专题特训(一)数轴在有理数中的应用-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级上册数学（华东师大版2024）

16 专题特训（一）　数轴在有理数中的应用 ▶ “答案与解析”见P6 类型一 用数轴上的点表示有理数 1. 在数轴上有5个点A,B,C,D,E,相邻两点 之间的距离如图所示.若点C 表示的数是 -1,则点E 表示的数是 ( ) (第1题) A. -5 B. 0 C. 1 D. 2 2. 如图,数轴上点A 和点B 表示的数分别是 -1和3,P 是点A 右边的一点,且点P 到 A,B 两点的距离之和为4,则点P 表示的数 不可能是 ( ) (第2题) A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 3. 数轴上有一点M,其表示的数是-2,将点M 先向右移动3个单位长度到达点P,再向左 移动5个单位长度到达点Q. (1) 点P,Q 各表示什么数? (2) 点M 到达点Q 后,再向哪个方向移动几 个单位长度,就可以到达原点? (3) 一只蚂蚁在数轴上从点M 出发,沿某一 方向爬了7个单位长度到达点N,则点N 表 示的数是什么? 4. 如图,小颖在一张纸上画了一条数轴.妹妹不 知道它有什么用,就在上面贴了一张小猫贴 纸和一张小狗贴纸,于是数轴上标的数有的 就看不到了.请解答下列问题: (1) 被小猫贴纸遮住的是正数还是负数? (2) 被小狗贴纸遮住的整数有几个? (3) 小猫贴纸和小狗贴纸之间(即点A,B 之 间)的整数有多少个? (第4题) 类型二 用数轴上的点表示相反数或绝对值 5. 有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示,则 a的相反数是 ( ) (第5题) A. a B. b C. c D. -b 6. 如图,数轴的单位长度为1.若数轴上有三个 点A,B,C,其中点A 和点B 表示的数的绝 对值相等,则点C 表示的数是 ( ) (第6题) A. -1 B. -3 C. 1 D. 3 7. 如图,四个有理数在数轴上的对应点分别为 M,P,N,Q.若点M,N 表示的有理数互为 相反数,则图中的点表示的数的绝对值最小 的是 ( ) (第7题) A. Q B. N C. M D. P 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(华师版)七年级上 17 8. 写出下列各数的相反数,并在数轴上把这些 相反数表示出来: +2,-3,0,-(-1),-312 ,-(+4). 类型三 利用数轴比较有理数的大小 9. 如图,点A 表示的有理数是x,则x,-x, 1的大小关系为 ( ) (第9题) A. x<-x<1 B. -x<x<1 C. x<1<-x D. 1<-x<x 答案讲解 10. 有理数a,b在数轴上所对应的点 的位置如图所示,则下列说法中, 正确的是 ( ) (第10题) A. a>b B. -b<-1 C. -a<b D. |-b|<|a| 11. 将下列各数在如图所示的数轴上表示出来, 并用“<”将这些数连接起来. -5,|-1.5|,-52 ,0,312 ,(-2)2. (第11题) 12. 在三个有理数a,b,c中,a,b都是负数,c是 正数,且|b|>|a|>|c|. (1) 在数轴上表示出a,b,c三个数. (2) 比较a,b,c,0,-a,-b,-c的大小,用 “<”连接. 13. 如图,数轴上的点A,B,C 分别表示有理数 a,b,c. (1) 把a,b,c用“<”连接起来. (2) 如果将点B 向左移动3个单位长度,同 时将点C 向右移动6个单位长度,点A 保 持原来位置不动,那么移动后a,b,c三个数 的大小关系如何? (第13题) 类型四 利用数轴解决覆盖整点问题 答案讲解 14. (易错题)数轴上表示整数的点称 为整点,已知某数轴的单位长度是 1cm.若在该数轴上随意画出一条 长为2025cm的线段,则这条线段盖住的整 点有多少个? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第1章　有 理 数 所以-910<- 7 8<- 7 9. 