专题07 图形的相似50道压轴题型专训（10大题型）-2024-2025学年九年级数学下册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

专题07 图形的相似50道压轴题型专训（10大题型） 【题型目录】题型一 黄金分割压轴题型 题型二 平行线分线段成比例压轴题 题型三 相似多边形压轴题 题型四 相似三角形的判定与性质综合 题型五 相似三角形的动点问题 题型六 相似三角形的应用 题型七 图形的位似压轴 题型八 相似三角形的模型问题 题型九 相似三角形的综合 题型十 相似三角形的新定义问题 【经典例题一 黄金分割压轴题型】 1．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，锐角中，，是的外接圆，的延长线交边于点． (1)求证：； (2)当是等腰三角形时，求的度数； (3)将、、的面积分别记为、、且，证明：点是线段的黄金分割点． 2．（23-24九年级下·全国·专题练习）（1）如图所示，已知点是线段的黄金分割点（），试用一元二次方程的求根公式验证黄金比． （2）如图所示，在（1）的条件下，取线段的黄金分割点（），判断点是否为线段的另一黄金分割点，并说明理由． （3）如图所示，在（2）的条件下，再取线段的黄金分割点（），并且，试用的正整数次幂的形式表示线段，，的长度． （4）已知，试求以下代数式的值（只要求直接写出结果）：　 　． 3．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）背景知识：宽与长的比等于（约为0.618）的矩形称为黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界上很多著名建筑，为了取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊帕特农神庙等． （1）如图，经测量，帕特农神庙的面宽约为31米，那么它的高度大约是______米．（结果取整数） 实验操作：折一个黄金矩形 第一步，在矩形纸片的一端利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：如图2，将正方形折成两个相等的矩形，再将其展平； 第三步：折出内侧矩形的对角线，并将折到图3所示的处； 第四步，展平纸片，按照所得的点折出，矩形就是黄金矩形（如图4）． 问题思考： （2）图4中是否还存在其它黄金矩形，请判断并说明理由； （3）以图3中的折痕为边，构造黄金矩形，若，则这个矩形的面积是______（直接写出结果）．    4．（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）定义：如图1，点、把线段分割成、和，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点、是线段的勾股分割点． (1)已知点、是线段的勾股分割点，，，若，，则______． (2)如图，在等腰直角中，，、为直线上两点，满足． ①如图2，点、在线段上，求证：点、是线段的勾股分割点； ②如图3，若点在线段上，点在线段的延长线上，，，求的长． 5．（23-24九年级下·全国·专题练习）如图1，点P将线段分成一条较小线段和一条较大线段，如果，那么称点P为线段的黄金分割点，设，则k就是黄金比，并且． (1)以图1中的为底，为腰得到等腰（如图2），等腰即为黄金三角形，黄金三角形的定义为：满足≈的等腰三角形是黄金三角形；类似地，请你给出黄金矩形的定义：　　； (2)如图1，设，请你说明为什么k约为； (3)由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成面积为和面积为的两部分（设），如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．（如图3），点P是线段的黄金分割点，那么直线是的黄金分割线吗？请说明理由； (4)图3中的的黄金分割线有几条？ 【经典例题二 平行线分线段成比例压轴题】 6．（23-24九年级上·浙江·期末）已知：正方形中，为边中点，为边中点，交于，交于，连接． （1）求证：； （2）求的值； 7．（23-24·吉林延边·二模）[感知]如图①，在▱ABCD中，点E为CD的中点，连接BE并延长交AD的延长线于点F．求证：点E是BF的中点，点D是AF的中点； [应用]如图②，在四边形ABCD中，AD//BC，∠BAD＝90°，AB＝4，AD＝3，点E是CD的中点，BE⊥CD，BE、AD的延长线相交于点F，则AF＝　 　． [拓展]如图③，在△ABC中，点D是AC的中点，点E是AB上一点，，BD，CE相交于点F，则＝　 　． 8．（23-24·上海杨浦·二模）如图，已知在正方形中，对角线与交于点，点在线段上，联结并延长交边于点，点在线段上，且，联结与线段交于点，联结、． （1）如果，求证：四边形是菱形； （2）如果，求证：． 9．（23-24八年级上·山东青岛·期末）如图①，在平面直角坐标系中，直线交x轴、y轴分别交于点A、B，直线交x轴、y轴分别交于点D、C，交直线于点E，（点E不与点B重合），且， （1）求直线的函数表达式； （2）如图②，连接，过点O作交直线与点F， ①求证： ②直接写出点F的坐标 （3）若点P是直线上一点，点Q是x轴上一点（点Q不与点O重合），当和全等时，直接写出点P的坐标． 10．（23-24·辽宁沈阳·二模）已知：四边形，点在直线上，将沿翻折得到，点的对应点恰好落在直线上，直线交直线于点． （1）如图①，当四边形为矩形时， ①求证：； ②若，，求线段的长； （2）如图②，当四边形为平行四边形时，若，直接写出此时的值． 【经典例题三 相似多边形压轴题】 11．（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）某校九年级数学兴趣小组在探究相似多边形问题时，他们提出了下面两个观点： 观点一：将外面大三角形按图1的方式向内缩小，得到新三角形，它们对应的边间距都为1，则新三角形与原三角形相似． 观点二：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向内缩小，得到新的矩形，它们对应的边间距都为1，则新矩形与原矩形相似． 请回答下列问题： （1）你认为上述两个观点是否正确？请说明理由． （2）如图3，已知，AC=6，BC=8，AB=10，将按图3的方式向外扩张，得到，它们对应的边间距都为1，DE=15，求的面积． 12．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）形状相同（即长与宽之比相等）的矩形是相似矩形，已知一个矩形长为，宽为1．    一分为二 （1）如图1，将矩形分割为一个正方形（阴影部分）和小矩形，小矩形恰与原矩形相似，则的值为______． （2）如图2，将矩形分割为两个矩形，使每个小矩形均与原矩形相似，则的值为______． 一分为多 （3）有同学说“无论为何值，该矩形总可以分割为几个小矩形，这几个小矩形都与原矩形相似”，你同意这个说法吗？若同意，在图3中画出一种可行的分割方案；若不同意，举出反例． 一分为三 （4）将矩形分割为三个矩形，使每个小矩形均与原矩形相似．画出所有可能的分割方案的示意图，并在每个示意图下方直接写出对应的的值． 13．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，点F为CE中点，连接、． (1)如图1，当点D在上，点E在上，请写出此时线段、的关系（不用证明）； (2)如图2，在（1）的条件下将绕点A逆时针旋转时，请证明此时（1）中的结论是否仍然成立； (3)如图3，在（1）的条件下将绕点A逆时针旋转时，连接，过点作于点，若，，求此时线段的长． 14．（23-24·山西大同·一模）数学实践课上，老师要求同学们先制作一个透明的菱形塑料板，然后在纸上画一个与透明的菱形相似的菱形．把透明的菱形放在上面记作菱形，它们的锐角顶点A重合，且，连接，． (1)如图1，当边在边所在的射线上，直接写出与的数量关系； (2)如图2，将菱形绕点A按逆时针方向旋转，使点D落在边上，连接和．你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，当时，探究并说明线段和的数量关系和位置关系． 15．（23-24九年级上·全国·专题练习）如图1，矩形ODEF的一边落在矩形ABCO的一边上，并且矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4，矩形ABCO的边AB=4，BC=4． （1）求矩形ODEF的面积； （2）将图1中的矩形ODEF绕点O逆时针旋转一周，连接EC、EA，ACE的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由． 【经典例题四 相似三角形的判定与性质综合】 16．（24-25九年级上·上海·阶段练习）在梯形中，，E在边上且． (1)如左图，若点F在边上，且，连结，求证：； (2)如图，已知，点M在边上，连结、、，与交于点N．若，，，求边的长． 17．（24-25九年级上·河南鹤壁·阶段练习）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察猜想】 （1）如图①所示，在正方形中，点E，F分别是上的两点，连接，，求证：； 【类比探究】 （2）如图（2）所示，在矩形中，，，点E是上的一点，连接，且，则的值为__________； 【拓展延伸】 （3）如图③所示，在四边形中，．点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F．若，，，则的长为__________． 18．（24-25九年级上·吉林长春·期中）（1）如图①，在中，，，易得，则有______ （2）如图②，将图①中绕点A旋转一定的角度，连接和，求证：． （3）如图③，四边形中，，，，，，请在图③中构造图②的模型，直接写出的长______． 19．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）在等腰中，，M为中点，D为平面内一点． (1)如图，D点在边上，连接，若，，求的值； (2)如图，D点在下方，连接，将线段绕点A逆时针旋转线段到，且，连接恰好过点M，若，证明：； (3)如图，已知，D点在边上，连接，动点P在线段上，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接，点N为中点，连接．若，请直接写出线段的最小值为_______． 20．（23-24九年级上·安徽马鞍山·期中）如图，以的边、为直角边，为直角顶点，作和，且，连接和交于点． (1)求证：； (2)若点在平面内运动，，，求的最小值和最大值； (3)连接，若，，求值． 【经典例题五 相似三角形的动点问题】 21．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，，，，D、E分别是、的中点，连接．点P从点D出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点B出发，沿方向匀速运动，速度为，当点P停止运动时，点Q也停止运动，连接，设运动时间为，解答下列问题：    (1)当t为何值时，以点E、P、Q为顶点的三角形与相似？ (2)当t为何值时，为等腰三角形？（直接写出答案即可）； (3)当点Q在B、E之间运动时，是否存在某一时刻t，使得分四边形所成的两部分的面积之比为？若存在，求出此时t的值以及点E到的距离h；若不存在．请说明理由． 22．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在中，，，．动点从点A出发，沿以每秒4个单位长度的速度向终点运动．过点作交边或边于点，且点不与点A、重合，点不与点重合．设线段的中点为，将截得到的小三角形绕点旋转，得到，设点的运动时间为秒． (1)求的长． (2)用含的代数式表示线段的长． (3)当点在边上时，连结，当线段的最小时，求的值． (4)在点运动过程中，当点落在斜边中线上时，直接写出的值． 23．（23-24九年级下·吉林长春·期末）如图，在中，．动点P从点B出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点A运动．作点A关于点P的对称点D，连结与．设点P的运动时间为t秒（）． (1)当点P和点C重合时，线段的长为______； (2)当点P在边上运动时，若为等腰三角形，求t的值； (3)当点P在边上运动时，求周长的最小值，并求出此时t的值； (4)不添加任何辅助线，当图中存在三角形与相似时，直接写出t的值． 24．（23-24·山东青岛·一模）如图，在中，．点E从A出发，沿方向向B匀速运动，速度是；同时，点F从B出发，沿方向向C匀速运动，速度是．将沿折叠，E的对称点为G．设运动时间为（），请回答下列问题： (1)t为何值时， (2)设四边形的面积为，求S关于t的函数关系式； (3)是否存在某一时刻t，使得点G落在线段上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (4)是否存在某一时刻t，使得四边形为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 25．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图1，在中，，点D是上一定点．动点P从C出发，以的速度沿方向运动，动点Q从D出发，以的速度沿方向运动．点P出发后，点Q才开始出发，且当一个点达到B时，另一个点随之停止．图2是当时的面积与点P的运动时间的函数图象． (1)_______，________； (2)当点P在边上时，t为何值时，使得与为相似？ 【经典例题六 相似三角形的应用】 26．（23-24九年级上·浙江温州·期末）根据背景素材，探索解决问题． 测算拉索桥立柱的高 素材1 一条桥身形状和抛物线相同的拉索桥，桥的跨径OH的水平距离为22米，点O和点H处于同一水平线． 素材2 （1）桥的两根主立柱AB和GL拉出铁索固定桥身，两个立柱中间共有10根拉索（如图）；（2）立柱和铁索与桥身的连接点水平等距分布（即相邻的两个连接点的水平距离相等）：（3）经测量拉索AC与水平线CE成角，从左侧第3个拉索连接点D射出的探测光线DP交立柱AB于点P，从连接点C射出的探测光线CB交立柱于点B，且． 问题解决 任务1 建立模型 以点O为原点，水平线为x轴，以1米为一个单位长度，建立直角坐标系，根据素材1求桥身模型的函数解析式． 任务2 利用模型 根据任务1所求的解析式模型，分别求点D、C的坐标． 任务3 分析计算 若点P恰好为OB中点，根据素材2及任务1和任务2得到的函数模型和数据，求立柱AB的高度． 27．（23-24·浙江温州·三模）根据以下素材，探索完成任务． 如何确定拱桥形状？ 问题 背景 图是一座拱桥，其形状与抛物线和圆形相似． 为了定量的确定拱桥形状，九年（8）班数学、科学项目化学习小组联合开展了本次活动．    素材一 小晨认为可以在桥下不同的位置，用卷尺测量水面到桥的垂直距离（记为），进而确定形状． 经过测量，数学组绘制了图，并得到水面宽为，拱顶离水面的距离为4． 的地方测得 素材二 科学组发现在船上使用卷尺十分不便，所以决定使用激光三角测距法测量． 其测量流程如下： 1．在一个底部挖空的圆柱形薯片盒上安装放大镜（焦距），并在一侧的同一高度放置一枚激光笔．另一端盖上瓶盖（半径）； 2．让激光垂直照射拱桥，光线会在拱桥发生漫反射，并经过放大镜光心（即圆心），再在瓶盖上形成一个光斑（记为点）； 3．