14.2 三角形全等的判定（5种题型基础练+能力提升练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（沪科版）

14.2 三角形全等的判定（5种题型基础练+能力提升练） 一．三角形的稳定性（共5小题） 1．（2024秋•庐江县校级月考）如图，墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的　　 A．全等性 B．对称性 C．稳定性 D．美观性 2．（2023秋•肥西县期末）下列图形具有稳定性的是　　 A． B． C． D． 3．（2024春•江南区校级期中）如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为　　． 4．（2023秋•谢家集区期末）空调安装在墙上时，一般都采用如图所示的方法固定．这种方法应用的几何原理是：三角形具有 　　． 5．（2023春•砀山县期末）如图，学校门口设置的移动拒马都用钢管焊接成三角形，这样做的数学原理是 　　． 二．全等三角形的判定（共7小题） 6．（2023秋•庐江县期末）如图，点，在上，，，要使，可以添加的一个条件是　　 A． B． C． D． 7．（2023秋•潜山市期末）如图，已知，下列所给条件不能证明的是　　 A． B． C． D． 8．（2023秋•太和县期末）如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是　　 A． B． C． D． 9．（2024秋•庐江县校级月考）已知：如图，和中，，要使，则下列添加的条件错误的是　　 A． B． C． D． 10．（2024秋•颍州区校级月考）如图，已知，，下列条件中，无法判定△△的是　　 A． B． C． D． 11．（2024秋•太和县月考）如图，在和中，已知，在不添加任何辅助线的前提下，要使，只需再添加的一个条件不可以是　　 A． B． C． D． 12．（2023秋•太湖县期末）如图，，，点在边上，，和相交于点．求证：． 三．直角三角形全等的判定（共3小题） 13．（2023秋•贵池区期末）下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是　　 A．斜边和一直角边对应相等 B．两个锐角对应相等 C．一锐角和斜边对应相等 D．两条直角边对应相等 14．（2023秋•和县期末）如图，已知点、、、在同一条直线上，，，若添加一个条件后，添加的条件可以是　　 A． B． C． D． 15．（2023秋•蚌埠期末）如图，已知，，若用“”判定和全等，则需要添加的条件是　　 A． B． C． D． 四．全等三角形的判定与性质（共10小题） 16．（2024秋•鸠江区校级月考）如图，，，，于，，，则　　 A． B． C． D． 17．（2024秋•颍州区校级月考）如图，在中，平分，于点，已知的面积为，则阴影部分的面积为　　 A． B． C． D． 18．（2024秋•太和县月考）如图，把两个角的直角三角板放在一起，点在上，、、三点在一条直线上，连接，延长线交于点．若，，则的面积为　　 A．16 B．12.8 C．6.4 D．5.6 19．（2024秋•鸠江区校级月考）如图所示，在△中，，，，则的度数是 　　． 20．（2024秋•鸠江区校级月考）如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣6，3），则B点的坐标是 　 　． 21．（2024秋•庐江县校级月考）如图，在△中，，为边上的中线，为边上一点，连接交于点，连接． （1）图中的全等三角形共有　　对； （2）若，且△的面积为3，则△的面积为　　． 22．（2024秋•庐阳区校级月考）阅读下题及其证明过程： 已知：如图，是△中的中点，，，试说明：． 证明：是△中的中点， ． 在△和△中， △△（第一步）． （第二步）． 在△和△中， △△（第三步）． ． 问： （1）上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理根据，若不正确，请指出错在哪一步？ （2）写出你认为正确的推理过程． 23．（2024秋•鸠江区校级月考）如图，点、、、在同一直线上，，，．求证：． 24．（2024秋•太和县月考）如图，点在上，与交于点，，，． （1）求证：； （2）证明：． 25．（2024秋•鸠江区校级月考）如图，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得，连． （1）求证：； （2）若，连接，平分，平分，求的度数． 五．全等三角形的应用（共4小题） 26．（2024秋•太和县月考）如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃．那么最省事的办法是带　　 A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①②去 27．（2023秋•霍邱县期末）如图，小明家仿古家具的一块三角形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为△，提供下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是　　 A．，， B．，， C．，， D．，， 28．（2023秋•太和县期末）小丽与爸爸、妈妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，小丽两脚在地面上用力一蹬，妈妈在处接住她后用力一推，爸爸在处接住她．若点距离地面的高度为，点到的距离为，点距离地面的高度是，，则点到的距离为　　 A． B． C． D． 29．