11.1.2 三角形的高、中线与角平分线及其稳定性-【拔尖特训】2024-2025学年八年级上册数学（人教版2012）

第十一章　三 角 形 11.1　与三角形有关的线段 第1课时 三角形的边 1. C 2. D 3. C 4. 2或5 5. (1) ∵ 三角形的一边长为9cm,另 一边的长为3cm, ∴ 9-3<x<9+3,即6<x<12. (2) ∵ 第三边的长为偶数,且6<x< 12, ∴ x=8或10. 当x=8时,三角形的周长为9+3+ 8=20(cm);当x=10时,三角形的周 长为9+3+10=22(cm). ∴ 三角形的周长为20cm或22cm. (3) 9≤x<12. 6. C 7. B 8. C 9. (1) 11cm, 11cm (2) 4<x<8 10. 1.7 [解析] ① 若x+1=4x- 2,则x=1.∴ 三边的长分别为2,2, 9,不能构成三角形.② 若4x-2= 15-6x,则x=1.7.∴ 三边的长分别 为24 5 ,27 10 ,24 5 ,能构成三角形.③ 若 x+1=15-6x,则x=2.∴ 三边的长 分别为6,3,3,不能构成三角形.∴ x 的值为1.7. 11. (1) <;<;>. (2) 原式=b+c-a+a+c-b-c- b+a=a-b+c. 12. (1) ②. (2) 当16>2x+2>2x-6>0时,解 得3<x<7. 由题意,得16-(2x+2)>2x+2- (2x-6),解得x<3(不合题意,舍去). 当2x+2>16>2x-6>0时,解得 7<x<11. 由题意,得2x+2-16>16-(2x- 6),解得x>9. ∴ 9<x<11. ∵ x为整数, ∴ x=10. 当x=10时,2x+2=22,2x-6=14, 22,16,14可以构成三角形. ∴ x=10. 当2x+2>2x-6>16时,解 得 x>11. 由题意,得2x+2-(2x-6)>2x- 6-16,解得x<15. ∴ 11<x<15. ∵ x为整数, ∴ x=12或13或14,显然都可以构 成三角形. 综上所述,x 的整数值为10或12或 13或14. 13. (1) BP+PC<AB+AC. 理由:在△ABC中,AB+AC>BC. ∵ BP+PC=BC, ∴ BP+PC<AB+AC. (2) △BPC的周长<△ABC的周长. 理由:如图①,延长BP交AC于点M. ∵ 在△ABM 中,BP+PM<AB+ AM,在△PMC 中,PC<PM+MC, ∴ BP+PC<AB+AM +MC= AB+AC. ∴ BP+PC+BC<AB+AC+BC. ∴ △BPC的周长<△ABC的周长. (3) 四 边 形 BP1P2C 的 周 长 < △ABC的周长. 理由:如图②,分别延长BP1,CP2 交 于点N. 由(2),知BN+CN<AB+AC. 在△NP1P2 中,∵ P1P2<P1N+ P2N, ∴ BP1 +P1P2 +P2C <BP1 + P1N+P2N+P2C=BN+CN. ∴ BP1+P1P2+P2C+BC<BN+ CN+BC<AB+AC+BC. ∴ 四边形BP1P2C 的周长<△ABC 的周长. (第13题) 第2课时 三角形的高、中线 与角平分线及其稳定性 1. B 2. A 3. C 4. 2 5. (1) ∵ 在△ABC 中,∠CAB= 90°,AB=8cm,AC=6cm, ∴ S△ABC= 1 2AB ·AC=12×8× 6=24(cm2). (2) ∵ AD 是△ABC 的高,BC= 10cm, ∴ S△ABC= 1 2BC ·AD=24cm2. ∴ AD=2×2410 =4.8 (cm). (3) ∵ 由题意,知AE 是边BC 上的 中线, ∴ BE=EC. ∵ △ABE 的周长=AB+AE+BE, △ACE 的周长=AC+EC+AE, ∴ (AB+AE+BE)-(AC+EC+ AE)=AB-AC=8-6=2(cm),即 △ABE 和△ACE 的周长差是2cm. 6. A 7. C 8. 25 9. 3 [解析] ∵ S△ABC=24cm2,D 为BC 的中点,∴ S△ABD=S△ADC= 1 2S△ABC= 1 2×24=12 (cm2).∵ E 为 AD 的 中 点,∴ S△AEC = 1 2S△ADC= 1 2×12=6 (cm2).∵ F 为 CE 的中点,∴ S△AEF= 1 2S△AEC= 1 2×6=3 (cm2). 