12.2.3 用“ASA”或“AAS”判定三角形全等-【拔尖特训】2024-2025学年八年级上册数学（人教版2012）

26 第3课时 用“ASA”或“AAS”判定三角形全等 ▶ “答案与解析”见P10 1. 如图,甲、乙、丙三个三角形中,和△ABC 全 等的图形是 ( ) (第1题) A. 只有乙 B. 只有丙 C. 甲和乙 D. 乙和丙 2. 如图,在△ABC 中,F 是高AD 和高BE 的交 点,BD=12,DC=9,AD=BD,则线段AF 的长为 ( ) (第2题) A. 1 B. 2 C. 4 D. 3 3. 如图,AB∥CF,E 是DF 的中点.若AB=9, CF=6,则BD= . (第3题) 4. (2023·扬州期末)如图,在△ABC 和△AEF 中,点E 在边BC 上,∠C=∠F,AC=AF, ∠CAF=∠BAE,EF 与AC 交于点G. (第4题) (1) 求证:△ABC≌△AEF. (2) 若∠B=55°,∠C=20°,求∠EAC 的 度数. 5. 如图,AD 平分∠BAC,AB=AC,连接BD, CD,延长BD 交AC 于点F,延长CD 交AB 于点E,则图中的全等三角形有 ( ) A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 1对 (第5题) (第6题) 6. 如图,在四边形ABCD 中,AB=AD,AC= 5,∠DAB=∠DCB=90°,则四边形ABCD 的面积为 ( ) A. 15 B. 12.5 C. 14.5 D. 17 7. 如图,AB=10,∠A=∠B=45°,AC=BD= 18,点E,F 在线段AB 上,连接CE,DF. 有下列条件:① CE=DF=4;② AF=BE; ③ ∠CEB=∠DFA.请在所给的条件中选 择一个条件,使得△ACE 一定和△BDF 全 等,则这个条件可以为 (填序号,写 出所有正确的答案). (第7题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)八年级上 27 答案讲解 8. 如 图,在 △ABC 中,BD 平 分 ∠ABC,AD⊥BD.若△BCD 的面 积为45,△ADC 的面积为20,则 △ABD 的面积为 . (第8题) 答案讲解 9. (2023·武汉期中)如图,在四边形 ABCD 中,AD∥BC,E 为CD 的中 点,连接AE,BE,延长AE 交BC 的延长线于点F. (1) 判断AD 与FC 之间的数量关系,并说明 理由. (2) 若AB=BC+AD,判断BE 与AF 之间 的位置关系,并说明理由. (第9题) 答案讲解 10. 如图,在平面直角坐标系中,直线 AB,ON 交于点Q,且OA=OB, 过A,B 两点分别作AM⊥OQ 于 点M,BN⊥OQ 于点N.若AM=9,BN= 4,则MN 的长为 . (第10题) 11. 如图,在△ABC 中,AC=BC,延长AC 到点 E,过点E 作EF⊥AB,交AB 的延长线于 点F,延长CB 到点G,过点G 作GH⊥AB, 交AB 的延长线于点H,且EF=GH. (1) 求证:△AEF≌△BGH. (2) 连接EG,交FH 于点D.若AB=4,求 DH 的长. (第11题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第十二章　全等三角形 (2) (1)中的结论仍然成立. 理由:∵ ∠BAC=∠DAE=90°, ∴ ∠BAC - ∠DAC = ∠DAE - ∠DAC,即∠BAD=∠CAE. 在△ABD 和△ACE 中, AB=AC, ∠BAD=∠CAE, AD=AE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABD≌△ACE(SAS). ∴ BD=CE,∠ABD=∠ACE. 延长BD交AC于点F,交CE于点H. 在△ABF 和△HCF 中, ∵ ∠ABF = ∠HCF,∠AFB = ∠HFC, ∴ ∠CHF=∠BAF=90°. ∴ BD⊥CE. 10. (1) ∵ ∠ACB=∠DCE=α, ∴ ∠ACB + ∠BCD = ∠DCE + ∠BCD,即∠ACD=∠BCE. 在△ACD 和△BCE 中, CA=CB, ∠ACD=∠BCE, CD=CE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ACD≌△BCE(SAS). (2) △CPQ 为等腰直角三角形. 