12.2.2 用“SAS”判定三角形全等-【拔尖特训】2024-2025学年八年级上册数学（人教版2012）

∵ ∠AEB' = 180° - ∠B' - ∠B'AE=180°-∠B'-α,∴ ∠C'+ 2α=180°- ∠B'-α.∴ ∠C'+ ∠B'=180°-3α.∵ ∠BFC=β= ∠BDF+∠DBF,∠BDF=∠DAC+ ∠ACD,∴ ∠BFC=β=∠DAC+ ∠ACD + ∠B'=α + ∠ACD + ∠B'=α+∠C'+∠B'=α+180°- 3α=180°-2α,即2α+β=180°. (第12题) 13. 设AE 与DC交于点P. ∵ ∠1∶∠2∶∠3=13∶3∶2, ∴ 易得∠1=130°,∠2=30°,∠3= 20°. ∵ △ABE≌△ADC≌△ABC, ∴ ∠DCA = ∠E = ∠3=20°, ∠EAB=∠1=130°. ∴ ∠PAC=360°-2∠1=100°. ∴ ∠EPD = ∠APC = 180°- ∠PAC-∠DCA=60°. ∴ ∠EOC=180°-∠EPD-∠E= 180°-60°-20°=100°. 12.2　三角形全等的判定 第1课时 用“SSS”判定 三角形全等 1. D 2. C 3. 86° 4. 34° 5. (1) ∵ AD=BC, ∴ AD-CD=BC-CD. ∴ AC=BD. 在△ACE 和△BDF 中, AC=BD, AE=BF, CE=DF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ACE≌△BDF(SSS). (2) 由(1),可知△ACE≌△BDF, ∴ ∠ACE=∠BDF. ∵ ∠CDF=55°, ∴ ∠BDF=180°-∠CDF=125°. ∴ ∠ACE=125°. 6. C 7. ①②③④ 8. 40° 9. 26° 10. (1) 在△ABC和△DEC中, AB=DE, BC=EC, AC=DC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABC≌△DEC(SSS). ∴ ∠ACB=∠DCE. ∴ ∠ACB - ∠ACE = ∠DCE - ∠ACE,即∠BCE=∠ACD. (2) ∵ △ABC≌△DEC, ∴ ∠B=∠CED. ∵ BC=EC, ∴ ∠B=∠CEB. ∵ ∠CEB=∠CFE, ∴ ∠CFE=∠CEF=∠CEB=∠B. ∵ ∠ACE=36°, ∴ 易得∠BCE=36°. ∴ ∠ACB=∠ACE+∠BCE=72°. 11. (1) 在△ABC和△DEF 中, AC=DF, AB=DE, BC=EF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABC≌△DEF(SSS). ∴ ∠A=∠D=22°. ∴ ∠E+∠F=180°-∠D=180°- 22°=158°. (2) ∵ ∠CGF=∠D+∠BCD, ∴ ∠BCD=∠CGF-∠D=88°- 22°=66°. ∵ CD 平分∠ACB, ∴ ∠BCD=∠ACD. ∴ ∠ACB=2∠BCD=2×66°= 132°. 又∵ △ABC≌△DEF, ∴ ∠F=∠ACB=132°. 12. 如图,连接AD 并延长至点F. 在△BAD 和△CAD 中, AB=AC, AD=AD, BD=CD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BAD≌△CAD(SSS). ∴ ∠BAD=∠CAD,∠B=∠C. ∵ ∠BDF = ∠B + ∠BAD, ∠CDF=∠C+∠CAD, ∴ ∠BDF + ∠CDF = ∠B + ∠BAD+∠C+∠CAD. ∴ ∠BDC=2∠B+∠BAC. ∵ ∠BAC=80°,∠BDC=120°, ∴ ∠B=20°. (第12题) 第2课时 用“SAS”判定 三角形全等 1. C 2. B 3. ①③④ 4. ∵ 在 △ABC 中,∠B =50°, ∠C=20°, ∴ ∠CAB=180°-∠B-∠C=110°. ∵ AE⊥BC, ∴ ∠AEC=90°. ∴ ∠DAF=∠AEC+∠C=110°. ∴ ∠DAF=∠CAB. 在△DAF 和△CAB 中, AD=AC, ∠DAF=∠CAB, AF=AB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △DAF≌△CAB(SAS). ∴ DF=CB. 5. A 6. A 7. 30° 8. 3 2cm /s或1cm/s [解析] 设点 Q 的 运 动 速 度 是 x cm/s. ∵ ∠CAB=∠DBA,∴ 当△ACP 与 △BPQ 全等时,有两种情况:① 若 △ACP≌△BQP,则AP=BP,AC= BQ.