与两个三角形的面积有关的 常用结论 (1) 等底等高的两个三角形面 积相等. (2) 同底(或等底)的两个三角 形,面积比等于高的长的比. (3) 等高的两个三角形的面积 比等于底边长的比. (4) 三角形的一条中线将三角 形分成面积相等的两个三角形. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1 10. 320 9 [解析] 连接BE.∵ BC= 8,D 是BC 的中点,∴ BD=DC= 1 2BC=4.∵ EF⊥BC,且EF=203 , ∴ S△BDE= 1 2BD ·EF=12×4× 20 3= 40 3.∵ AE= 13DE ,∴ 易得 S△ABE= 1 3S△BDE = 1 3× 40 3= 40 9. ∴ 易得S△ABD =S△ADC =S△BDE + S△ABE= 40 3+ 40 9= 160 9 .∴ S△ABC= S△ABD+S△ADC= 160 9 + 160 9 = 320 9 . 11. ∵ AD⊥BC,CE⊥AB, ∴ 易得BF⊥AC. ∴ 1 2AB ·CE= 12BC ·AD = 1 2AC ·BF. ∵ AB=5,BC=4,AC=6, ∴ 1 2 ×5CE= 1 2 ×4AD= 1 2 × 6BF. ∴ CE∶AD∶BF=12∶15∶10. 12. ∵ BE,CF 分别是△ABC 的边 AC,AB 上的中线, ∴ AE=12AC ,AF=12AB. ∴ S△ABE=S△ACF= 1 2S△ABC. ∵ AM⊥CF,AN⊥BE, ∴ 1 2CF ·AM=12BE ·AN. ∵ BE=CF, ∴ AM=AN. 13. (1) ∵ AB=AC,边AC 上的中 线BD 把△ABC的周长分为15和17 两部分, ∴ 分两种情况讨论: ① 当AB+AD=AC+12AC=15 时,解得AC=10=AB. ∴ BC=17-12×10=12. ∵ 10,10,12能构成三角形, ∴ AB 和BC的长分别为10,12. ② 当AB+AD=AC+12AC=17 时,解得AC=343=AB. ∴ BC=15-12× 34 3= 28 3. ∵ 34 3 ,34 3 ,28 3 能构成三角形, ∴ AB 和BC的长分别为343 ,28 3. 综上所述,AB 和BC 的长分别为10, 12或343 ,28 3. (2) 如图,过点D 作DM⊥BC 于点 M,DN⊥AB 于点N. ∵ AB<BC, ∴ AB=10,BC=12. ∵ BD 是△ABC的中线, ∴ S△ABD=S△BCD. ∴ 1 2AB ·DN=12BC ·DM. ∵ 点D 到边BC的距离DM 为4, ∴ 点 D 到 边 AB 的 距 离 DN = 12×4 10 = 24 5. (第13题) 11.2　与三角形有关的角 第1课时 三角形的内角 1. A 2. B 3. D 4. 105° 5. (1) 125°. (2) ∵ 在△ABC中,AD 是高,∠C= 70°,∠ABC=60°, ∴ ∠DAC=90°-∠C=90°-70°= 20°,∠BAC = 180°- ∠ABC - ∠C=50°. ∵ AE 是∠BAC的平分线, ∴ ∠CAE=12∠BAC=25°. ∴ ∠DAE = ∠CAE - ∠DAC = 25°-20°=5°. 6. C 7. D [解 析] ∵ ∠ABC =n°, ∴ ∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC= 180°-n°.∵ O 是三个内角的平分线 的交 点,∴ ∠OBC= 12 ∠ABC= 1 2n° ,∠OCA=12∠BCA ,∠OAC= 1 2 ∠BAC.∴ ∠OAC+ ∠OCA = 1 2 (∠BAC+∠BCA)= 12 (180°- n°)=90°-12n°.∴ ∠AOC=180°- (∠OAC+∠OCA)=180°- 90°- 1 2n° =90°+ 12n°.∵ ∠ODC= ∠AOC,∴ ∠ODC=90°+ 12n°. ∴ ∠BDO=180°-∠ODC=180°- 90°+12n° =90°-12n°.∵ ∠OBC= 1 2n° ,∴ ∠BOD=180°-∠BDO- ∠OBC=90°. 8. 50° [解析] 如图,连接AC 并延 长,交 EF 于 点 M.∵ AB∥CF, ∴ ∠3=∠1.∵ AD∥CE,∴ ∠4= ∠2.∴ ∠BAD=∠3+∠4=∠1+ ∠2=∠FCE.