（2023秋•长丰县期末）如图，黄芳不小心把一块三角形的玻璃打成三块碎片，现要带其中一块去配出与原来完全一样的玻璃，正确的办法是带来第______块去配，其依据是根据定理_______（可以用字母简写）　　 A．拿①去、 B．拿②去、 C．拿③去、 D．拿任意一块 一．选择题（共1小题） 1．（2024秋•颍州区校级月考）如图，点，，，在同一直线上，于点，于点，连接，交于点，且为的中点．若，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是　　 A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 二．填空题（共4小题） 2．（2024秋•颍州区校级月考）如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点为的中点．如果点在线段上以2厘米秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．当点的运动速度为 　　厘米秒时，能够使与全等． 3．（2024秋•湾沚区校级月考）如图，动点与线段构成，其边长满足，，．点在的平分线上，且，则的取值范围是 　　，的面积的最大值为 　　． 4．（2024秋•庐阳区校级月考）如图所示，已知四边形中，，，，，点为线段的中点，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上面点向点运动．当点的运动速度为 　　时，能够使与全等． 5．（2024•颍州区校级开学）如图，已知正方形中，边长为，点在边上，，如果点在线段上以秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上以厘米秒的速度由点向点运动，设运动的时间为秒， （1）　　厘米，　　厘米．（用含的代数式表示） （2）若以、、为顶点的三角形和以、、为顶点的三角形全等，则的值为 　　． 三．解答题（共8小题） 6．（2024秋•颍州区校级月考）如图，△中，为上一点，为延长线上一点，且，过点作于点，过点作交的延长线于点，且，连交边于．求证： （1）△△； （2）． 7．（2024秋•太和县月考）如图，于点，于点，，． （1）求证：； （2）已知，，求的长． 8．（2024秋•庐江县校级月考）如图，中，，、分别平分、，、相交于点． （1）求的度数； （2）若，，求线段的长． 9．（2024春•灵璧县期末）如图，在四边形中，，连接，点是边上一点，连接，已知，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 10．（2024秋•颍州区校级月考）如图所示，在平面直角坐标系中，， （1）点在的正半轴运动，点在的正半轴上，且， ①求证： ②求的值； （2）点在的正半轴运动，点在的负半轴上，且，求的值． 11．（2024秋•湾沚区校级月考）已知，点、分别为线段、上两点，连接、交于点． （1）若，，如图1所示，　　度； （2）若平分，平分，如图2所示，试说明此时与的数量关系； （3）在（2）的条件下，若，试说明：． 12．（2023秋•金安区校级期末）如图1所示，在中，，点是线段延长线上一点，且，点是线段上一点，连接，以为斜边作等腰，连接，满足条件． （1）若，，，求的长度； （2）求证：； （3）如图2，点是线段延长线上一点，探究、、之间的数量关系，并证明你的结论． 13．（2023秋•无为市校级月考）如图1，是的平分线，请你利用该图形画一对以所在直线为对称轴的全等三角形，并将添加的全等条件标注在图上． 请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题： （1）如图2，在中，是直角，，、分别是和的平分线，、相交于点，求的度数； （2）在（1）的条件下，请判断与之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在中，如果不是直角，而（1）中的其他条件不变，试问在（2）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 14.2 三角形全等的判定（5种题型基础练+能力提升练） 一．三角形的稳定性（共5小题） 1．（2024秋•庐江县校级月考）如图，墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的　　 A．全等性 B．对称性 C．稳定性 D．美观性 【分析】三角形具有稳定性，由此即可得到答案． 【解答】解：墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的稳定性． 故选：． 【点评】本题考查三角形的稳定性，关键是掌握三角形的稳定性． 2．（2023秋•肥西县期末）下列图形具有稳定性的是　　 A． B． C． D． 【分析】所有图形里，具有稳定性的是三角形，据此作答即可． 【解答】解：所有图形里，只有三角形具有稳定性． 故选：． 【点评】本题考查三角形的稳定性和四边形的不稳定性，熟知三角形具有稳定性是解题的关键． 3．（2024春•江南区校级期中）如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为　三角形具有稳定性　． 【分析】根据三角形具有稳定性解答． 【解答】解：生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有稳定性． 故答案为：三角形具有稳定性． 【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得． 4．（2023秋•谢家集区期末）空调安装在墙上时，一般都采用如图所示的方法固定．这种方法应用的几何原理是：三角形具有 　稳定性　． 【分析】钉在墙上的方法是构造三角形支架，因而应用了三角形的稳定性． 