1.11.1 有理数的乘方-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级上册数学（华东师大版2024）

34 1.11　有理数的乘方 第1课时 有理数的乘方 ▶ “答案与解析”见P14 1. 关于(-5)3和-53,下列说法中正确的是 ( ) A. 它们的底数相同,指数也相同 B. 它们的底数相同,但指数不相同 C. 它们表示的意义相同,但运算结果不相同 D. 它们的底数不同,但运算结果相同 2. 下列计算中,结果正确的是 ( ) A. 33=3×3=9 B. 3 4 2 =94 C. -213 2 =419 D. (-2)2=4 3. 下列各数中,属于负数的是 ( ) A. (-22)3 B. (-23)2 C. [(-2)2]3 D. [(-2)3]2 4. 下列各对数中,数值相等的是 ( ) A. -3×23与-32×2 B. -32与(-3)2 C. -25与(-2)5 D. -(-3)2与-(-2)3 5. 若 有 理 数a 等 于 它 的 倒 数,则a2025= . 6. 若一个负数的平方是1 64 ,则这个负数是 ;若一个数的立方是164 ,则这个数是 . 7. 计算: (1) - -12 5 . (2) 2×(-33). (3) -32 3 × -2 2 3 . 8. 已知a=110,b=(-2)6,c=(-3)5,则a,b,c 的大小关系为 ( ) A. a<b<c B. a<c<b C. c<b<a D. c<a<b 9. 已知(x+3)2与|y-2|互为相反数,则xy 的 值为 ( ) A. 9 B. -9 C. 8 D. -8 答案讲解 10. 观察下列等式:31=3,32=9,33= 27,34=81,35=243,36=729,…. 你从中发现底数为3的幂的个位 数字有什么规律吗? 根据你发现的规律, 32025的个位数字是 ( ) A. 1 B. 3 C. 7 D. 9 11. 已知m≥2,n≥2,且m,n均为正整数.如果 将mn 进行如图所示的“分解”,有下列四个 结论:① 25 的“分解”结果是15和17两个 数;② 在42的“分解”结果中最大的数是9; 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(华师版)七年级上 35 ③ 若m3 的“分解”结果中最小的数是23, 则m=5;④ 若3n 的“分解”结果中最小的 数是79,则n=5.其中,正确的有 ( ) (第11题) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 12. (数学文化)《庄子》中记载:“一尺之捶,日取 其半,万世不竭”.这句话的意思是一尺长的 木棍,每天截取它的一半,永远也截不完.若 按此方式截一根长为1的木棍,第6天截取 后木棍剩余的长度是 . 13. 用“☆”“★”定义新运算:对于任意有理数 a,b,都有a ☆b=ab 和a ★b=ba,则 [(-3)☆2]★(-1)= . 14. 若m,n互为相反数,p,q互为倒数,t的绝 对值等于4,则 m+n200 2025 -(-pq)2024+ t3= . 15. (核心素养·创新意识)(1) 通过计算,比较 ①~③各组中的两个数的大小(在横线上填 “>”“<”或“=”). ① 12 21;② 23 32; ③ 34 43;④ 45>54;⑤ 56>65; ⑥ 67>76;…. (2) 由第(1)题的结果归纳、猜想nn+1 与 (n+1)n(n≥1,且n为整数)的大小关系是 . (3) 根据(2)中归纳猜想得到的一般性结 论,可以得到20242025 20252024(填 “>”“<”或“=”). 答案讲解 16. “幻方”最早记载于春秋时期的《大 戴礼》中,现将1,2,3,4,5,7,8, 9这8个数字填入如图①所示的 “幻方”中,使得每个三角形的三个顶点上的 数字之和都与中间正方形四个顶点上的数 字之和相等.现有如图②所示的“幻方”,则 (x-y)m-n 的值是 ( ) (第16题) A. -27 B. -1 C. 27 D. 16 答案讲解 17. (核心素养·创新意识)(1) 计算下 列两组算式:(3×5)2 与32×52; [(-2)×3]2 与(-2)2×32.每组 两个算式的结果是否相同? (2) 想一想,(ab)3等于什么? (3) 猜一猜,当n为正整数时,(ab)n 等于什 么? 你能利用乘方的意义说明理由吗? (4) 利用上述结论,求(-8)100×0.125101 的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第1章　有 理 数 (3) 原式=-52× 1 5× 10 3=- 5 3. 