12.1 全等三角形-【拔尖特训】2024-2025学年八年级上册数学（人教版2012）

20 12.1　全等三角形 ▶ “答案与解析”见P8 1. 如图,△ABC 与△DEF 全等,点A,B,C 的 对应点分别为D,E,F,且点E 在AC 上,B, F,C,D 四点共线.若∠A=40°,∠CED= 35°,则下列叙述中,正确的是 ( ) A. EF=EC,AE=FC B. EF=EC,AE≠FC C. EF≠EC,AE=FC D. EF≠EC,AE≠FC (第1题) (第2题) 2. 如图,在3×3的正方形网格中,每个小正方形 的边长都为1,则∠1和∠2的关系是 ( ) A. ∠2=2∠1 B. ∠2-∠1=90° C. ∠1+∠2=90° D. ∠1+∠2=180° 3. 如图,△ABC≌△DEC,点A 和点D 是对应 顶点,点B 和点E 是对应顶点,过点A 作 AF⊥CD,垂足为 F.若∠BCE=65°,则 ∠CAF 的度数为 ( ) A. 30° B. 25° C. 35° D. 65° (第3题) (第4题) 4. 如图,在△ABC 中,D,E 分别是边AC,BC 上的点.若△ADB≌△EDB≌△EDC,则 ∠ADB 的度数为 . 5. (2023·宜春期末)如图,△ABC≌△DEB, 点E 在边AB 上,DE 与AC 相交于点F. (1) 若AE=2,BC=3,求线段DE 的长. (2) 若∠C=50°,∠D=35°,求∠AFD 的 度数. (第5题) 6. (易错易混题)如图,△ABD≌△EBC,AB= 12,BC=5,A,B,C 三点共线.有下列结论: ① CD⊥AE;② AD⊥CE;③ ED=8; ④ ∠EAD=∠ECD.其中,正确的是 ( ) A. ①② B. ①②④ C. ②④ D. ②③④ (第6题) (第7题) 7. (2023·宜春期末)如图,△AOB≌△ADC, ∠O=∠D=90°,记∠OAD=α,∠ABO=β. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)八年级上 第十二章　全等三角形 21 当BC∥OA 时,α与β之间的数量关系为 ( ) A. α=β B. α=2β C. α+β=90° D. α+2β=180° 8. 三个全等三角形按如图所示的方式摆放,则 ∠1+∠2+∠3的度数为 . (第8题) (第9题) 9. 如图,N,C,A 三点在同一条直线上,N,B, M 三 点 在 同 一 条 直 线 上.在△ABC 中, ∠A∶∠ABC∶∠ACB=3∶5∶10,△MNC≌ △ABC,则∠BCM 的度数为 . 10. 如图,在△ABC 中,点D,E 分别在边AB, BC 上,连接AE,DE.若△ADE≌△BDE, AC∶AB∶BC=2∶3∶4,且△ABC 的周 长比△AEC 的周长大6,求△AEC 的周长. (第10题) 11. 如图,△BKC≌△BKE≌△DKC,BE 与 KD 交于点G,KE 与CD 交于点P,BE 与 CD 交于点A,∠BKC=135°,∠E=22°,求 ∠KPD 的度数. (第11题) 答案讲解 12. 如图,在锐角三角形ABC 中,D, E 分 别 是 边 AB,AC 上 的 点, △ADC ≌ △ADC',△AEB ≌ △AEB',且C'D∥EB'∥BC,BE,CD 交于 点F.若∠BAC=α,∠BFC=β,则 ( ) (第12题) A. 2α+β=180° B. 2β-α=180° C. α+β=150° D. β-α=60° 答案讲解 13. 如图,△ABE≌△ADC≌△ABC, 若∠1∶∠2∶∠3=13∶3∶2,CD 与 BE 交 于 点 O,求 ∠EOC 的 度数. (第13题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第十二章　全等三角形 ∴ n=15. 8. (1) ① 110°. ② 260°. (2) ① 85°. ② 142°. ③ ∵ 易 得 ∠DOC + ∠D = ∠DAC+∠C, ∴ ∠D=∠DAC+∠C-∠DOC. ∵ AD,OD 分别是∠BAC,∠BOC 的平分线, ∴ ∠DAC= 12 ∠BAC ,∠DOC= 1 2∠BOC= 1 2 (∠BAC + ∠B + ∠C). ∴ ∠D = 12 ∠BAC + ∠C - 1 2 (∠BAC+∠B+∠C)=12∠C- 1 2∠B= 1 2 (∠C-∠B). 