【解答】解：这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性， 故答案为：稳定性． 【点评】本题主要考查了三角形的稳定性，正确掌握三角形的这一性质是解题的关键． 5．（2023春•砀山县期末）如图，学校门口设置的移动拒马都用钢管焊接成三角形，这样做的数学原理是 　三角形具有稳定性　． 【分析】学校门口设置的移动拒马做成三角形的形状，利用三角形不变形即三角形的稳定性，从而可得答案． 【解答】解：学校门口设置的移动拒马都用钢管焊接成三角形，这样做的数学原理是利用了三角形的稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 【点评】本题考查的是三角形的稳定性是实际应用，掌握“三角形具有稳定性”是解本题的关键． 二．全等三角形的判定（共7小题） 6．（2023秋•庐江县期末）如图，点，在上，，，要使，可以添加的一个条件是　　 A． B． C． D． 【分析】要使，已知，可得，由，，符合来判定． 【解答】解：， ， ， ， ， ． 故添加选项以后可用判定两个三角形全等； 添加，，选项中条件都是两边及一边的对角即不能判定两个三角形全等． 故选：． 【点评】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、． 注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 7．（2023秋•潜山市期末）如图，已知，下列所给条件不能证明的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据题目所给条件，再加上公共边，然后再结合判定定理分别进行分析即可． 【解答】解：、添加可利用判定，故此选项不合题意； 、添加可利用定理判定，故此选项不合题意； 、添加可利用定理判定，故此选项不合题意； 、添加不能判定，故此选项符合题意； 故选：． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、． 注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 8．（2023秋•太和县期末）如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是　　 A． B． C． D． 【分析】由图形可知三角形的两角和夹边，于是根据“”即可画出一个与原来完全样的三角形． 【解答】解：由图形可知三角形的两角和夹边， 两个三角形全等的依据是． 故选：． 【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法． 9．（2024秋•庐江县校级月考）已知：如图，和中，，要使，则下列添加的条件错误的是　　 A． B． C． D． 【分析】由三角形全等的判定方法、得出、正确；由直角三角形全等的判定方法得出正确；错误． 【解答】解：正确； 在和中，， ； 正确； 在和中，， ； 错误； 由，，，不能判定； 正确； ， 和是直角三角形， 在和中，， ； 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定方法；熟练掌握全等三角形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键． 10．（2024秋•颍州区校级月考）如图，已知，，下列条件中，无法判定△△的是　　 A． B． C． D． 【分析】由全等三角形的判定依次判断可求解． 【解答】解：、添加，由“”可证△△，故选项不合题意； 、添加，由“”可证△△，故选项不合题意； 、添加，由“”可证△△，故选项不合题意； 、添加，不能证明△△，故选项符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是本题的关键． 11．（2024秋•太和县月考）如图，在和中，已知，在不添加任何辅助线的前提下，要使，只需再添加的一个条件不可以是　　 A． B． C． D． 【分析】添加，利用即可得到两三角形全等；添加，利用即可得到两三角形全等，添加，利用即可得到两三角形全等． 【解答】解：、添加，利用即可得到两三角形全等，不符合题意； 、添加，不能判定两三角形全等，符合题意； 、添加，利用即可得到两三角形全等，不符合题意； 、添加，利用即可得到两三角形全等，不符合题意； 故选：． 【点评】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键． 12．（2023秋•太湖县期末）如图，，，点在边上，，和相交于点．求证：． 【分析】先利用三角形外角性质证明，然后根据“”判断． 【解答】证明：， 即， 而， ， 在和中， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 三．直角三角形全等的判定（共3小题） 13．（2023秋•贵池区期末）下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是　　 A．斜边和一直角边对应相等 B．两个锐角对应相等 C．一锐角和斜边对应相等 D．两条直角边对应相等 【分析】直角三角形全等的判定方法：，，，，，做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证． 【解答】解：、符合判定，故本选项正确，不符合题意； 、全等三角形的判定必须有边的参与，故本选项错误，符合题意； 、符合判定，故本选项正确，不符合题意； 、符合判定，故本选项正确，不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查直角三角形全等的判定方法，判定两个直角三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 14．