专题特训(十四)角计算中的数学思想-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级上册数学（人教版2024）

118 　　　 　专题特训（十四）　角计算中的数学思想 ▶ “答案与解析”见P38 类型一 方程思想 1. 如图,∠AOB = ∠COD =90°,∠BOE = ∠COF,∠BOD=2∠BOE,∠EOF=120°, 则∠AOF 的度数为 . (第1题) (第2题) 2. 如图,O 是直线AB 上的一点,∠COE= 120°,∠FOE =2∠AOF.当 ∠FOE 比 ∠BOE 的余角大35°时,∠COF 的度数为 . 答案讲解 3. (2024·聊城期末)如图,将一张长 方形纸片ABCD 沿对角线BD 折叠 后,点C 落在点E 处,BE 交AD 于 点F,再将三角形DEF 沿DF 折叠后,点E 落在点G 处.如果DG 刚好平分∠ADB,那 么∠EDF 的度数为 . (第3题) 4. 如图,∠AOB∶∠BOC∶∠COD=4∶5∶3, OM 平分∠AOD,∠BOM=20°,求∠AOD 和∠MOC 的度数. (第4题) 5. (2024·台州期末)如图,OC 是∠AOB 的平 分线,OD 是∠BOC 内部的一条射线,OE 是 ∠BOD 的平分线. (1) 图中共有 个角. (2) 若∠AOC∶∠BOD=3∶2,且∠COD= 20°,求∠AOC 的度数. (3) 试探究∠COE 与∠AOD 之间的数量关 系,并说明理由. (第5题) 类型二 整体思想 6. 如图,OB 是∠AOC 内部的一条射线,把三角 尺60°角的顶点放在点O 处,转动三角尺,当 三角尺的边OD 平分∠AOB 时,三角尺的另 一边OE 也正好平分∠BOC,则∠AOC 的度 数为 . (第6题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)七年级上 119 7. 如图,∠AOB=90°,∠COD=60°,OE 平分 ∠AOC,OF 平分∠BOD,作∠EOF 的平分 线ON,则∠EON 的度数为 . (第7题) 类型三 分类讨论思想 8. (2024·重 庆 期 末)如 图,设 ∠AOB = 3∠COD=60°.将∠COD 绕点O 旋转,当 ∠COB=3∠AOD 时,∠AOD 的度数为 ( ) (第8题) A. 20° B. 40° C. 60° D. 20°或40° 9. (2024·泉州期末)如图,∠AOB=n°,平面内 有一条射线OM,且∠AOM=2∠BOM.若 ON 平分∠BOM,则∠AON= (用 含n的代数式表示). (第9题) 10. 已知∠AOB=120°,OC 为∠AOB 内部的一 条射线,射线OM 平分∠AOC,射线ON 平 分 ∠BOC,射 线 OD 平 分 ∠MON.当 |∠AOC-2∠COD|=30°时,∠AOC 的度 数是 . 答案讲解 11. (2024·白山期末)如图,∠AOB= 120°,OC 是∠AOB 内部的一条射 线,且∠AOC∶∠BOC=1∶2. (1) 求∠AOC,∠BOC 的度数. (2) 作射线OM 平分∠AOC,在∠BOC 内 部作射线ON,使得∠CON∶∠BON=1∶ 3,求∠MON 的度数. (3) 过点O 作射线OD,使得2∠AOD= 3∠BOD,求∠COD 的度数. (第11题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第六章　几何图形初步 专题特训（十四）　角计算 中的数学思想 1. 67.5° 2. 10° 3. 18° [解析] 设∠EDF=α.由折 叠的性质,得∠EDF=∠ADG=α, ∠BDC= ∠BDE.因 为 DG 平 分 ∠ADB,所以∠ADG=∠BDG=α. 