12.2.4 用“HL（斜边、直角边）”判定三角形全等（检测卷）-2024-2025学年人教版数学八年级上册同步培优过关必刷卷

2024-2025学年人教版数学八年级上册同步培优过关必刷卷【第12章《全等三角形》】 12.2.4 用“HL（斜边、直角边）”判定三角形全等 检测时间：120分钟 试题满分：100分 难度系数：0.44（较难）题目来源：全国各地名校真题 班级： 姓名： 学号： 一、选择题(共10题；每题2分，共20分) 1．（2分）（2024八上·青浦期末）如图，在中，，为上一点，联结，点在上，过点作，，垂足分别为M、N．下面四个结论： ①如果，那么； ②如果，那么； ③如果，那么； ④如果，那么． 其中正确的有（　　）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2分）（2024八上·巴彦期末）如图，的内部作射线，过点M分别作于点A，于点B，，连接，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．（2分）（2024八上·张家港期末）如图，在中，，，为的中点，为上一点，为延长线上一点，且有下列结论：①；②为等边三角形；③；④其中正确的结论是（　　） A．①②③④ B．①② C．①②④ D．③④ 4．（2分）（2024八上·上城期末）如图，在四边形中，，连接，取，连接，下列条件中不一定能判定的是 A． B． C． D． 5．（2分）（2024八上·三台期末）如图，已知中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下四个结论： ①△EPF是等腰直角三角形；②∠AFE=∠FPC； ③S四边形AEPF=S△ABC； ④当∠EPF在内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），BE+CF=EF．上述结论中始终正确的有（　　） A．①② B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 6．（2分）（2024八上·叙州期末）如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，且AD，BE交于点O，延长AC至点P，使CP=CD，连接BP，OP；延长AD交BP于点F．则下列结论：①BP=AD；②BF=CP；③BP=2PF；④PO⊥BE；⑤AC+CD=AB．其中正确的是（　　） A．①③⑤ B．①③④⑤ C．①②③④ D．①②③④⑤ 7．（2分）（2024八上·雨花期末）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△ECD，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q连接PQ．以下五个结论正确的是（　　） ① ；②PQ∥AE； ③ ；④ ；⑤ A．①③⑤ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 8．（2分）（2024八上·长沙期末）如图，已知，点是的平分线上的一上定点，点，分别在射线和射线上，且.下列结论：①是等边三角形；②四边形的面积是一个定值；①当时，的周长最小；④当时，也平行于.其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（2分）（2024八上·合江期末）如图，点 是 的中点，平分 ，下列结论：①；②；③；④，四个结论中成立的是（　　） A．①②④ B．①②③ C．③④ D．①③ 10．（2分）（2023八上·拱墅期中）如图，在 中， ， ，D，E分别为线段AB，AC上一点，且 ，连接BE、CD交于点G，延长AG交BC于点F.以下四个结论正确的是（　　） ① ；②若 ，则 ；③若BE平分 ，则 ；④连结EF，若 ，则 . A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④ 二、填空题(共10题；每题2分，共20分) 11．（2分）（2024八下·深圳期末）如图， 中， ， ，点 为 中点，且 ， 的平分线与 的垂直平分线交于点 ，将 沿 （ 在 上， 在 上）折叠，点 与点 恰好重合，则 为　 　度. 12．（2分）（2024八上·巴彦期末）如图，在四边形ABCD中，，，点E是上一点，若，，则的度数为　 　． 13．（2分）（2024八上·遵义期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝1.3cm，则BF＝　 　cm． 14．（2分）（2024八上·湖州期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF．给出下列四个结论：①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC；④AC=3EC，其中正确的结论是　 　（填序号）． 15．（2分）（2024八下·路南开学考）如图，已知在四边形ABCD内，DB＝DC，∠DCA＝60°，∠DAC＝78°，∠CAB＝24°，则∠ACB＝　 　. 16．（2分）（2024八上·岳阳楼期末）如图，已知：中，，，为线段上一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，为中点，直线交射线于点，下列说法，若连接，则；；；若，则其中正确的序号有　 　． 17．（2分）（2024八上·柳州期末）如图，在等边中，于D，E是线段上一点，F是边上一点，且满足，G是的中点，连接，则下列四个结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的有　 　.（填序号） 18．（2分）（2024八上·江北期末）如图1，在 中， ， 为 中点.将 沿 翻折，得到 （如图2）， 为 上一点，再将 沿 翻折，使得 与 重合（如图3），给出下列四个命题：① ；② ；③ ；④ .其中说法正确的是　 　. 19．