11.2.1 三角形的内角-【拔尖特训】2024-2025学年八年级上册数学（人教版2012）

6 11.2　与三角形有关的角 第1课时 三角形的内角 ▶ “答案与解析”见P2 1. 若一个三角形的三个内角的度数之比为2∶ 3∶4,则这个三角形是 ( ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 2. (2023·盘锦)如图,直线AB∥CD,将一把含 60°角的直角三角尺EGF 按图中的方式放 置,点E 在AB 上,GF,EF 分别交CD 于点 H,K.若∠BEF=64°,则∠GHC 的度数为 ( ) A. 44° B. 34° C. 24° D. 14° (第2题) (第4题) 3. (易错易混题)在△ABC 中,∠ABC=∠C, BD 是边AC 上的高,∠ABD=30°,则∠C 的度数为 ( ) A. 30° B. 90° C. 30°或90° D. 30°或60° 4. (2022·扬州)将一副直角三角尺按如图所示 的方式放置,∠E=60°,∠C=45°,EF∥BC, 则∠BND 的度数为 . 5. 如图,在△ABC 中,AD 是高,AE,BF 是角 平分线,且相交于点O,∠C=70°. (第5题) (1) ∠AOB 的度数为 . (2) 若∠ABC=60°,求∠DAE 的度数. 6. 如图,∠A=65°,∠B=40°,∠C=25°,则∠D+ ∠E 的度数为 ( ) A. 25° B. 40° C. 50° D. 65° (第6题) (第7题) 7. 如图,在△ABC 中,O 是三个内角的平分线 的交点,过点O 作∠ODC=∠AOC,交边 BC 于点D.若∠ABC=n°,则∠BOD 的度 数为 ( ) A. 90°+12n° B. 45°+12n° C. 90°-12n° D. 90° 8. 如图,在△CEF 中,∠E=80°,∠F=50°, AB∥CF,AD∥CE,连接BC,CD,则∠A 的 度数为 . (第8题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)八年级上 7 答案讲解 9. 如 图,BI 平 分 ∠ABC,CI 平 分 ∠ACB,把△ABC 折叠,使点A 与 点I 重合.若∠1+∠2=132°,则 ∠BIC 的度数为 . (第9题) 答案讲解 10. 将 一 把 三 角 尺 (△MPN,其 中 ∠MPN=90°)放置在△ABC 上 (点P 在△ABC 内),如图①,三角 尺的两边PM,PN 恰好经过点B 和点C. 现进行如下探究:∠ABP 与∠ACP 之间是 否存在某种数量关系? (1) 若∠A=50°,则∠PBC+∠PCB= ;∠ABP+∠ACP= . (2) 猜想∠ABP,∠ACP,∠A 之间的数量 关系,并说明理由. (3) 如图②,改变三角尺的位置,使点P 在 △ABC外,三角尺的两边PM,PN 仍恰好 经过点B 和点C,猜想∠ABP,∠ACP, ∠A 之间的数量关系,并说明理由. (第10题) 答案讲解 11. 定义:在一个三角形中,如果有一 个角的度数是另一个角度数的1 2 , 那么我们称这两个角互为“和谐角”, 这个三角形叫做“和谐三角形”. 例如:在△ABC 中,如果∠A=70°,∠B= 35°,那么∠A 与∠B 互为“和谐角”,△ABC 为“和谐三角形”. 如图①,在△ABC 中,∠ACB=90°,∠A= 60°,D 是线段AB 上一点(不与点A,B 重 合),连接CD. (1) △ABC 是“和谐三角形”吗? 为什么? (2) 若CD⊥AB,则△ACD,△BCD 是“和 谐三角形”吗? 为什么? (3) 如图②,在△ABC 中,∠ACB=60°, ∠A=80°,D 是线段AB 上一点(不与点 A,B 重合),连接CD.若△ACD 是“和谐三 角形”,求∠ACD 的度数. (第11题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第十一章　三 角 形 10. 320 9 [解析] 连接BE.∵ BC= 8,D 是BC 的中点,∴ BD=DC= 1 2BC=4.∵ EF⊥BC,且EF=203 , ∴ S△BDE= 1 2BD ·EF=12×4× 20 3= 40 3.