11.3 多边形及其内角和-【拔尖特训】2024-2025学年八年级上册数学（人教版2012）

1 3∠BAO , ∴ ∠D=13∠ABN- 1 3∠BAO= 1 3 (∠ABN-∠BAO)=13∠MON. ∵ ∠MON=90°, ∴ ∠D=30°. (3) 1 2α. 11.3　多边形及其内角和 1. C 2. D 3. A 4. 265° 5. (1) 嘉嘉的说法不正确. 理由:多边形的外角和始终为360°,与 多边形的边数无关. (2) ① 180(7+x-2)-180×(7- 2)=360,解得x=2,即x的值为2. ② 淇淇的说法正确. 理由:180(n+x-2)-180(n- 2)=360, 整理,得180x=360,解得x=2. ∴ 无论n取何值,x的值始终不变. ∴ 淇淇的说法正确. 6. C 7. B 8. B 9. 32° 10. 225° [解析] 如图,连接AD, BC.在四边形ABCD 中,∠DAB+ ∠ABC+∠BCD+∠CDA=360°. ∵ ∠DEA + ∠EAD + ∠ADE = 180°,∠DEA=105°,∴ ∠EAD + ∠ADE = 180° - 105° = 75°. ∵ ∠CFB+∠FCB+∠FBC=180°, ∠CFB=120°,∴ ∠FCB+∠FBC= 180°-120°=60°.∴ ∠EAB + ∠ABF+∠DCF+∠EDC=360°- (∠EAD + ∠ADE)- (∠FCB + ∠FBC)=360°-75°-60°=225°. (第10题) 11. (1) 36°. (2) ∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E=180°. 如图,∵ ∠1=∠A+∠C,∠2= ∠B+∠D,∠1+∠2+∠E=180°, ∴ ∠A+∠C+∠B+∠D+∠E= 180°,即∠A+∠B+∠C+∠D+ ∠E=180°. (3) ∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+ ∠E=180°. (第11题) 12. (1) ∵ 在 四 边 形 ABCD 中, ∠BAD + ∠ABC + ∠BCD + ∠ADC = 360°, ∠BAD = α, ∠BCD=β, ∴ ∠ABC+∠ADC=360°-(α+β). ∵ ∠MBC + ∠ABC = 180°, ∠NDC+∠ADC=180°, ∴ ∠MBC + ∠NDC = 180°- ∠ABC+180°- ∠ADC=360°- (∠ABC+∠ADC)=360°-[360°- (α+β)]=α+β. ∵ α+β=150°, ∴ ∠MBC+∠NDC=150°. (2) β-α=90°. 理由:如图①,连接BD. 由(1),知∠MBC+∠NDC=α+β. ∵ BE,DF 分别平分四边形ABCD 的外角∠MBC和∠NDC, ∴ ∠CBG= 12 ∠MBC ,∠CDG= 1 2∠NDC. ∴ ∠CBG+∠CDG=12∠MBC+ 1 2∠NDC= 1 2 (∠MBC+∠NDC)= 1 2 (α+β). 在△BCD 中,∠BDC+ ∠DBC = 180°-∠BCD=180°-β. 在△BDG 中,∠BGD=45°. ∵ ∠GBD+∠GDB+∠BGD=180°, ∴ ∠CBG + ∠DBC + ∠CDG + ∠BDC+∠BGD=180°. ∴ (∠CBG+∠CDG)+(∠DBC+ ∠BDC)+∠BGD=180°. ∴ 1 2 (α+β)+180°-β+45°=180°. ∴ β-α=90°. (3) BE∥DF. 理由:如图②,延长BC交DF于点H. 