测量光斑中心到瓶盖中心的距离，根据公式计算得到的值． 注：薯片盒的高度等于焦距． 忽略测量装置与水面的间距和激光发射点到放大镜边缘的距离．    问题解决 任务一 若拱桥呈圆形，且小晨测得，求他到点的距离． 任务二 请在测量示意图（图）中，画出光的传播路径，并直接写出公式的获得原理． 任务三 若小豪在距离点，的地方测得，请在图中建立平面直角坐标系，通过计算判断拱桥是否呈抛物线形． 项目复盘 科学组在实际操作时发现，激光三角测距法相比直接测量的方法有一定的缺点． 请结合生活经验及相关科学知识，写出一条可能造成误差的原因． 28．（23-24·内蒙古鄂尔多斯·二模）阅读以下文字并解答问题：在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的3名同学选择了测量学校里的三棵树的高度，在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作： 小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如1图）． 小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如2图），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米． 小明：测得丙树落在地面上的影长为2.4米，落在坡面上影长为3.2米（如3图）．身高是1.6米的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为2米． （1）在横线上直接填写甲树的高度为______米，乙树的高度为________米﹔ （2）请求出丙树的高度． 29．（2024·陕西咸阳·模拟预测）咸阳奥体中心（图1）的设计理念是“鼎立咸阳”，建筑形体取九鼎之行、将士之甲、高台之意．最终形成绿坡高台、殿堂廊柱、屋面重檐的效果．小军想利用所学知识测量咸阳奥体中心的高度，如图2，他拿着一根长为的木棒站在离咸阳奥体中心的地方（即点到AB的水平距离为）．他把手臂向前伸，木棒竖直，，当木棒两端恰好遮住奥体中心（即E、C、A在一条直线上，E、D、B在一条直线上）时，点E到木棒距离为．已知，求咸阳奥体中心的高度． 30．（23-24九年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在菱形中，，，为正三角形，点分别在菱形的边，上滑动，且点不与点重合，连结，与交于点． (1)的形状为 ； (2)求证：当点在边上滑动时，总有； (3)求四边形周长的最小值； (4)在不添加辅助下的情况下，图中始终与相似的三角形有 个，并直接写出与相似比为时线段的长． 【经典例题七 图形的位似压轴】 31．（23-24·广东佛山·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长与面积的数值相等，则这个点叫做“和谐点”，围成的矩形叫做“和谐矩形”． 如图1，矩形的周长与面积的数值相等，则点 是“和谐点”，矩形是“和谐矩形”．    (1)在图1中画出矩形以点O为位似中心的位似图形，使它与“和谐矩形”的相似比是，并判断点P的对应点是不是“和谐点”； (2)如图2，若点是反比例函数图象上的“和谐点”，请直接写出满足条件的所有M点的坐标；    (3)是否存在一个新的矩形，使它的周长和面积分别是“和谐矩形”周长和面积的一半？若存在，求出它的长和宽；若不存在，请说明理由． 32．（2024·广西钦州·三模）如图，已知在平面直角坐标系中，点、、．请按如下要求画图： (1)将绕点逆时针旋转得到，请画出； (2)以点为位似中心，位似比为，将在位似中心的异侧进行放大得到，请画出； (3)内部一点的坐标为，写出在中的对应点的坐标． 33．（2024·江苏镇江·一模）已知，点在平面直角坐标系中，小明给了一些m的取值，列出了下表： m … 0 1 2 3 … … 0 1 2 … … 2 3 2 … 他在直角坐标系中描出这些点后，猜想点M在以点为顶点的抛物线上． (1)求该抛物线相应的函数表达式，并说明无论m取何实数值，点M都在此抛物线上； (2)设（1）中的抛物线与x轴的交点分别为点B、C（点B在点C的左侧），点D在该抛物线的对称轴上，是以点D为位似中心的位似图形（点A、B、C的对应点分别是点P、Q、M）．若与的相似比是，求m的值． 34．（23-24·江苏南京·模拟预测）在平面内，将一个多边形先绕自身的顶点旋转一个角度，再将旋转后的多边形以点为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为，称这种变换为自旋转位似变换．若顺时针旋转，记作；若逆时针旋转，记作． 例如：如图①，先将绕点逆时针旋转，得到，再将以点为位似中心缩小到原来的，得到，这个变换记作． (1)如图②，经过得到，用尺规作出．（保留作图痕迹） (2)如图③，经过得到，经过得到，连接，．求证：四边形是平行四边形． (3)如图④，在中，，，．若经过（2）中的变换得到的四边形是正方形． Ⅰ．用尺规作出点（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； Ⅱ．直接写出的长． 35．（2024·江苏盐城·一模）已知，点在平面直角坐标系中，小明给了一些m的取值，列出了如表： m … 0 1 … … 0 … … 2 3 2 … 他在直角坐标系中描出这些点后，猜想点M在以点A为顶点的抛物线上． (1)求该抛物线相应的函数表达式，并说明：无论m取何实数值，点M都在此抛物线上； (2)将抛物线向右平移n（）个单位得到新的抛物线，设是新函数的图象与x轴的一个公共点．当时，结合函数的图象，直接写出n的取值范围； (3)设（1）中的抛物线与x轴的交点分别为点B、C（点B在点C的左侧），点D在该抛物线的对称轴上，是以点D为位似中心的位似图形（点A、B、C的对应点分别是点P、Q、M）．若与的相似比是，求m的值． 【经典例题八 相似三角形的模型问题】 36．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）从特殊到一般，联系问题本质，是数学学习的重要方法． (1)如图1，矩形中，，将矩形对折，使得点B、点D重叠，折痕为，过点F作的垂线交于点G，求：的长； (2)如图2，矩形中，点E，F分别在上，点G，H分别在上且，求证：． (3)如图3，四边形中，，点M，N分别在边上，求：的值． 37．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）在正方形中，为边上一动点，将沿折叠，得到，过点作直线，分别交于点． (1)如图①，求证：； (2)如图①，当时，若，求正方形的边长； (3)如图②，延长交边于点，连接交于点，当时，求出的值． 38．（24-25九年级上·四川·阶段练习）（1）发现：如图①所示，在正方形中，点E，F分别是，上的两点，连接，，．求的值． （2）探究：如图②，在矩形中，E为边上一点，且，．将沿翻折到处，延长交边于G点，延长交边于点H，且，求的长． （3）拓展：如图③，在菱形中，，E为边上的一点且，，沿翻折得到，与交于H，且，直线交直线于点P，求的长． 39．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）已知在等腰梯形中，，，，，，P是对角线上的一个动点，且，与射线、射线分别交于点E、点G． (1)如图1，当点E与点D重合时，求的长； (2)如图2，当点E在的延长线上时，设，，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域： (3)当线段时，求的长． 40．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，，点在的角平分线上，于点． (1)【操作判断】 如图①，过点作于点，在图①中画出，则四边形的形状是 ； (2)【问题探究】 如图②，点在线段上，连接P．过点作交射线于点．试猜想之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)【拓展延伸】 点在射线上，连接，过点作交射线于点，射线与射线相交于点，若O，求的值． 【经典例题九 相似三角形的综合】 41．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG． （1）求证：四边形EFDG是菱形； （2）求证EG2＝GF•AF； （3）若AG＝3，EG＝，求BE的长． 42．（23-24·江苏无锡·二模）在矩形ABCD的CD边上取一点E，将沿BE翻折至的位置． （1）如图1，当点F落在矩形ABCD内部时，连接CF并延长，交AD于点G，若，，，则GF的长度为________________； （2）如图2，当点C恰好落在AD边上点F处时，若，且，求BC的长； （3）如图3，当点C恰好落在AD边上点F处时，延长EF，与的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当时，求的值． 43．（23-24·内蒙古赤峰·中考真题）数学课上，有这样一道探究题． 如图，已知中，AB=AC=m，BC=n，，点P为平面内不与点A、C重合的任意一点，将线段CP绕点P顺时针旋转a，得线段PD，E、F分别是CB、CD的中点，设直线AP与直线EF相交所成的较小角为β，探究的值和的度数与m、n、α的关系，请你参与学习小组的探究过程，并完成以下任务： （1）填空： 【问题发现】 小明研究了时，如图1，求出了___________，___________； 小红研究了时，如图2，求出了___________，___________； 【类比探究】 他们又共同研究了α=120°时，如图3，也求出了； 【归纳总结】 最后他们终于共同探究得出规律：__________(用含m、n的式子表示)；___________ (用含α的式子表示)． （2）求出时的值和的度数． 44．（23-24·安徽合肥·一模）如图，AM是ABC的中线，D是线段AM上一点（不与点A重合）．DE∥AB交AC于点F，CE∥AM，连接AE． （1）如图1，当点D与M重合时，求证：AB＝ED； （2）如图2，当点D不与M重合时，请判断四边形ABDE的形状，请说明理由； （3）如图3，延长BD交AC于点H，若BH⊥AC，且BH＝AM．当FH＝，DM＝6时，求DH的长． 45．（23-24·四川乐山·中考真题）在等腰中，，点是边上一点（不与点、重合），连结． （1）如图1，若，点关于直线的对称点为点，结，，则________； （2）若，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结． ①在图2中补全图形； ②探究与的数量关系，并证明； （3）如图3，若，且，试探究、、之间满足的数量关系，并证明． 【经典例题十 相似三角形的新定义问题】 46．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形称为垂等四边形． （1）矩形 垂等四边形（填 “是”或“不是”）； （2）如图1，在正方形中，点、、分别在、、上，四边形是垂等四边形，且，． ①求证：； ②若，求的值； （3）如图2，在中，， 以为对角线，作垂等四边形．过点作的延长线的垂线，垂足为，且与相似，则四边形的面积是 ． 47．（23-24·广东广州·一模）定义新概念、有一组邻边相等，且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形． (1)如图①，等腰直角四边形，，． ①若，于点，求的长； ②若，，求的长； (2)如图②，在矩形中，，点是对角线上的一点，且，过点作直线分别交边，于点，，要使四边形是等腰直角四边形，求的长． 48．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）新定义：若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，则称这个三角形为比例三角形．例如：三边的长分别为，，．因为，所以是比例三角形． 【问题提出】 （1）已知中，，， 判断是否为比例三角形． 【问题探究】 （2）如图1，P是矩形的边上的一动点，平分，交边于点Q，． ①求证：； ②求证：是比例三角形． 【问题延伸】 （3）如图2，在（2）的条件下，当，时，点C与点Q能否重合？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 49．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）定义：我们把有一组邻边相等，并且有一组对角为直角的四边形叫做等补四边形． (1)如图1，在的网格图中，点A，B，C在格点（小正方形的顶点）上，请画出两个符合条件的等补四边形，点也在格点上． (2)如图2，以菱形的一边为边向外作正方形，、分别是菱形和正方形的对角线交点，连结． ①求证：四边形是等补四边形． ②若，求四边形的面积． (3)如图3，在四边形中，，，，点在边上，，点在边上，四边形为等补四边形，现已知，求长度． 50．（23-24九年级下·广西南宁·阶段练习）已知等边，以为斜边向外作，定义为等边的“关联直角三角形”，连接交于点，下面我们来研究与的值有关的问题． (1)如图①，当“关联直角三角形”是等腰直角三角形时，的值为______； (2)如图②，当“关联直角三角形”是含的直角三角形时，求的值； (3)如图③，当“关联直角三角形”是一般的直角三角形时，若，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 图形的相似50道压轴题型专训（10大题型） 【题型目录】 题型一 黄金分割压轴题型 题型二 平行线分线段成比例压轴题 题型三 相似多边形压轴题 题型四 相似三角形的判定与性质综合 题型五 相似三角形的动点问题 题型六 相似三角形的应用 题型七 图形的位似压轴 题型八 相似三角形的模型问题 题型九 相似三角形的综合 题型十 相似三角形的新定义问题 【经典例题一 黄金分割压轴题型】 1．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，锐角中，，是的外接圆，的延长线交边于点． (1)求证：； (2)当是等腰三角形时，求的度数； (3)将、、的面积分别记为、、且，证明：点是线段的黄金分割点． 【答案】(1)证明见解析 (2)是等腰三角形时，为或 (3)证明见解析 【分析】（1）连接并延长交于，利用等腰三角形的性质，垂径定理解答即可； （2）设，则：，，利用分类讨论的思想方法和等腰三角形的性质，三角形的内角和定理解答即可； （3）利用与已知条件得到的关系式，设，解方程求得，利用黄金分割的定义判定即可． 【详解】（1）证明：连接并延长交于，如图， ， ， 过圆心， 垂直平分， 平分， ， ， ， ； （2）解：设， 由（1）知：， ， 若是等腰三角形， ①若， 则， ， ， 在中，， ， 解得， ； ②若，则， ， 在中，， ， ， ； 综上所述，是等腰三角形时，为或； （3）证明：∵、、的面积分别为、、， ， ， ， ， ， ， ， 设， 则， 解得：，（不合题意，舍去）， ． 设中边上的高为， ， 即为与的比例中项， 点是线段的黄金分割点． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，等腰三角形的性质，垂径定理，比例的性质，黄金分割，一元二次方程的解法，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键． 2．