经典奥数-利润问题10种类型精讲精练-小升初奥数应用题讲义

小升初经典奥数——利润问题讲练测【10种类型】 一、知识梳理 基本概念：商品购进的价格称为成本（也叫进价），商家在成本的基础上提高价格出售，提高后的价格称为定价（也叫售价），所赚的钱称为利润，利润占成本的百分之几叫做利润率。 基本数量关系：1. 利润=出售价－成本价 2. 利润率=（出售价－成本价）÷成本价×100% 3. 出售价=成本价×（1+利润率） 4. 成本价=出售价÷（1+利润率） 基本解题技巧 公式法‌：利用上述基本公式直接代入进行计算。 特值法‌：题目中没有给出具体数值时，可以设特值（如1或100）进行计算。 方程法‌：找到题干中的等量关系，设立方程进行求解。 二、利润问题类型： 【经典例题1】一般型利润问题 某商品按20%的利润定价，按标价的88%售出，实际获得利润84元。商品的成本是多少元？ 【解析】 ①“商品按20%的利润定价”说明定价是成本的（1+20%）; ②“按标价的88%售出”说明售价是定价的88%； ③转化单位1：售价是成本的（1+20%）×88%； ④售价比成本高84元，即售价比成本高（1+20%）×88%-1=0.056=5.6%； ⑤利用量率对应得出成本价：84÷[（1+20%）×88%-1]=1500（元）； ⑥答：商品的成本是1500元。 【经典习题1】某商品按 20 ％的利润定价，然后按定价的 80 ％出售，这样就亏损了 64 元，这种商品的成本是多少元？ 【经典例题2】盈亏型利润问题 某商场在促销活动中，将一批商品降价处理。如果减去定价的12%出售，那么可以盈利170元；如果减去定价的20%出售，那么亏损150元。此商品的购入价是多少元？ 方法一： 【解析】 ①减去定价的12%出售，那么可以盈利170元：表示售价是定价的1-12%=88%；售价高于成本价170元；（降价12%） ②减去定价的20%出售，那么亏损150元。表示售价是定价的1-20%=80%；售价低于成本价150元；（降价20%） ③盈亏问题：定价的88%比定价的80%多8%（多降价20%-12%），多170+150=320元； ④求出定价：320÷8%=4000（元），再求出成本价。 ⑤列式：定价为（170+150）÷（20%-12%）=4000（元）；成本价为4000×（1-20%）+150=3350（元） ⑥答：此商品的购入价是3350元。 方法二：方程法。 不管怎样销售，商品的成本价是不变的，由此可以列出方程。 【解析】: 设定价是x元，由题意得: (1-12%)x-170=(1-20%)x+150 解得:x=4000 成本价为4000×（1-20%）+150=3350（元） 【经典习题2】某商场在十一促销期间，将一批商品降价出售。如果减去定价的10%出售，那么可盈利215元；如果减去定价的20%出售，那么亏损125元。此商品的购入价是多少元？ 【经典例题3】设数型利润问题 足球赛门票15元一张，降价后观众人数增加一半，收入增加了20%，则一张门票降价了多少元？ 【解析】 ①由于观众人数不知道，所以收入也就无法确定； ②设原来观众为1，收入就是15元； ③现在观众人数为1×（1+50%）=1.5，收入为15×（1+20%）=18（元） ④原来门票单价15元，现在门票单价18÷1.5=12（元）； ⑤门票价降低15-12=3（元） ⑥答：门票降价了3元。 【经典习题3】某品牌西服原价800元一套，为了促销，降低了价格，销量增加了1倍，收入增加了40%。问每套西服降价多少元？ 【经典例题4】亏损型利润问题 某商场有两件进价不同的上衣均卖了 80 元，一件盈利 60 ％，另一件亏本 20％，这次买卖中商家赢或亏了多少元？ 【解析】 ①售价÷售价的分率 = 单元 1 （成本） ②第一件上衣盈利60％，表示售价是进价的1+60%=160%； ③另一件上衣亏本20％，表示售价是进价的1-20%=80%； ④第一件上衣的进价为80 ÷（1+60 ％）=50（元） ⑤另一件上衣的进价为80 ÷（1-20 ％）=100（元） ⑥成本之和50+100=150 （元），售价之和80+80=160 （元）； ⑦盈利160-150=10 （元）答：盈利10元。 【经典习题4】某商店有两件商品，其中一件商品按成本增加20%出售，另一件按成本减价20%出售，结果两件商品的售价都是240元.那么，两件商品都卖出后是盈利还是亏损?盈利或亏损了多少元? 