（2023秋•和县期末）如图，已知点、、、在同一条直线上，，，若添加一个条件后，添加的条件可以是　　 A． B． C． D． 【分析】利用“”判断直角三角形全等的方法解决问题． 【解答】解：，， ， 当添加时， 得到， 即， 根据“”可判定． 故选：． 【点评】本题考查了直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“” ． 15．（2023秋•蚌埠期末）如图，已知，，若用“”判定和全等，则需要添加的条件是　　 A． B． C． D． 【分析】根据两直角三角形全等的判定定理逐个判断即可． 【解答】解：，， ， ．，，符合两直角三角形全等的判定定理，能推出和全等，故本选项符合题意； ．，，，符合两直角三角形全等的判定定理，不是两直角三角形全等的判定定理，故本选项不符合题意； ．，，不符合两直角三角形全等的判定定理，不能推出和全等，故本选项不符合题意； ．，，，符合两直角三角形全等的判定定理，不是两直角三角形全等的判定定理，故本选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有等． 四．全等三角形的判定与性质（共10小题） 16．（2024秋•鸠江区校级月考）如图，，，，于，，，则　　 A． B． C． D． 【分析】根据，得，则，再由，得，则，从而证出，进而得出的长． 【解答】解：， ， 即， ， ， ， 又， ， ，， ，， ． 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，是基础知识要熟练掌握． 17．（2024秋•颍州区校级月考）如图，在中，平分，于点，已知的面积为，则阴影部分的面积为　　 A． B． C． D． 【分析】延长交于，根据角平分线的定义得到，由垂直的定义得到，根据全等三角形的性质得到，于是得到结论． 【解答】解：延长交于， 平分， ， ， ， 在与中， ， ， ， ，， 阴影部分的面积， 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 18．（2024秋•太和县月考）如图，把两个角的直角三角板放在一起，点在上，、、三点在一条直线上，连接，延长线交于点．若，，则的面积为　　 A．16 B．12.8 C．6.4 D．5.6 【分析】由和都是等腰直角三角形，，得，，可根据“”证明，得，，则，再求得，则，于是得到问题的答案． 【解答】解：和都是等腰直角三角形，， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、三角形的面积公式等知识，证明是解题的关键． 19．（2024秋•鸠江区校级月考）如图所示，在△中，，，，则的度数是 　　． 【分析】由题中条件可得△△，即，可由与、的差表示，进而求解即可． 【解答】解：如图，在△与△中， ， △△， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 20．（2024秋•鸠江区校级月考）如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣6，3），则B点的坐标是 　（1，4）　． 【分析】过A和B分别作AD⊥OC于D，BE⊥OC于E，利用已知条件可证明△ADC≌△CEB，再有全等三角形的性质和已知数据即可求出B点的坐标． 【解答】解：过A和B分别作AD⊥OC于D，BE⊥OC于E， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠CAD＝90°∠ACD+∠BCE＝90°， ∴∠CAD＝∠BCE， 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）， ∴DC＝BE，AD＝CE， ∵点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣6，3）， ∴OC＝2，AD＝CE＝3，OD＝6， ∴CD＝OD﹣OC＝4，OE＝CE﹣OC＝3﹣2＝1， ∴BE＝4， ∴则B点的坐标是（1，4）， 故答案为：（1，4）． 【点评】本题借助于坐标与图形性质，重点考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是做高线各种全等三角形． 21．（2024秋•庐江县校级月考）如图，在△中，，为边上的中线，为边上一点，连接交于点，连接． （1）图中的全等三角形共有　3　对； （2）若，且△的面积为3，则△的面积为　　． 【分析】（1）根据全等三角形的判定即可求解； （2）根据，且△的面积为3，可得△的面积为1，根据全等三角形的性质得△的面积为4，则△的面积为5，△的面积为15，即可得到结论． 【解答】解：（1），为边上的中线， ，， ， 在△和△中， ， △△， 同理△△，△△， 图中的全等三角形共有3对， 故答案为：3； （2），且△的面积为3， △的面积为1， △的面积为4， △△， △的面积为4， △的面积为5， ， △的面积为15， △的面积， 故答案为：20． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键． 22．（2024秋•庐阳区校级月考）阅读下题及其证明过程： 已知：如图，是△中的中点，，，试说明：． 证明：是△中的中点， ． 在△和△中， △△（第一步）． （第二步）． 在△和△中， △△（第三步）． ． 问： （1）上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理根据，若不正确，请指出错在哪一步？ （2）写出你认为正确的推理过程． 【分析】（1）可以用证明△△； （2）根据证明△△，再证明△△可得结论． 