（23-24九年级下·全国·专题练习）（1）如图所示，已知点是线段的黄金分割点（），试用一元二次方程的求根公式验证黄金比． （2）如图所示，在（1）的条件下，取线段的黄金分割点（），判断点是否为线段的另一黄金分割点，并说明理由． （3）如图所示，在（2）的条件下，再取线段的黄金分割点（），并且，试用的正整数次幂的形式表示线段，，的长度． （4）已知，试求以下代数式的值（只要求直接写出结果）：　 　． 【答案】（1）； （2）点是线段的另一黄金分割点，理由见解析； （3）线段，，的长度为：，，； （4）． 【分析】（1）设，，则有，由点是线段的黄金分割点，可得，代入数据求解即可； （2）由点 是线段的黄金分割点，可得，由此可求出、的长度，进而求出的值，即可求解； （3）由点是线段的黄金分割点，即可求出、的长度，由点 是线段的黄金分割点，可求出、的长度，由点 是线段的黄金分割点，可求出、的长度； （4）由以上证明可得：，，，…，（为正整数），， ，…， （为正整数）．运用数形结合的思想可将所求代数式转化为：，求出答案即可． 【详解】解：（1）设，，则有， 点是线段的黄金分割点， ， ， ， 整理得：， 解得，（舍去负值）， ， ． （2）点是线段的另一黄金分割点，理由如下： 点 是线段的黄金分割点， ， ， ， ， 点是线段的另一黄金分割点． （3）点是线段的黄金分割点， ， ， ， ， 点 是线段的黄金分割点， ， ， ， 点是线段的黄金分割点， ， ， ， 线段，，的长度为：，，． （4）由以上证明可得以下规律： ，，，…，（为正整数）． ， ，…， （为正整数）． ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了黄金分割，解一元二次方程，比例线段，运用数形结合是解题的关键． 3．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）背景知识：宽与长的比等于（约为0.618）的矩形称为黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界上很多著名建筑，为了取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊帕特农神庙等． （1）如图，经测量，帕特农神庙的面宽约为31米，那么它的高度大约是______米．（结果取整数） 实验操作：折一个黄金矩形 第一步，在矩形纸片的一端利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：如图2，将正方形折成两个相等的矩形，再将其展平； 第三步：折出内侧矩形的对角线，并将折到图3所示的处； 第四步，展平纸片，按照所得的点折出，矩形就是黄金矩形（如图4）． 问题思考： （2）图4中是否还存在其它黄金矩形，请判断并说明理由； （3）以图3中的折痕为边，构造黄金矩形，若，则这个矩形的面积是______（直接写出结果）．    【答案】（1）19；（2）存在，见解析；（3）或 【分析】本题考查黄金分割，掌握黄金矩形的定义，是解题的关键： （1）直接根据黄金矩形的定义，列式计算即可； （2）设，根据题意，易得：，根据黄金分割求出，进而求出，求出的值，即可得出结论； （3）分为黄金矩形的长和黄金矩形的宽，两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）由题意，得：帕特农神庙的高度与面宽的比约为， ∴帕特农神庙的高度； 故答案为：19； （2）存在，理由如下： 设，则：， 由折叠可知 ， ∵矩形就是黄金矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形为黄金矩形； （3）∵，则：， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∵矩形纸片， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当为黄金矩形的长时，则宽为， 则矩形的面积为：； 当为黄金矩形的宽时，则长为， 则矩形的面积为：； 综上：矩形的面积为或． 4．（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）定义：如图1，点、把线段分割成、和，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点、是线段的勾股分割点． (1)已知点、是线段的勾股分割点，，，若，，则______． (2)如图，在等腰直角中，，、为直线上两点，满足． ①如图2，点、在线段上，求证：点、是线段的勾股分割点； ②如图3，若点在线段上，点在线段的延长线上，，，求的长． 【答案】(1) (2)①见详解；② 【分析】（1）根据勾股分割点的定义得，代入计算即可． （2）①将绕点C逆时针旋转得到，连接，，利用证明，得，即可证明结论； ②将绕点C逆时针旋转得到，连接，由①同理可证，得，从而有，将数据代入计算可得． 【详解】（1）解：∵是直角三角形，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （2）①证明：∵，， ∴， 将绕点C逆时针旋转得到，连接，， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点、是线段的勾股分割点； ②将绕点C逆时针旋转得到，连接， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了旋转的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，解题的关键是充分利用旋转的性质得到相等的量． 5．（23-24九年级下·全国·专题练习）如图1，点P将线段分成一条较小线段和一条较大线段，如果，那么称点P为线段的黄金分割点，设，则k就是黄金比，并且． (1)以图1中的为底，为腰得到等腰（如图2），等腰即为黄金三角形，黄金三角形的定义为：满足≈的等腰三角形是黄金三角形；类似地，请你给出黄金矩形的定义：　　； (2)如图1，设，请你说明为什么k约为； (3)由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成面积为和面积为的两部分（设），如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．（如图3），点P是线段的黄金分割点，那么直线是的黄金分割线吗？请说明理由； (4)图3中的的黄金分割线有几条？ 【答案】(1)满足的矩形是黄金矩形 (2)见解析 (3)直线是的黄金分割线，理由见解析 (4)无数条 【分析】（1）仿照题意进行定义即可； （2）（3）根据线段黄金分割点的概念和三角形的面积公式进行分析； （4）根据（2）中的结论，得到这样的直线有无数条． 【详解】（1）解：由题意得，满足的矩形是黄金矩形， 故答案为：满足的矩形是黄金矩形； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得（负值舍去）； （3）解：直线是的黄金分割线，理由如下： ∵点P是线段的黄金分割点， ∴， 设的边上的高为h，则 ， ∴ ∴直线是的黄金分割线． （4）解：由（2）知，在边上也存在这样的黄金分割点Q，则也是黄金分割线，设与交于点W，则过点W的直线均是的黄金分割线，故黄金分割线有无数条． 【点睛】本题主要考查了黄金分割图形，正确理解题意是解题的关键． 【经典例题二 平行线分线段成比例压轴题】 6．（23-24九年级上·浙江·期末）已知：正方形中，为边中点，为边中点，交于，交于，连接． （1）求证：； （2）求的值； 【答案】（1）见解析；（2）6：4：5 【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理即可解决问题； （2）分别求出、、即可解决问题； 【详解】解：（1）证明：四边形是正方形， ，， ， ， ． （2），， ， ， 在中，，， ， ， 同法可得， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 7．（23-24·吉林延边·二模）[感知]如图①，在▱ABCD中，点E为CD的中点，连接BE并延长交AD的延长线于点F．求证：点E是BF的中点，点D是AF的中点； [应用]如图②，在四边形ABCD中，AD//BC，∠BAD＝90°，AB＝4，AD＝3，点E是CD的中点，BE⊥CD，BE、AD的延长线相交于点F，则AF＝　 　． [拓展]如图③，在△ABC中，点D是AC的中点，点E是AB上一点，，BD，CE相交于点F，则＝　 　． 【答案】（1）证明见解析；（2）8；（3）． 【分析】（1）通过证△DEF≌△CEB，然后结合▱ABCD的性质可以得到所证结论成立； （2）与（1）同理可得△DEF≌△CEB，从而有DF=BC，结合已知可以证得四边形DFCB是菱形，所以可得DF=BD，由勾股定理可得BD=5，最后即可得到AF=8； （3）过A作AG∥EC交BD延长线于G，则与（1）同理可得AG=FC，再由平行线分线段成比例可得，最后根据可以得到结论． 【详解】解：（1）证明：∵▱ABCD， ∴AF∥BC，AD=BC， ∴∠F=∠EBC， ∴在△DEF和△CEB中， ∴△DEF≌△CEB， ∴BE=EF，DF=BC=AD， ∴点E是BF的中点，点D是AF的中点； （2）与（1）同理可得△DEF≌△CEB， ∴DF=BC， 又由已知可得DF∥BC， ∴四边形DFCB是平行四边形， ∵BE⊥CD， ∴四边形DFCB是菱形， ∴DF=BD， ∵∠BAD＝90°，AB＝4，AD＝3， ∴BD=5， ∴AF=AD+DF=3+5=8， 故答案为8； （3）如图，过A作AG∥EC交BD延长线于G， 与（1）同理可得△ADG≌△CDF， ∴AG=FC， ∵AG∥EF， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查三角形全等的判定与应用，熟练掌握构造辅助线证三角形全等的方法、三角形全等的判定与性质、平行线分线段成比例定理、及类比的思维方法是解题关键 ． 8．（23-24·上海杨浦·二模）如图，已知在正方形中，对角线与交于点，点在线段上，联结并延长交边于点，点在线段上，且，联结与线段交于点，联结、． （1）如果，求证：四边形是菱形； （2）如果，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）由四边形ABCD是正方形，推出，所以MN∥CD，再根据EN∥BD，推出四边形DMNE是平行四边形，再证明△AOM≌△DON，推出∠OMA=∠OND，由∠OAM+∠OMA=90°，∠OAM+∠OND=90°得出∠AHN=90°，即DN⊥ME，所以四边形DMNE是菱形； （2）由MN∥CD，推出，由四边形ABCD是正方形，推出AB∥DC，AB=DC，∠ADC=90°，即AD⊥DC，根据EN⊥DC，得出EN∥AD，所以，根据AB∥DC，推出，所以，最后得出结论． 【详解】证明：（1）如图1， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴ 又∵， ∴四边形是平行四边形 在和中，∵，，， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴ ∴， ∴平行四边形是菱形 （2）如图2， ∵， ∴ ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴ 【点睛】本题考查了正方形与菱形，熟练运用正方形和菱形的性质是解题的关键． 9．（23-24八年级上·山东青岛·期末）如图①，在平面直角坐标系中，直线交x轴、y轴分别交于点A、B，直线交x轴、y轴分别交于点D、C，交直线于点E，（点E不与点B重合），且， （1）求直线的函数表达式； （2）如图②，连接，过点O作交直线与点F， ①求证： ②直接写出点F的坐标 （3）若点P是直线上一点，点Q是x轴上一点（点Q不与点O重合），当和全等时，直接写出点P的坐标． 【答案】（1）；（2）①证明见解析；②；（3）点P的坐标为、（-8，-3）、． 【分析】（1）先求得A、B的坐标，再根据全等三角形的性质得出C、D的坐标，代入y=kx+b即可求得CD的解析式； （2）①证明△COF≌△AOE（ASA）即可得出OF=OE；②过点F作FG⊥OD．过点E作EH⊥OB，证明△FOG≌△EOH得出GF=HE，OG=OH，再联立两个一次函数即可求得，从而可得F点坐标； （3）分三种情况利用全等三角形的性质和平行线分线段成比例即可确定出点P的坐标． 【详解】解：（1）∵直线交x轴，y轴分别于点A，点B， ∴A（，0），B（0，4）， ∴OA=3，OB=4， ∵ ∴CO=OA=3，OD=OB=4， ∴C（0，3），D（-4，0）， 设直线CD 的解析式为y=kx+b， ∴解得， ∴直线CD 的解析式为：； （2）①由坐标轴知OB⊥OA， 又∵， ∴∠EOF=∠AOB=90°， ∴∠COF=∠AOE， ∵， ∴OA=OC，∠OAB=∠OCD， ∴△COF≌△AOE（ASA）， ∴OF=OE； ②过点F作FG⊥OD．过点E作EH⊥OB， ∴∠FGO=∠EHO， 由①可知△COF≌△AOE， ∴OF=OE, ∠COF=∠AOE， ∴∠FOD=∠EOB， ∴△FOG≌△EOH（AAS） ∴GF=HE，OG=OH, 联立 得， ∴， ∴； （3）根据勾股定理， 如下图， 当△P'Q'D≌△OCD时， ∴DP'=OD=4， 作P'H⊥x轴， ∴P'H∥OC， ∴,即，所以， ∴, 将代入得， ∴点P'坐标； 当△PQD≌△COD时， ∴DQ=OD=4，PQ=OC=3， ∴点P坐标（-8，-3）； 当△P''Q''D≌△OCD时， ∴DP''=OD=4，P''Q''=OC=3， 作P''G⊥x轴，即P''G∥OC， ∴,即，所以， ∴, 将代入得， ∴点P坐标， ∴△DPQ和△DOC全等时，点P的坐标为、（-8，-3）、． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例、一次函数与二元一次方程组．（2）中能正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键；（3）注意分情况讨论，正确作出图形． 10．（23-24·辽宁沈阳·二模）已知：四边形，点在直线上，将沿翻折得到，点的对应点恰好落在直线上，直线交直线于点． （1）如图①，当四边形为矩形时， ①求证：； ②若，，求线段的长； （2）如图②，当四边形为平行四边形时，若，直接写出此时的值． 【答案】（1）①见解析；②；（2）或3 【分析】（1）①欲证明，只要证明． ②想办法求出，，利用勾股定理求解即可． （2）如图②中，延长交的延长线于．设，，则，，，由，推出，可得，，，推出，设，，则，推出，由此即可解决问题．当点E在BC的延长线上时，同法可求． 【详解】解：（1）①证明：如图①中， 四边形是平行四边形， ， ， 由翻折的性质可知，， ， ． ②四边形是矩形， ， ，， ， ， 由翻折的性质可知，， ， ， ， ． （2）如图②中，延长交的延长线于． 设，，则，，， ， ， ，， ，， ， ， 设，，则， ， ， ． 当点E在BC的延长线上时，同法可得， 综上所述，的值为或3． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，平行四边形的性质，翻折变换，勾股定理，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考压轴题． 【经典例题三 相似多边形压轴题】 11．