9. (1) ① ∵ BP,CP 分 别 平 分 △ABC的外角∠CBM 和∠BCN, ∴ ∠PBC=∠PBM=12∠CBM= 1 2 (∠BAC+∠ACB)=12 (α+β), ∠BCP= 12 ∠BCN = 1 2 (180°- ∠ACB)=12 (180°-β). ∴ ∠BPC = 180° - ∠PBC - ∠BCP =180°- 12 (α +β)- 1 2 (180°-β)=90°- 1 2α. ② ∵ BD⊥AP, ∴ ∠BDP=90°. 在 Rt△PBD 中,∠PBD =90°- ∠BPD. ∵ AP 平分∠BAC, ∴ ∠BPD = ∠PBM - ∠BAP = ∠PBM-12∠BAC= 1 2 (α+β)- 1 2α= 1 2β. ∴ ∠PBD=90°-12β. (2) ① 补全图形如图所示. ② (1)中的两个结论发生了变化. ∵ ∠BAC=α,∠ACB=β, ∴ ∠ABC + ∠ACB =180°-α, ∠ABC+∠BAC=180°-β. ∵ P 为△ABC的三条内角平分线的 交点, ∴ ∠PBC= 12 ∠ABC ,∠PCB = 1 2∠ACB. ∴ ∠PBC+∠PCB=12 (∠ABC+ ∠ACB). ∴ ∠BPC =180°- (∠PBC + ∠PCB)=180°- 12 (∠ABC + ∠ACB)=180°-12× (180°-α)= 90°+12α. ∵ 由题意,知BD⊥AD, ∴ ∠PDB=90°. ∵ 易知∠BPD=∠ABP+∠BAP= 1 2 (∠ABC+∠BAC)= 12 (180°- β)=90°- 1 2β , ∴ ∠PBD = 180°- ∠PDB - ∠BPD=180°-90°- 90°-12β = 1 2β. (第9题) 第十二章　全等三角形 12.1　全等三角形 1. B 2. D 3. B 4. 60° 5. (1) ∵ △ABC≌△DEB, ∴ BC=EB=3,AB=DE. ∵ AB=AE+EB=2+3=5, ∴ DE=AB=5. (2) ∵ △ABC≌△DEB, ∴ ∠A = ∠D =35°,∠DBE = ∠C=50°. ∵ ∠AFD = ∠A + ∠AEF, ∠AEF=∠D+∠DBE, ∴ ∠AFD=∠A+∠D+∠DBE= 35°+35°+50°=120°. 6. B 7. B 8. 180° 9. 20° 10. ∵ △ADE≌△BDE, ∴ AE=BE. ∴ C△AEC=AE+EC+AC=BE+ EC+AC=BC+AC. ∵ AC∶AB∶BC=2∶3∶4, ∴ 设AC=2x,则AB=3x,BC=4x. ∵ △ABC 的周长比△AEC 的周长 大6, ∴ C△ABC-C△AEC=6. ∴ (AB +BC +AC)- (BC + AC)=6. ∴ AB=3x=6,解得x=2. ∴ AC=2x=4,BC=4x=8. ∴ C△AEC=BC+AC=8+4=12. 11. ∵ △BKC≌△BKE≌△DKC, ∠BKC=135°,∠E=22°, ∴ ∠DCK=∠E=22°,∠BKE= ∠DKC=∠BKC=135°. ∴ ∠DKP = ∠BKC + ∠DKC + ∠BKE-360°=45°. ∴ ∠EKC = ∠DKC - ∠DKE = 135°-45°=90°. ∴ ∠KPD = ∠PCK + ∠PKC = 22°+90°=112°. 12. A [解析] 如图,延长C'D 交 AC 于点 M.∵ △ADC≌△ADC', △AEB ≌ △AEB',∴ ∠ACD = ∠C',∠ABE = ∠B',∠CAD = ∠C'AD=∠B'AE=α.∴ ∠C'MC= ∠C' + ∠C'AM = ∠C' + 2α. ∵ C'D∥EB',∴ ∠AEB'=∠C'MC. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 8 ∵ ∠AEB' = 180° - ∠B' - ∠B'AE=180°-∠B'-α,∴ ∠C'+ 2α=180°- ∠B'-α.∴ ∠C'+ ∠B'=180°-3α.∵ ∠BFC=β= ∠BDF+∠DBF,∠BDF=∠DAC+ ∠ACD,∴ ∠BFC=β=∠DAC+ ∠ACD + ∠B'=α + ∠ACD + ∠B'=α+∠C'+∠B'=α+180°- 3α=180°-2α,即2α+β=180°. (第12题) 13. 