∵ AE= 13DE ,∴ 易得 S△ABE= 1 3S△BDE = 1 3× 40 3= 40 9. ∴ 易得S△ABD =S△ADC =S△BDE + S△ABE= 40 3+ 40 9= 160 9 .∴ S△ABC= S△ABD+S△ADC= 160 9 + 160 9 = 320 9 . 11. ∵ AD⊥BC,CE⊥AB, ∴ 易得BF⊥AC. ∴ 1 2AB ·CE= 12BC ·AD = 1 2AC ·BF. ∵ AB=5,BC=4,AC=6, ∴ 1 2 ×5CE= 1 2 ×4AD= 1 2 × 6BF. ∴ CE∶AD∶BF=12∶15∶10. 12. ∵ BE,CF 分别是△ABC 的边 AC,AB 上的中线, ∴ AE=12AC ,AF=12AB. ∴ S△ABE=S△ACF= 1 2S△ABC. ∵ AM⊥CF,AN⊥BE, ∴ 1 2CF ·AM=12BE ·AN. ∵ BE=CF, ∴ AM=AN. 13. (1) ∵ AB=AC,边AC 上的中 线BD 把△ABC的周长分为15和17 两部分, ∴ 分两种情况讨论: ① 当AB+AD=AC+12AC=15 时,解得AC=10=AB. ∴ BC=17-12×10=12. ∵ 10,10,12能构成三角形, ∴ AB 和BC的长分别为10,12. ② 当AB+AD=AC+12AC=17 时,解得AC=343=AB. ∴ BC=15-12× 34 3= 28 3. ∵ 34 3 ,34 3 ,28 3 能构成三角形, ∴ AB 和BC的长分别为343 ,28 3. 综上所述,AB 和BC 的长分别为10, 12或343 ,28 3. (2) 如图,过点D 作DM⊥BC 于点 M,DN⊥AB 于点N. ∵ AB<BC, ∴ AB=10,BC=12. ∵ BD 是△ABC的中线, ∴ S△ABD=S△BCD. ∴ 1 2AB ·DN=12BC ·DM. ∵ 点D 到边BC的距离DM 为4, ∴ 点 D 到 边 AB 的 距 离 DN = 12×4 10 = 24 5. (第13题) 11.2　与三角形有关的角 第1课时 三角形的内角 1. A 2. B 3. D 4. 105° 5. (1) 125°. (2) ∵ 在△ABC中,AD 是高,∠C= 70°,∠ABC=60°, ∴ ∠DAC=90°-∠C=90°-70°= 20°,∠BAC = 180°- ∠ABC - ∠C=50°. ∵ AE 是∠BAC的平分线, ∴ ∠CAE=12∠BAC=25°. ∴ ∠DAE = ∠CAE - ∠DAC = 25°-20°=5°. 6. C 7. D [解 析] ∵ ∠ABC =n°, ∴ ∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC= 180°-n°.∵ O 是三个内角的平分线 的交 点,∴ ∠OBC= 12 ∠ABC= 1 2n° ,∠OCA=12∠BCA ,∠OAC= 1 2 ∠BAC.∴ ∠OAC+ ∠OCA = 1 2 (∠BAC+∠BCA)= 12 (180°- n°)=90°-12n°.∴ ∠AOC=180°- (∠OAC+∠OCA)=180°- 90°- 1 2n° =90°+ 12n°.∵ ∠ODC= ∠AOC,∴ ∠ODC=90°+ 12n°. ∴ ∠BDO=180°-∠ODC=180°- 90°+12n° =90°-12n°.∵ ∠OBC= 1 2n° ,∴ ∠BOD=180°-∠BDO- ∠OBC=90°. 8. 50° [解析] 如图,连接AC 并延 长,交 EF 于 点 M.∵ AB∥CF, ∴ ∠3=∠1.∵ AD∥CE,∴ ∠4= ∠2.∴ ∠BAD=∠3+∠4=∠1+ ∠2=∠FCE.∵ ∠FCE=180°- ∠E-∠F=180°-80°-50°=50°, ∴ ∠BAD=∠FCE=50°. (第8题) 9. 123° 10. (1) 90°;40°. (2) ∠ABP+∠ACP=90°-∠A. 