2.3.2 有理数的混合运算-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级上册数学（人教版2024）

40 第2课时 有理数的混合运算 ▶ “答案与解析”见P10 1. 下列各组运算中,值最小的是 ( ) A. -(-5-2)2 B. (-5)×(-2) C. (-5)2÷(-2)2 D. (-5)2÷(-2) 2. 在式子“-23○(-1)2”中的“○”内填入下列 运算符号,可使计算后的结果最大的是( ) A. + B. - C. × D. ÷ 3. 如果a,b互为相反数,c,d互为倒数,m 的绝 对值为2,那么|a+b|4m +2m 2-3cd 的值是 . 4. 若(x+3)2+(2y+1)4=0,则x3-(4y)5 的 值为 . 5. ★计算: (1) -14- -512 ×411+(-2)3÷|-32+1|. (2) -22×(-3)÷ 23 2 -20× 34 - 4 5+ 7 10 . (3) -1112+ 3 4 ×(-42)+213÷ -312 . (4) -24÷ -223 2 +512× - 1 6 -14􀭠􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 ÷ 1 12. 6. 我们规定:x􀱋y=(x+2)2-y,如3􀱋5= (3+2)2-5=20.1􀱋(-2)的值为 ( ) A. 4 B. 7 C. 8 D. 11 答案讲解 7. (易错易混题)大于1的正整数m 的 三次幂可“分裂”成若干个连续奇数 的和,如23=3+5,33=7+9+11, 43=13+15+17+19,…,则233 经过“分裂” 后,最小的奇数为 ( ) A. 507 B. 404 C. 450 D. 467 8. (2024·甘肃)定义一种新运算“*”,规定运 算法则为m*n=mn-mn(m,n均为整数, 且m≠0).例如:2*3=23-2×3=2,则 (-2)*2= . 答案讲解 9. 观察下列三行数: -2,4,-8,16,-32,…,an; -12 ,1,-2,4,-8,…,bn; -1,5,-7,17,-31,…,cn. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)七年级上 41 第一行的第n 个数用an 表示,第二行的第 n个数用bn 表示,第三行的第n个数用cn 表 示(n为正整数). (1) 根据你发现的规律,请用含n的式子表 示an,bn,cn. (2) 取这三行每行的第6个数,求这三个数 的和. 10. 嘉嘉在电脑中设置了一个有理数的运算程 序:输入数“a”加“★”键,再输入“b”,就可以 得到运算a★b=|2-a2|÷b+1. (1) 计算:(-3)★2. (2) 小明用嘉嘉设置的程序计算(1)中的题 目时,不小心将“-3”输入成了“3”,请你通 过计算说明,小明得到的运算结果与(1)中 的结果是否相同. (3) 淇淇使用嘉嘉设置的运算程序时,屏幕 显示:该操作无法进行.你能指出淇淇在什 么地方出错了吗? 答案讲解 11. 阅读材料: 求1+2+22+23+24+…+22023 的值. 解:设S=1+2+22+23+24+…+22023①. 将等式两边同时乘2,得2S=2+22+23+ 24+…+22023+22024②. 由②-①,得2S-S=22024-1,即S= 22024-1. 所以1+2+22+23+24+…+22023= 22024-1. 请你仿照此方法计算: (1) 1+2+22+23+…+29= . (2) 1+7+72+73+74+…+7n(n 为正 整数). (3) 1+2×2+3×22+4×23+…+9×28+ 10×29. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二章　有理数的运算 对乘方的意义理解不透彻 (1) 乘方运算中,底数是负数 或分数时,底数要加括号. (2) 将底数与指数相乘是最容 易犯的错误. 2. B 3. (1) -132 (2) -275 (3) 16 4. 1 5. (1) -157. (2) 27 4. (3) -272. 