设AE 与DC交于点P. ∵ ∠1∶∠2∶∠3=13∶3∶2, ∴ 易得∠1=130°,∠2=30°,∠3= 20°. ∵ △ABE≌△ADC≌△ABC, ∴ ∠DCA = ∠E = ∠3=20°, ∠EAB=∠1=130°. ∴ ∠PAC=360°-2∠1=100°. ∴ ∠EPD = ∠APC = 180°- ∠PAC-∠DCA=60°. ∴ ∠EOC=180°-∠EPD-∠E= 180°-60°-20°=100°. 12.2　三角形全等的判定 第1课时 用“SSS”判定 三角形全等 1. D 2. C 3. 86° 4. 34° 5. (1) ∵ AD=BC, ∴ AD-CD=BC-CD. ∴ AC=BD. 在△ACE 和△BDF 中, AC=BD, AE=BF, CE=DF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ACE≌△BDF(SSS). (2) 由(1),可知△ACE≌△BDF, ∴ ∠ACE=∠BDF. ∵ ∠CDF=55°, ∴ ∠BDF=180°-∠CDF=125°. ∴ ∠ACE=125°. 6. C 7. ①②③④ 8. 40° 9. 26° 10. (1) 在△ABC和△DEC中, AB=DE, BC=EC, AC=DC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABC≌△DEC(SSS). ∴ ∠ACB=∠DCE. ∴ ∠ACB - ∠ACE = ∠DCE - ∠ACE,即∠BCE=∠ACD. (2) ∵ △ABC≌△DEC, ∴ ∠B=∠CED. ∵ BC=EC, ∴ ∠B=∠CEB. ∵ ∠CEB=∠CFE, ∴ ∠CFE=∠CEF=∠CEB=∠B. ∵ ∠ACE=36°, ∴ 易得∠BCE=36°. ∴ ∠ACB=∠ACE+∠BCE=72°. 11. (1) 在△ABC和△DEF 中, AC=DF, AB=DE, BC=EF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABC≌△DEF(SSS). ∴ ∠A=∠D=22°. ∴ ∠E+∠F=180°-∠D=180°- 22°=158°. (2) ∵ ∠CGF=∠D+∠BCD, ∴ ∠BCD=∠CGF-∠D=88°- 22°=66°. ∵ CD 平分∠ACB, ∴ ∠BCD=∠ACD. ∴ ∠ACB=2∠BCD=2×66°= 132°. 又∵ △ABC≌△DEF, ∴ ∠F=∠ACB=132°. 12. 如图,连接AD 并延长至点F. 在△BAD 和△CAD 中, AB=AC, AD=AD, BD=CD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BAD≌△CAD(SSS). ∴ ∠BAD=∠CAD,∠B=∠C. ∵ ∠BDF = ∠B + ∠BAD, ∠CDF=∠C+∠CAD, ∴ ∠BDF + ∠CDF = ∠B + ∠BAD+∠C+∠CAD. ∴ ∠BDC=2∠B+∠BAC. ∵ ∠BAC=80°,∠BDC=120°, ∴ ∠B=20°. (第12题) 第2课时 用“SAS”判定 三角形全等 1. C 2. B 3. ①③④ 4. ∵ 在 △ABC 中,∠B =50°, ∠C=20°, ∴ ∠CAB=180°-∠B-∠C=110°. ∵ AE⊥BC, ∴ ∠AEC=90°. ∴ ∠DAF=∠AEC+∠C=110°. ∴ ∠DAF=∠CAB. 在△DAF 和△CAB 中, AD=AC, ∠DAF=∠CAB, AF=AB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △DAF≌△CAB(SAS). ∴ DF=CB. 5. A 6. A 7. 30° 8. 3 2cm /s或1cm/s [解析] 设点 Q 的 运 动 速 度 是 x cm/s. ∵ ∠CAB=∠DBA,∴ 当△ACP 与 △BPQ 全等时,有两种情况:① 若 △ACP≌△BQP,则AP=BP,AC= BQ.∴ 1×t=4-1×t,解得t=2. ∴ 3=2x,解 得 x = 32.② 若 △ACP≌△BPQ,则AP=BQ,AC= BP.∴ 1×t=tx,3=4-1×t,解得 t=1,x=1.综上所述,点Q 的运动速 度为3 2cm /s或1cm/s. 9. (1) BD=CE,BD⊥CE. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 9