6.2.2 线段的比校与运算-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级上册数学（人教版2024）

因为76.8π<96π, 所以绕着长为8的直角边所在的直线 旋转一周形成的几何体的体积大. (第12题) 6.2　直线、射线、线段 第1课时 直线、射线、线段 1. C 2. D 3. 61 [解析] 易知四条直线相交,最 少有1个交点,最多有6个交点,所以 a=6,b=1.所以10a+b=10×6+ 1=61. 4. ①②③ 5. (1) 如图所示. (2) 点D 在直线AB 外(直线AB 不 经过点D). (第5题) 6. A [解析] 因为AB=10,AC=6, BC=4,所以AB=AC+BC.所以点 C在线段AB 上,如图所示.所以选项 A正确. (第6题) 7. C [解析] 当停靠点在A 住宅区 时,所有员工步行到停靠点的路程之 和是20×1500+45×(1500+ 1000)=142500(m);当停靠点在 B 住宅区时,所有员工步行到停靠点 的路 程 之 和 是15×1500+45× 1000=67500(m);当停靠点在C 住 宅区时,所有员工步行到停靠点的路 程之和是15×(1500+1000)+20× 1000=57500(m);当停靠点在B,C 住宅区的正中间D 处时,所有员工步 行到 停 靠 点 的 路 程 之 和 是 15× (1500+500)+20×500+45×500= 62500(m).因为57500<62500< 67500<142500,所以当停靠点在 C住宅区时,所有员工步行到停靠点 的路程之和最小. 8. 3 9. 20 11 [解析] 由于2条直线相交最 多有1个交点,3条直线相交最多有 (1+2)个交点,4条直线相交最多有 (1+2+3)个交点……所以n条直线 相交最多有(1+2+3+…+n-1)个 交点,即an-1= n(n-1) 2 (n为大于或 等于2的 整 数).所 以 1a1 + 1 a2 + 1 a3 + … + 1a10 = 1 2×1 2 + 13×2 2 + 1 4×3 2 +…+ 111×10 2 = 22×1+ 2 3×2+ 2 4×3+ …+ 211×10=2× 1-12+ 1 2- 1 3+ 1 3- 1 4+ …+110- 1 11 = 2×1011= 20 11. 10. (1) OE. [解析] 由题图,得在 射线上写数时,每6个为一个循环.因 为17÷6=2……5,所以“17”在射线 OE 上. (2) 设n为正整数. 射线OA 上数的排列规律:6n-5, 射线OB 上数的排列规律:6n-4, 射线OC上数的排列规律:6n-3, 射线OD 上数的排列规律:6n-2, 射线OE 上数的排列规律:6n-1, 射线OF 上数的排列规律:6n. (3) 因为2046÷6=341, 所以“2046”在射线OF 上. 11. (1) 15. (2) 根据题意,得当线段 AB 上有 n个点时,线段总共有n (n-1) 2 条. (3) ① 将每一个班看成一个点,则该 校 七 年 级 的 辩 论 赛 共 要 进 行 20×(20-1) 2 =190 (场). ② 由题意,可知共有12个车站. 将12个车站看成12个点,线段共有 12×(12-1) 2 =66 (条). 因为车票有起点站和终点站之分, 所以在A,B两站之间需要准备2× 66=132(种)不同的车票. 第2课时 线段的比较与运算 1. C 2. C 3. D 4. 1 3a [解析] 因为线段AB=a, AC=13AB ,所以 AC=13a. 所以 BC=AB+AC=43a. 因为D 为线段 BC的中点,所以BD=12BC= 2 3a. 所以AD=AB-BD=13a. 5. (1) 如图,线段AB 即为所求. (2) 因为D 是线段AB 的中点,AB= 6cm, 所以AD=BD=12AB=3cm. 因为AC=2CD, 所以CD=1cm. 所以BC=BD+CD=4cm. (第5题) 6. C [解析] 因为CE=AC,DF= BD,点E 与点F 恰好重合,所以C, D 分别是AE,BF 的中点.所以CE= 1 2AE ,DF=12BF. 因为AB=10,所 以CD=CE+DF=12AE+ 1 2BF= 1 2AB=5. 7. B 8. 60cm或120cm 9. (1) 因为A,B 两点所表示的数分 别为-2和8,O 为原点, 所以OA=2,OB=8. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 23 所以AB=OA+OB=10. (2) 线段MN 的长不变. 因为 M 为PA 的中点,N 为PB 的 中点, 所以MP=12PA ,NP=12PB. ① 如图①,当点P 在A,B 两点之间 运动时,MN=MP+NP=12PA+ 1 2PB= 1 2 (PA+PB)=12AB=5. ② 如图②,当点P 在点A 的左侧运 动时,MN=NP-MP= 12PB- 1 2PA= 1 2 (PB-PA)=12AB=5. 因为5=5, 所以当点P 在射线BA 上运动时,线 段MN 的长不变,线段 MN 的长 为5. (第9题) 10. (1) 30. (2) 因为A'B'=20cm,AB=60cm, 所以AA'+BB'=60-20=40(cm). 由题意,得AM=A'M,BN=B'N. 所以 MN=MA'+A'B'+B'N= A'B'+12 (AA'+BB')=20+12× 40=40(cm). (3) MN= 30+12n cm或 MN= 30-12n cm. [解析] ① 如图①, 当点 A'落在点B'的左侧时,因为 A'B'=ncm,AB =60cm,所 以 AA'+BB'=(60-n)cm.因为MN= MA'+A'B'+B'N =A'B'+ 1 2 (AA'+ BB'),所 以 MN = 30+12n cm.② 如图②,当点A'落 在点B'的右侧时,因为AA'+BB'= AB+A'B',A'B'=ncm,AB= 60cm,所 以 AA'+BB'= (60+ n)cm.因 为 MN =MA'+B'N - A'B'=12 (AA'+BB')-A'B',所以 MN = 30-12n cm.综 上 所 述, MN = 30+12n cm 或 MN = 30-12n cm. (第10题) 11. (1) 1.5. (2) b-a 2 . [解析] 因为点C,D 均 在线段AB 上,点C 在点D 的左侧, 且CD=acm,AB=bcm(b>a),所 以AC+BD=AB-CD=(b-a)cm. 因为AC=BD,所以AC=b-a2 cm. (3) 如图,线段AB 的长表示七年级 (1)班的总人数,线段AD 的长表示该 班男生人数,线段BD 的长表示该班 女生人数,线段AC 的长表示报名参 加围棋课的男生人数,线段CD 的长 表示未报名参加围棋课的男生人数, 线段BE 的长表示报名参加围棋课的 女生人数,线段DE 的长表示未报名 参加围棋课的女生人数. 设CD=x,DE=y. 所以 易 得 AC=2CD=2x,BE= 2DE=2y. 所以 AD=AC+CD=3x,BD= BE+DE=3y. 因为报名参加围棋课的人数为n, 所以AC+BE=n,即2x+2y=n. 所以x+y= n 2. 又因为七年级(1)班共有m 人, 所以AB=m. 因为AB=AD+BD=3x+3y, 所以3x+3y=m,即x+y= m 3. 所以n 2= m 3. 所以m=32n. (第11题) 专题特训（十三）　线段 计算中的数学思想 1. B 2. 4 3. 9 4. 9.6 [解析] 因为EC∶CB=1∶ 3,所以设EC=x,则CB=3x.所以 BE=EC+CB=4x.因为E 是线段 AB 的中点,所以AE=BE=4x.所以 AC=AE+EC=5x,即5x=6.所以 x=65. 所以AB=AE+BE=8x= 9.6. 5. 12cm [解析] 因为EA∶AB∶ BF=1∶2∶3,所以可设EA=xcm, 则AB=2xcm,BF=3xcm.所以 EF=EA+AB+BF=x+2x+3x= 6x(cm).又因为 M,N 分别为EA, BF 的 中 点,所 以 MA= 12EA= 1 2xcm ,BN=12BF= 3 2xcm. 所以 MN=MA+AB+BN=12x+2x+ 3 2x=4x (cm).又因为 MN=8cm, 所以4x=8,解得x=2.所以EF= 6×2=12(cm). 运用设未知数的方法求线段的长 当已知几条线段长度之间的 比例关系或倍、分关系及某条线段 的长时,通常采用设未知数列方程 的方法来求线段的长. 6. (1) 如图①,因为C 是线段AB 的 中点,AB=6, 所以BC=12AB=3. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 33 108 第2课时 线段的比较与运算 ▶ “答案与解析”见P32 1. (2024·九江期末)有下列生活、生产现象: ① 用两颗钉子就可以把木条固定在墙上; ② 从A 地到B 地架设电线,总是尽可能沿 着线段AB 架设;③ 植树时,只要确定两棵 树的位置,就能确定同一行树所在的直线; ④ 把弯曲的公路改直,就能缩短路程.其中, 能用“两点之间,线段最短”来解释的现象有 ( ) A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④ 2. 如图,下列关系式中,与图示不符的是( ) (第2题) A. AD-CD=AB+BC B. AC-BC=AD-BD C. AC-BC=AC+BD D. AD-AC=BD-BC 3. (2024·绥化期末)如图,C 是线段AB 的中 点,D 是线段BC 的中点,则下列结论中,错 误的是 ( ) (第3题) A. CD=14AB B. AD=AB-BD C. AB=BC+2CD D. AD=2CD 4. 如图,线段 AB=a,延长 BA 至点C,使 AC=13AB ,D 为线段BC 的中点,则AD 的 长为 (用含a的代数式表示). (第4题) 5. (2024·漯河期末)如图,已知线段a,b. (第5题) (1) 作线段AB,使得AB=2a-b. (2) 已知D 是线段AB 的中点,C 是线段AD 上的点且AC=2CD.若AB=6cm,求线段 BC 的长. 6. (2024·寿光期末)如图,AB=10,C,D 分别 是线段AB 上的两点(CD>AC,CD>BD), 用圆规在线段CD 上分别截取CE=AC, DF=BD.若点E 与点F 恰好重合,则CD 的长为 ( ) (第6题) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 已知点 M,N 都在线段AB 上,且AM∶ BM=2∶3,AN∶BN=3∶4.如果 MN= 2cm,那么AB 的长为 ( ) A. 60cm B. 70cm C. 75cm D. 80cm 答案讲解 8. (易错易混题)一根绳子对折后如图 所示,从点P 处把绳子剪断.已知 AP=12PB ,如果剪断后得到的绳 子中最长的一根为40cm,那么绳子的原长为 . (第8题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)七年级上 109 9. 如图,数轴上A,B 两点所表示的数分别为 -2和8,O 为原点. (1) 求线段AB 的长. (2) 若P 为射线BA 上的一点(不与点A,B 重合),M 为PA 的中点,N 为PB 的中点, 当点P 在射线BA 上运动时,线段MN 的长 是否发生改变? 若不变,请你画出图形,并求 出线段MN 的长;若改变,请说明理由. (第9题) 10. (2024·安顺期末)将一段长为60cm的绳 子AB 拉直铺平,沿点M,N 折叠(绳子无 弹性,折叠处长度忽略不计),设点A,B 分 别落在点A',B'处. (1) 如图①,当点A',B'恰好重合时,MN 的长为 cm. (2) 如图②,若点A'落在点B'的左侧,且 A'B'=20cm,求MN 的长. (3) 若A'B'=ncm,请直接写出MN 的长 (用含n的代数式表示). (第10题) 答案讲解 11. (2024·义乌期末)(1) 如图,点C, D 均在线段AB 上且点C 在点D 的左侧.若AC=BD,CD=6cm, AB=9cm,则线段AC 的长为 cm. (2) 已知点C,D 均在线段AB 上,点C 在 点D 的左侧.若 AC=BD,CD=acm, AB=bcm(b>a),则线段 AC 的长为 cm(用含a,b的代数式表示). (3) 已知七年级(1)班共有m 人,该班进行 拓展课报名统计时发现,报名参加围棋课的 人数为n(n<m),其中未报名参加围棋课 的男生人数是报名参加围棋课男生人数的 一半,报名参加围棋课的女生人数是女生总 人数的2 3 ,求m 与n之间的数量关系.小聪 在思考这个问题时联想到了上面的几何问 题,并将这个实际问题转化为几何模型来解 决,请你建立这个几何模型并求解(建立几 何模型就是画出相应的线段示意图,并分别 注明相应线段的实际意义). (第11题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第六章　几何图形初步