（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）某校九年级数学兴趣小组在探究相似多边形问题时，他们提出了下面两个观点： 观点一：将外面大三角形按图1的方式向内缩小，得到新三角形，它们对应的边间距都为1，则新三角形与原三角形相似． 观点二：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向内缩小，得到新的矩形，它们对应的边间距都为1，则新矩形与原矩形相似． 请回答下列问题： （1）你认为上述两个观点是否正确？请说明理由． （2）如图3，已知，AC=6，BC=8，AB=10，将按图3的方式向外扩张，得到，它们对应的边间距都为1，DE=15，求的面积． 【答案】（1）观点一正确；观点二不正确；理由见解析；（2）54 【分析】（1）根据相似三角形以及相似多边形的判定定理来判定两个观点是否正确； （2）首先根据勾股定理的逆定理求出∠C是直角，根据相似三角形的性质可求出△DEF的边长，进而求出△DEF的面积． 【详解】解：（1）观点一正确；观点二不正确． 理由：①如图（1）连接并延长DA，交FC的延长线于点O， ∵△ABC和△DEF对应的边的距离都为1， ∴AB//DE，AC//DF， ∴∠FDO＝∠CAO，∠ODE＝∠OAB， ∴∠FDO+∠ODE＝∠CAO+∠OAB， 即∠FDE＝∠CAB，同理∠DEF＝∠ABC， ∴△ABC∽△DEF， ∴观点一正确； ②如图（2）由题意可知，原矩形的邻边为6和10， 则新矩形邻边为4和8， ∵，， ∴， ∴新矩形于原矩形不相似， ∴观点二不正确； （2）∵AC＝6，BC＝8，AB＝10， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠ACB=90°， 由（1）知△ABC∽△DEF， ∴∠DFE=90°，， ∴，， ∴DF＝9，EF＝12， ∴△DEF的面积为：9×12＝54． 【点睛】本题主要考查了相似形的综合题，矩形的性质，平行线的判定，主要涉及到相似三角形以及相似多边形的判定，熟练应用相似三角形的判定与性质是解题关键． 12．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）形状相同（即长与宽之比相等）的矩形是相似矩形，已知一个矩形长为，宽为1．    一分为二 （1）如图1，将矩形分割为一个正方形（阴影部分）和小矩形，小矩形恰与原矩形相似，则的值为______． （2）如图2，将矩形分割为两个矩形，使每个小矩形均与原矩形相似，则的值为______． 一分为多 （3）有同学说“无论为何值，该矩形总可以分割为几个小矩形，这几个小矩形都与原矩形相似”，你同意这个说法吗？若同意，在图3中画出一种可行的分割方案；若不同意，举出反例． 一分为三 （4）将矩形分割为三个矩形，使每个小矩形均与原矩形相似．画出所有可能的分割方案的示意图，并在每个示意图下方直接写出对应的的值． 【答案】（1）；（2）；（3）同意，见解析；（4）见详解 【分析】（1）先求得小长方形的长和宽，再根据小矩形与原矩形长宽比相等列方程求解即可； （2）由小矩形的长以及长宽比求得小矩形的宽，再根据两个小矩形的宽之和为a列方程求解即可； （3）通过连接矩形的四条边的中点可将矩形分为4个一样的小矩形，再求小矩形的长宽比便可验证； （4）分四种情况：①沿原矩形的长3等分为三个矩形，②先将矩形分割为两个小矩形，再将右边矩形两等分使宽都为，③先将矩形分割为两个小矩形，再将右边矩形两等分使长都为，④先将矩形分割为两个小矩形，再将右边矩形分割为两个小矩形使两个矩形的长与宽的和为1；根据相似矩形的长宽比，利用原矩形的长和宽建立方程求解即可； 【详解】解：（1）由图可知阴影正方形的边长为1， ∴小长方形的宽为，长为1， ∵小矩形与原矩形相似， ∴， ∴， 解得：或（边长不能为负舍去）， ∴； （2）∵两小矩形的长都为1，且与原矩形的长宽比相同， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； （3）同意，如下图连接矩形的四条边的中点，将矩形分为4个小矩形，    四个小矩形的长和宽都为和，长宽比为与原矩形长宽比相同； （4）共有四种情况： ①如下图沿原矩形的长3等分，    小矩形和原矩形的长宽比都为a， 小矩形的长为1，则宽为， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； ②如下图先将矩形分割为两个小矩形，再将右边矩形两等分使宽都为，    根据原矩形的长宽比可得： 左边矩形的宽为，右边矩形的长为， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； ③如下图先将矩形分割为两个小矩形，再将右边矩形两等分使长都为，    根据原矩形的长宽比可得： 左边矩形的宽为，右边矩形的宽为， ∴∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； ④如下图先将矩形分割为两个小矩形，再将右边矩形分割为两个小矩形使两个矩形的长与宽的和为1，    根据原矩形的长宽比可得： 左边矩形的宽为， ∴右边两矩形的宽和长为， ∴右上矩形的长为，右下矩形的宽为， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了相似矩形，一元二次方程，分情况要按照先一分为二，再将其中一个一分为二的思路来讨论． 13．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，点F为CE中点，连接、． (1)如图1，当点D在上，点E在上，请写出此时线段、的关系（不用证明）； (2)如图2，在（1）的条件下将绕点A逆时针旋转时，请证明此时（1）中的结论是否仍然成立； (3)如图3，在（1）的条件下将绕点A逆时针旋转时，连接，过点作于点，若，，求此时线段的长． 【答案】(1)，，理由见解析 (2)（1）中的结论仍然成立，理由见解析 (3) 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质和判定，关键是辅助线“倍长中线”的运用． （1）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知，根据，，得到，． （2）过点C作，交的延长线于M，连接，，易得，，可证明，可得，，即是等腰直角三角形，且，则结论成立 （3）连接并延长交的延长线于M，连接，，易得，，可证明，可得，，即是等腰直角三角形， 且，可得是等腰直角三角形，且，则，作，根据勾股定理依次可得，，长度，则的长度也求出了． 【详解】（1）解：，． 理由如下：如图1， ，F是的中点， ，， ， 和是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：（1）中的结论仍然成立． 如图2： 过点C作，交的延长线于M，连接、， ， ∴，， 是的中点， ， , ，， 和是等腰直角三角形 ，， ，， ， ，且， ， ，， ， 且， 是等腰直角三角形， 又， ，， （3）如图3 延长，交于M，连接、， 和是等腰直角三角形， ，，， ， , ， 是中点， ， , ， ， ，且， ， ，， ， ， 且， 是等腰直角三角形， 又， ，， 是等腰直角三角形 又， ， 作交的延长线于N， ， 且， ， ， ， ， 在中， ， ． 14．（23-24·山西大同·一模）数学实践课上，老师要求同学们先制作一个透明的菱形塑料板，然后在纸上画一个与透明的菱形相似的菱形．把透明的菱形放在上面记作菱形，它们的锐角顶点A重合，且，连接，． (1)如图1，当边在边所在的射线上，直接写出与的数量关系； (2)如图2，将菱形绕点A按逆时针方向旋转，使点D落在边上，连接和．你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，当时，探究并说明线段和的数量关系和位置关系． 【答案】(1) (2)仍然成立，理由见解析 (3)， 【分析】（1）证明，从而得出； （2）由得出，进而证明，从而得出； （3）由（2）得，从而得出，，进一步求得位置关系． 【详解】（1）解：∵菱形相似于菱形， ∴， ∵四边形是菱形，四边形是菱形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：仍然成立，理由如下： 由（1）得：，，， ∴ 即， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：数量关系是：，位置关系是：，理由如下： 延长，，交于点H，如图， 由（2）得：， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查了菱形和正方形性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型． 15．（23-24九年级上·全国·专题练习）如图1，矩形ODEF的一边落在矩形ABCO的一边上，并且矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4，矩形ABCO的边AB=4，BC=4． （1）求矩形ODEF的面积； （2）将图1中的矩形ODEF绕点O逆时针旋转一周，连接EC、EA，ACE的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，最大值，最小值 【分析】（1）根据相似多边形面积的比等于相似比的平方求解即可； （2）旋转一周，点E的轨迹是以点O为圆心以2为半径的圆，所以△ACE的AC边上的高就是点E到AC的距离，也就是AC到圆上的点的距离，又最大值和最小值，最大值为点O到AC的距离与圆的半径的和，最小值为点O到AC的距离与圆的半径的差，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：（1）∵矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4， ∴S矩形ODEF=S矩形ABCO=×4×4=； （2）存在． ∵OE=， 所以点E的轨迹为以点O为圆心，以2为半径的圆， 设点O到AC的距离为h， AC=， ∴8h=4×4， 解得h=2， ∴当点E到AC的距离为2+2时，△ACE的面积有最大值， 当点E到AC的距离为2-2时，△ACE的面积有最小值， S最大=， S最小=． 【点睛】本题主要考查了相似多边形的性质，矩形的性质，勾股定理，圆上的点到直线的距离的取值范围，理解AC边上的高的最大值为点O到AC的距离与圆的半径的和是解本题的关键． 【经典例题四 相似三角形的判定与性质综合】 16．（24-25九年级上·上海·阶段练习）在梯形中，，E在边上且． (1)如左图，若点F在边上，且，连结，求证：； (2)如图，已知，点M在边上，连结、、，与交于点N．若，，，求边的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）添加辅助线，转移比例线段，得到，从而证出； （2）首先将条件转化成线段和角度关系，由，很容易找到，再根据这个相似结论证出，多组相似转化，再利用勾股定理建立方程，求出未知数． 【详解】（1）证明：延长和交于点， ∵， ∴， ， ，， ，， ，即， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：延长，交于点，过点作，垂足为点． ∵， ， ， ∵， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由，得，， ， ， ， ， 设，则， ∵， ，， ， ， ， 设，则， ，， ， ，即， ，解得， ， 由勾股定理可得：， ， 解得， ， ， 在中，由勾股定理可得，， ， ． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定即勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键． 17．（24-25九年级上·河南鹤壁·阶段练习）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察猜想】 （1）如图①所示，在正方形中，点E，F分别是上的两点，连接，，求证：； 【类比探究】 （2）如图（2）所示，在矩形中，，，点E是上的一点，连接，且，则的值为__________； 【拓展延伸】 （3）如图③所示，在四边形中，．点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F．若，，，则的长为__________． 【答案】（1）详见解析（2）（3） 【分析】（1）设与的交点为G，利用证明，得； （2）利用两个角相等证明，得； （3）过点C作交的延长线于点H，可得四边形为矩形，再证明，得，利用已知条件即可求出的长，然后利用勾股定理求出的长，进而即可得解． 【详解】（1）设与的交点为G， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）如图2，设与交于点G， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）如图3，过点C作交的延长线于点H， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质和勾股定理等知识点，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． 18．（24-25九年级上·吉林长春·期中）（1）如图①，在中，，，易得，则有______ （2）如图②，将图①中绕点A旋转一定的角度，连接和，求证：． （3）如图③，四边形中，，，，，，请在图③中构造图②的模型，直接写出的长______． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据平行线的性质可得，，即可得出，再求出对应边的比，即可得出相似比； （2）根据得出，，进而得出，，即可求证； （3）过点作，作，连接，证明，得出比例线段，证明，得出比例线段，由勾股定理可求，的长，即可求的长． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴； ∴ 故答案为：； （2）证明：由（1）得， ∴，， ∴， ∴，， ∴； （3）解：如图，过点作，作，连接， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键． 19．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）在等腰中，，M为中点，D为平面内一点． (1)如图，D点在边上，连接，若，，求的值； (2)如图，D点在下方，连接，将线段绕点A逆时针旋转线段到，且，连接恰好过点M，若，证明：； (3)如图，已知，D点在边上，连接，动点P在线段上，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接，点N为中点，连接．若，请直接写出线段的最小值为_______． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据三角形外角关系得出，由得，运用证明，得，进一步可得出的值； （2）在线段上截取，连接，证明，根据全等三角形的性质得，由可推出，则，再证明，可得，证明，得出，即可得出结论； （3）取的中点T，连接．首先推出点N的运动轨迹是射线，推出当时，的值最小，再想办法求出可得结论． 