6. B [解析] a2+(b+1)2 总是非负 数,故①错误.a2+b2+1总是正数, 故②正确.9+(a-b)2的最小值为9, 故③正确.1-(ab+1)2 的最大值是 1,故④错误.综上所述,错误的个数 是2. 7. A [解析] 第1次截去后剩余的 木棒长1× 1-14 =34(m),第2次 截去 后 剩 余 的 木 棒 长 3 4 × 1- 1 4 = 34 2 m,第3次截去后剩余 的 木 棒 长 3 4 2 × 1-14 = 3 4 3 m……以此类推,第n次截去 后剩余的木棒长 3 4 n m.所以第 6次后剩余的木棒的长是 34 6 m. 8. -1 [解析] 因为34+34+34= 3×34=35=3m,所以 m=5.因为 45+45+45+45=4×45=46=4n,所 以n=6.所以m-n=-1. 9. 1 64 [解析] 由题意,可知第1天 截取后木棍剩余部分的长为1-12= 1 2 ,第2天截取后木棍剩余部分的长 为1 2- 1 2× 1 2= 1 2- 1 4= 1 4= 1 22 , 第3天截取后木棍剩余部分的长为 1 22- 1 2 × 1 22 = 1 22 × 1- 1 2 = 1 23 ,…,第n 天截取后木棍剩余部分 的长为1 2n. 所以第6天截取后木棍剩 余部分的长为1 26= 1 64. 10. (1) an×bn. (2) 理由:(a×b)n= (a×b)×(a×b)×…×(a×b)􀮩 􀮫􀮪􀪁􀪁􀪁􀪁􀪁􀪁 􀪁􀪁􀪁􀪁􀪁􀪁 n 个 = (a×a×…×a􀮩 􀮫􀮪􀪁􀪁 􀪁􀪁 n 个 )×(b×b×…×b􀮩 􀮫􀮪􀪁􀪁 􀪁􀪁 n 个 )= an×bn. (3) ① 原 式 = -32× 2 3 1000 = (-1)1000=1. ② 原 式 = - 18 2023 ×22022 × 42021=- 18 2 × 18 2021 ×2× 22021×42021=-164×2× 18×2× 4 2021=-132. 11. (1) 原式=14×10 2×(10+1)2= 1 4×100×121=3025. (2) 原式=14n 2(n+1)2. 12. (1) 1;4. (2) 因为log5|m-4|=2, 所以|m-4|=25,解得 m=29或 m=-21. (3) 因为33=27,25=32, 所以log327=3,log232=5. 所以log327+log4x=log232可化为 3+log4x=5. 所以log4x=2. 所以x=16. 所以2(x-1)=2×(16-1)=30. 第2课时 有理数的混合运算 1. A 2. A 3. 5 4. 5 5. (1) 0. (2) 14. (3) 2. (4) -41. 对有理数混合运算的运算顺序 理解不透彻 进行有理数的混合运算时,应 按以下顺序:先乘方,再乘除,最后 加减;同级运算,按从左到右的顺 序进行.当计算中有除法时,切忌 轻易使用结合律. 6. D [解 析] 因 为 x 􀱋y = (x+2)2-y,所 以 1􀱋 (-2)= (1+2)2-(-2)=32+2=9+2=11. 7. A [解析] 因为23“分裂”成2个 奇数,33“分裂”成3个奇数,43“分裂” 成4个奇数,所以m3“分裂”成m 个 奇数.所以从23 到m3“分裂”成的奇 数的个数一共为2+3+4+…+m= (m+2)(m-1) 2 . 因为当m=22时,有 24×21 2 =252 ,所以第252个奇数为 2×252+1=505.所以233 经过“分 裂”后,最小的奇数为505+2=507. 8. 8 9. (1) 由于第一行的第1个数为 -2=(-2)1,第2个数为4=(-2)2, 第3个数为-8=(-2)3…… 所以第一行的第n个数为an=(-2)n. 因为第二行的每个数是第一行对应数 的1 4 , 所以第二行的第n个数为bn= (-2)n 4 . 因为第三行的每个数是由第一行对应 的数加1得到的, 所以 第 三 行 的 第 n 个 数 为cn = 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 01 (-2)n+1. 综上所述,an=(-2)n,bn= (-2)n 4 , cn=(-2)n+1. (2) 由题意,得第一行至第三行的第 6个 数 分 别 为 a6 =64,b6 =16, c6=65. 所以 这 三 个 数 的 和 为 64+16+ 65=145. 