15. (1) 二;没有按同级运算从左至右 运算;三;符号弄错. (2) 原式=(-15)÷ -256 ×6= 15×625×6= 108 5 . 有理数的乘除混合运算 要注意运算顺序 有理数的乘法和除法是同级 运算,对于有理数的乘除混合运 算,要先把除法变为乘法,再按从 左到右的顺序进行.在求解时易因 运算顺序出错而导致错误. 16. -3,-4,-5 [解析] 因为整数 m 在[4,6]内,整数n在[-22,-16] 内,所以m=4,5,6,n=-22,-21, -20,-19,-18,-17,-16.因为nm 为整数,所以当m=4时,n=-16,则 n m= -16 4 =-4 ,或n=-20,则nm= -20 4 =-5 ;当m=5时,n=-20,则 n m= -20 5 =-4 ;当 m=6时,n= -18,则nm = -18 6 =-3. 综上所述, n m 的整数值为-3,-4,-5. 17. (1) 抽取数为-3,-5,+14 的 3张卡片. 最 大 值 为 (-3)× (-5)÷ +14 =60. (2) 抽取数为-5,+14 ,+3的3张 卡片. 最 小 值 为 (- 5)÷ +14 × (+3)=-60. 1.11　有理数的乘方 第1课时 有理数的乘方 1. D 2. D 3. A 4. C 5. ±1 6. -18 1 4 7. (1) 原式=- -12 × -12 × -12 × -12 × -12 =132. (2) 原式=2×(-3×3×3)=-54. (3) 原 式 = -32 × -32 × -32 × -2×23 =92. 8. D [解析] 因为a=110=1,b= (-2)6=26,c=(-3)5=-35,所以 易得c<a<b. 9. A [解析] 因为(x+3)2 与|y- 2|互为相反数,|y-2|≥0,(x+ 3)2≥0,所以|y-2|=0,(x+3)2= 0.所以x=-3,y=2.所以xy= (-3)2=9. 10. B [解析] 因为31=3,32=9, 33=27,34=81,35=243,36=729,…, 所以个位数字每4个为一循环:3,9, 7,1,3,9,….因为2025÷4=506…… 1,所以32025的个位数字是3. 11. B [解析] ① 在25 的“分解”结 果中,最小的数是15,最大的数是 25-1+1=17,故①正确.② 在42 的 “分解”结果中,最小的数是1,则其他 三个数为3,5,7,四数的和为16,恰好 为42,故②错误.③ 若m=5,则53 的 “分解”结果为21,23,25,27,29,最小 的数是21,故③错误.④ 若3n 的“分 解”结果中最小的数是3n-1-2=79, 则n=5,故④正确.综上所述,正确的 有①④,共2个. 12. 1 64 [解析] 由题意可知,第一天 截取后木棍剩余的长度为1-12= 1 2 ;第二天截取后木棍剩余的长度为 1 2- 1 2× 1 2= 1 2- 1 4= 1 4= 1 22 ;第 三天截取后木棍剩余的长度为1 22- 1 2× 1 22= 1 22× 1- 1 2 =123;….所 以第n 天截取后木棍剩余的长度为 1 2n. 所以第6天截取后木棍剩余的长 度为1 26= 1 64. 13. -1 [解析] 因为a☆b=ab 且 a★b=ba,所以[(-3)☆2]★(-1)= (-3)2★ (-1)=9★ (-1)= (-1)9=-1. 14. 63或-65 [解析] 因为m,n互 为相反数,p,q互为倒数,t的绝对值 等于4,所以m+n=0,pq=1,t= ±4.所 以 当 t=4 时,原 式 = 0 200 2025 -(-1)2024+43=0-1+ 64=63;当 t= -4 时,原 式 = 0 200 2025 -(-1)2024+(-4)3=0- 1-64=-65.综上所述,所求值为 63或-65. 15. (1) ① < ② < ③ > (2) 当 n = 1 或 n = 2 时, nn+1<(n+1)n;当n≥3时,nn+1> (n+1)n (3) > 16. A [解析] 根据题意,可得x+ 1=y+(-2),m+(-2)=n+1.所以 x-y=-3,m-n=3.所以(x- y)m-n=(-3)3=-27. 17. (1) 因为(3×5)2=225,32× 52=225, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 41 所以(3×5)2=32×52. 因为[(-2)×3]2=36,(-2)2× 32=36, 所以[(-2)×3]2=(-2)2×32. 所以每组两个算式的结果相同. (2) 由(1)可知,(ab)3=a3b3. (3) 由(2)可猜想,(ab)n=anbn. 