【详解】（1）解：∵ ∴ 又 ∴ ∵ ∴， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）证明：在线段上截取，连接， ∵将绕点A逆时针旋转到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵M为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图3中，取的中点T，连接． 在中，， ∴， ∴， ∵都是等腰直角三角形，T为的中点，点N为中点， ∴都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴点N的运动轨迹是射线， ∴当时，的值最小， 连接，延长交于点J，作于点W，于点R，于点K． ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形或全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 20．（23-24九年级上·安徽马鞍山·期中）如图，以的边、为直角边，为直角顶点，作和，且，连接和交于点． (1)求证：； (2)若点在平面内运动，，，求的最小值和最大值； (3)连接，若，，求值． 【答案】(1)见解析 (2)的最小值为，最大值为 (3) 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，点与圆的位置关系； （1）根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理可得，即，进而根据，可得； （2）根据得出，当取得最值时，取得最值，根据题意可得在以为圆心为半径的圆上运动，当在的延长线上时，最大，当在线段上时，最小，进而求得的最值，即可求解； （3）根据相似三角形的性质以及已知条件得出，进而根据勾股定理可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵和，且， ∴， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， （2）解：由（1）可得 ∴，即， ∴当取得最值时，取得最值， ∵点在平面内运动，，则在以为圆心，为半径的圆上运动，则在以为圆心为半径的圆上运动， ∴当在的延长线上时，最大，当在线段上时，最小， ∵，，， ∴，， ∴最大为，的最小值为 ∴的最小值为，最大值为 （3）解：∵ ∴, ∵， ∴ ∴ ∴， ∴ ∵， 在和， ∴ 【经典例题五 相似三角形的动点问题】 21．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，，，，D、E分别是、的中点，连接．点P从点D出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点B出发，沿方向匀速运动，速度为，当点P停止运动时，点Q也停止运动，连接，设运动时间为，解答下列问题：    (1)当t为何值时，以点E、P、Q为顶点的三角形与相似？ (2)当t为何值时，为等腰三角形？（直接写出答案即可）； (3)当点Q在B、E之间运动时，是否存在某一时刻t，使得分四边形所成的两部分的面积之比为？若存在，求出此时t的值以及点E到的距离h；若不存在．请说明理由． 【答案】(1)当为或时，以点、、为顶点的三角形与相似 (2)或3或或秒时，是等腰三角形 (3)的值为， 【分析】（1）如图①所示，当时，是直角三角形．解决问题的要点是将的三边长、、用时间表示，这需要利用相似三角形比例线段关系； （2）分三种情形讨论，如图3中，当点在线段上时，；如图4中，当点在线段上时，；如图5中，当点在线段上时，；如图6中，当点在线段上时，．分别列出方程即可解决问题． （3）本问要点是根据题意，列出一元二次方程并求解．假设存在时刻，使，则此时，由此可列出一元二次方程，解方程即求得时刻；点到的距离利用的面积公式得到． 【详解】（1）解：如图1中，    在中，，， ． 、分别是、的中点． ∴，，且， ①时， ，， ∴， ∴， 由题意得：，， 即， 解得； ②如图2中，当时，，   ， ， ， 当为或时，以点、、为顶点的三角形与相似． （2）解：如图3中，当点在线段上时，由，可得，． 如图4中，当点在线段上时，由，可得，解得． 如图5中，当点在线段上时，由，过点Q作于G， ∴，， ∴，即， 解得． 如图6中，当点在线段上时，由，过点P作于M， ∴，， ∴，即， 解得． 综上所述，或3或或秒时，是等腰三角形．    （3）解：假设存在时刻，使， 则此时，如图，作于．    ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ， 即， 解得，（舍去）． 当时， ，， ，， ． ， ． 此时的值为，． 【点睛】本题是动点型综合题，解题关键是掌握动点运动过程中的图形形状、图形面积的表示方法．所考查的知识点涉及到勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理、解方程（包括一元一次方程和一元二次方程）等，有一定的难度．注意题中求时刻的方法：最终都是转化为一元一次方程或一元二次方程求解，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 22．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在中，，，．动点从点A出发，沿以每秒4个单位长度的速度向终点运动．过点作交边或边于点，且点不与点A、重合，点不与点重合．设线段的中点为，将截得到的小三角形绕点旋转，得到，设点的运动时间为秒． (1)求的长． (2)用含的代数式表示线段的长． (3)当点在边上时，连结，当线段的最小时，求的值． (4)在点运动过程中，当点落在斜边中线上时，直接写出的值． 【答案】(1)3 (2)或 (3) (4) 【分析】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）直接由勾股定理求解即可； （2）分两种情况：当点Q在上时，，当点Q在上时，，分别求长即可； （3）过点M作于N，求得，，由勾股定理得，利用二次函数最值，求得当时 ， 有最小值，有最小值． （4）设斜边的中线为，则，根据，得，即，求出t值即可． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴． （2）解：当点Q在上时， ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． 当点Q在上时， 同理可得：， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 综上，线段的长为：或． （3）解：过点M作于N，如图， 由旋转可得：． ∵， ∴四边形为矩形 ∴．， ∴． 由（2）知：， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴当时，有最小值，有最小值． （4）解：设斜边的中线为． ∴． 由旋转可知：四边形为平行四边形， ∴，． 当点落在上， ， ∴． 由（2）知：， ∴． ∴． ∴当点落在斜边中线上时t的值为． 23．（23-24九年级下·吉林长春·期末）如图，在中，．动点P从点B出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点A运动．作点A关于点P的对称点D，连结与．设点P的运动时间为t秒（）． (1)当点P和点C重合时，线段的长为______； (2)当点P在边上运动时，若为等腰三角形，求t的值； (3)当点P在边上运动时，求周长的最小值，并求出此时t的值； (4)不添加任何辅助线，当图中存在三角形与相似时，直接写出t的值． 【答案】(1)5 (2)t的值为或 (3) (4)当图中存在三角形与相似时， t的值为或3或 【分析】（1）利用勾股定理和线段的垂直平分线的性质解答即可； （2）利用分类讨论的思想方法分三种情况讨论解答，当时，当时，当时，进而得到关于t的方程，解方程即可； （3）延长至，使，取的中点M，连接交于点P，此时周长的最小，利用三角形的中位线的性质得到周长的最小值； （4）利用分类讨论的方法和相似三角形的判定与性质解答即可． 【详解】（1）∵ ∴ 当点P和点C重合时 ∵，点A关于点P的对称点D， ∴ ∴垂直平分 ∴ （2）当时，如图， ∵ ∴ 由题意得： ∴， ∵ ∴，解得：； 当时，如图， 由题意得：，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴，此方程无解； ∴不存在； 当时，如图， 由题意得：， ∴ ∵ ∴，解得： 综上，为等腰三角形时，t的值为或 （3）延长至，使，取的中点M，连接交于点P，此时周长的最小 ∵垂直平分 ∴ ∵ ∴ ∵， ∴为的中位线 ∴ ∴周长的最小值 过点M作 ∵ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴周长的最小值 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵动点P从点B出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点A运动， ∴ （4）当点P为的中点时， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴时满足存在三角形与相似； 当点P与点重合时 ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴时满足存在三角形与相似； 当点P与点重合时 如果 ∴，即 由题意得：， ∴ ∴ ∵，解得：（不符合题意得舍去） 综上：当图中存在三角形与相似时， t的值为或3或 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，分类讨论的思想方法，等腰三角形的性质，本题是动点问题，利用的代数式表示出相应线段的长度是解题的关键． 24．（23-24·山东青岛·一模）如图，在中，．点E从A出发，沿方向向B匀速运动，速度是；同时，点F从B出发，沿方向向C匀速运动，速度是．将沿折叠，E的对称点为G．设运动时间为（），请回答下列问题： (1)t为何值时， (2)设四边形的面积为，求S关于t的函数关系式； (3)是否存在某一时刻t，使得点G落在线段上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (4)是否存在某一时刻t，使得四边形为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)t为时，； (2)S关于t的函数关系式为； (3)存在某一时刻t，使得点G落在线段上，此时； (4)不存在时刻t，使得四边形为菱形，理由见解析． 【分析】（1）利用勾股定理求得，利用折叠的性质表示出线段列出关于t的方程即可求得结论； （2）过点F作于点H，利用相似三角形的判定与性质求得线段，利用三角形的面积公式和中点的性质计算即可得出结论； （3）利用折叠的性质和角平分线的性质定理列出关于t的方程，即可得出结论； （4）利用反证法解答，假设四边形为菱形，则，过点E作于点M，利用相似三角形的判定与性质求得线段，在中，利用勾股定理列出关于t的方程，解方程可得，原方程无解，则结论可得． 【详解】（1）． 由题意得：，， ∴. ∵， ∴， 解得． 当t为时，； （2）过点F作于点H，如图， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 由题意：， ∴． ∵ ∴． ∴S关于t的函数关系式为； （3）存在某一时刻t，使得点G落在线段上，理由： 由题意：， ∵点G落在线段上， ∴. 由（2）知， ∴， 即， 解得. ∴存在某一时刻t，使得点G落在线段上，此时； （4）不存在时刻t，使得四边形为菱形，理由： 若四边形为菱形， ∴， 过点E作于点M，如图， ∵ ∴ ∴， 即， ∴， ∴． ∵， ∴， 整理得：， ∵Δ， ∴此方程无解， ∴不存在时刻t，使得四边形为菱形． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，本题是动点问题，利用已知条件用t的代数式 表示出相应线段的长度是解题的关键. 25．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图1，在中，，点D是上一定点．动点P从C出发，以的速度沿方向运动，动点Q从D出发，以的速度沿方向运动．点P出发后，点Q才开始出发，且当一个点达到B时，另一个点随之停止．图2是当时的面积与点P的运动时间的函数图象． (1)_______，________； (2)当点P在边上时，t为何值时，使得与为相似？ 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了相似的综合题：熟练掌握相似三角形的判定与性质；会从函数图象中获取信息；会根据勾股定理和相似比进行几何计算；提高运用分类讨论的思想解决数学问题的能力． （1）根据函数图象得到当点运动到点时，的面积为18，利用三角形面积公式可计算出，则，当时，，点在点，作于，在中根据勾股定理计算出，再证明，利用相似比计算出，然后根据三角形面积公式得到，即； （2）分类讨论：当，点在点，，若得到，利用相似比得值；当，，当时，，利用相似比得值；当时，，利用相似比得值； 【详解】（1）解：当点运动到点时，的面积为18， ∴， 解得， ， 当时，，点在点，点在上，如图1，作于， 在中，， ， ∵， ， ∴，即， 解得， ∴， 即； 故答案为：； （2）解：点在边上， 当，点在点，， 若， ∴，即， 解得； 当，则， 当时，，如图2， ∵， ∴，即，解得，不合题意舍去； 当时，，如图3， ∵， ∴，即， 解得， 综上所述，当为或时，与为相似． 【经典例题六 相似三角形的应用】 26．（23-24九年级上·浙江温州·期末）根据背景素材，探索解决问题． 测算拉索桥立柱的高 素材1 一条桥身形状和抛物线相同的拉索桥，桥的跨径OH的水平距离为22米，点O和点H处于同一水平线． 素材2 （1）桥的两根主立柱AB和GL拉出铁索固定桥身，两个立柱中间共有10根拉索（如图）；（2）立柱和铁索与桥身的连接点水平等距分布（即相邻的两个连接点的水平距离相等）：（3）经测量拉索AC与水平线CE成角，从左侧第3个拉索连接点D射出的探测光线DP交立柱AB于点P，从连接点C射出的探测光线CB交立柱于点B，且． 问题解决 任务1 建立模型 以点O为原点，水平线为x轴，以1米为一个单位长度，建立直角坐标系，根据素材1求桥身模型的函数解析式． 任务2 利用模型 根据任务1所求的解析式模型，分别求点D、C的坐标． 任务3 分析计算 若点P恰好为OB中点，根据素材2及任务1和任务2得到的函数模型和数据，求立柱AB的高度． 【答案】；；16米． 【分析】本题考查了二次函数的性质及用待定系数法求二次函数的表达式，求图像上点的坐标，及相似三角形的性质和判定的应用，综合性强，数形结合，适当添加辅助线是正确解决本题的关键. （1）用待定系数法即可求出； （2）先求出两点的横坐标，再代入所求的二次函数表达式即可求出纵坐标从而得两点坐标； （3）利用相似三角形的性质和判定及等腰三角形的判定即可求出． 【详解】解：如图所示， ∵抛物线经过点和， ∴由题意可知，抛物线的对称轴为直线， 设， 将代入，得， ， ； （2）由题意可知，线段被平均分成11条等长的线段，每段长米， 可设， 当时，， 当时，， ， （3）设与轴交于点M，作轴于N， 可得， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：16米． 27．（23-24·浙江温州·三模）根据以下素材，探索完成任务． 如何确定拱桥形状？ 问题 背景 图是一座拱桥，其形状与抛物线和圆形相似． 