10. (1) (-3)★2=|2-(-3)2|÷ 2+1=|2-9|÷2+1=7÷2+1= 7 2+1= 9 2. (2) 3★2=|2-32|÷2+1=|2- 9|÷2+1=7÷2+1=72+1= 9 2. 由(1),知(-3)★2的结果是92 , 所以小明得到的运算结果与(1)中的 结果相同. (3) 淇淇输入的第二个数为0,b是除 数,除数不能为0,没有意义,故该操 作无法进行. 11. (1) 210-1. (2) 设S=1+7+72+73+74+…+ 7n①. 将等式两边同时乘7,得7S=7+72+ 73+74+75+…+7n+7n+1②. 由②-①,得7S-S=7n+1-1,即 S=7 n+1-1 6 . 所以1+7+72+73+74+…+ 7n=7 n+1-1 6 . (3) 设S=1+2×2+3×22+4× 23+…+9×28+10×29①. 将等式两边同时乘2,得2S=2+2× 22+3×23+4×24+…+9×29+ 10×210②. 由①-②,得S-2S=1+2+22+ 23+…+29-10×210. 由(1),得1+2+22+23+…+29= 210-1. 所以-S=210-1-10×210,即S= 9×210+1. 所以1+2×2+3×22+4×23+…+ 9×28+10×29=9×210+1. 第3课时 科学记数法 1. B 2. A 3. B 4. C 5. 2900000 6. 1.1×109 7. 9.6×106 8. 300000000×500= 150000000000(米), 150000000000米= 150000000千米=1.5×108千米. 所以太阳与地球之间的距离约为 1.5×108千米. 9. C 10. B 11. C 12. > [解析] 因为1.1×102024= 11×102023,11>9.9,所 以 1.1× 102024>9.9×102023. 13. 3.636×106 14. 1.6×1000×365=1600×365= 584000=5.84×105(千瓦时). 所以该小区一年(365天)大约可以节 约5.84×105千瓦时电. 15. (1) ① 2×106. ② 6×1011. ③ 1.2×1012. ④ 2×1016. (2) 由(1),得(a×10n)×(b×10m)= a × b × (10×10×…×10􀮩 􀮫􀮪􀪁􀪁􀪁 􀪁􀪁􀪁 n个 × 10×10×…×10􀮩 􀮫􀮪􀪁􀪁􀪁 􀪁􀪁􀪁 m 个 )=ab×10m+n = c×10p. 因为a,b,c均为大于或等于1且小于 10的数,m,n,p均为正整数, 所以当ab<10时,m+n=p;当ab> 10或ab=10时,m+n+1=p. 第4课时 近 似 数 1. D 2. B 3. 相同 不能 4. (1) 0.016精确到千分位,1680精 确到个位,1.20精确到百分位. (2) ① 377985654.32≈3.77986×108. ② 377985654.32≈3.8×108. ③ 377985654.32≈4×108. 5. D 6. C [解析] 因为5.60万=56000, 所以近似数5.60万精确到百位. 7. 1.49×108 8. 2.2 9. (1) 合格轴承的范围是大于或等 于2.595m,小于2.605m. (2) 由(1),知小王加工的2.56m与 2.62m的轴承不合格. 专题特训（四）　有理数 混合运算的常见题型 1. (1) 0. (2) -1514. (3) 125. (4) -30. (5) -3600. (6) -28. 2. (1) -2+7-9+10+4-5-8= -3(千米), 所以最后一次投递包裹结束时快递员 在公司P的西边,距离公司P 3千米. (2) 五. (3) |-2|+|+7|+|-9|+ |+10|+|+4|+|-5|+|-8|= 45(千米), 所以0.08×45=3.6(升),7.2× 3.6=25.92(元). 所以快递员投递完所有包裹需要花汽 油费25.92元. 3. B 4. (1) -1 (2) 120 5. (1) -57.5. (2) -90. (3) -2. (4) -9. (5) 5. (6) -293. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 11