∵ ∠FCE=180°- ∠E-∠F=180°-80°-50°=50°, ∴ ∠BAD=∠FCE=50°. (第8题) 9. 123° 10. (1) 90°;40°. (2) ∠ABP+∠ACP=90°-∠A. 理 由:∵ (∠PBC + ∠PCB)+ (∠ABP+∠ACP)+∠A=180°, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2 4 第2课时 三角形的高、中线与角平分线及其稳定性 ▶ “答案与解析”见P1 1. 如图,在△ABC中,下列说法正确的是( ) A. 线段AD 是边AB 上的高 B. 线段BE 是边AC 上的高 C. 线段CF 是边AC 上的高 D. 线段CF 是边BC 上的高 (第1题) (第2题) 2. 如图,在△ABC 中,BD 是△ABC 的中线, BE 是△ABD 的中线.若DC=6,则AE 的 长为 ( ) A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 3. 如图,工人师傅做了一个长方形窗框ABCD, E,F,G,H 分别是四条边上的中点,为了稳 固,需要在窗框上钉一根木条,则这根木条不 应该钉在 ( ) A. E,F 两点处 B. B,D 两点处 C. H,F 两点处 D. A,F 两点处 (第3题) (第4题) 4. 如图,△ABC 的角平分线AD,中线BE 相交 于点O,连接 DE.有下列说法:① AO 是 △ABE 的角平分线;② BO 是△ABD 的中 线;③ DE是△ADC的中线;④ ED 是△EBC 的角平分线.其中,正确的有 个. 5. 如图,AD,AE 分别是△ABC 的高和中线, AB =8cm,AC =6cm,BC =10cm, ∠CAB=90°.求: (1) △ABC 的面积. (2) AD 的长. (3) △ABE 和△ACE 的周长差. (第5题) 6. (易错易混题)如图,在△ABC 中,∠1=∠2, G 为AD 的中点,延长BG 交AC 于点E,F 为AB 上一点,CF⊥AD 于点H.下列判断 中,正确的是 ( ) A. AH 是△ACF 的角平分线和高 B. BE 是△ABD 的边AD 上的中线 C. FH 是△ABD 的边AD 上的高 D. AD 是△ABE 的角平分线 (第6题) (第7题) 7. 如图,在△ABC 中,AD,CE 是△ABC 的两 条高,且AD=3,CE=6,则AB∶BC 等于 ( ) A. 3∶4 B. 4∶3 C. 1∶2 D. 2∶1 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)八年级上 5 8. 在△ABC 中,AM 是边BC 上的中线.已知 AB-AC=5,且△AMC 的周长是20,则 △ABM 的周长是 . 9. ★如图,在△ABC 中,D,E,F 分别为BC, AD,CE 的 中 点,且 S△ABC =24cm2,则 △AEF 的面积为 cm2. (第9题) (第10题) 10. 如图,在△ABC 中,BC=8,D 是BC 的中 点,连接 AD,点 E 在AD 上,且 AE= 1 3DE ,EF⊥BD 于点F,且EF=203 ,则 △ABC 的面积为 . 11. 如图,在△ABC 中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂 足分别为D,E,AD 与CE 交于点O,连接 BO 并延长,交AC 于点F.若AB=5,BC= 4,AC=6,求CE∶AD∶BF. (第11题) 答案讲解 12. 如图,BE,CF 分别是△ABC 的边 AC,AB 上的中线,且BE=CF, AM⊥CF 于点M,AN⊥BE 于点 N.求证:AM=AN. (第12题) 答案讲解 13. 如 图,在 等 腰 三 角 形 ABC 中, AB=AC,边AC 上的中线BD 把 △ABC 的周长分为15和17两 部分. (1) 求AB 和BC 的长. (2) 若AB<BC,且点D 到边BC 的距离 为4,求点D 到边AB 的距离. (第13题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第十一章　三 角 形 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋注:标“★”的题目设有“方法归纳”或“易错警示”,详见“答案与解析”.