∴ 1×t=4-1×t,解得t=2. ∴ 3=2x,解 得 x = 32.② 若 △ACP≌△BPQ,则AP=BQ,AC= BP.∴ 1×t=tx,3=4-1×t,解得 t=1,x=1.综上所述,点Q 的运动速 度为3 2cm /s或1cm/s. 9. (1) BD=CE,BD⊥CE. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 9 (2) (1)中的结论仍然成立. 理由:∵ ∠BAC=∠DAE=90°, ∴ ∠BAC - ∠DAC = ∠DAE - ∠DAC,即∠BAD=∠CAE. 在△ABD 和△ACE 中, AB=AC, ∠BAD=∠CAE, AD=AE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABD≌△ACE(SAS). ∴ BD=CE,∠ABD=∠ACE. 延长BD交AC于点F,交CE于点H. 在△ABF 和△HCF 中, ∵ ∠ABF = ∠HCF,∠AFB = ∠HFC, ∴ ∠CHF=∠BAF=90°. ∴ BD⊥CE. 10. (1) ∵ ∠ACB=∠DCE=α, ∴ ∠ACB + ∠BCD = ∠DCE + ∠BCD,即∠ACD=∠BCE. 在△ACD 和△BCE 中, CA=CB, ∠ACD=∠BCE, CD=CE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ACD≌△BCE(SAS). (2) △CPQ 为等腰直角三角形. 由(1),易得△ACD≌△BCE. ∴ ∠CAD=∠CBE,AD=BE. ∵ AD,BE 的中点分别为P,Q, ∴ 易得AP=BQ. 在△ACP 和△BCQ 中, CA=CB, ∠CAP=∠CBQ, AP=BQ, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ACP≌△BCQ(SAS). ∴ CP=CQ,∠ACP=∠BCQ. ∵ ∠ACP + ∠PCB = ∠ACB = α=90°, ∴ ∠BCQ + ∠PCB = 90°,即 ∠PCQ=90°. ∴ △CPQ 为等腰直角三角形. 第3课时 用“ASA”或“AAS” 判定三角形全等 1. D 2. D 3. 3 4. (1) ∵ ∠CAF=∠BAE, ∴ ∠CAF + ∠EAC = ∠BAE + ∠EAC,即∠EAF=∠BAC. 在△ABC和△AEF 中, ∠C=∠F, AC=AF, ∠BAC=∠EAF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABC≌△AEF(ASA). (2) ∵ ∠B=55°,∠C=20°, ∴ ∠BAC=180°-55°-20°=105°. ∵ △ABC≌△AEF, ∴ AB=AE. ∴ ∠B=∠AEB=55°. ∴ ∠BAE = 180° - ∠B - ∠AEB=70°. ∴ ∠EAC = ∠BAC - ∠BAE = 105°-70°=35°. 5. C 6. B 7. ②③ 8. 25 [解析] 如图,延长AD 交BC 于点E.∵ BD 平分∠ABC,AD⊥ BD,∴ ∠ABD=∠EBD,∠ADB= ∠EDB=90°.在△ABD 和△EBD 中, ∠ABD=∠EBD, BD=BD, ∠ADB=∠EDB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABD≌ △EBD (ASA).∴ AD = ED. ∴ △ABD 的面积=△EBD 的面积, △CDE 的面积=△ADC 的面积= 20.∴ △ABD 的面积=△EBD 的面 积=△BCD 的面积-△CDE 的面 积=45-20=25. (第8题) 9. (1) AD=FC. 理由:∵ AD∥BC, ∴ ∠D=∠ECF,∠DAE=∠F. ∵ E 为CD 的中点, ∴ ED=EC. 在△DAE 和△CFE 中, ∠DAE=∠F, ∠D=∠ECF, ED=EC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △DAE≌△CFE(AAS). ∴ AD=FC. (2) BE⊥AF. 理由:由(1),知△DAE≌△CFE, ∴ AE=FE,AD=FC. ∵ AB=BC+AD, ∴ AB=BC+FC,即AB=FB. 在△ABE 和△FBE 中, AB=FB, AE=FE, BE=BE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABE≌△FBE(SSS). ∴ ∠AEB=∠FEB. ∵ ∠AEB+∠FEB=180°, ∴ ∠AEB=∠FEB=90°. ∴ BE⊥AF. 10. 