11.2.2 三角形的外角-【拔尖特训】2024-2025学年八年级上册数学（人教版2012）

8 第2课时 三角形的外角 ▶ “答案与解析”见P3 1. (2023·东营)如图,AB∥CD,点E 在线段 BC上(不与点B,C重合),连接DE.若∠D= 40°,∠BED=60°,则∠B 的度数为 ( ) A. 10° B. 20° C. 40° D. 60° (第1题) (第3题) 2. 若三角形的三个顶点处的相应外角的度数之 比为2∶3∶4,则与之对应的三个内角的度 数之比为 ( ) A. 4∶3∶2 B. 2∶3∶4 C. 5∶3∶1 D. 1∶3∶5 3. 将一副三角尺按如图所示的方式摆放,DE∥ AB,其中∠D=30°,∠B=45°,则∠AFC 的 度数是 . 4. (2023·大连)如图,AB∥CD,∠A=45°, ∠C=20°,则∠E 的度数为 . (第4题) 5. 如图,在△ABC 中,AD⊥BC,∠DAC=10°, AE是△ABC 的外角∠MAC 的平分线,E 为 AE与BC 延长线的交点,BF 平分∠ABC,交 AE于点F.若∠ABC=46°,求∠AFB的度数. (第5题) 6. 如图,在△ABC 中,∠B=32°,将△ABC 沿 直线m 翻折,使点B 落在点D 的位置,则 ∠1-∠2的度数是 ( ) A. 32° B. 45° C. 60° D. 64° (第6题) (第7题) 答案讲解 7. (易错易混题)(2023·信阳期末)如 图,在△ABC 中,∠ABC=∠ACB, BD 是△ABC 的内角∠ABC 的平 分线,AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分 线,CD 是△ABC 的外角∠ACF 的平分线. 下列结论中,不正确的是 ( ) A. AD∥BC B. ∠ACB=2∠ADB C. ∠ADC=90°-∠ABD D. DB 平分∠ADC 8. 如图,在△ABC 中,BD 为△ABC 的内角平 分线,CE 为△ABC 的外角平分线.如果 ∠BDC=130°,∠E=50°,那么∠BAC 的度 数为 . (第8题) 9. “三等分一个任意角”是数学史上一个著名的 问题.今天人们已经知道,仅用圆规和直尺是 不可能作出的.有人曾利用如图所示的图形 进行探索,其中四边形ABCD 是长方形,F 是DA 延长线上的一点,连接CF 交AB 于 点E,G 是 CF 上 的 一 点,且 ∠ACG = 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)八年级上 9 ∠AGC,∠GAF=∠F,请写出∠ECB 和 ∠ACB 之间的数量关系,并说明理由. (第9题) 10. (1) 如图①,请探究∠ADB 与∠A,∠B, ∠ACB 之间的数量关系,并给出证明. (2) 如图②,DE 平 分∠ADB,CE 平 分 ∠ACB,∠A=24°,∠B=66°,求∠E 的 度数. (第10题) 答案讲解 11. 如图①,∠MON=90°,点A,B 分 别在OM,ON 上运动(不与点O 重合). (1) 若BC 是∠ABN 的平分线,BC 的反向 延长线与∠BAO 的平分线交于点D. ① 若 ∠BAO =70°,则 ∠D 的 度 数 为 . ② ∠D 的度数是否随点A,B 的运动而发 生变化? 请判断并说明理由. (2) 如 图 ②,若 ∠CBA = 13∠ABN , ∠BAD=13∠BAO ,求∠D 的度数. (3) 在图①的基础上,若∠MON=α,其余 条件不变,随着点A,B 的运动(如图③),则 ∠D= (用含α的式子表示). (第11题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第十一章　三 角 形 ∴ 90°+ (∠ABP + ∠ACP)+ ∠A=180°. ∴ ∠ABP+∠ACP+∠A=90°. ∴ ∠ABP+∠ACP=90°-∠A. (3) ∠ACP-∠ABP=90°-∠A. 