【解答】解：（1）证明过程不正确，证明三角形全等的第二个条件错误，所以第一步错误， 理由如下：是△中的中点， ， 在△和△中， ， △△， ， 在△和△中， ， △△， ． （2）是△中的中点， ， 在△和△中， ， △△， ， 在△和△中， ， △△， ． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 23．（2024秋•鸠江区校级月考）如图，点、、、在同一直线上，，，．求证：． 【分析】由“”可证，可得，可得结论． 【解答】证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，证明三角形全等是解题的关键． 24．（2024秋•太和县月考）如图，点在上，与交于点，，，． （1）求证：； （2）证明：． 【分析】（1）根据等式的性质得，再利用即可证明结论成立； （2）根据全等三角形的对应角相等得，对顶角相等得，利用三角形内角和定理可得结论． 【解答】证明：（1）． ， 在和中， ， ； （2）由第一小问得， ， ， ． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 25．（2024秋•鸠江区校级月考）如图，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得，连． （1）求证：； （2）若，连接，平分，平分，求的度数． 【分析】（1）求出，根据全等三角形的性质得出，根据平行线的判定得出即可； （2）根据（1）求出，根据三角形内角和定理求出即可． 【解答】（1）证明：为中点， ， 在和中， ， ， ， ； （2）解：平分， ， ， ， ，， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定、平行线的性质和判定、三角形内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 五．全等三角形的应用（共4小题） 26．（2024秋•太和县月考）如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃．那么最省事的办法是带　　 A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①②去 【分析】根据三角形全等的判定方法，即可求解． 【解答】解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的； 第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据来配一块一样的玻璃． 故选：． 【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，要求学生将所学的知识运用于实际生活中，要认真观察图形，根据已知选择方法． 27．（2023秋•霍邱县期末）如图，小明家仿古家具的一块三角形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为△，提供下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是　　 A．，， B．，， C．，， D．，， 【分析】直接利用全等三角形的判定方法分析得出答案． 【解答】解：．利用三角形三边对应相等，两三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意； ．利用三角形两边、且夹角对应相等，两三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意； ．，，，无法确定三角形的形状，故此选项符合题意； ．根据，，，三角形形状确定，故此选项不合题意； 故选：． 【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 28．（2023秋•太和县期末）小丽与爸爸、妈妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，小丽两脚在地面上用力一蹬，妈妈在处接住她后用力一推，爸爸在处接住她．若点距离地面的高度为，点到的距离为，点距离地面的高度是，，则点到的距离为　　 A． B． C． D． 【分析】由证明得出，即可推出结果． 【解答】解：点距离地面的高度为，点距离地面的高度是， 点距离地面的高度为，点距离地面的高度是， ， ， ， ， 又由题意可知，， ， ，， ， 点到的距离为， 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质的应用，证明是解题的关键． 29．（2023秋•长丰县期末）如图，黄芳不小心把一块三角形的玻璃打成三块碎片，现要带其中一块去配出与原来完全一样的玻璃，正确的办法是带来第______块去配，其依据是根据定理_______（可以用字母简写）　　 A．拿①去、 B．拿②去、 C．拿③去、 D．拿任意一块 【分析】根据全等三角形的判定，已知两角和夹边，就可以确定一个三角形． 【解答】解：根据三角形全等的判定方法，根据角边角可确定一个全等三角形， 只有第三块玻璃包括了两角和它们的夹边，只有带③去才能配一块完全一样的玻璃，是符合题意的． 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 一．选择题（共1小题） 1．（2024秋•颍州区校级月考）如图，点，，，在同一直线上，于点，于点，连接，交于点，且为的中点．若，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是　　 A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 【分析】分别证明，，可得结论． 