5 [解析] ∵ AM⊥OQ,BN⊥ OQ,∴ ∠AMO = ∠ONB =90°. ∴ ∠OAM + ∠AON = 90°. ∵ ∠AOB = 90°,∴ ∠AON + ∠BON=90°.∴ ∠OAM=∠BON. 在 △OAM 和 △BON 中, ∠AMO=∠ONB, ∠OAM=∠BON, OA=BO, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △OAM ≌ △BON(AAS).∴ AM =ON=9, OM=BN=4.∴ MN=ON-OM= 9-4=5. 11. (1) ∵ AC=BC, ∴ ∠A=∠ABC. ∵ ∠ABC=∠GBH, ∴ ∠A=∠GBH. ∵ EF⊥AB,GH⊥AB, ∴ ∠AFE=∠BHG=90°. 在△AEF 和△BGH 中, ∠A=∠GBH, ∠AFE=∠BHG, EF=GH, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AEF≌△BGH(AAS). (2) ∵ △AEF≌△BGH, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 01 24 第2课时 用“SAS”判定三角形全等 ▶ “答案与解析”见P9 1. 如图,AB=DE,BE=CF,添加下列一个条 件,能使△ABC≌△DEF 的为 ( ) (第1题) A. ∠A=∠D B. BE=EC C. AB∥DE D. AC∥DF 2. 如图,AB=AC,AD=AE,若要得到△ABD≌ △ACE,必须添加一个条件,则下列所添加的 条件中,不恰当的是 ( ) (第2题) A. BD=CE B. ∠ABD=∠ACE C. ∠BAD=∠CAE D. ∠BAC=∠DAE 3. 如图,AD 是△ABC 的中线,E,F 分别是 AD 和AD 延长线上的点,且DE=DF,连接 BF,CE.有下列说法:① △BDF≌△CDE; ② △ABD 和 △ACD 的 面 积 不 相 等; ③ BF∥CE;④ CE=BF.其中,正确的是 (填序号). (第3题) 4. (2023·陕西)如图,在△ABC 中,∠B=50°, ∠C=20°.过点A 作AE⊥BC,垂足为E,延 长EA 至点D,使AD=AC,在边AC 上截取 AF=AB,连接DF.求证:DF=CB. (第4题) 5. 如图,CA 平分∠DCB,CB=CD,DA 的延长 线交BC 于点E.若∠EAC=48°,则∠BAE 的度数为 ( ) A. 84° B. 90° C. 88° D. 96° (第5题) (第6题) 6. 如图,P 是∠BAC 的平分线AD 上的一点, AC=9,AB=4,PB=2,则PC 的长不可 能是 ( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 如图,点A 在BE 上,AD=AE,AB=AC, ∠1=∠2=30°,则∠3的度数为 . (第7题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)八年级上 25 答案讲解 8. 如图,AB=4cm,AC=BD=3cm, ∠CAB=∠DBA,点P 在线段AB 上以1cm/s的速度由点A 向点B 运动.同时,点Q 在线段BD 上由点B 向点 D 运动,设运动时间为ts,则当△ACP 与 △BPQ 全 等 时,点 Q 的 运 动 速 度 为 . (第8题) 答案讲解 9. 在△ABC 和△ADE 中,AB=AC, AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°. (1) 如图①,当点D 在AC 上时,线 段BD,CE 有怎样的数量关系和位置关系? 请直接写出结论. (2) 如图②,将图①中的△ADE 绕点A 按顺 时针方向旋转α(0°<α<90°),(1)中的结论 是否仍然成立? 请判断并说明理由. (第9题) 答案讲解 10. 在△CAB 和△CDE 中,CA=CB, CD=CE,∠ACB=∠DCE=α,连 接AD,BE. (1) 如图①,求证:△ACD≌△BCE. (2) 如图②,当α=90°时,取AD,BE 的中 点P,Q,连接CP,CQ,PQ,判断△CPQ 的 形状,并给出证明. ① ② (第10题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第十二章　全等三角形