理由:设AB 交PC于点O. ∵ ∠AOC=∠POB, ∴ ∠ACO+∠A=∠P+∠PBO,即 ∠ACP+∠A=90°+∠ABP. ∴ ∠ACP-∠ABP=90°-∠A. 11. (1) △ABC是“和谐三角形”. ∵ ∠ACB=90°,∠A=60°, ∴ ∠B=30°. ∴ ∠B=12∠A. ∴ △ABC是“和谐三角形”. (2) △ACD,△BCD 是“和谐三角形”. ∵ ∠ACB=90°,∠A=60°, ∴ ∠B=30°. ∵ CD⊥AB, ∴ ∠ADC=∠BDC=90°. ∴ 易得∠ACD=30°,∠BCD=60°. 在 △ACD 中,∵ ∠A = 60°, ∠ACD=30°, ∴ ∠ACD=12∠A. ∴ △ACD 是“和谐三角形”. 在 △BCD 中,∵ ∠BCD =60°, ∠B=30°, ∴ ∠B=12∠BCD. ∴ △BCD 是“和谐三角形”. (3) ∵ △ACD 是“和谐三角形”, ∴ 易得∠ACD=12∠A 或∠ACD= 1 2∠ADC. 当∠ACD = 12 ∠A 时,∠ACD = 1 2×80°=40° ; 当∠ACD = 12 ∠ADC 时,∠A + 3∠ACD=180°,即3∠ACD=100°, ∴ ∠ACD= 1003 °. 综上所述,∠ACD 的度数为40°或 100 3 °. 第2课时 三角形的外角 1. B 2. C 3. 75° 4. 25° 5. ∵ AD⊥BC, ∴ ∠ADB=90°. ∴ ∠BAD=90°-∠ABC=44°. 又∵ ∠DAC=10°, ∴ ∠BAC=∠BAD+∠DAC=54°. ∴ ∠MAC=180°-∠BAC=126°. ∵ AE 是△ABC的外角∠MAC的平 分线, ∴ ∠MAE=12∠MAC=63°. ∵ BF 平分∠ABC, ∴ ∠ABF=12∠ABC=23°. ∴ ∠AFB = ∠MAE - ∠ABF = 63°-23°=40°. 6. D 7. D 8. 120° 9. ∠ACB=3∠ECB. 理由:∵ ∠GAF=∠F, ∴ ∠AGC=∠F+∠GAF=2∠F. ∵ ∠ACG=∠AGC, ∴ ∠ACG=2∠F. ∵ 易知AD∥BC, ∴ ∠ECB=∠F. ∴ ∠ACG=2∠ECB. ∴ ∠ACB = ∠ACG + ∠ECB = 2∠ECB+∠ECB=3∠ECB. 10. (1) ∠ADB = ∠A + ∠B + ∠ACB. 如图,连接CD 并延长至点O. ∴ ∠ADO=∠A+∠ACO,∠BDO= ∠B+∠BCO. ∵ ∠ADB=∠ADO+∠BDO, ∴ ∠ADB=∠A+∠ACO+∠B+ ∠BCO,则∠ADB=∠A+∠B+ ∠ACB. (2) 由(1),可 得∠ADB=∠A+ ∠B + ∠ACB,∠ADE = ∠A + ∠E+∠ACE. ∵ DE平分∠ADB,CE平分∠ACB, ∴ ∠ADE= 12 ∠ADB ,∠ACE= 1 2∠ACB. ∴ 1 2 ∠ADB = ∠A + ∠E + 1 2∠ACB ,即 ∠ADB =2∠A + 2∠E+∠ACB. ∴ ∠A+∠B+∠ACB=2∠A+ 2∠E+∠ACB. 整理,得∠E=12 (∠B-∠A). ∵ ∠A=24°,∠B=66°, ∴ ∠E=12× (66°-24°)=21°. (第10题) 11.(1) ① 45°. ② 不发生变化. 理由:∵ 由题意,知AD 平分∠BAO, BC平分∠ABN, ∴ ∠BAD= 12 ∠BAO ,∠CBA= 1 2∠NBA. ∵ ∠CBA=∠D+∠BAD, ∴ ∠D = ∠CBA - ∠BAD = 1 2∠NBA- 1 2∠BAO= 1 2 (∠NBA- ∠BAO)=12∠MON. ∵ ∠MON=90°, ∴ ∠D=45°. ∴ ∠D 的度数不发生变化. (2) 由(1)②,知∠D=∠CBA- ∠BAD. ∵ ∠CBA= 13 ∠ABN ,∠BAD= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3 1 3∠BAO , ∴ ∠D=13∠ABN- 1 3∠BAO= 1 3 (∠ABN-∠BAO)=13∠MON. ∵ ∠MON=90°, ∴ ∠D=30°. (3) 1 2α. 11.3　多边形及其内角和 1. C 2. D 3. A 4. 