所以∠ADB=∠ADG+∠BDG= 2α,∠BDE = ∠EDF + ∠ADG + ∠BDG = 3α. 所 以 ∠BDC = ∠BDE = 3α. 所 以 ∠ADC = ∠ADB+∠BDC=2α+3α=5α.因为 四 边 形 ABCD 为 长 方 形,所 以 ∠ADC=90°.所以5α=90°,解得α= 18°,即∠EDF=18°. 4. 由题意,设∠AOB=4x,∠BOC= 5x,∠COD=3x. 所以∠AOD=12x. 因为OM 平分∠AOD, 所以∠AOM=12∠AOD=6x. 由题意,得6x-4x=20°,解得x=10°. 所以∠AOD=12x=120°,∠BOC= 5x=50°. 所以∠MOC=∠BOC-∠BOM=30°. 5. (1) 10. (2) 因为∠AOC∶∠BOD=3∶2, 所以设∠AOC=3x,∠BOD=2x. 因为OC是∠AOB 的平分线, 所以∠BOC=∠AOC=3x. 所以∠COD=∠BOC-∠BOD= 3x-2x=20°. 所以x=20°. 所以∠AOC=60°. (3) ∠AOD=2∠COE. 理由:因为OE 是∠BOD 的平分线, 所以∠DOE=12∠BOD. 所以∠COE=∠COD+∠DOE= ∠COD+12∠BOD. 因为OC是∠AOB 的平分线, 所以∠BOC=∠AOC. 所以∠AOD=∠AOC+∠COD= ∠BOC + ∠COD = ∠BOD + 2∠COD. 所以∠AOD=2∠COE. 6. 120° 7. 52.5° [解析] 因为 OE 平分 ∠AOC,OF 平 分 ∠BOD,所 以 ∠COE=12∠AOC ,∠DOF=12× ∠BOD.因 为 ∠AOC + ∠BOD = ∠AOD + ∠COD + ∠BOC + ∠COD=360°-∠AOB+∠COD= 330°,所以∠COE+∠DOF=12× (∠AOC + ∠BOD)=165°.因 为 ∠COD + ∠EOF = ∠COE + ∠DOF,所以∠EOF=105°.因为ON 是∠EOF 的平分线,所以∠EON= 1 2∠EOF=52.5°. 8. D [解 析] 因 为 ∠AOB = 3∠COD=60°,所 以 ∠COD =20°. ① 如图①,当OD 在∠AOB 的内部 时,设∠AOD=x,则∠AOC=x- 20°,∠BOD=60°-x.所以∠COB= 80°-x.因为∠COB=3∠AOD,所以 80°-x=3x,解得x=20°.② 如图 ②,当 OD 在∠AOB 的外部时,设 ∠AOD=y,则∠COB=80°+y.因为 ∠COB=3∠AOD,所以80°+y= 3y,解得y=40°.综上所述,∠AOD 的度数为20°或40°. (第8题) 9. 5n 6 °或 3n2 ° [解析] 分两种 情况讨论:① 当OM 在∠AOB 的内 部时,如图①所示.因为∠AOM+ ∠BOM = ∠AOB =n°,∠AOM = 2∠BOM,所以3∠BOM=∠AOB= n°.所以∠BOM=n°3. 因为ON 平分 ∠BOM,所以∠MON=12∠BOM= 1 2 × n° 3 = n° 6. 所 以 ∠AON = ∠AOM + ∠MON =2∠BOM + 1 2∠BOM= 5 2∠BOM= 5 2× n° 3= 5n 6 °.② 当OM 在∠AOB 的外部 时,如图②所示.因为∠AOB=n°, ∠AOM = 2 ∠BOM,∠AOM = ∠AOB+ ∠BOM,所 以 ∠BOM = ∠AOB=n°.因为ON 平分∠BOM, 所以∠BON=12∠BOM= n° 2. 所以 ∠AON=∠AOB+∠BON=n°+ n° 2= 3n 2 °.综上所述,∠AON 的度 数为 5n 6 °或 3n2 °. (第9题) 10. 45°或15° [解析] 因为射线OM 平分∠AOC,射线ON 平分∠BOC, 所以∠MOC=12∠AOC ,∠CON= 1 2∠BOC. 