. 如图,在△ABC 中,AB=AC,BD⊥AC 于点 D,CE⊥AB 于点E,BD 和CE 交于点O,连 接AO 并延长,交BC 于点F,则图中全等的 直角三角形有 ( ) A. 4对 B. 5对 C. 6对 D. 7对 (第6题) (第7题) (第8题) 7. 如图,BD=CF,FD⊥BC 于点D,DE⊥AB 于点 E,BE=CD.若 ∠AFD =145°,则 ∠EDF 的度数为 . 答案讲解 8. 如图,在Rt△ABC 中,∠C=90°, AC=8,BC=4,PQ=AB,P,Q 两 点分别在线段AC 和过点A 且垂直 于AC 的 射 线 AO 上 运 动.当△ABC 和 △PQA 全等时,AP 的长为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)八年级上 29 9. 八年级数学社团活动课上,同学们讨论了这 样一道题:如图,在△ABE 和△ACD 中, ∠BAC 是钝角,AB=AC,点D,E 分别在边 AB,AC 上,且CD=BE.求证:∠AEB= ∠ADC. 其中一名同学的解法如下: 在△ABE 和△ACD 中, AB=AC, BE=CD, ∠BAE=∠CAD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABE≌△ACD. ∴ ∠AEB=∠ADC. 这种解法遭到了其他同学的质疑,理由是不 能用“SSA”证明三角形全等.请你给出这道 题的正确解法. (第9题) 答案讲解 10. 如 图,在 △ABC 和 △ADE 中, AB=AC,AD =AE,∠BAC= ∠DAE,CE 的延长线交BD 于 点F. (1) 求证:△ACE≌△ABD. (2) 若∠BAC = ∠DAE =50°,请 求 出 ∠BFC 的度数. (3) 过点 A 作AH⊥BD 于点 H,求证: EF+DH=HF. (第10题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第十二章　全等三角形 ∴ AF=BH. ∴ AF-BF=BH-BF,即 AB= FH=4. ∵ EF⊥AB,GH⊥AB, ∴ ∠EFD=∠GHD=90°. 在△EFD 和△GHD 中, ∠EDF=∠GDH, ∠EFD=∠GHD, EF=GH, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △EFD≌△GHD(AAS). ∴ DF=DH=12FH=2. 第4课时 用“HL”判定 三角形全等 1. C 2. B 3. 59° 4. 7 5. 由题意,得∠ABC=∠ADC=90°. 在Rt△ABC和Rt△CDA 中, AC=CA, BC=DA, ∴ Rt△ABC≌Rt△CDA(HL). ∴ AB=CD. ∵ BE⊥AC,DF⊥AC, ∴ ∠AEB=∠CFD=90°. 在Rt△ABE 和Rt△CDF 中, AB=CD, AE=CF, ∴ Rt△ABE≌Rt△CDF(HL). 判定直角三角形全等的四种思路 (1) 若已知条件中有一组斜边 和一组直角边分别对应相等,则用 “HL”判定. (2) 若有一组锐角和一组斜边 分别对应相等,则用“AAS”判定. (3) 若有一组锐角和一组直角 边分别对应相等:① 直角边是锐角 的对边,则用“AAS”判定;② 直角 边是 锐 角 的 邻 边,则 用 “ASA” 判定. (4) 若有两组直角边分别对应 相等,则用“SAS”判定. 6. C 7. 55° 8. 4或8 9. 如图,过B,C两点分别作CA,BA 的垂线,分别交CA,BA 的延长线于 点F,G. 在△ABF 和△ACG 中, ∠F=∠G=90°, ∠FAB=∠GAC, AB=AC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABF≌△ACG(AAS). ∴ BF=CG. 在Rt△BEF 和Rt△CDG 中, BE=CD, BF=CG, ∴ Rt△BEF≌Rt△CDG(HL). ∴ ∠AEB=∠ADC. (第9题) 10. (1) ∵ ∠BAC=∠DAE, ∴ ∠BAC + ∠BAE = ∠DAE + ∠BAE,即∠CAE=∠BAD. 在△ACE 和△ABD 中, AC=AB, ∠CAE=∠BAD, AE=AD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ACE≌△ABD(SAS). (2) ∵ △ACE≌△ABD, ∴ ∠AEC=∠ADB. ∴ ∠AEF + ∠AEC = ∠AEF + ∠ADB=180°. ∴ ∠DAE+∠DFE=180°. ∵ ∠BFC+∠DFE=180°, ∴ ∠BFC=∠DAE=50°. (3) 如图,连接AF,过点A 作AJ⊥ CF 于点J. ∵ △ACE≌△ABD, ∴ S△ACE=S△ABD,CE=BD. ∵ AJ⊥CE,AH⊥BD, ∴ 1 2CE ·AJ=12BD ·AH. ∴ AJ=AH. 在Rt△AFJ和Rt△AFH 中, AF=AF, AJ=AH, ∴ Rt△AFJ≌Rt△AFH(HL). ∴ JF=HF. 在Rt△AJE 和Rt△AHD 中, AE=AD, AJ=AH, ∴ Rt△AJE≌Rt△AHD(HL). ∴ JE=HD. ∴ EF+DH=EF+JE=JF=HF. (第10题) 专题特训（三）　全等 三角形的基本模型 1. (1) 选择不唯一,如选择的三个条 件是①②③. (2) ∵ BE=CF, ∴ BE+EC=CF+EC,即BC=EF. 在△ABC和△DEF 中, AB=DE, BC=EF, AC=DF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABC≌△DEF(SSS). 2. ∵ ∠AOD=∠COB, ∴ ∠AOD - ∠BOD = ∠COB - ∠BOD,即∠AOB=∠COD. 在△AOB 和△COD 中, OA=OC, ∠AOB=∠COD, OB=OD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AOB≌△COD(SAS). ∴ AB=CD. 3. 40° 4. (1) ∵ ∠BAD=∠EAC, ∴ ∠BAD + ∠CAD = ∠EAC + ∠CAD,即∠BAC=∠DAE. ∵ AE∥BC, ∴ ∠EAC=∠C. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 11