由(1),易得△ACD≌△BCE. ∴ ∠CAD=∠CBE,AD=BE. ∵ AD,BE 的中点分别为P,Q, ∴ 易得AP=BQ. 在△ACP 和△BCQ 中, CA=CB, ∠CAP=∠CBQ, AP=BQ, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ACP≌△BCQ(SAS). ∴ CP=CQ,∠ACP=∠BCQ. ∵ ∠ACP + ∠PCB = ∠ACB = α=90°, ∴ ∠BCQ + ∠PCB = 90°,即 ∠PCQ=90°. ∴ △CPQ 为等腰直角三角形. 第3课时 用“ASA”或“AAS” 判定三角形全等 1. D 2. D 3. 3 4. (1) ∵ ∠CAF=∠BAE, ∴ ∠CAF + ∠EAC = ∠BAE + ∠EAC,即∠EAF=∠BAC. 在△ABC和△AEF 中, ∠C=∠F, AC=AF, ∠BAC=∠EAF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABC≌△AEF(ASA). (2) ∵ ∠B=55°,∠C=20°, ∴ ∠BAC=180°-55°-20°=105°. ∵ △ABC≌△AEF, ∴ AB=AE. ∴ ∠B=∠AEB=55°. ∴ ∠BAE = 180° - ∠B - ∠AEB=70°. ∴ ∠EAC = ∠BAC - ∠BAE = 105°-70°=35°. 5. C 6. B 7. ②③ 8. 25 [解析] 如图,延长AD 交BC 于点E.∵ BD 平分∠ABC,AD⊥ BD,∴ ∠ABD=∠EBD,∠ADB= ∠EDB=90°.在△ABD 和△EBD 中, ∠ABD=∠EBD, BD=BD, ∠ADB=∠EDB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABD≌ △EBD (ASA).∴ AD = ED. ∴ △ABD 的面积=△EBD 的面积, △CDE 的面积=△ADC 的面积= 20.∴ △ABD 的面积=△EBD 的面 积=△BCD 的面积-△CDE 的面 积=45-20=25. (第8题) 9. (1) AD=FC. 理由:∵ AD∥BC, ∴ ∠D=∠ECF,∠DAE=∠F. ∵ E 为CD 的中点, ∴ ED=EC. 在△DAE 和△CFE 中, ∠DAE=∠F, ∠D=∠ECF, ED=EC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △DAE≌△CFE(AAS). ∴ AD=FC. (2) BE⊥AF. 理由:由(1),知△DAE≌△CFE, ∴ AE=FE,AD=FC. ∵ AB=BC+AD, ∴ AB=BC+FC,即AB=FB. 在△ABE 和△FBE 中, AB=FB, AE=FE, BE=BE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABE≌△FBE(SSS). ∴ ∠AEB=∠FEB. ∵ ∠AEB+∠FEB=180°, ∴ ∠AEB=∠FEB=90°. ∴ BE⊥AF. 10. 5 [解析] ∵ AM⊥OQ,BN⊥ OQ,∴ ∠AMO = ∠ONB =90°. ∴ ∠OAM + ∠AON = 90°. ∵ ∠AOB = 90°,∴ ∠AON + ∠BON=90°.∴ ∠OAM=∠BON. 在 △OAM 和 △BON 中, ∠AMO=∠ONB, ∠OAM=∠BON, OA=BO, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △OAM ≌ △BON(AAS).∴ AM =ON=9, OM=BN=4.∴ MN=ON-OM= 9-4=5. 11. (1) ∵ AC=BC, ∴ ∠A=∠ABC. ∵ ∠ABC=∠GBH, ∴ ∠A=∠GBH. ∵ EF⊥AB,GH⊥AB, ∴ ∠AFE=∠BHG=90°. 在△AEF 和△BGH 中, ∠A=∠GBH, ∠AFE=∠BHG, EF=GH, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AEF≌△BGH(AAS). (2) ∵ △AEF≌△BGH, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 01 ∴ AF=BH. ∴ AF-BF=BH-BF,即 AB= FH=4. ∵ EF⊥AB,GH⊥AB, ∴ ∠EFD=∠GHD=90°. 