为了定量的确定拱桥形状，九年（8）班数学、科学项目化学习小组联合开展了本次活动．    素材一 小晨认为可以在桥下不同的位置，用卷尺测量水面到桥的垂直距离（记为），进而确定形状． 经过测量，数学组绘制了图，并得到水面宽为，拱顶离水面的距离为4． 的地方测得 素材二 科学组发现在船上使用卷尺十分不便，所以决定使用激光三角测距法测量． 其测量流程如下： 1．在一个底部挖空的圆柱形薯片盒上安装放大镜（焦距），并在一侧的同一高度放置一枚激光笔．另一端盖上瓶盖（半径）； 2．让激光垂直照射拱桥，光线会在拱桥发生漫反射，并经过放大镜光心（即圆心），再在瓶盖上形成一个光斑（记为点）； 3．测量光斑中心到瓶盖中心的距离，根据公式计算得到的值． 注：薯片盒的高度等于焦距． 忽略测量装置与水面的间距和激光发射点到放大镜边缘的距离．    问题解决 任务一 若拱桥呈圆形，且小晨测得，求他到点的距离． 任务二 请在测量示意图（图）中，画出光的传播路径，并直接写出公式的获得原理． 任务三 若小豪在距离点，的地方测得，请在图中建立平面直角坐标系，通过计算判断拱桥是否呈抛物线形． 项目复盘 科学组在实际操作时发现，激光三角测距法相比直接测量的方法有一定的缺点． 请结合生活经验及相关科学知识，写出一条可能造成误差的原因． 【答案】任务一：小晨到点的距离为；任务二：画图见解析，证明见解析；任务三：画图见解析，拱桥是否呈抛物线形，计算说明见解析；项目复盘：误差的原因，激光不一定垂直于水平面 【分析】任务一：根据素材一可得，如图所示，设点为圆心，，过点作交于点，连接交于点，连接，设，则，在中，，根据勾股定理求得，在中，，进而即可求解． 任务二：根据题意画出图形，根据相似三角形的性质与判定即可求解； 任务三：根据题意求得抛物线解析式，进而根据公式求得点是否在抛物线上，即可求解． 【详解】解：任务一：如图所示，根据素材一可得，如图所示，设点为圆心，，过点作交于点，连接交于点，连接，      设，则， 在中， 即， 解得：， 即， ∴， 在中， 即 解得： 即 ∴小晨到点的距离为； 任务二：如图所示，    ∵， ∴，， ∴ ∴ 依题意，,,， ∴ ∴ 任务三：如图所示，以点为原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示， ∵ ∴,,, 设抛物线解析式为 将点代入得， 解得：； ∴抛物线解析式为 依题意，， ∴， ∴， 当时， ∴点在抛物线上 即拱桥是否呈抛物线形． 项目复盘：可能造成误差的原因，例如激光不一定垂直于水平面， 【点睛】本题考查了垂径定理的应用，二次函数的实际应用，相似三角形的实际应用，综合运用以上知识是解题的关键． 28．（23-24·内蒙古鄂尔多斯·二模）阅读以下文字并解答问题：在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的3名同学选择了测量学校里的三棵树的高度，在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作： 小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如1图）． 小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如2图），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米． 小明：测得丙树落在地面上的影长为2.4米，落在坡面上影长为3.2米（如3图）．身高是1.6米的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为2米． （1）在横线上直接填写甲树的高度为______米，乙树的高度为________米﹔ （2）请求出丙树的高度． 【答案】（1）5.1，4.2；（2）丙树的高为5.56米 【分析】(1)如下图1，根据测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，利用相似三角形的比例式直接得出甲树高，接着如下图2先利用，求出的长，接着利用，可得出乙树的高； (2)如下图3，先通过求出FG的长，然后通过求出FH的长，最后通过可求出丙树的高． 【详解】解：（1）如图1，假设线段AB是甲树，线段CD是竹竿， 线段BE和线段CE分别为甲树和竹竿的影子， 米， 故甲树的高为5.1米； 如图2，假设线段是乙树，线段为乙树在墙壁上的影长， 线段为乙树落在地面上的影长， 与图1中的相似， 又， 故乙树的高为4.2米； 故答案为：5.1，4.2； （2）如图3，假设线段是丙树，线段为丙树落在地面上的影长， 线段为丙树落在坡面上影长，为小明，为小明落在坡面上影长， 则=2.4米，=3.2米，=1.6米，=2米， 又与图1中的相似， 又 故丙树的高为5.56米． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，有一定难度和综合性，根据同一时刻影长与高成比例以及假设没有墙或台阶时求出影长是解决问题的关键． 29．（2024·陕西咸阳·模拟预测）咸阳奥体中心（图1）的设计理念是“鼎立咸阳”，建筑形体取九鼎之行、将士之甲、高台之意．最终形成绿坡高台、殿堂廊柱、屋面重檐的效果．小军想利用所学知识测量咸阳奥体中心的高度，如图2，他拿着一根长为的木棒站在离咸阳奥体中心的地方（即点到AB的水平距离为）．他把手臂向前伸，木棒竖直，，当木棒两端恰好遮住奥体中心（即E、C、A在一条直线上，E、D、B在一条直线上）时，点E到木棒距离为．已知，求咸阳奥体中心的高度． 【答案】咸阳奥体中心的高度为50． 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作，垂足为，延长交于点，利用平行线的性质可得，，从而可得，最后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为，延长交于点， ， ， 由题意得：，，， ， ，， ， ， ， 解得：， 善咸阳奥体中心的高度为50． 30．（23-24九年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在菱形中，，，为正三角形，点分别在菱形的边，上滑动，且点不与点重合，连结，与交于点． (1)的形状为 ； (2)求证：当点在边上滑动时，总有； (3)求四边形周长的最小值； (4)在不添加辅助下的情况下，图中始终与相似的三角形有 个，并直接写出与相似比为时线段的长． 【答案】(1)等边三角形 (2)证明见解析 (3)四边形周长的最小值为 (4)；， 【分析】本题考查菱形，全等三角形，等边三角形，相似三角形等知识，解题的关键是掌握菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，即可． （1）根据等边三角形的判定，即可； （2）根据全等三角形的判定和性质，即可； （3）根据全等三角形的性质，则，，得到四边形周长为：，根据，则当时，四边形周长值最小，根据菱形的性质，勾股定理的运用，即可； （4）根据相似三角形的判定和性质，即可． 【详解】（1）∵四边形是菱形， ∴， ∵是对角线， ∴， ∴是等边三角形． （2）∵是等边三角形， ∴，， ∵是正三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴． （3）∵， ∴，， ∴四边形周长为： ∵ ∴当时，四边形周长值最小， 四边形是菱形 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴四边形周长为：． （4）∵，， ∴； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ∴图中始终与相似的三角形有个； 当与的相似比为， ∴， ∵， ∴， ∴； 过点作交于点， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 当且相似比为， ∴， 设， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 解得：，（舍）， ∴， ∴． 【经典例题七 图形的位似压轴】 31．（23-24·广东佛山·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长与面积的数值相等，则这个点叫做“和谐点”，围成的矩形叫做“和谐矩形”． 如图1，矩形的周长与面积的数值相等，则点 是“和谐点”，矩形是“和谐矩形”．    (1)在图1中画出矩形以点O为位似中心的位似图形，使它与“和谐矩形”的相似比是，并判断点P的对应点是不是“和谐点”； (2)如图2，若点是反比例函数图象上的“和谐点”，请直接写出满足条件的所有M点的坐标；    (3)是否存在一个新的矩形，使它的周长和面积分别是“和谐矩形”周长和面积的一半？若存在，求出它的长和宽；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点不是“和谐点” (2)所有M点的坐标为、、、 (3)不存在，理由见解析 【分析】本题是一道新定义型代数几何综合题，考查反比例函数图象的性质、位似图形性质，矩形性质，平面直角坐标系中图形面积的求法，理解新定义是解题的关键． （1）画出位似图形，再根据和谐点的定义，利用矩形的面积和周长公式进行证明即可； （2）利用和谐点的定义列出关于x，y的方程组，由此可以求得M点坐标． （3）假设存在，根据定义列方程求解． 【详解】（1）如图1，四边形为所求．  P的对应点不是“和谐点”．    由题意得，点的坐标为， ∵，， ， ∴点不是“和谐点” （2）若点是反比例函数图象上的“和谐点”， 依题意得： ∴， 解得：，，，， 所有M点的坐标为：、、、， （3）不存在． 假设存在，不妨设新矩形长为x， 则宽为， 依题意有 ∵，此方程无实数根． ∴不存在． 32．（2024·广西钦州·三模）如图，已知在平面直角坐标系中，点、、．请按如下要求画图： (1)将绕点逆时针旋转得到，请画出； (2)以点为位似中心，位似比为，将在位似中心的异侧进行放大得到，请画出； (3)内部一点的坐标为，写出在中的对应点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了利用位似变换作图，利用旋转变换作图，旋转的性质； （1）根据网格结构找出点绕点逆时针旋转的对应点的位置，然后顺次连接即可； （2）根据位似的性质，找到，顺次连接，即可求解； （3）根据旋转的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求 （2）解：如图所示，即为所求 （3）解：如图所示， 过点分别作轴的垂线，垂足分别为， ∴ ∵ ∴， ∵， ∴ 又 ∴ ∴ 当，时，在第四象限，在第一象限， ∴ 当时，在第一象限，在第二象限， ∴， 综上所述， 33．（2024·江苏镇江·一模）已知，点在平面直角坐标系中，小明给了一些m的取值，列出了下表： m … 0 1 2 3 … … 0 1 2 … … 2 3 2 … 他在直角坐标系中描出这些点后，猜想点M在以点为顶点的抛物线上． (1)求该抛物线相应的函数表达式，并说明无论m取何实数值，点M都在此抛物线上； (2)设（1）中的抛物线与x轴的交点分别为点B、C（点B在点C的左侧），点D在该抛物线的对称轴上，是以点D为位似中心的位似图形（点A、B、C的对应点分别是点P、Q、M）．若与的相似比是，求m的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设抛物线的解析式为，代入点，求出a的值，再令，整理可得，即可证明； （2）先求出点B和点C的坐标，可证明是等边三角形，可知点D、P在抛物线的对称轴上，根据位似图形的定义可得，抛物线的对称轴垂直平分，分情况讨论即可求解． 【详解】（1）证明：∵点M在以点为顶点的抛物线上， ∴设该抛物线的解析式为， 将点代入可得 ∴， ∴， 当时，， ∴无论m取何实数值，点M都在此抛物线上； （2）令，得， 解得：， ∴，，，抛物线的对称轴垂直平分， ∵， ∴是等边三角形， ∵点D在抛物线的对称轴上，是以点D为位似中心的位似图形 ∴点P在抛物线的对称轴上， ∵与的相似比是， ∴，， ∴，抛物线的对称轴垂直平分， ∴点Q与点M关于对称轴对称， 当点M在对称轴左侧时，，解得 当点M在对称轴右侧时，，解得 综上，． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的解析式，位似图形的性质和等边三角形的判定与性质，利用数形结合的思想是解题的关键． 34．（23-24·江苏南京·模拟预测）在平面内，将一个多边形先绕自身的顶点旋转一个角度，再将旋转后的多边形以点为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为，称这种变换为自旋转位似变换．若顺时针旋转，记作；若逆时针旋转，记作． 例如：如图①，先将绕点逆时针旋转，得到，再将以点为位似中心缩小到原来的，得到，这个变换记作． (1)如图②，经过得到，用尺规作出．（保留作图痕迹） (2)如图③，经过得到，经过得到，连接，．求证：四边形是平行四边形． (3)如图④，在中，，，．若经过（2）中的变换得到的四边形是正方形． Ⅰ．用尺规作出点（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； Ⅱ．直接写出的长． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)Ⅰ．见解析；Ⅱ．． 【分析】（1）旋转，可作等边三角形，，从而得出点和点对应点，进而作出图形； （2）根据和位似，与位似得出，，，进而推出，从而，进而得出，同理可得：，从而推出四边形是平行四边形； （3）要使是正方形，应使，，从而得出，从而得出，从而，于是作等边，保证，作直径，保证，这样得出作法． 【详解】（1）如图1， 1．以为圆心，为半径画弧，以为圆心，为半径画弧，两弧在的上方交于点，分别以，为圆心，以为半径画弧，两弧交于点， 2．延长至，使，延长至，使，连接， 则就是求作的三角形； （2）证明：和位似，与位似， ，，， ， ， ， ， ， 同理可得：， 四边形是平行四边形； （3）如图2， 1．以为边在上方作等边三角形， 2．作等边三角形的外接圆，作直径，连接， 3．作，，延长，交于，连接，， 则四边形是正方形， 证明：由上知：，， ，，，， ， 要使是正方形，应使，， ，， ， ， ， 作等边，保证，作直径，保证，这样得出作法； ，，， ． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，图形的位似，圆周角定理，确定圆的条件，尺规作图，平行四边形的判定与性质，正方形的判定与性质，解直角三角形等知识，熟练掌握以上知识点是解决问题的关键，需要较强的分析能力． 35．（2024·江苏盐城·一模）已知，点在平面直角坐标系中，小明给了一些m的取值，列出了如表： m … 0 1 … … 0 … … 2 3 2 … 他在直角坐标系中描出这些点后，猜想点M在以点A为顶点的抛物线上． (1)求该抛物线相应的函数表达式，并说明：无论m取何实数值，点M都在此抛物线上； (2)将抛物线向右平移n（）个单位得到新的抛物线，设是新函数的图象与x轴的一个公共点．当时，结合函数的图象，直接写出n的取值范围； (3)设（1）中的抛物线与x轴的交点分别为点B、C（点B在点C的左侧），点D在该抛物线的对称轴上，是以点D为位似中心的位似图形（点A、B、C的对应点分别是点P、Q、M）．若与的相似比是，求m的值． 【答案】(1)，证明见解析； (2)； (3)或． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，等定系数法求函数解析式，位似变换等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）直接用等定系数法求解即可； （2）先求出点，再利用平移的性质即可求解； （3）利用位似比得到，得到，或，得到，即可求解． 【详解】（1）解：设，将代入得 ， ∴， ， 当时， ∴无论m取何值点M都在该抛物线上． （2）解：由（1）得抛物线的解析式为：， 设抛物线与轴的交点为， 令，则， 解得：，， ∴， 设，， 依题意， 或向右移动到之间时，移动距离为的范围，如图： 移至： 移至，， 移至，， 移至： 移至，， 移至，， ∴． （3）解：如图，与位似，位似比，则， ， ∴， ，， 令，得； 如图， ， ， ， ， ，， 令， 【经典例题八 相似三角形的模型问题】 36．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）从特殊到一般，联系问题本质，是数学学习的重要方法． (1)如图1，矩形中，，将矩形对折，使得点B、点D重叠，折痕为，过点F作的垂线交于点G，求：的长； (2)如图2，矩形中，点E，F分别在上，点G，H分别在上且，求证：． (3)如图3，四边形中，，点M，N分别在边上，求：的值． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【分析】（1）由矩形对折知，，证明，则，即可求解； （2）过点作于，过点作于点，证明，则，即可求解； （3）过点作，交的延长线于，过点作，连接，证明和，再利用，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ， ， ， ， ， 由折叠的性质得：， ， 又， ， 又， ， ，即， 解得：； （2）解：如图1，过点作于，过点作于点， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， 即； （3）解：如图，过点作，交的延长线于，过点作，连接， ， ∴四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， （不合题意舍去），， ， 由（2）结论同理可得：． 【点睛】本题为四边形综合题，涉及到三角形全等和相似、勾股定理的运用、矩形的基本性质等，综合性强，难度适中，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解决本题的关键． 37．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）在正方形中，为边上一动点，将沿折叠，得到，过点作直线，分别交于点． (1)如图①，求证：； (2)如图①，当时，若，求正方形的边长； (3)如图②，延长交边于点，连接交于点，当时，求出的值． 【答案】(1)证明过程见详解 (2) (3) 【分析】（1）根据正方形的性质，折叠的性质，平行线的性质可证，，结合相似三角形的判定即可求证； （2）根据题意可证四边形是矩形，可得，由（1）中，，可得，则有，由此可求出，在中，运用勾股定理可得的值，由此得到的值，根据即可求解； （3）根据题意可证，可得，，则有，，，，即点是的中点，设，，则，，，在中，由勾股定理可得，由此可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵将沿折叠，得到，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：根据折叠可得，，， 由（1）得， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得，或（不符合题意，舍去）， 在中，， ∴， ∴， ∴正方形的边长为； （3）解：根据题意，，， 在中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，且， ∴， ∴，即点是的中点，则， 设，，则，，， 在中，， ∴，整理得，， ∴． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等角对等边，勾股定理求线段长等知识的综合运用，掌握正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质的综合运用是解题的关键． 38．（24-25九年级上·四川·阶段练习）（1）发现：如图①所示，在正方形中，点E，F分别是，上的两点，连接，，．求的值． （2）探究：如图②，在矩形中，E为边上一点，且，．将沿翻折到处，延长交边于G点，延长交边于点H，且，求的长． （3）拓展：如图③，在菱形中，，E为边上的一点且，，沿翻折得到，与交于H，且，直线交直线于点P，求的长． 【答案】（1）1；（2）；（3）． 【分析】（）根据正方形的性质得，，证明，根据全等三角形的判定可得，即可求解； （）由四边形是矩形得，，由折叠性质可知，，设，由勾股定理得，推得，根据相似三角形的判定与性质得，求得，，根据平行线的性质可得∴，，从而有，即可求解； （）过作于点，由折叠性质可得，，根据相似三角形的判定与性质得，求得，最后由勾股定理即可求解． 【详解】（）∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （）如图， ∵ 四边形是矩形， ∴，， 由折叠性质可知，，，， 设，则， 在中，由勾股定理得，， ∴，解得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （）如图，过作于点，则， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 由折叠性质可知，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，． 【点睛】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键． 39．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）已知在等腰梯形中，，，，，，P是对角线上的一个动点，且，与射线、射线分别交于点E、点G． (1)如图1，当点E与点D重合时，求的长； (2)如图2，当点E在的延长线上时，设，，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域： (3)当线段时，求的长． 【答案】(1) (2) (3)的长为或． 【分析】（1）证明，可得 ，从而可得答案； （2）证明，则，由此即可求解； （3）分两种情况考虑，当点在线段上时，作交于点，当点在的延长线上时，先求解的长，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴，则 ， 即， ∴． （2）解：设，， ∵， ∴， ∵， ∴，则，即， ∴， ∵点E在的延长线上， ∴， ∴． （3）解：分两种情况考虑： ①如图所示，当点在线段上时， 作交于点，由（），同理可得， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴，即，解得， ∴． ②如图所示，当点在的延长线上时， 同①可得， ∴． 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查等腰梯形的性质，三角形相似的判定和性质，列函数解析式，掌握等腰梯形的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 40．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，，点在的角平分线上，于点． (1)【操作判断】 如图①，过点作于点，在图①中画出，则四边形的形状是 ； (2)【问题探究】 如图②，点在线段上，连接P．过点作交射线于点．试猜想之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)【拓展延伸】 点在射线上，连接，过点作交射线于点，射线与射线相交于点，若O，求的值． 【答案】(1)作图见详解，正方形 (2)，见解析 (3)或 【分析】（1）根据作垂线作图，根据题意可得，则四边形是矩形，因为点在的角平分线上，由正方形的判定方法即可求证； （2）如图所示，过作于，由（1）知：四边形是正方形，可证，可得，在中，由勾股定理即可求解； （3）根据题意，分类讨论：①当在线段上时，如图，延长相交于点，设，则，证明，，由相似三角形的性质即可求证；②当在的延长线上时，如图，过作于，并延长交于，证明，，由相似三角形的性质即可求证；由此即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求， ∵， ∴四边形是矩形， ∵点在的角平分线上，， ∴， ∴四边形是正方形； 故答案为：正方形； （2）解：猜想，证明如下： 如图所示，过作于， 由（1）知：四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ， 在中，由勾股定理得， ∴； （3）解：①当在线段上时，如图，延长相交于点， 由（2）知， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当在的延长线上时，如图，过作于，并延长交于， 由（2）知：四边形是正方形， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，的值为或． 【点睛】本题主要考查正方形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，分类讨论思想是解题的关键． 【经典例题九 相似三角形的综合】 41．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG． （1）求证：四边形EFDG是菱形； （2）求证EG2＝GF•AF； （3）若AG＝3，EG＝，求BE的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）． 【分析】（1）先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF=∠DFG，从而得到GD=DF，接下来依据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF； （2）连接DE，交AF于点O．由菱形的性质可知GF⊥DE，OG=OF=GF，接下来，证明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性质可证明DF2=FO•AF，于是可得到GE、AF、FG的数量关系； （3）过点G作GH⊥DC，垂足为H．利用（2）的结论可求得FG=4，然后再△ADF中依据勾股定理可求得AD的长，然后再证明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性质可求得GH的长，最后依据BE=AD-GH求解即可． 【详解】（1）证明：∵GE∥DF， ∴∠EGF=∠DFG． ∵由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF， ∴∠DGF=∠DFG． ∴GD=DF． ∴DG=GE=DF=EF． ∴四边形EFDG为菱形． （2）证明：如图1所示：连接DE，交AF于点O． ∵四边形EFDG为菱形， ∴GF⊥DE，， ∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA， ∴△DOF∽△ADF． ∴，即DF2=FO•AF． ∵， ∴； （3）如图2所示：过点G作GH⊥DC，垂足为H． ∵， ∴，整理得：FG2+3FG-10=0． 解得：FG=2，FG=-5（舍去）． ∵ ∴ ∵GH⊥DC，AD⊥DC， ∴GH∥AD． ∴△FGH∽△FAD． ∴，即， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查的是四边形与三角形的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、菱形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，利用相似三角形的性质得到DF2=FO•AF是解题答问题（2）的关键，依据相似三角形的性质求得GH的长是解答问题（3）的关键． 42．（23-24·江苏无锡·二模）在矩形ABCD的CD边上取一点E，将沿BE翻折至的位置． （1）如图1，当点F落在矩形ABCD内部时，连接CF并延长，交AD于点G，若，，，则GF的长度为________________； （2）如图2，当点C恰好落在AD边上点F处时，若，且，求BC的长； （3）如图3，当点C恰好落在AD边上点F处时，延长EF，与的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当时，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）设CF交BE于点H，利用勾股定理求得，证，利用相似三角形的性质求出的长，由翻折得，求得，最后； （2）由翻折和矩形的性质证出，利用相似三角形的性质运算求出的长，由线段的数量关系得到，利用勾股定理求得的长，再由计算即可； （3）过点作于点，证出，，利用相似三角形的比值关系和角平分线的性质分别用含和的式子表示出，，的长，利用勾股定理可得到，代入后可得到与的数量关系，即可用含的式子表示出，再利用比值关系进行比较即可． 【详解】（1）设CF交BE于点H， ∵四边形为矩形 ∴， ∴ 由翻折可得：， ∴为的中垂线 ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 由翻折得 ∴ ∴ 故答案为： （2）∵将沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处 ∴， 又∵矩形ABCD中， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ （3）过点作于点 ∵ ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴，设 ∵平分，， ∴，，设，则 ∵ ∴ 解得 ∴ ∴ 【点睛】本题主要考查了矩形的翻折综合，其中涉及到了相似三角形的性质及判定，勾股定理，角平分线的性质，熟悉利用相似三角形的比值关系进行列式运算是解题的关键． 43．（23-24·内蒙古赤峰·中考真题）数学课上，有这样一道探究题． 如图，已知中，AB=AC=m，BC=n，，点P为平面内不与点A、C重合的任意一点，将线段CP绕点P顺时针旋转a，得线段PD，E、F分别是CB、CD的中点，设直线AP与直线EF相交所成的较小角为β，探究的值和的度数与m、n、α的关系，请你参与学习小组的探究过程，并完成以下任务： （1）填空： 【问题发现】 小明研究了时，如图1，求出了___________，___________； 小红研究了时，如图2，求出了___________，___________； 【类比探究】 他们又共同研究了α=120°时，如图3，也求出了； 【归纳总结】 最后他们终于共同探究得出规律：__________(用含m、n的式子表示)；___________ (用含α的式子表示)． （2）求出时的值和的度数． 