（2分）（2023八上·乐山期末）如图，且且，请按图中标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积　 　． 20．（2分）（2023八上·渝北期中）如图，是等腰的角平分线，，，过点作的垂线，过点作的平行线，两线交于点与交于，与交于，连接，点是线段上的动点，点是线段上的动点，连接，，下列四个结论：；；；；其中正确的是　 　填写序号 三、解答题(共8题；共60分) 21．（6分）（2024八上·遵义期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，DC⊥AC，垂足为C，AD交线段BC于F，E是AC边上一点，连接BE，交AD于点G且BE＝AD． （1）（3分）猜猜BE与AD有怎样的位置关系？说说你的理由； （2）（3分）若BE是∠ABC的角平分线，试说明△CFD是等腰三角形． 22．（6分）（2023八上·黄陂期中）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点． 的三个顶点都是格点． 仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）（3分）在图1中，先画，且，再在上画点，使； （2）（3分）在图2中，先画格点，使得，画出射线，再在射线上画点，使得． 23．（8分）（2024八上·梅里斯期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E． （1）（4分）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①ADC≌△CEB．②DE=AD+BE； （2）（4分）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由． 24．（8分）（2023八上·长沙月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(a，0)、B(0，b)分别为x轴和y轴上一点，且a，b满足，过点B作BE⊥AC于点E，延长BE至点D，使得BD=AC，连接OC、OD． （1）（2分）A点的坐标为　 　；∠OAB的度数为　 　． （2）（3分）如图1，若点C在第四象限，试判断OC与OD的数量关系与位置关系，并说明理由． （3）（3分） 如图2，连接CD，若点C的坐标为(4，3)，CE平分∠OCD，AC与OD交于点F． ①求D点的坐标； ②试判断DE与CF的数量关系，并说明理由． 25．（8分）（2023八上·安庆月考）如图，在中，高线AD，BE，相交于点O，，，． （1）（2分）证明：； （2）（3分）求OA的长； （3）（3分）F是直线AC上的一点，且，动点P从点O出发，沿线段OA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发，沿射线BC以每秒4个单位长度的速度运动，P，Q两点同时出发，当点P到达A点时，P，Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t秒，则是否存在t值，使得与全等？若存在，请求出符合条件的t值，若不存在，请说明理由． 26．（8分）（2024八上·开化期末）如图1，等腰三角形中，是边上的中线，延长至点，使，连结． （1）（2分）求证：是等腰直角三角形． （2）（3分）如图2，过点作的垂线交于点，试判断的形状，并说明理由． （3）（3分）如图3，在（2）的基础上，，连结，若是直角三角形，求的长． 27．（8分）（2024八上·东辽期末）如图，在中，，，是经过点的直线，于，于． （1）（2分）求证：． （2）（3分）若将绕点旋转，使与相交于点如图，其他条件不变，求证：． （3）（3分）在的情况下，若的延长线过的中点如图，连接，求证：． 28．（8分）（2024八上·腾冲期末）问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半，即：如图①在中，，，则． 探究结论：小明同学对以上结论作了进一步研究． （1）（2分）如图①，作AB边上的中线CE，得到结论：①为等边三角形；②BE与CE之间的数量关系为　 　； （2）（3分）如图②，CE是△ABC的中线，点D是边CB上任意一点，连接AD，作等边△ADP，且点P在∠ACB的内部，连接BP．试探究线段BP与DP之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明； （3）（3分）如图③，当点D为边CB延长线上任意一点时，在（2）中条件的基础上，线段BP与DP之间存在怎样的数量关系？直接写出答案即可． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版数学八年级上册同步培优过关必刷卷【第12章《全等三角形》】 12.2.4 用“HL（斜边、直角边）”判定三角形全等 检测时间：120分钟 试题满分：100分 难度系数：0.40（较难）题目来源：全国各地名校真题 一、选择题(共10题；每题2分共20分) 1．（2分）（2024八上·青浦期末）如图，在中，，为上一点，联结，点在上，过点作，，垂足分别为M、N．下面四个结论： ①如果，那么； ②如果，那么； ③如果，那么； ④如果，那么． 其中正确的有（　　）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 2．（2分）（2024八上·巴彦期末）如图，的内部作射线，过点M分别作于点A，于点B，，连接，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 3．（2分）（2024八上·张家港期末）如图，在中，，，为的中点，为上一点，为延长线上一点，且有下列结论：①；②为等边三角形；③；④其中正确的结论是（　　） A．①②③④ B．①② C．①②④ D．③④ 【答案】C 4．（2分）（2024八上·上城期末）如图，在四边形中，，连接，取，连接，下列条件中不一定能判定的是 A． B． C． D． 