【经典例题5】订购型利润问题 赵先生向商店订购某种商品，每件定价100元，共订购60件，赵先生对商店经理说:“如果你肯减价，每件每减1元，我就多订购3件。”商店经理算了一下，如果减价4%,由于赵先生多订购，仍可获得与原来一样多的利润,这种商品每件的成本是多少元？ 方法一： 【解析】 ①如果你肯减价，每件每减1元，我就多订购3件； ②减价4%，就得多订购的件数为:100×4%=4（元），4×3=12(件)； ③原来60件商品利润下降4×60=240（元） ④这240元要从这12件商品进行弥补才能和原来获得一样多的利润。 ⑤所以现在这12件商品的利润为240，每件商品获利240÷12=20（元） ⑥原来每件商品获利20+4=24（元） ⑦成本为100-24=76（元） 方法二： 【解析】:多订购的件数为:100×4%×3=12(件) 设不降价时每一件商品的利润为x元。 则60x=(x-4)×(60+12) 12x=288 x=24 100-24=76(元) 答：每件商品的成本是76元。 【经典习题5】某人订购某种商品60件，每件定价100元，该人对商店提出条件:每减价1元多订购3件，商店经理计算了一下，如果减价5%，由于对方多订购，仍能获得原来一样多的利润，则这种商品的成本是多少元? 【经典例题6】回本型利润问题 商店以每个 56 元的价格购进一批篮球，然后以每个 72 元卖出，当卖出时，不仅收回了成本，还获利 480 元，这批篮球共多少个？ 【解析】 ①一共的成本+480 元 = 全部的 个数的售价 ②解：设这批篮球共有x个。 ③根据①的数量关系列出方程：56x+480=72×X，解得x=120 ④答：这批篮球共有120个。 【经典习题6】商店购进一批每双6.5元的凉鞋，售价为7.4元，当卖到还剩下5双时，除去全部成本还已获利44元，那么这批凉鞋共有多少双? 【经典例题7】分批销售型利润问题 某书店出售一种挂历，每售出1本可得18元利润。售出一部分后每本减价10元出售，全部售完。已知售完这种挂历本数是原价出售挂历的三分之二。书店售完这种挂历共获得利润2870元，书店售完这种挂历多少本？ 方法一： 【解析】 ①前后利润之比18：（18-10）=9:4； ②前后出售数量之比3:2； ③前后销售利润之比（9×3）：（4×2）=27:8； ④前后利润之和为2870元； ⑤前面一部分挂历利润为2870÷（27+8）×27=2214（元） ⑥前面一部分挂历数量为2214÷18=123（本） ⑦共有挂历数量为123÷3×（3+2）=205（本） 方法二： 解：设书店前一部分售完这种挂历x本，后一部分售出x本。 18x+（18-10）×x=2870 解得x=123 123+123×=205（本） 答：书店售完这种挂历205本。 【经典习题7】某商店第一天按定价300元的价格出售，共销售40件；第二天降价8%，这样销量增加了30%，所获得利润比第一天多120元。这种商品的成本是多少元？ 【经典例题8】假设型利润问题 有甲、乙两种商品，成本价共1500元，甲商品按30%的利润定价，乙商品按35%的利润定价，两种商品都按定价的80%出售，结果共获得利润92元，那么甲、乙商品的成本价各是多少元? 方法一： 【解析】 ①两种商品都按定价的80%出售，结果共获得利润92元； ②总售价1500+92=1592元，售价是定价的80%； ③总定价1592÷80%=1990元； ④甲、乙两种商品如果都按成本的30%来定价，则总定价应为1500×（1+30%）=1950元 ⑤比实际总定价少1990-1950=40元，少了乙商品成本的35%-30%=5%； ⑥乙商品成本为40÷5%=800元，甲商品成本为1500-800=700元 ⑦列式：乙商品成本为[（1500+92）÷80%-1500×（1+30%）]÷（35%-30%）=700（元），甲商品成本为1500-800=700元。 方法二： 解:设甲种商品成本价为x元，则乙种商品成本价为(1500-x)元. [ (1+30%) x +(1500-x)×(1+35%)]×80%=1500+92 解得：x=700 1500-700=800(元) 答:甲种商品成本价是700元，乙种商品成本价是800 元。 【经典习题8】甲、乙两种商品的成本共2200元。甲商品按20%的利润定价，乙商品按15%的利润定价，后来两种商品都按定价的90%出售，结果仍获利润131元。甲商品的成本是多少元？ 