【解答】解：，， ， 是的中点， ， 在和中， ， ，故①正确， ， ，， ，故②正确， ， 在和中， ， ， ，，故③正确， ，故④正确， 故选：． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握旋转全等三角形解决问题． 二．填空题（共4小题） 2．（2024秋•颍州区校级月考）如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点为的中点．如果点在线段上以2厘米秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．当点的运动速度为 　2或3　厘米秒时，能够使与全等． 【分析】分两种情况讨论，依据全等三角形的对应边相等，即可得到点的运动速度． 【解答】解：设点运动的时间为秒，则，， ， 当，时，与全等， 此时，， 解得， ， 此时，点的运动速度为（厘米秒）， 当，时，与全等， 此时，， 解得， 点的运动速度为（厘米秒）， 故答案为：2或3． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 3．（2024秋•湾沚区校级月考）如图，动点与线段构成，其边长满足，，．点在的平分线上，且，则的取值范围是 　　，的面积的最大值为 　　． 【分析】由三角形三边关系定理得到，即可求出；延长交延长线于，由证明，推出，，得到，又，因此当的面积最大时，的面积最大，而，，即可求出的面积的最大值． 【解答】解：的三边：，，，满足三角形三边关系定理， ， 不等式①②显然成立， 由③得：； 延长交延长线于，过作交延长线于， 平分， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， 当的面积最大时，的面积最大， 的面积，，， 面积的最大值． 故答案为：，． 【点评】本题考查三角形三边关系，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，三角形的面积，关键是掌握三角形三边关系定理，构造全等三角形． 4．（2024秋•庐阳区校级月考）如图所示，已知四边形中，，，，，点为线段的中点，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上面点向点运动．当点的运动速度为 　或　时，能够使与全等． 【分析】设运动时间为秒，点的运动速度是 ，则 ， ，，求出，根据全等三角形的判定得出当，或，时，与以、、三点所构成的三角形全等，再代入求出、即可． 【解答】解：设运动时间为秒，点的运动速度是 ，则 ， ，， 为的中点，， ， ， 要使与以、、三点所构成的三角形全等，必须，或，， 当，时，，， 解得：，，即点的运动速度是， 当，时，，， 解得：，，即点的运动速度是， 综合上述，当点的运动速度为或时，能够使与以、、三点所构成的三角形全等． 故答案为：或． 【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有等． 5．（2024•颍州区校级开学）如图，已知正方形中，边长为，点在边上，，如果点在线段上以秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上以厘米秒的速度由点向点运动，设运动的时间为秒， （1）　　厘米，　　厘米．（用含的代数式表示） （2）若以、、为顶点的三角形和以、、为顶点的三角形全等，则的值为 　　． 【分析】（1）根据路程与速度的关系求解即可； （2）分两种情形，利用全等三角形的性质构建方程求解即可． 【解答】解：（1）点在线段上以秒的速度由点向点运动，运动的时间为秒， ， ， ， 故答案为：，； （2）点在线段上以厘米秒的速度由点向点运动，运动的时间为秒， ， 当时， ，，即，，即， ， ， 解得：； 当时， ，，即，， ， ， 即， 综上，以、、为顶点的三角形和以、、为顶点的三角形全等，则的值为4.8或4， 故答案为：4.8或4． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，一元一次方程等知识，分类讨论的思想思考问题． 三．解答题（共8小题） 6．（2024秋•颍州区校级月考）如图，△中，为上一点，为延长线上一点，且，过点作于点，过点作交的延长线于点，且，连交边于．求证： （1）△△； （2）． 【分析】（1）由“”可证△△，可得结论； （2）先由（1）可知，再由可证△△，从而由三角形全等的性质可得，然后由线段的和差即可得证． 【解答】（1）证明：，，且，， △△， （2）由（1）已证：△△， ， 在△和△中， ， △△， ， ， 又， ， 即． 【点评】本题考查了三角形全等的判定定理与性质．解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 7．（2024秋•太和县月考）如图，于点，于点，，． （1）求证：； （2）已知，，求的长． 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用， （1）由题所给条件可得△△，即得； （2）证明△△，结合（1）可得，，则． 【解答】（1）证明：，， ， 在△和△中，，， △△， ， （2）解：在△和△中，，， △△， △△，△△， ，， ， ， ． 【点评】本题考查的是全等三角形的判定与性质，利用的方法证明全等是解题的关键． 8．（2024秋•庐江县校级月考）如图，中，，、分别平分、，、相交于点． （1）求的度数； （2）若，，求线段的长． 【分析】（1）利用，、分别平分，，即可得出答案； （2）在上截取，连接，由题中条件可得，进而得出，通过角之间的转化可得出，进而可得出线段之间的关系，即可得出结论． 【解答】解：（1）， ， 、分别平分，， ， ， ； （2）如图，在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，根据在上截取得出是解题关键． 