【答案】B 【规范解答】解：由题意得， ， ， ， 当，由SAS即可判定△ABD≌△ECB，故A不符合题意； 当，由SSA，不一定能说明△ABD≌△ECB，故B符合题意； 当， ， ， 又， ，由ASA即可判定△ABD≌△ECB，故C不符合题意； 当， ，由AAS即可判定△ABD≌△ECB，故D不符合题意. 故答案为：B. 【思路点拨】 要判定△ABD△ECB，我们可以通过分析全等三角形的判定条件，如SSS、SAS、ASA、AAS和HL等，来判断给定的条件是否足以满足这些判定条件. 5．（2分）（2024八上·三台期末）如图，已知中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下四个结论： ①△EPF是等腰直角三角形；②∠AFE=∠FPC； ③S四边形AEPF=S△ABC； ④当∠EPF在内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），BE+CF=EF．上述结论中始终正确的有（　　） A．①② B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【规范解答】解：∵，，点P是的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∴是等腰直角三角形，故①正确； ∴， ∵， ∴，故②正确； ∴，故③正确； ∵， ∴，故④错误． 故答案为：C 【思路点拨】根据等腰直角三角形的性质可得，，，结合“”可求得，结合已知条件可证，可得，，，即可判断结论①；根据三角形外角的性质就可判断结论②；根据可判断结论③；根据可判断选项④。 6．（2分）（2024八上·叙州期末）如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，且AD，BE交于点O，延长AC至点P，使CP=CD，连接BP，OP；延长AD交BP于点F．则下列结论：①BP=AD；②BF=CP；③BP=2PF；④PO⊥BE；⑤AC+CD=AB．其中正确的是（　　） A．①③⑤ B．①③④⑤ C．①②③④ D．①②③④⑤ 【答案】B 【规范解答】解：∵，，， ∴，则，故①正确； 由得， ∵， ∴， 则， ∵平分， ∴， ， 假设， 在和中，， ， ， ， ， 在中，， 又， ，与相矛盾， 则假设不成立，②错误； 在与中，， ∴， ， 即，故⑤正确； 由得， 则，故③正确； ，平分， 为的垂直平分线， ， 为等腰三角形， ， ， 又平分，平分， ， ， ∴， 为等腰直角三角形，且， 即，故④正确； 综上，①③④⑤正确， 故答案为：B 【思路点拨】根据垂直平分线的判定与性质，三角形全等的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质结合题意对①②③④⑤ 逐一判断即可求解。 7．（2分）（2024八上·雨花期末）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△ECD，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q连接PQ．以下五个结论正确的是（　　） ① ；②PQ∥AE； ③ ；④ ；⑤ A．①③⑤ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 【答案】C 【规范解答】解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形， ∴BC=AC，CE=CD，∠DCE=∠ACB=60°， ∴∠DCE+∠BCD=∠ACB+∠BCD， ∴∠BCE=∠ACD， 在△BCE≌△ACD中， ∴△BCE≌△ACD(SAS)， ∴BE=AD， 故结论①正确； 由△BCE≌△ACD得 ∠CBE=∠CAD， 又∵∠DCE=∠ACB=60°， ∴∠BCD=180°-60°-60°=60°， ∴∠BCQ=∠ACP=60°， 在△BCQ和△ACP中， ∴△BCQ≌△ACP(AAS)， ∴CQ=CP， 又∵∠PCQ=60°， ∴△CPQ为等边三角形， ∴∠DCE=∠PQC=60°， ∴AE∥PQ， 故结论②正确； 在△BCQ和△ACP中， ∴△BCQ≌△ACP(AAS)， ∴BQ=AP， ∴结论③正确； ∵∠CPQ=∠PCQ=60°，DE=DC， ∴∠CPD>60°， ∴DC≠DP， 又∵DE=DC， ∴DP≠DE， 故结论④不正确； ∵∠AOB=∠EAD+∠OEA=∠EAD+∠CDA=∠ECD=60°， 故结论⑤正确. 综上所述，正确的结论有：①②③⑤. 故答案为：C. 【思路点拨】①根据SAS判断出△BCE≌△ACD，即可判断出AD=BE. ②首先根据AAS得到△BCQ≌△ACP，即可判断出CP=CQ，然后根据∠PCQ=60°，可得△PCQ 为等边三角形，所以∠DCE=∠PQC60°，根据平行线的判定方法得PQ∥AE，即可得②正确. ③根据AAS得△BCQ≌△ACP，从而可得AP=BQ . ④首先根据∠CPQ=∠PCQ=60°，DE=DC，可得∠DPC> 60°，从而得出DP≠DC，再根据DE=DC，即可判断出DP≠DE. ⑤∠AOB=∠EAD+∠OEA=∠EAD+∠CDA=∠ECD=60°，可得⑤正确. 8．（2分）（2024八上·长沙期末）如图，已知，点是的平分线上的一上定点，点，分别在射线和射线上，且.下列结论：①是等边三角形；②四边形的面积是一个定值；①当时，的周长最小；④当时，也平行于.其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【规范解答】解：如图1所示，连接，作于，于， ∵点D是的平分线上的一个定点， ∴， ∴， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴是等边三角形；①正确； ∵， ∴， ∵点D是的平分线上的一个定点， ∴四边形的面积是一个定值，②正确； ∵的周长为， 当时，最短，即等边的周长最小，③正确； 如图2所示，当时， ∴， ∴是等边三角形， ∵是等边三角形， ∴与重合，与交于点；④错误； 故答案为：C 【思路点拨】连接，作于，于，先根据角平分线的性质得到，进而进行角的运算得到，再运用三角形全等的判定与性质证明即可得到，进而个等边三角形的判定即可判断①；根据三角形全等的性质得到，进而结合定点即可判断②；从而结合题意得到的周长为，再根据垂线段最短即可判断③；根据平行线的性质得到，进而根据等边三角形的判定与性质结合题意即可判断④。 