所以∠MON=12∠AOC+ 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 83 1 2∠BOC= 1 2∠AOB=60°. 因为射 线OD 平分∠MON,所以∠MOD= 30°.如图①,当OD 在∠MOC 的外部 时,设∠MOC=x,则∠AOC=2x, ∠COD=30°-x.所以|2x-2(30°- x)|=30°,解得x=22.5°或x=7.5°. 所以∠AOC=2x=45°或15°.如图 ②,当 OD 在∠MOC 的内部时,设 ∠MOC = y,则 ∠AOC = 2y, ∠COD=y-30°.所以|2y-2(y- 30°)|=30°,方程无解,此种情况不存 在.综上所述,∠AOC 的度数是45° 或15°. (第10题) 11. (1) 因为∠AOC∶∠BOC=1∶ 2,∠AOB=120°, 所 以 ∠AOC= 13 ∠AOB = 1 3 × 120°=40°,∠BOC= 23 ∠AOB = 2 3×120°=80°. (2) 因为OM 平分∠AOC, 所以 ∠COM = 12 ∠AOC= 1 2 × 40°=20°. 因为∠CON∶∠BON=1∶3, 所以 ∠CON = 14 ∠BOC = 1 4 × 80°=20°. 所以∠MON=∠COM+∠CON= 20°+20°=40°. (3) 如图①,当OD 在∠AOB 的内部 时,设∠BOD=x°. 因为2∠AOD=3∠BOD, 所以∠AOD=32x°. 因为∠AOB=120°, 所以x+32x=120 ,解得x=48. 所以∠BOD=48°. 所以∠COD=∠BOC-∠BOD= 80°-48°=32°. 如图②,当OD 在∠AOB 的外部时, 设∠BOD=y°. 因为2∠AOD=3∠BOD, 所以∠AOD=32y°. 因为∠AOB=120°, 所以 3 2y+y+120=360 ,解 得 y=96. 所以∠COD=∠BOD+∠BOC= 96°+80°=176°. 综上所述,∠COD 的度数为32°或 176°. (第11题) 专题特训（十五）　几何 图形中的动态问题 1. 因为|m-14|+(7-n)2=0, 所以m-14=0,7-n=0, 解得m=14,n=7. 所以AB=m=14,CD=n=7. (1) 若BC=4,则有以下两种情况: ① 当点C 在点B 的左侧时,如图① 所示. 因为AB=14,CD=7,BC=4, 所以BD=CD-BC=7-4=3. 所以AD=AB+BD=14+3=17. ② 当点C 在点B 的右侧时,如图② 所示. 因为AB=14,CD=7,BC=4, 所以AD=AB+BC+CD=14+4+ 7=25. 综上所述,AD 的长为17或25. (2) 设BC=a. 所以AD=AB+BC+CD=14+a+ 7=21+a. 因为 M,N 分别是线段AD,BC 的 中点, 所以 AM = 12AD= 1 2 (21+a), BN=12BC= 1 2a. 所以BM=AM-AB=12 (21+a)- 14=12 (a-7). 所以 MN =BN -BM = 12a- 1 2 (a-7)=72. (3) PA+PB PC 的值为定值. 理由:设PB=t. 因为点D 与点B 重合,点C 在点D 的左侧, 所以点C在线段AB 上. 又因为点P 在线段AB 的延长线上 (如图③), 所以PA=AB+PB=14+t,PC= CD+PB=7+t. 所以PA+PB=14+t+t=2(7+t). 所以PA+PB PC =2. (第1题) 2. 因为(a-12)2+(b-6)2=0, 所以a-12=0,b-6=0. 所以a=12,b=6. 所以AB=a=12,CD=b=6. (1) ① 6. [解析] 当点D 与点B 重 合时,点A 在点B 的左侧,点C 在点 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 93