由(1),知∠MBC+∠NDC=α+β. ∵ BE,DF 分别平分四边形ABCD 的外角∠MBC和∠NDC, ∴ ∠CBE= 12 ∠MBC ,∠CDH = 1 2∠NDC. ∴ ∠CBE+∠CDH=12∠MBC+ 1 2∠NDC= 1 2 (∠MBC+∠NDC)= 1 2 (α+β). ∵ ∠BCD=∠CDH+∠DHB, ∴ ∠CDH = ∠BCD - ∠DHB= β-∠DHB. ∴ ∠CBE+β-∠DHB= 1 2 (α+β). ∵ α=β, ∴ ∠CBE+β-∠DHB= 1 2 (β+ β)=β. ∴ ∠CBE=∠DHB. ∴ BE∥DF. (第12题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 4 10 11.3　多边形及其内角和 ▶ “答案与解析”见P4 1. (2022·烟台)一个正多边形的每个内角和与 它相邻的外角的度数比为3∶1,则这个正多 边形是 ( ) A. 正方形 B. 正六边形 C. 正八边形 D. 正十边形 2. 如图所示为长方形ABCD,用一条直线将它 分割成两个多边形(含三角形).若这两个多 边形的内角和分别为M 和N,则M+N 的 度数不可能是 ( ) A. 360° B. 540° C. 720° D. 630° (第2题) (第3题) 3. (2023·秦皇岛期末)如图,点A,B,C,D,E, F 在同一平面内,连接AB,BC,CD,DE, EF,FA,∠BCD=110°,则∠A+∠B+∠D+ ∠E+∠F 等于 ( ) A. 470° B. 450° C. 430° D. 410° 4. 如图,BC∥DE,∠3=85°,则∠1+∠2+ ∠3+∠4的度数是 . (第4题) 5. (2023·驻马店期末)A和B分别是两个多边 形,如图所示为A和B的对话,据此回答下 列问题. (1) 嘉嘉说:“因为B的边数比A多,所以B 的外角和比A的大.”请判断嘉嘉的说法是 否正确,并说明理由. (2) 设A的边数为n(n>3). ① 若n=7,求x的值. ② 淇淇说:“无论n 取何值,x 的值始终不 变.”淇淇的说法正确吗? 请用列方程的方法 说明理由. (第5题) 6. (易错易混题)小明在计算一个多边形的内角 和时,由于粗心少算了1个内角,得到的结果 为1180°,则少算的这个内角的度数是( ) A. 60° B. 70° C. 80° D. 90° 7. 如图,在七边形ABCDEFG 中,AB,ED 的 延长线交于点O.若∠1,∠2,∠3,∠4的邻补 角的和等于215°,则∠BOD 的度数为( ) A. 20° B. 35° C. 40° D. 45° (第7题) (第8题) 8. 如图,用若干个完全一样的正五边形排成环 状,已经排了3个,要完成这个环状,还需要 的正五边形的个数为 ( ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)八年级上 11 9. 把正三角形、正方形、正五边形按如图所示的 方式摆放,若∠1=52°,∠2=18°,则∠3的度 数为 . (第9题) (第10题) 答案讲解 10. 如图,∠A+∠B+∠C+∠D 的 度数为 . 答案讲解 11. 小明对证明几何推理问题兴趣浓 厚,他从五个角均相等的五角星开 始探究. (1) 他画出了如图①所示的五角星,并利用 所学的知识很快得出每个角的度数,此度数 为 . (2) 如图②,小明改变了这五个角的度数, 使它们均不相等,小明发现∠A,∠B,∠C, ∠D,∠E 的和是一个定值并进行了证明, 请你猜想出结果并加以证明. (3) 如图③,小明将点A 落在BE 上,点C 落在BD 上,则∠CAD,∠B,∠ACE,∠D, ∠E 之间存在怎样的数量关系? 请直接写 出结果. (第11题) 答案讲解 12. 如图①,在四边形ABCD 中,BE, DF 分别平分四边形ABCD 的外 角∠MBC 和∠NDC.若∠BAD= α,∠BCD=β. (1) 若α+β=150°,求∠MBC+∠NDC 的 度数. (2) 若BE 与DF 相交于点G,∠BGD= 45°,请写出α,β满足的等量关系式,并说明 理由. (3) 如图②,若α=β,判断BE,DF 之间的 位置关系,并说明理由. (第12题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第十一章　三 角 形