9．（2分）（2024八上·合江期末）如图，点 是 的中点，平分 ，下列结论：①；②；③；④，四个结论中成立的是（　　） A．①②④ B．①②③ C．③④ D．①③ 【答案】A 【规范解答】解：如图，过E作于F， ∵，平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， 而， ∴，故③错误； 在和中，， ∴， ∴，，，故②正确； ∴，故④正确； ∴，故①正确． 综上，四个结论中成立的是①②④， 故选：A． 【思路点拨】已知AE平分∠BAD ，过点E作与点F，根据角平分线的性质可得BE=EF，又因为AE=AE，故，因为点E是的中点，所以，斜边大于直角边，故③错误；同理可得，根据三角形全等的性质，可得，故②正确；等量代换，故④正确；由图可得，故①正确；综上可知①②④正确。 10．（2分）（2023八上·拱墅期中）如图，在 中， ， ，D，E分别为线段AB，AC上一点，且 ，连接BE、CD交于点G，延长AG交BC于点F.以下四个结论正确的是（　　） ① ；②若 ，则 ；③若BE平分 ，则 ；④连结EF，若 ，则 . A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【规范解答】解：∵AB=AC，∠BAE=∠CAD，AE=AD， ∴∆BAE≅ ∆CAD， ∴∠ABE=∠ACD， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∴∠ABC-∠ABE=∠ACB-∠ACD，即：∠GBC=∠GCB， ∴BG=CG， ∴∆ABG≅ ∆ACG， ∴∠BAG=∠CAG，即AF是∠BAC的平分线， ∴ ，故①正确； ∵ ， ∴∠CEB=90°， 由①可知：BD=CE，∠ABC=∠ACB， 又∵BC=CB， ∴∆BDC≅∆CEB， ∴∠BDC=∠CEB=90°， ∵点F是BC的中点， ∴ ，故②正确； ∵BE平分 ，AF平分∠BAC， ∴点G是角平分线的交点， ∴点G到∆ABC的三边距离都相等，且等于FG， ∵ ， ，AF⊥BC， ∴AF= = ， ∴S∆ABC= (AB+AC+BC)∙FG= ×16FG=8FG，S∆ABC= BC∙AF=12， ∴8FG=12，即： ，故③正确； ∵ ，由①可知：CD⊥AB， 连接FE ∵BE⊥AC，CD⊥AB ∴∠BEC=∠ADC=90° ∵点F是BC边上的中点， ∴DF=FC ∴∠FDC=∠DCF ∵BG=CG ∴∠GBC=∠FDC=∠DCF ∵∠AGB=∠GBC+∠GFB=∠FDC+90° ∠ADF=∠ADC+∠FDC=90°+∠FDC ∴∠AGB=∠ADF 在△ADF和△ABG中 ∠AFD=180°-∠ADF-∠DAF，∠ABE=180°-∠AGB-∠DAF ∴∠AFD=∠ABE 易证△DFG≌△EFG ∴∠DFG=∠EFG ∴∠DFE=2∠AFD=2∠ABE，故④正确. 故答案为：D. 【思路点拨】先证∆BAE≅ ∆CAD，再证∆ABG≅ ∆ACG，可得∠BAG=∠CAG，即AF是∠BAC的平分线，利用等腰三角形三线合一的性质判断①；先证∆BDC≅∆CEB，可得∠BDC=∠CEB=90°，利用直角三角形斜边中线的性质可得CF=DF，据此判断②；利用角平分线的性质，可得点G到∆ABC的三边距离都相等，再利用勾股定理求出AF的长， 由 (AB+AC+BC)∙FG=S∆ABC= BC∙AF=12，可求出FG的长，从而判断③；利用直角三角形的性质易证DF=FC，可推出∠GBC=∠FDC=∠DCF，再证明∠AGB=∠ADF，利用三角形的内角和定理可证得∠AFD=∠ABE；易证△DFG≌△EFG，可推出∠DFG=∠EFG，由此可得到∠DFE=2∠AFD=2∠ABE可对④作出判断. 二、填空题(共10题；每题2分，共20分) 11．（2分）（2024八下·深圳期末）如图， 中， ， ，点 为 中点，且 ， 的平分线与 的垂直平分线交于点 ，将 沿 （ 在 上， 在 上）折叠，点 与点 恰好重合，则 为　 　度. 【答案】108 【规范解答】如图，连接OB、OC， ∵∠BAC=54°，AO为∠BAC的平分线， ∴∠BAO= ∠BAC= ×54°=27°， 又∵AB=AC， ∴∠ABC= （180°-∠BAC）= ×（180°-54°）=63°， ∵DO是AB的垂直平分线， ∴OA=OB， ∴∠ABO=∠BAO=27°， ∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=63°-27°=36°， ∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC， ∴△AOB≌△AOC（SAS）， ∴OB=OC， ∴点O在BC的垂直平分线上， 又∵DO是AB的垂直平分线， ∴点O是△ABC的外心， ∴∠OCB=∠OBC=36°， ∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合， ∴OE=CE， ∴∠COE=∠OCB=36°， 在△OCE中，∠OEC=180°-∠COE-∠OCB=180°-36°-36°=108°， 故答案为：108. 【思路点拨】连接OB、OC，由角平分线的定义得∠BAO=∠BAC可求得∠BAO的度数，由等边对等角和三角形内角和定理得∠ABC=（180°-∠BAC）可求得∠ABC的度数，结合已知用边角边可证△AOB≌△AOC，由全等三角形的性质得OB=OC，由线段的垂直平分线的判定可得点O在BC的垂直平分线上，结合已知可得点O是△ABC的外心，则∠OCB=∠OBC，由折叠的性质可得OE=CE，由等边对等角可得∠COE=∠OCB，在△OCE中，用三角形内角和定理可求解. 12．（2分）（2024八上·巴彦期末）如图，在四边形ABCD中，，，点E是上一点，若，，则的度数为　 　． 【答案】 13．（2分）（2024八上·遵义期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝1.3cm，则BF＝　 　cm． 