265° 5. (1) 嘉嘉的说法不正确. 理由:多边形的外角和始终为360°,与 多边形的边数无关. (2) ① 180(7+x-2)-180×(7- 2)=360,解得x=2,即x的值为2. ② 淇淇的说法正确. 理由:180(n+x-2)-180(n- 2)=360, 整理,得180x=360,解得x=2. ∴ 无论n取何值,x的值始终不变. ∴ 淇淇的说法正确. 6. C 7. B 8. B 9. 32° 10. 225° [解析] 如图,连接AD, BC.在四边形ABCD 中,∠DAB+ ∠ABC+∠BCD+∠CDA=360°. ∵ ∠DEA + ∠EAD + ∠ADE = 180°,∠DEA=105°,∴ ∠EAD + ∠ADE = 180° - 105° = 75°. ∵ ∠CFB+∠FCB+∠FBC=180°, ∠CFB=120°,∴ ∠FCB+∠FBC= 180°-120°=60°.∴ ∠EAB + ∠ABF+∠DCF+∠EDC=360°- (∠EAD + ∠ADE)- (∠FCB + ∠FBC)=360°-75°-60°=225°. (第10题) 11. (1) 36°. (2) ∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E=180°. 如图,∵ ∠1=∠A+∠C,∠2= ∠B+∠D,∠1+∠2+∠E=180°, ∴ ∠A+∠C+∠B+∠D+∠E= 180°,即∠A+∠B+∠C+∠D+ ∠E=180°. (3) ∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+ ∠E=180°. (第11题) 12. (1) ∵ 在 四 边 形 ABCD 中, ∠BAD + ∠ABC + ∠BCD + ∠ADC = 360°, ∠BAD = α, ∠BCD=β, ∴ ∠ABC+∠ADC=360°-(α+β). ∵ ∠MBC + ∠ABC = 180°, ∠NDC+∠ADC=180°, ∴ ∠MBC + ∠NDC = 180°- ∠ABC+180°- ∠ADC=360°- (∠ABC+∠ADC)=360°-[360°- (α+β)]=α+β. ∵ α+β=150°, ∴ ∠MBC+∠NDC=150°. (2) β-α=90°. 理由:如图①,连接BD. 由(1),知∠MBC+∠NDC=α+β. ∵ BE,DF 分别平分四边形ABCD 的外角∠MBC和∠NDC, ∴ ∠CBG= 12 ∠MBC ,∠CDG= 1 2∠NDC. ∴ ∠CBG+∠CDG=12∠MBC+ 1 2∠NDC= 1 2 (∠MBC+∠NDC)= 1 2 (α+β). 在△BCD 中,∠BDC+ ∠DBC = 180°-∠BCD=180°-β. 在△BDG 中,∠BGD=45°. ∵ ∠GBD+∠GDB+∠BGD=180°, ∴ ∠CBG + ∠DBC + ∠CDG + ∠BDC+∠BGD=180°. ∴ (∠CBG+∠CDG)+(∠DBC+ ∠BDC)+∠BGD=180°. ∴ 1 2 (α+β)+180°-β+45°=180°. ∴ β-α=90°. (3) BE∥DF. 理由:如图②,延长BC交DF于点H. 由(1),知∠MBC+∠NDC=α+β. ∵ BE,DF 分别平分四边形ABCD 的外角∠MBC和∠NDC, ∴ ∠CBE= 12 ∠MBC ,∠CDH = 1 2∠NDC. ∴ ∠CBE+∠CDH=12∠MBC+ 1 2∠NDC= 1 2 (∠MBC+∠NDC)= 1 2 (α+β). ∵ ∠BCD=∠CDH+∠DHB, ∴ ∠CDH = ∠BCD - ∠DHB= β-∠DHB. ∴ ∠CBE+β-∠DHB= 1 2 (α+β). ∵ α=β, ∴ ∠CBE+β-∠DHB= 1 2 (β+ β)=β. ∴ ∠CBE=∠DHB. ∴ BE∥DF. (第12题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 4