9．（2024春•灵璧县期末）如图，在四边形中，，连接，点是边上一点，连接，已知，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【分析】（1）由，得，而，，即可根据“ “证明； （2）由全等三角形的性质得，则，所以的长是5． 【解答】（1）证明：， ， 在和中， ， ． （2）解：由（1）得， ，， ， ， 的长是5． 【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质，适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键． 10．（2024秋•颍州区校级月考）如图所示，在平面直角坐标系中，， （1）点在的正半轴运动，点在的正半轴上，且， ①求证： ②求的值； （2）点在的正半轴运动，点在的负半轴上，且，求的值． 【分析】（1）①过点作轴于，作轴于，根据点的坐标可得，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再根据垂直的定义证明； ②根据全等三角形对应边相等可得，再表示出、，然后列出方程整理即可得解； （2）根据全等三角形对应边相等可得，再表示出、，然后列出方程整理即可得解． 【解答】（1）①证明：如图1，过点作轴于，作轴于， ， ， ， 在和， ， ， ， ， ； ②解：， ， ，， ； （2）解：如图2，过点作轴于，作轴于， 同理得， ， ，， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型． 11．（2024秋•湾沚区校级月考）已知，点、分别为线段、上两点，连接、交于点． （1）若，，如图1所示，　180　度； （2）若平分，平分，如图2所示，试说明此时与的数量关系； （3）在（2）的条件下，若，试说明：． 【分析】（1）根据余角的性质得到，由于，即可得到结论； （2）根据角平分线的性质得到，，于是得到结论； （3）作的平分线交于，由，得到，求得，根据角平分线的性质得到，推出，根据全等三角形的性质得到，同理，即可得到结论． 【解答】解：（1），， ， ，， ； 故答案为：180． （2）平分，平分， ，，； （3）作的平分线交于， ， ， ， 平分， ， 在与中， ， ， ，同理， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，垂直的定义，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 12．（2023秋•金安区校级期末）如图1所示，在中，，点是线段延长线上一点，且，点是线段上一点，连接，以为斜边作等腰，连接，满足条件． （1）若，，，求的长度； （2）求证：； （3）如图2，点是线段延长线上一点，探究、、之间的数量关系，并证明你的结论． 【分析】（1）在等腰直角三角形中，，求得，根据余角的定义得到，根据三角形的内角和得到，根据三角函数的定义得到，于是得到结论； （2）如图1，过作于，在中，由余角的定义得到，由于，推出证得，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的内角和和余角的定义得到，推出，根据全等三角形的性质得到即可得到结论； （3）如图2，过作交的延长线于根据余角的定义和三角形的内角和得到，证得，由全等三角形的性质得到，由于，，推出，证得，根据全等三角形的性质得到，即可得到结论． 【解答】解：（1）在等腰直角三角形中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）如图1，过作于，在中，， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ； （3）如图2，过作交的延长线于， ， ， ，， ，， 在与中， ， ， ， ，， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， 即． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 13．（2023秋•无为市校级月考）如图1，是的平分线，请你利用该图形画一对以所在直线为对称轴的全等三角形，并将添加的全等条件标注在图上． 请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题： （1）如图2，在中，是直角，，、分别是和的平分线，、相交于点，求的度数； （2）在（1）的条件下，请判断与之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在中，如果不是直角，而（1）中的其他条件不变，试问在（2）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【分析】根据可知：在的两边上以为端点截取相等的两条线段，另外两个端点与角平分线上任意一点相连，所构成的两个三角形全等，它们关于对称． （1）根据三角形内角和定理可求．是的外角，根据外角的性质计算求解； （2）根据图1的作法，在上截取，则；根据证明，得，故判断； （3）只要的度数不变，结论仍然成立．证明同（2）． 【解答】解：（1）如图2，，． ， 、分别是和的平分线， ，． ． （2）． 如图2，在上截取，连接． 是的平分线， ， 在和中 ， ，， ． 又， ， 在和中 ， ． ． （3）（2）中的结论仍然成立． 同（2）可得， ，， 又由（1）知，， ． ． ， 同（2）可得， ． ． 【点评】此题考查全等三角形的判定与性质，综合性较强，难度较大． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$