【答案】2.6 【规范解答】∵AB=AC，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC，∠ADB=∠ADC， 在Rt△ADB和Rt△ADC中， ， ∴Rt△ADB≌Rt△ADC（HL）， ∴S△ABC=2S△ABD=2×AB×DE=AB×DE=3AB， ∵S△ABC=AC×BF， ∴AC×BF=3AB， ∵AB=AC， ∴BF=1.3， 解得：BF=2.6， 故答案为：2.6. 【思路点拨】先利用“HL”证出Rt△ADB≌Rt△ADC可得S△ABC=2S△ABD=2×AB×DE=AB×DE=3AB，再结合S△ABC=AC×BF，AB=AC，求出BF的长即可. 14．（2分）（2024八上·湖州期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF．给出下列四个结论：①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC；④AC=3EC，其中正确的结论是　 　（填序号）． 【答案】①②③④ 【规范解答】解：∵BC平分∠ABF， ∴∠FBC=∠ABC， ∵BF∥AC， ∴∠FBC=∠ACB， ∴∠ACB=∠ABC=∠CBF， ∴AC= AB， ∴△ABC为等腰三角形， ∵AD是△ABC的角平分线， ∴DB=DC，故②符合题意； AD⊥BC，故③符合题意； 在△CDE与△DBF中， ， ∴Rt△CDE≌Rt△BDF（ASA）， ∴DE=DF，故①符合题意； CE= BF， ∵AE=2BF， ∴AE=2CE， AC= AE+CE=2CE+CE=3CE，故④符合题意； 综上，①②③④均符合题意； 故答案为：①②③④． 【思路点拨】利用角平分线的性质、三角形全等的判定和性质逐项判断即可。 15．（2分）（2024八下·路南开学考）如图，已知在四边形ABCD内，DB＝DC，∠DCA＝60°，∠DAC＝78°，∠CAB＝24°，则∠ACB＝　 　. 【答案】18° 【规范解答】解：如图，延长CA至点E，使得CE=CD，连接DE， ∵∠DCA=60°， ∴△CDE是等边三角形， ∴DE=CD=BD，∠E=60°， 又∵∠DAC＝78°，∠CAB＝24°， ∴∠DAE=180°-∠DAC=102°，∠DAB=∠DAC+∠CAB=102°， 又∵AD=AD， ∴△DAE≌△DAB(SAS) ∴∠ABD=∠E=60°， 又∵∠BFC=∠DCF+∠CDF=∠FAB+∠ABF=24°+60°=84°， ∴∠CDF=∠BFC-∠FCD=84°-60°=24°， 又∵DB=DC， ∴∠DCB=∠DBC=(180°-∠BDC)÷2=78°， ∴∠ACB=∠BCD-∠FCD=18°， ∴∠ . 故答案为：18°. 【思路点拨】题目难度较大，只是初步用含参字母表示角度关系不能探索出该结果，则需利用特殊的角度关系进行构造，①60°的构造等边，②78°，24°，两角和为102°，与78°成互补关系；从而构造等边引出等角得出全等，后用三角形内角和或其推论即可推出其它角的读数. 16．（2分）（2024八上·岳阳楼期末）如图，已知：中，，，为线段上一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，为中点，直线交射线于点，下列说法，若连接，则；；；若，则其中正确的序号有　 　． 【答案】 【规范解答】解：连接、， ，则， ， 又，， ≌， ，， ，， ， ， ， 故正确； 当时，， ， ， ， 故错误； ，为的中点， ， ，为的中点， ， ， ， 又， ， ， ，则， ， 故正确； ， 设，则， ，， 在中，，， ， 在等腰直角三角形中，， 又，， ， ， 故正确， 故答案为：． 【思路点拨】先利用“SAS”证出≌，可得，，再利用角的运算和等量代换可得，从而证出①正确；再利用角的运算证出②不正确；利用直角三角形斜边上中线的性质及等量代换证出③正确；设，则，利用勾股定理求出，再求出，从而可证出，得到④正确，从而得解. 17．（2分）（2024八上·柳州期末）如图，在等边中，于D，E是线段上一点，F是边上一点，且满足，G是的中点，连接，则下列四个结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的有　 　.（填序号） 【答案】①③④⑤ 【规范解答】解：连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边的底边上的高， ∴，， 故①符合题意； ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ， 故②不符合题意； 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故③符合题意； ∵，G是的中点， ∴是等腰的底边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， 故④符合题意； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故⑤符合题意； ∴正确的结论有①③④⑤， 故答案为：①③④⑤． 【思路点拨】利用等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质逐项判断即可。 18．（2分）（2024八上·江北期末）如图1，在 中， ， 为 中点.将 沿 翻折，得到 （如图2）， 为 上一点，再将 沿 翻折，使得 与 重合（如图3），给出下列四个命题：① ；② ；③ ；④ .其中说法正确的是　 　. 【答案】①④ 【规范解答】解：∵将△ACM沿CM翻折，得到△DCM， ∴∠D＝∠A， ∵再将△DMP沿MP翻折，使得D与B重合 ∴∠D＝∠PBA， ∴∠PBA＝∠A， ∴BP∥AC；故①正确； 假设△PBC≌△PMC， BC＝CM， ∵在△ABC中，∠C＝90°，M为AB中点， ∴BM＝CM， ∴BC＝BM＝CM， ∴∠B＝60°， 而∠B不一定等于60°， ∴△PBC与△PMC不一定全等；故②错误； 假设PC⊥BM，则∠BCP＝∠A， ∵在△ABC中，∠C＝90°，M为AB中点， ∴AM＝CM， ∴∠A＝∠ACM， ∵∠ACM＝∠DCM， ∴∠BCP＝∠DCM＝∠ACM＝30°， ∴∠A＝30°， 而∠A不一定等于30°， ∴PC不一定垂直于BM；故③错误； ∵CM＝AM， ∴CM＝DM， ∴∠D＝∠DCM， ∵∠D＝∠PBA， ∵∠1＝∠2， ∴∠BPC＝∠BMC，故④正确. 