理 由:∵ (∠PBC + ∠PCB)+ (∠ABP+∠ACP)+∠A=180°, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2 ∴ 90°+ (∠ABP + ∠ACP)+ ∠A=180°. ∴ ∠ABP+∠ACP+∠A=90°. ∴ ∠ABP+∠ACP=90°-∠A. (3) ∠ACP-∠ABP=90°-∠A. 理由:设AB 交PC于点O. ∵ ∠AOC=∠POB, ∴ ∠ACO+∠A=∠P+∠PBO,即 ∠ACP+∠A=90°+∠ABP. ∴ ∠ACP-∠ABP=90°-∠A. 11. (1) △ABC是“和谐三角形”. ∵ ∠ACB=90°,∠A=60°, ∴ ∠B=30°. ∴ ∠B=12∠A. ∴ △ABC是“和谐三角形”. (2) △ACD,△BCD 是“和谐三角形”. ∵ ∠ACB=90°,∠A=60°, ∴ ∠B=30°. ∵ CD⊥AB, ∴ ∠ADC=∠BDC=90°. ∴ 易得∠ACD=30°,∠BCD=60°. 在 △ACD 中,∵ ∠A = 60°, ∠ACD=30°, ∴ ∠ACD=12∠A. ∴ △ACD 是“和谐三角形”. 在 △BCD 中,∵ ∠BCD =60°, ∠B=30°, ∴ ∠B=12∠BCD. ∴ △BCD 是“和谐三角形”. (3) ∵ △ACD 是“和谐三角形”, ∴ 易得∠ACD=12∠A 或∠ACD= 1 2∠ADC. 当∠ACD = 12 ∠A 时,∠ACD = 1 2×80°=40° ; 当∠ACD = 12 ∠ADC 时,∠A + 3∠ACD=180°,即3∠ACD=100°, ∴ ∠ACD= 1003 °. 综上所述,∠ACD 的度数为40°或 100 3 °. 第2课时 三角形的外角 1. B 2. C 3. 75° 4. 25° 5. ∵ AD⊥BC, ∴ ∠ADB=90°. ∴ ∠BAD=90°-∠ABC=44°. 又∵ ∠DAC=10°, ∴ ∠BAC=∠BAD+∠DAC=54°. ∴ ∠MAC=180°-∠BAC=126°. ∵ AE 是△ABC的外角∠MAC的平 分线, ∴ ∠MAE=12∠MAC=63°. ∵ BF 平分∠ABC, ∴ ∠ABF=12∠ABC=23°. ∴ ∠AFB = ∠MAE - ∠ABF = 63°-23°=40°. 6. D 7. D 8. 120° 9. ∠ACB=3∠ECB. 理由:∵ ∠GAF=∠F, ∴ ∠AGC=∠F+∠GAF=2∠F. ∵ ∠ACG=∠AGC, ∴ ∠ACG=2∠F. ∵ 易知AD∥BC, ∴ ∠ECB=∠F. ∴ ∠ACG=2∠ECB. ∴ ∠ACB = ∠ACG + ∠ECB = 2∠ECB+∠ECB=3∠ECB. 10. (1) ∠ADB = ∠A + ∠B + ∠ACB. 如图,连接CD 并延长至点O. ∴ ∠ADO=∠A+∠ACO,∠BDO= ∠B+∠BCO. ∵ ∠ADB=∠ADO+∠BDO, ∴ ∠ADB=∠A+∠ACO+∠B+ ∠BCO,则∠ADB=∠A+∠B+ ∠ACB. (2) 由(1),可 得∠ADB=∠A+ ∠B + ∠ACB,∠ADE = ∠A + ∠E+∠ACE. ∵ DE平分∠ADB,CE平分∠ACB, ∴ ∠ADE= 12 ∠ADB ,∠ACE= 1 2∠ACB. ∴ 1 2 ∠ADB = ∠A + ∠E + 1 2∠ACB ,即 ∠ADB =2∠A + 2∠E+∠ACB. ∴ ∠A+∠B+∠ACB=2∠A+ 2∠E+∠ACB. 整理,得∠E=12 (∠B-∠A). ∵ ∠A=24°,∠B=66°, ∴ ∠E=12× (66°-24°)=21°. (第10题) 11.(1) ① 45°. ② 不发生变化. 理由:∵ 由题意,知AD 平分∠BAO, BC平分∠ABN, ∴ ∠BAD= 12 ∠BAO ,∠CBA= 1 2∠NBA. ∵ ∠CBA=∠D+∠BAD, ∴ ∠D = ∠CBA - ∠BAD = 1 2∠NBA- 1 2∠BAO= 1 2 (∠NBA- ∠BAO)=12∠MON. ∵ ∠MON=90°, ∴ ∠D=45°. ∴ ∠D 的度数不发生变化. (2) 由(1)②,知∠D=∠CBA- ∠BAD. ∵ ∠CBA= 13 ∠ABN ,∠BAD= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3