在△EFD 和△GHD 中, ∠EDF=∠GDH, ∠EFD=∠GHD, EF=GH, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △EFD≌△GHD(AAS). ∴ DF=DH=12FH=2. 第4课时 用“HL”判定 三角形全等 1. C 2. B 3. 59° 4. 7 5. 由题意,得∠ABC=∠ADC=90°. 在Rt△ABC和Rt△CDA 中, AC=CA, BC=DA, ∴ Rt△ABC≌Rt△CDA(HL). ∴ AB=CD. ∵ BE⊥AC,DF⊥AC, ∴ ∠AEB=∠CFD=90°. 在Rt△ABE 和Rt△CDF 中, AB=CD, AE=CF, ∴ Rt△ABE≌Rt△CDF(HL). 判定直角三角形全等的四种思路 (1) 若已知条件中有一组斜边 和一组直角边分别对应相等,则用 “HL”判定. (2) 若有一组锐角和一组斜边 分别对应相等,则用“AAS”判定. (3) 若有一组锐角和一组直角 边分别对应相等:① 直角边是锐角 的对边,则用“AAS”判定;② 直角 边是 锐 角 的 邻 边,则 用 “ASA” 判定. (4) 若有两组直角边分别对应 相等,则用“SAS”判定. 6. C 7. 55° 8. 4或8 9. 如图,过B,C两点分别作CA,BA 的垂线,分别交CA,BA 的延长线于 点F,G. 在△ABF 和△ACG 中, ∠F=∠G=90°, ∠FAB=∠GAC, AB=AC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABF≌△ACG(AAS). ∴ BF=CG. 在Rt△BEF 和Rt△CDG 中, BE=CD, BF=CG, ∴ Rt△BEF≌Rt△CDG(HL). ∴ ∠AEB=∠ADC. (第9题) 10. (1) ∵ ∠BAC=∠DAE, ∴ ∠BAC + ∠BAE = ∠DAE + ∠BAE,即∠CAE=∠BAD. 在△ACE 和△ABD 中, AC=AB, ∠CAE=∠BAD, AE=AD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ACE≌△ABD(SAS). (2) ∵ △ACE≌△ABD, ∴ ∠AEC=∠ADB. ∴ ∠AEF + ∠AEC = ∠AEF + ∠ADB=180°. ∴ ∠DAE+∠DFE=180°. ∵ ∠BFC+∠DFE=180°, ∴ ∠BFC=∠DAE=50°. (3) 如图,连接AF,过点A 作AJ⊥ CF 于点J. ∵ △ACE≌△ABD, ∴ S△ACE=S△ABD,CE=BD. ∵ AJ⊥CE,AH⊥BD, ∴ 1 2CE ·AJ=12BD ·AH. ∴ AJ=AH. 在Rt△AFJ和Rt△AFH 中, AF=AF, AJ=AH, ∴ Rt△AFJ≌Rt△AFH(HL). ∴ JF=HF. 在Rt△AJE 和Rt△AHD 中, AE=AD, AJ=AH, ∴ Rt△AJE≌Rt△AHD(HL). ∴ JE=HD. ∴ EF+DH=EF+JE=JF=HF. (第10题) 专题特训（三）　全等 三角形的基本模型 1. (1) 选择不唯一,如选择的三个条 件是①②③. (2) ∵ BE=CF, ∴ BE+EC=CF+EC,即BC=EF. 在△ABC和△DEF 中, AB=DE, BC=EF, AC=DF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABC≌△DEF(SSS). 2. ∵ ∠AOD=∠COB, ∴ ∠AOD - ∠BOD = ∠COB - ∠BOD,即∠AOB=∠COD. 在△AOB 和△COD 中, OA=OC, ∠AOB=∠COD, OB=OD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AOB≌△COD(SAS). ∴ AB=CD. 3. 40° 4. (1) ∵ ∠BAD=∠EAC, ∴ ∠BAD + ∠CAD = ∠EAC + ∠CAD,即∠BAC=∠DAE. ∵ AE∥BC, ∴ ∠EAC=∠C. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 11