故答案为：①④. 【思路点拨】根据折叠的性质可得∠D＝∠A，∠D＝∠PBA，利用等量代换可得∠PBA＝∠A，可证BP∥AC，据此判断①；假设△PBC≌△PMC，可得BC＝CM，由直角三角形的性质可得BM＝CM，从而判断△PBC与△PMC不一定全等，据此判断②；假设PC⊥BM，则∠BCP＝∠A，由直角三角形的性质可得AM＝CM，可得∠A＝∠ACM，然后推出∠A不一定等于30°，可得PC不一定垂直于BM，据此判断③；根据等腰三角形的性质可得CM＝DM，从而求出∠D＝∠DCM，利用三角形内角和可得∠BPC＝∠BMC，据此判断④. 19．（2分）（2023八上·乐山期末）如图，且且，请按图中标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积　 　． 【答案】50 【规范解答】解：∵AE⊥AB，EF⊥AF ∴∠AFE=90°，∠EAB=90° ∴∠AEF+∠EAF=90°，∠EAF+∠BAG=90° ∴∠AEF=∠BAG ∴在△AEF和△BAG中 ∴△AEF≌△BAG（AAS） ∴EF=AG=6，AF=BG=3 ∴FG=FA+AG=9 同理：△BGC≌△CHD ∴BG=CH=3，GC=DA=4 ∴GH=GC+CH=7 ∴FH=GH+GF=16 ∴𝐹H=16=80 𝐸F69 𝐴C10 𝐶H46 ∴S=− 故答案为：50 【思路点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的面积和梯形的面积，由垂直的定义可知∠AFE=90°，∠EAB=90°，即∠AEF+∠EAF=90°，∠EAF+∠BAG=90°，由同角的余角相等可知：∠AEF=∠BAG，由AAS可得出△AEF≌△BAG，由全等三角形的性质：全等三角形对应边相等可知EF=AG=6，AF=BG=3，同理BG=CH=3，GC=DA=4，可得：FH=GH+GF=16，由此分别可求出，，，，即可得出S=即可得出答案. 20．（2分）（2023八上·渝北期中）如图，是等腰的角平分线，，，过点作的垂线，过点作的平行线，两线交于点与交于，与交于，连接，点是线段上的动点，点是线段上的动点，连接，，下列四个结论：；；；；其中正确的是　 　填写序号 【答案】 【规范解答】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线 ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，， 由，则是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴，②错误； ∵， ∴， ∴，①正确； ∵， ∴， ∵ ，， ∴， ∴，⑤正确； ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 即， ③错误； 连接、，过作于点，如图所示： 则点是的中点，且； ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， 当与的中点重合时，最小，最小值为，④正确； 故答案为：①④⑤ 【思路点拨】先根据题意得到，进而根据角平分线的性质得到，再结合三角形全等的判定与性质证明即可得到，，，再根据垂直平分线的性质结合题意进行角的运算即可判断②；进而即可判断①；再根据平行线的性质得到，从而结合题意得到，进而根据等腰三角形的性质即可判断⑤；根据题意结合已知条件即可得到，进而根据三角形的三边关系即可判断③；连接、，过作于点，则点是的中点，且，再根据垂直平分线的性质得到，从而结合题意得到当与的中点重合时，最小即可求解。 三、解答题(共8题；共60分) 21．（6分）（2024八上·遵义期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，DC⊥AC，垂足为C，AD交线段BC于F，E是AC边上一点，连接BE，交AD于点G且BE＝AD． （1）（3分）猜猜BE与AD有怎样的位置关系？说说你的理由； （2）（3分）若BE是∠ABC的角平分线，试说明△CFD是等腰三角形． 【答案】（1）解：BE⊥AD，理由如下： ∵∠BAC＝90°，DC⊥AC， ∴∠ACD＝∠BAE＝90°， 在Rt△ABE和Rt△CAD中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△CAD（HL）， ∴∠ABE＝∠CAD， ∴∠AGE＝∠ABE+∠BAG＝∠CAD+∠BAG＝∠BAC＝90°， ∴BE⊥AD． （2）解：∵BE是∠ABC的角平分线， ∴∠ABE＝∠CBE， ∵∠ABE＝∠CAD， ∴∠CBE＝∠CAD， ∵∠AGE＝∠FGB， ∴∠AEB＝∠BFG， ∵Rt△ABE≌Rt△CAD， ∴∠AEB＝∠D， ∴∠BFG＝∠D， ∵∠BFG＝∠CFD， ∴∠CFD＝∠D， ∴CD＝CF， ∴△CFD是等腰三角形． 【思路点拨】（1）先利用“HL”证出Rt△ABE≌Rt△CAD，可得∠ABE＝∠CAD，再利用角的运算和等量代换可得∠AGE＝∠ABE+∠BAG＝∠CAD+∠BAG＝∠BAC＝90°，即可得到BE⊥AD； （2）利用角平分线的定义及等量代换可得∠AEB＝∠BFG，再利用全等三角形的性质可得∠AEB＝∠D，再利用等量代换可得∠CFD＝∠D， 即可得到 △CFD是等腰三角形． 22．（6分）（2023八上·黄陂期中）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点． 的三个顶点都是格点． 仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）（3分）在图1中，先画，且，再在上画点，使； （2）（3分）在图2中，先画格点，使得，画出射线，再在射线上画点，使得． 