【答案】（1）【问题发现】，60°；，45°；【类比探究】见（2）题的解析；【归纳总结】，；（2），30° 【分析】（1）当时，△ABC和△PDC都是等边三角形，可证△ACP∽△ECF，从而有，∠Q＝＝∠ACB＝60°；当时，△ABC和△PDC都是等腰直角三角形，同理可证△ACP∽△ECF即可解决，依此可得出规律； （2）当，可证，，从而有，由∠ECF＝∠ACP，可得△PCA∽△FCE即可解决问题． 【详解】（1）[问题发现]如图1，连接AE，PF，延长EF、AP交于点Q， 当时，△ABC和△PDC都是等边三角形， ∴∠PCD＝∠ACB＝60°，PC＝CD，AC＝CB， ∵F、E分别是CD、BC的中点， ∴，， ∴， 又∵∠ACP＝∠ECF， ∴△ACP∽△ECF， ∴，∠CEF＝∠CAP， ∴∠Q＝＝∠ACB＝60°， 当时，△ABC和△PDC都是等腰直角三角形， 如图2，连接AE，PF，延长EF、AP交于点Q， ∴∠PCD＝∠ACB＝45°，PC＝CD，AC＝CB， ∵F、E分别是CD、BC的中点， ∴，， ∴， 又∵∠ACP＝∠ECF， ∴△ACP∽△ECF， ∴，∠CEF＝∠CAP， ∴∠Q＝＝∠ACB＝45°， [归纳总结] 由此，可归纳出，＝∠ACB＝； （2）当，连接AE，PF，延长EF、AP交于点Q， ∵AB＝AC，E为BC的中点， ∴AE⊥BC，∠CAE＝60° ∴sin60°＝， 同理可得：， ∴， ∴， 又∵∠ECF＝∠ACP， ∴△PCA∽△FCE， ∴，∠CEF＝∠CAP， ∴∠Q＝＝∠ACB＝30°． 【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定与性质，通过解决本题感受到：图形在变化但解决问题的方法不变，体会“变中不变”的思想． 44．（23-24·安徽合肥·一模）如图，AM是ABC的中线，D是线段AM上一点（不与点A重合）．DE∥AB交AC于点F，CE∥AM，连接AE． （1）如图1，当点D与M重合时，求证：AB＝ED； （2）如图2，当点D不与M重合时，请判断四边形ABDE的形状，请说明理由； （3）如图3，延长BD交AC于点H，若BH⊥AC，且BH＝AM．当FH＝，DM＝6时，求DH的长． 【答案】（1）见解析；（2）平行四边形，见解析；（3）DH＝1+ 【分析】（1）由平行线的性质可得∠EDC＝∠ABM，∠ECD＝∠ADB，由“ASA”可证△ABD≌△EDC，即可得出结论； （2）先判断出四边形DMGE是平行四边形，借助（1）的结论即可得出结论； （3）先判断出MI∥BH，MI＝BH，进而利用直角三角形的性质即可得出结论．设DH＝x，则AH＝x，AD＝2x，推出AM＝6+2x，BH＝6+2x，由四边形ABDE是平行四边形，推出DF∥AB，推出，可得，解方程即可； 【详解】（1）∵DE∥AB， ∴∠EDC＝∠ABM， ∵CE∥AM， ∴∠ECD＝∠ADB， ∵AM是△ABC的中线，且D与M重合， ∴BD＝DC， ∴△ABD≌△EDC（ASA）， ∴AB＝ED； （2）四边形ABDE是平行四边形， 理由如下：如图2，过点M作MG∥DE交CE于G， ∵CE∥AM， ∴四边形DMGE是平行四边形， ∴ED＝GM，且ED∥GM， 由（1）知，AB＝GM， ∴AB＝DE， 又∵AB∥DE， ∴四边形ABDE是平行四边形； （3）如图3取线段CH的中点I，连接MI， ∵BM＝MC， ∴MI是△BHC的中位线， ∴MI∥BH，MI＝BH， ∵BH⊥AC，且BH＝AM， ∴MI＝AM，MI⊥AC， ∴∠CAM＝30°． 设DH＝x，则AH＝x，AD＝2x， ∴AM＝6+2x， ∴BH＝6+2x， ∵四边形ABDE是平行四边形， ∴DF∥AB， ∴， ∴ 解得x＝1+或1﹣（负值舍去）， ∴DH＝1+． 【点睛】本题考查的是全等三角形的证明，平行四边形的判定，平行线分线段成比例，一元二次方程的求解，正确理解题意，掌握三角形的判定，平行四边形的判定和正确的做出图形，是解题的关键． 45．（23-24·四川乐山·中考真题）在等腰中，，点是边上一点（不与点、重合），连结． （1）如图1，若，点关于直线的对称点为点，结，，则________； （2）若，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结． ①在图2中补全图形； ②探究与的数量关系，并证明； （3）如图3，若，且，试探究、、之间满足的数量关系，并证明． 【答案】（1）30°；（2）①见解析；②；见解析；（3），见解析 【分析】（1）先根据题意得出△ABC是等边三角形，再利用三角形的外角计算即可 （2）①按要求补全图即可 ②先根据已知条件证明△ABC是等边三角形，再证明，即可得出 （3）先证明，再证明，得出，从而证明，得出，从而证明 【详解】解：（1）∵， ∴△ABC是等边三角形 ∴∠B=60° ∵点关于直线的对称点为点 ∴AB⊥DE， ∴ 故答案为：； （2）①补全图如图2所示； ②与的数量关系为：； 证明：∵，． ∴为正三角形， 又∵绕点顺时针旋转， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． （3）连接． ∵，，∴． ∴． 又∵， ∴， ∴．∵，∴， ∴， ∴， ∴，． ∵， ∴． 又∵， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的证明及性质、全等三角形的证明及性质、三角形的外角、轴对称，熟练进行角的转换是解题的关键，相似三角形的证明是重点 【经典例题十 相似三角形的新定义问题】 46．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形称为垂等四边形． （1）矩形 垂等四边形（填 “是”或“不是”）； （2）如图1，在正方形中，点、、分别在、、上，四边形是垂等四边形，且，． ①求证：； ②若，求的值； （3）如图2，在中，， 以为对角线，作垂等四边形．过点作的延长线的垂线，垂足为，且与相似，则四边形的面积是 ． 【答案】（1）是；（2）①见解析；②；（3）或 【分析】（1）根据“垂等四边形”的定义进行分析； （2）①通过的性质推知；然后根据四边形是垂等四边形的性质知；最后由等量代换证得结论； ②如图1，过点作，垂足为，首先证明为等腰直角三角形，则；然后证得为等腰直角三角形；再次，根据等腰直角三角形的性质和已知条件得到：，．代入求值即可； （3）如图2，过点作，垂足为，构造矩形．在中，利用勾股定理求得，．再由垂等四边形四边形的性质知． 分两种情况：当时，利用相似三角形的对应边成比例和勾股定理求得相关线段的长度，由求得结果； 当时，利用相似三角形的对应边成比例和勾股定理求得相关线段的长度，由求得结果． 【详解】解：（1）矩形有一组邻边垂直且对角线相等，故矩形是垂等四边形． 故答案为：是； （2）①证明：四边形为正方形， ，． 又， ， ． 四边形是垂等四边形， ， ； ②如图1，过点作，垂足为， 四边形为矩形， ． 由①知， ． 由题意知，，， ， 即， 为等腰直角三角形， ． 又， ， 为等腰直角三角形， ， ， ，． ， ； （3）如图2，过点作，垂足为， 四边形为矩形． ， ． 在中，， 根据勾股定理得，，即， ，． 四边形为垂等四边形， ． 第一种情况： 当时， ， 设，则， ． 在中，根据勾股定理得，， 即， 解得，（舍去）， ，， ； 第二种情况： 当时， ， 设，则， ． 在中，根据勾股定理得，， 即， 解得，（舍去）， ，， ． 综上所述，四边形的面积为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了相似综合题，综合运用相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用等知识点解题，解题的关键是掌握“垂等四边形”的定义，另外解题过程中，注意方程思想的应用．难度较大． 47．（23-24·广东广州·一模）定义新概念、有一组邻边相等，且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形． (1)如图①，等腰直角四边形，，． ①若，于点，求的长； ②若，，求的长； (2)如图②，在矩形中，，点是对角线上的一点，且，过点作直线分别交边，于点，，要使四边形是等腰直角四边形，求的长． 【答案】(1)①；② (2)满足条件的的长为 【分析】（1）①根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出的值； ②连接、，交于点，过点C作，交于点E，证明垂直平分，得出，证明，得出，证明，得出，根据勾股定理求出，即可得出答案； （2）若，则，，推出四边形不是等腰直角四边形，不符合条件．若与不垂直，当时，此时四边形是等腰直角四边形，当时，此时四边形是等腰直角四边形，分别求解即可． 【详解】（1）解：①连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②连接、，交于点，过点C作，交于点E，如图所示： 则， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴、在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． （2）解：∵四边形为矩形， ∴，，，； 若时，如图所示： 则四边形和为矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，； ∴四边形不可能是等腰直角四边形； 若与不垂直，当时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴此时点F不在边上，不符合题意； 若与不垂直，当时，如图所示： 此时四边形是等腰直角四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，满足条件的的长为． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，作出辅助线，画出相应的图形，数形结合，注意分类讨论． 48．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）新定义：若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，则称这个三角形为比例三角形．例如：三边的长分别为，，．因为，所以是比例三角形． 【问题提出】 （1）已知中，，， 判断是否为比例三角形． 【问题探究】 （2）如图1，P是矩形的边上的一动点，平分，交边于点Q，． ①求证：； ②求证：是比例三角形． 【问题延伸】 （3）如图2，在（2）的条件下，当，时，点C与点Q能否重合？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1）是比例三角形；（2）①证明见解析；②证明见解析；（3）能， 【分析】本题考查了新定义，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程． （1）根据比例三角形的概念判断即可； （2）①利用两角对应相等，证明即可； ②利用角平分线的定义证明角相等，推出，再利用得到对应边成比例，即可求解； （3）证明，利用相似三角形的性质，列出一元二次方程，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴ ∴是比例三角形， （2）①证明：四边形是矩形， ， ， 又， ； ②证明：由①知， ，即． ∵， ， 平分， ， ， ， ， 是比例三角形； （3）能， 当点C与点Q重合时，， ， ， ， ， ， ，， ； 在中，，即， 解得或（舍去）， ． 49．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）定义：我们把有一组邻边相等，并且有一组对角为直角的四边形叫做等补四边形． (1)如图1，在的网格图中，点A，B，C在格点（小正方形的顶点）上，请画出两个符合条件的等补四边形，点也在格点上． (2)如图2，以菱形的一边为边向外作正方形，、分别是菱形和正方形的对角线交点，连结． ①求证：四边形是等补四边形． ②若，求四边形的面积． (3)如图3，在四边形中，，，，点在边上，，点在边上，四边形为等补四边形，现已知，求长度． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析 ②1 (3)或 【分析】（1）根据等补四边形的定义，结合勾股定理，画出图形即可； （2）①证明，即可； ②如图2中，过点作于点交的延长线于点．证明，推出，，推出四边形是正方形，可得； （3）如图3中，连接．首先证明四边形是平行四边形，推出，因为四边形是四边形为等补四边形，所以有两种可能：①或．②．分别求解即可． 【详解】（1）解：如图1中，四边形即为所求． （2）①证明：如图2中， 四边形是菱形， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， 四边形是等补四边形； ②解：如图2中，过点作于点，交的延长线于点． ， 四边形是矩形， ， ， ，， （）， ，， 四边形是正方形， ； （3）解：如图3中，连接，． ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是四边形为等补四边形， 有两种可能：①或．②． 当或时， ，， ， ，， 垂直平分线段， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 当时，如图4中，连接，过点作于点，过点作于点，则四边形是矩形， ， 是等腰直角三角形，， ， ， 设，， 则，，， ， ， ， ， ， ， 整理得， ，， ， ， 综上所述，或． 时，或者 （3）∵， ∴四边形是平行四边形， ∴ 设． ①当时， ②当时，等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴ ∴（负值舍去） 综上，或 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了等补四边形的定义，菱形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 50．（23-24九年级下·广西南宁·阶段练习）已知等边，以为斜边向外作，定义为等边的“关联直角三角形”，连接交于点，下面我们来研究与的值有关的问题． (1)如图①，当“关联直角三角形”是等腰直角三角形时，的值为______； (2)如图②，当“关联直角三角形”是含的直角三角形时，求的值； (3)如图③，当“关联直角三角形”是一般的直角三角形时，若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）证明，得出，，根据等腰三角形三线合一得出，，设，得出，求出，，最后得出答案即可； （2）根据含30度直角三角形的性质得出，求出，证明，得出； （3）过点作于点，过点作于点，连接，证明，得出，求出，根据勾股定理求出，，根据，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵为等边三角形， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， 设， ∴， ∴，， ∴． （2）解：为等边三角形 ， ， 在中，， ， ， ，， ， ； （3）解：过点作于点，过点作于点，连接，如图所示： 为等边三角形， ， ， 为的中点， ， ， ， 又， ， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理三角形相似的判定和性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 学科网（北京）股份有限公司 $$