14. 由题意,得a=±23 ,b=±35. ① 当a=23 ,b=35 时,a>b; ② 当a=23 ,b=-35 时,a>b; ③ 当a=-23 ,b=35 时,a<b; ④ 当a=-23 ,b=-35 时,a<b. 15. 如图所示. 所得图形是小轿车(合理即可). (第15题) 16. 由|a|=-a,|b|=b,|c|=-c, |d|=-d,且无一个数为零可知,a, c,d三个数都是负数,b是正数.再由 |a|>|b|>|c|>|d|可知,a,b,c,d 这四个数在数轴上的大致位置如图 所示. a<-b<c<d<-d<-c<b<-a. (第16题) 17. (1) 因 为 -12 = 1 2 = 3 6 , -23 = 2 3= 4 6 ,3 6< 4 6 , 所以-12>- 2 3. 因为 -23 = 2 3= 8 12 , -34 = 3 4= 9 12 ,8 12< 9 12 , 所以-23>- 3 4. 因为 -34 = 3 4= 15 20 , -45 = 4 5= 16 20 ,15 20< 16 20 , 所以-34>- 4 5. 因为 -45 = 4 5= 24 30 , -56 = 5 6= 25 30 ,24 30< 25 30 , 所以-45>- 5 6. 所以- nn+1>- n+1 n+2. (2) 因为易得-2<-32 ,-32< -43 ,-43<- 5 4 ,…, 所以-n+1n <- n+2 n+1. 专题特训（一）　数轴 在有理数中的应用 1. D [解析] 因为点C 表示的数是 -1,点C与点E 之间的距离是3,且 点E 在点C的右侧,所以点E 表示的 数是2. 2. D [解析] 因为数轴上点A 和 点B 表示的数分别是-1和3,所以 A,B 两点的距离为4.所以点P 在点 A,B 之间(可与点A,B 重合).结合 选项可知,D符合题意. 3. (1) 点P 表示的数是1,点Q 表示 的数是-4. (2) 由点Q 表示的数是-4可知,点 M 再向右移动4个单位长度,就可以 到达原点. (3) 因为点M 表示的数是-2, 所以当蚂蚁向左爬了7个单位长度到 达点N 时,点N 表示的数为-9;当 蚂蚁向右爬了7个单位长度到达 点N 时,点N 表示的数为5. 4. (1) 因为小猫贴纸位于原点的 左侧, 所以被小猫贴纸遮住的是负数. (2) 因为小狗贴纸位于原点的右侧, 且它的位置在11.5~18.5之间, 所以被小狗贴纸遮住的整数是12, 13,14,15,16,17,18,有7个. (3) 点A,B 之间的整数是从-16到 11(包括-16和11)的所有整数,共有 28个. 5. C [解析] 因为数轴上表示a的 点与表示c的点分别位于原点的两 侧,且到原点的距离相等,所以a的相 反数是c. 6. A [解析] 因为点A 和点B 表示 的数的绝对值相等,所以点A 和点B 表示的数互为相反数.又因为点A 与 点B 之间相距6个单位长度,所以点 A 表示的数是-3,点B 表示的数是 3.所以点C表示的数是-1. 7. D [解析] 设点M,P,N,Q 表示 的数分别为m,p,n,q.由数轴可知, m<p<n<q.因为m+n=0,所以原 点在点M,N 的正中间.所以点P 表 示的数的绝对值最小. 8. +2的相反数是-2,-3的相反数 是3,0的相反数是0,-(-1)的相反 数是-1,-312 的相反数是312 , -(+4)的相反数是4. 如图所示. (第8题) 9. A [解析] 因为-1<x<0,所以 易得0<-x<1.所以x<-x<1. 10. D [解析] 由数轴可知,a<b,所 以选项A不符合题意.因为0<b<1, 所以易得-1<-b<0.所以选项B 不符合题意.因为-2<a<-1,所以 易得1<-a<2.因为b<1,所以易 得-a>b.所以选项C不符合题意. 因为-2<a<-1,0<b<1,所以易 得0<|-b|<1,1<|a|<2.所以易 得|-b|<|a|.所以选项 D符合 题意. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 6 11. 