【答案】（1）解：如图： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴即为所求， 连接交于点E， ∵，． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴点E即为所求； （2）解：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴射线即为所求， 连接交于点Q，连接并延长，交射线于点P， ∵， ∴点G在垂直平分线上， ∵点O为中点， ∴为垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴即， ∴点P即为所求． 【思路点拨】（1）根据三角形全等的判定（SAS）和性质，可得AB=AD，∠BAM=∠ADN；根据等量代换原则，即可得∠BAD=90°，即AB垂直AD；根据等腰直角三角形的判定和性质，可得∠ABE=45°；根据等量代换原则，可得∠AEB=∠ABC； （2）根据勾股定理，可得AF=BC，AB=CF；根据平行四边形的判定和性质，可得AF||BC；根据垂直平分线的判定和性质，可得BQ=CQ；根据等腰三角形的性质，可得∠QBC=∠QCB；根据平行线的性质和等量代换原则，可得QA=QP，AC=BP. 23．（8分）（2024八上·梅里斯期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E． （1）（4分）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①ADC≌△CEB．②DE=AD+BE； （2）（4分）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由． 【答案】（1）解：证明：①∵AD⊥MN， BE⊥MN．（已知） ∴∠ADC＝∠CEB＝90°（垂直的定义）． ∵∠ACB＝90°（已知） ∴∠ACD+∠BCE＝90° 又∵∠ACD+∠CAD =90° （ 直角三角形的两个锐角互余 ） ∴∠BCE＝∠CAD （同角的余角相等） 在ADC和△CEB中 ∵∠ADC＝∠CEB，∠BCE＝∠CAD，AC=CB ∴△ADC≌△CEB（AAS） ②∵△ADC≌△CEB ∴AD=CE，DC=EB（全等三角形，对应边相等） ∴DE=DC+CE=AD+BE（等量代换） （2）解：（1）中的结论①成立，结论②不成立． ∵AD⊥MN， BE⊥MN．（已知） ∴∠ADC＝∠CEB＝90°（垂直的定义）． ∵∠ACB＝90°（已知） ∴∠ACD+∠BCE＝90° 又∵∠ACD+∠CAD =90° （ 直角三角形的两个锐角互余 ） ∴∠BCE＝∠CAD （同角的余角相等） 在ADC和△CEB中 ∵∠ADC＝∠CEB，∠BCE＝∠CAD，AC=CB ∴△ADC≌△CEB（AAS） ∴AD=CE，DC=EB（全等三角形，对应边相等） ∴DE=CE-DC=AD-BE（等量代换） 【思路点拨】（1）①由题意可得∠ADC＝∠CEB＝90°，再由∠ACB＝90°，可得∠BCE＝∠CAD，即可证明 △ADC≌△CEB（AAS） ； ②由①△ADC≌△CEB，可得AD=CE，DC=EB，即可求证； （2）由题意得 ∠ADC＝∠CEB＝90°，再由∠ACB＝90°，可得∠BCE＝∠CAD，可得△ADC≌△CEB，结合全等三角形的性质可得， 即可得到结论． 24．（8分）（2023八上·长沙月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(a，0)、B(0，b)分别为x轴和y轴上一点，且a，b满足，过点B作BE⊥AC于点E，延长BE至点D，使得BD=AC，连接OC、OD． （1）（2分）A点的坐标为　 　；∠OAB的度数为　 　． （2）（3分）如图1，若点C在第四象限，试判断OC与OD的数量关系与位置关系，并说明理由． （3）（3分） 如图2，连接CD，若点C的坐标为(4，3)，CE平分∠OCD，AC与OD交于点F． ①求D点的坐标； ②试判断DE与CF的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）； （2）解：设与轴交于点，与交于点， ∵BE⊥AC， ∴， 在和中，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中，，， ∴， ∴， ∴，； （3）解：①作轴交轴于点，轴交轴于点， ∵点C的坐标为(4，3)， ∴， 由知， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； ②延长交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∵CE平分∠OCD， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【规范解答】解：（1）∵， 即， ∴，， ∴A点的坐标为，点 ∴， ∵， ∴， 故答案为：，； 【思路点拨】（1）利用偶次方与二次根式具有非负性求得a，b的值，从而求解； （2）设与轴交于点，与交于点， 先利用SAS证明，根据三角形全等的性质得到，， 结合图形，从而求解； （3）①作轴交轴于点，轴交轴于点， 由点C的坐标求得， 再利用AAS证明，根据三角形全等的性质得到，， 从而求解；②延长交于点， 先证明，得到， 利用已知结合角平分线的性质证明， 进一步得到， 从而求解. 25．（8分）（2023八上·安庆月考）如图，在中，高线AD，BE，相交于点O，，，． （1）（2分）证明：； （2）（3分）求OA的长； （3）（3分）F是直线AC上的一点，且，动点P从点O出发，沿线段OA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发，沿射线BC以每秒4个单位长度的速度运动，P，Q两点同时出发，当点P到达A点时，P，Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t秒，则是否存在t值，使得与全等？