理由:因为(ab)n 相当于n个ab相乘, 所以(ab)n =ab·ab·ab·…·ab􀮩 􀮫􀮪􀪁􀪁􀪁 􀪁􀪁􀪁 n个 = a·a·a·…·a􀮩 􀮫􀮪􀪁􀪁􀪁 􀪁􀪁􀪁 n个 ·b·b·b·…·b􀮩 􀮫􀮪􀪁􀪁􀪁 􀪁􀪁􀪁 n个 = anbn. (4) 因为(ab)n=anbn, 所以(-8)100×0.125101=[(-8)× 0.125]100 ×0.125= (-1)100 × 0.125=1×0.125=0.125. 第2课时 科学记数法 1. B 2. A 3. 6×105 4. 3.6×1011 5. (1) 8.5×106=8500000. (2) 7.04×105=704000. (3) -3.96×104=-39600. 6. B 7. D 8. C [解析] 由题意,得数轴的单位 长度约为5×106 光年.因为10×5× 106=5×107,所以从数轴上看,选项 C符合题意. 9. A [解析] 1.39×1018×0.77%= 1.0703×1016(m3). 10. 9 11. (1) 因为3.05×105=305000, 3.08×104=30800,305000>30800, 所以3.05×105>3.08×104. (2) 因为2.01<2.10, 所以2.01×102025<2.10×102025. 所以-2.01×102025>-2.10×102025. 12. 由题意,得60×60×24×3= 259200(秒),403200000000× 259200=10.450944×1016(次). 因为10.450944×1016>3×1016, 所以这台巨型计算机能满足发射载人 飞船的计算要求. 13. 帐篷数为2.5×107÷40=6.25× 105(顶). 这些帐篷的占地面积为6.25×105× 100=6.25×107(m2). 需要 广 场 的 个 数 为6.25×107÷ 5000=1.25×104. 14. (1) 因为250×10×2×3×360= 5.4×106(毫升), 所以一年要浪费5.4×106毫升水. (2) 因为5.4×106 毫升=5.4立方 米,5.4×2=10.8(元), 所以这个家庭一年要浪费10.8元. (3) 因为5.4×106×1000000= 5.4×1012(毫升),10.8×1000000= 1.08×107(元), 所以一年要浪费5.4×1012 毫升水, 浪费1.08×107元. 1.12　有理数的混合运算 第1课时 有理数的混合运算(1) 1. B 2. D 3. D 4. (1) -36 (2) -27 5. (1) 原式=209× - 27 8 -3625÷ 4 25=- 15 2-9=- 33 2. (2) 原式=100÷4-2× -32 - 8=25+3-8=20. (3) 原式=-116-|-16-1|- 1 6× (2-9)=-116-17+ 7 6=-15 43 48. 6. B [解析] 原式=13× (-3)+ 9 5× 5 3=-1+3=2. 7. C [解析] A. 原式=13- 4 3= -1,故此选项错误,不符合题意; B. 原式=5×12× 1 2= 5 4 ,故此选项 错误,不符合题意;C. 原式=24× 2 3=16 ,故此选项正确,符合题意; D. 原式=24-4×9=24-36=-12, 故此选项错误,不符合题意. 8. D [解析] 由题意可知,第四个数 是4÷ 13 - [-12+(-2)×3+ (-3)2]=12-(-12-6+9)=12- (-9)=21. 9. D [解析] 因为-34+[23- (-2)3]=-81+16=-65;-34- [23-(-2)3]=-81-16=-97; -34×[23-(-2)3]=-81×16= -1296;-34 ÷ [23 - (-2)3]= -81÷(8+8)=-8116 ,-1296< -97<-65<-8116 ,所以要使算式 -34□[23-(-2)3]的计算结果最 大,在□里填入的运算符号应是÷. 10. 8 [解析] 因为m*n=mn- mn,所 以 (-2)*2= (-2)2 - (-2)×2=4+4=8. 11. -232 [解析] 由题意,得3○2= 1 2×3-2 2= 32 -4= - 5 2 ,则 (-6)○(3○2)=(-6)○ -52 = -52 - -6× 1 2 2 = - 52 - (-3)2=-52-9=- 23 2. 12. (1) 原式=2025+(-125)×8- 2024÷(-4)=2025+(-1000)+ 506=1531. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 51