如图所示. -5<-52<0<|-1.5|<3 1 2< (-2)2. (第11题) 12. (1) 如图所示. (2) 因为a,b都是负数,c是正数,且 |b|>|a|>|c|, 所以b<a<-c<0<c<-a<-b. (第12题) 13. (1) 根据数轴上右边的数大于左 边的数,可得c<a<b. (2) 移动后点B 表示的数是-1,点C 表示的数是1,点A 表示的数是1,则 a=c>b. 14. 设这条线段的两个端点分别为 A,B. 若A 是整点,则B 也是整点,即长度 为2025cm的线段的两个端点A,B 均为整点,则这条线段盖住的整点有 2025+1=2026(个). 若A 不是整点,则B 也不是整点,即 长度为2025cm的线段的两个端点 A,B 均不为整点,则这条线段盖住的 整点有2025个. 综上所述,这条线段盖住的整点有 2026个或2025个. 1.6　有理数的加法 第1课时 有理数的加法法则 1. D 2. C 3. C [解析] 由题意可知,另一个数 为(-11)+2=-9.所以这两个数的 和为11+(-9)=2. 4. -23 5. -15 6. (1) 原式=- 215+ 12 15 =-1415. (2) 原式=- 1512- 10 12 =-512. (3) 原式=+ 6336-3 10 36 =22936. (4) 原式=0. 计算时忘记先确定和的 符号导致错误 绝对值不相等的异号两数相 加,取绝对值较大的加数的符号, 并用较大的绝对值减去较小的绝 对值.因此,进行有理数的加法运 算时,一定要按照“一观察、二定 号、三求和”的步骤细心计算. 7. D [解析] ① 水位先下降3cm, 再上升10cm后的水位变化情况可以 表示为-3+10,故①正确;② 某日最 低气温为-3℃,温差为10℃,该日 最高气温可以表示为-3+10,故②正 确;③ 数轴上表示-3的点向右平移 10个单位长度得到的点表示的数可 以表示为-3+10,故③正确;④ 用 10元钱购买3元文具后找回的零钱 可以表示为-3+10,故④正确.所以 能用加法算式-3+10表示的是① ②③④,有4个. 8. D [解析] 当两个有理数的和为 负数时,这两个有理数可以都是负数, 或两数一负一正且负数的绝对值大于 正数的绝对值,或一负一零. 9. B [解析] ① 若a+b=0,则a与 b互为相反数,故①正确;② 若a+ b<0,则a与b异号或a与b均为负 数或a 与b 一负一零,故②错误; ③ 若a+b>0,且a与b同号,则a> 0,b>0,故③正确;④ 若a>b且a,b 异号,则当a=1,b=-5时,a+b< 0,故④错误;⑤ 当a<b<0时,a+ b<0,故⑤错误.综上所述,①③正确, 共2个. 10. 答案不唯一,如0 [解析] 如图, 因为 1+0+ (-1)=0,2+0+ (-2)=0,所以填入中间位置的小正 方形内的数可以是0. (第10题) 11. 4 [解析] 因为所得和的最大值 是a=4+5=9,最小值是b=(-3)+ (-2)= -5,所 以 a+b=9+ (-5)=4. 12. -1 [解析] 因为|a+2|+|b- 1|=0,所以a+2=0且b-1=0.所 以a=-2,b=1.所以a+b=-2+ 1=-1. 13. (1) 原式=-(26+73)=-99. (2) 原式=- 4.8-312 =-1.3. (3) 原式=- 96- 5 6 =-23. (4) 原式=+ 846-6 3 6 =216. 14. (1) 这两天水泥的库存变化分别 是+5+(-2)= +3,(+3)+ (-4)=-1. (2) 由(1)知,星期一该建筑工地仓库 的水泥库存是增加了;星期二该建筑 工地仓库的水泥库存是减少了. 15. (1) ① >. ② =. ③ >. ④ =. (2) 当a,b异号时,|a|+|b|>|a+b|; 当a,b同号时,|a|+|b|=|a+b|; 当a=0或b=0时,|a|+|b|=|a+b|. 综上所述,|a|+|b|≥|a+b|. (3) ① x≤0. ② ±10或±5. 第2课时 有理数加法的运算律 1. C 2. D 3. 20.1 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 7