若存在，请求出符合条件的t值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明：∵AD、BE是的高，∴， ∵，∴， 在和中， ， ∴ （2）解：∵，，∴， ∴， ∵，∴ （3）解：存在， 由题意得，，， ∵，∴， 如图，当时，， ∴， 解得， 如图，当时，， ∴， 解得，， 综上所述，当秒或2秒时，两三角形全等 【思路点拨】（1）先根据题意得到，，进而运用三角形全等的判定证明即可求解； （2）根据题意结合三角形全等的性质即可求解； （3）由题意得，，，进而根据等腰三角形的性质得到，从分类讨论：当时，，当时，，进而即可求解。 26．（8分）（2024八上·开化期末）如图1，等腰三角形中，是边上的中线，延长至点，使，连结． （1）（2分）求证：是等腰直角三角形． （2）（3分）如图2，过点作的垂线交于点，试判断的形状，并说明理由． （3）（3分）如图3，在（2）的基础上，，连结，若是直角三角形，求的长． 【答案】（1）证明：是边上的中线（证全等亦可） 又是等腰直角三角形 （2）解：是等腰三角形 （同角的余角相等） 是边上的中线（等腰三角形三线合一） 是等腰直角三角形 ，即 是等腰三角形 （3）解：① （证亦可） 设，则 ，解得，即 ② 作，同理可证 设，则 ，解得 【思路点拨】（1）根据等腰三角形的三线合一可得AD⊥BC，由有两边相等的直角三角形是等腰直角三角形可求解； （2）△ABP是等腰三角形.理由：由同角的余角相等可得∠CAD=∠PBE，由等腰三角形的三线合一可得∠BAD=∠CAD，则∠BAD=∠PBE，由等腰直角三角形的性质可得∠EAD=∠E=45°，结合角的构成可得∠BAP=∠BPA，由等腰三角形的判定可求解； （3）由题意分两种情况： ①若∠PCE=90°，由题意用角角边可证△ABD≌△BPC，由全等三角形的性质可得BC=AD可求解； ②若∠CPE=90°，作PF⊥CE，同理可证△ABD≌△BPF，由全等三角形的性质可得BF=AD，设EF=x，则CF=x，CD=4-2x=BD，BC =8-4x，BF=8-3x，根据BF=AD可得关于x的方程，解方程即可求出x的值，然后根据CE=2x可求解. 27．（8分）（2024八上·东辽期末）如图，在中，，，是经过点的直线，于，于． （1）（2分）求证：． （2）（3分）若将绕点旋转，使与相交于点如图，其他条件不变，求证：． （3）（3分）在的情况下，若的延长线过的中点如图，连接，求证：． 【答案】（1）证明：如图，，， ， ， ， 又， ， 在和中，， ≌， ； （2）证明：如图，，， ， ， ， ， 在和中，， ≌， ； （3）解：如图，过作交于， ， ， ， ， 由得：， 在和中，， ≌， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 又， ， ， 在和中，， ≌， ， ， ． 【思路点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，余角的性质， （1）由垂直的定义可知：∠BDA=∠AEC=90°，由同角的余角相等可得：∠1=∠3，再由AB=AC，可用AAS证得△ADB≌△CEA，由全等三角形对应边相等可得出得出BD=AE即可求证； （2）由垂直的定义可知：∠BDA=∠AEC=90°，由同角的余角相等可得：∠BAD=∠ACE，再由AB=AC，可用AAS证得△ABC≌△ACE，由全等三角形对应边相等可得出BD=AE即可求证； （3）过点B作BP∥AC交MN于P，由平行线的性质可知：∠PBA+∠BAC=180°，从而得出∠PBA=90°，再由，AB=AC，可用ASA证得△ACF≌△ABP，由全等三角形对应边相等，对应角相等可得出∠1=∠BPA，AF=BP，再通过SAS证得△BFG≌△BPG，由全等三角形对应角相等可得：∠BPG=∠2，通过等量代换即可得出结论. 28．（8分）（2024八上·腾冲期末）问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半，即：如图①在中，，，则． 探究结论：小明同学对以上结论作了进一步研究． （1）（2分）如图①，作AB边上的中线CE，得到结论：①为等边三角形；②BE与CE之间的数量关系为　 　； （2）（3分）如图②，CE是△ABC的中线，点D是边CB上任意一点，连接AD，作等边△ADP，且点P在∠ACB的内部，连接BP．试探究线段BP与DP之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明； （3）（3分）如图③，当点D为边CB延长线上任意一点时，在（2）中条件的基础上，线段BP与DP之间存在怎样的数量关系？直接写出答案即可． 【答案】（1） （2）解：． 证明：如图，连接PE， ∵△ACE，△ADP都是等边三角形， ∴， ∴，∴， ∴，∴． ∵，∴． ∵，∴； （3）解：当点D为边CB延长线上任意一点时，同（2）中的方法可得：． 【规范解答】（1）①∵∠ACB=90°，∠B=30°， ∴∠A=60°，AC=AB， ∵CE为AB边上的中线， ∴CE=AB=AE， ∴AC=AE=CE， ∴△ACE是等边三角形； ②在Rt△ABC中，CE为AB边上的中线， ∴EC=AB=EB， 故答案为：； （3）当点D为边CB延长线上任意一点时，PD=PB. 连接PE，如图所示： ∵△ACE、△ADP均是等边三角形， ∴AC=AE，AD=AP，∠CAE=∠DAP=60°， ∴∠CAE+∠DAB=∠DAP+∠DAB， ∴∠CAD=∠EAP， ∴△CAD≌△EAP（SAS）， ∴∠ACD=∠AEP=90°， 同（2）中的方法可得：， 故答案为：. 【思路点拨】（1）①利用直角三角形斜边上中线的性质可得CE=AB=AE，再证出AC=AE=CE，即可得到△ACE是等边三角形； ②利用直角三角形斜边上中线的性质可得EC=AB=EB，从而得证； （2）连接PE，先证出可得，再结合求出，再结合利用等量代换可得； （3）连接PE，先利用“SAS”证出△CAD≌△EAP可得∠ACD=∠AEP=90°，同（2）中的方法可得：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$