【经典例题9】损耗型利润问题 商店老板到苹果产地收购了2吨苹果，收购价为每千克1.20元，从产地到商店的距离是400千米，运费为每吨货物每运1千米收1.50元。如果在运输及销售过程中的损耗为10%，那么商店要实现15%的利润率，零售价应是每千克多少元? 【解析】2吨=2000千克 ①每千克苹果的运费为:400×2×1.5÷2000=0.6(元) ②每千克苹果的实际成本:(1.2+0.6)÷(1-10%)=2(元) ③零售价为: 2x(1+15%)=2.3(元) 答:零售价应是每千克2.3元。 【经典例题10】利润相同型利润问题 某商品按定价出售，每件可获利润 45 元，如果按定价的 70 ％出售10件与每件降价25元出售12件所得利润一样多，这种商品每件定价多少元？ 方法一： 【解析】 ①每件降价25元出售12件所得利润为（45-25）×12=240元； ②那么按定价的70％出售10件所获得的利润为240元； ③每件商品获得的利润为240÷10=24元； ④每件商品降价45-24=21元，每个降价1-70%=30%； ⑤每件商品定价为21÷30%=70元。 ⑥列式：[45-（45-25）×12÷10]÷（1-70%）=70（元） 方法二： 【解析】 10件的售价-10 件成本=12 件售价-12件成本 解答：解设每件商品成本为 x 元， （x+45）×70 ％×10-10x=（x+45-25）×12-12x x=25 25+45=70（元） 【经典习题10】某商品按定价出售，每个可以获得45元的利润，现在按定价的85%折出售8个，按定价每个减价35元出售12个，所能获得的利润一样。这种商品每个定价多少元? ‌【经典测试】 1.（一般型利润问题）一件标价为 600 元的商品，按标价的80%出售后，仍赚 20 元，这件商品的成本是多少元？ 2.（盈亏型利润问题）一件商品随季节变化降价出售，如果按定价降价10%，可获利360元;如果按定价降价 20%，就要亏损480元。这种商品的进价是多少元？ 3.（设数型利润问题）一种服装，甲店比乙店的进货便宜10%，甲店按照20%的利润定价，乙店按照15%的利润定价，甲店比乙店的出厂价便宜11.2元，问甲店的进货价是多少元? 4.（亏损型利润）李阿姨卖出了两台洗衣机，每台售价960元，其中一台赚了20%，另一台亏了20%。则李阿姨卖出这两台洗衣机后是赚钱还是亏了，赚（或亏）了多少钱？ 5.（回本型利润）商店以每只28元的价格购进一批玩具熊，然后以每只36元的价格出售。当卖出总数的时，不仅收回了全部成本，还盈利240元。商店一共购进多少只玩具熊? 6.（分批销售型）新光商店把进货价是3元，原零售价是5.4元的800双袜子降价出售。开始按原零售价的80%出售，卖了500双;剩下的按原零售价60%出售。卖完这800双袜子是盈利还是亏本?盈（或亏）多少元? 7.（假设型利润）甲、乙两件商品成本共200元，甲商品按30%的利润定价，乙商品按20%的利润定价，后来两件商品都按定价的90%出售，结果仍获利27.7元，求甲商品的成本。 8.（利润相同型）商店进了一批钢笔，用零售价10元卖出20支与用零售价11元卖出15支的利润相同。这批钢笔的进货价是每支多少钱? 【经典习题参考答案】 【经典习题1】某商品按 20 ％的利润定价，然后按定价的 80 ％出售，这样就亏损了 64 元，这种商品的成本是多少元？ 【解析】 ①“商品按20%的利润定价”说明定价是成本的（1+20%）; ②“按定价的80%售出”说明售价是定价的80%； ③转化单位1：售价是成本的（1+20%）×80%； ④售价比成本少64元，即售价比成本低1-（1+20%）×80%=4% ⑤利用量率对应得出成本价：64÷[1-（1+20%）×88%]=2100（元） ⑥答：商品的成本是1600元。 【经典习题2】某商场在十一促销期间，将一批商品降价出售。如果减去定价的10%出售，那么可盈利215元；如果减去定价的20%出售，那么亏损125元。此商品的购入价是多少元？ 【解析】 ①减去定价的10%出售，那么可以盈利215元：表示售价是定价的1-10%=90%；售价高于成本价215元；（降价10%） ②减去定价的20%出售，那么亏损125元。表示售价是定价的1-20%=80%；售价低于成本价125元；（降价20%） ③盈亏问题：定价的90%比定价的80%多10%（多降价20%-10%=10%），多215+125=340元； ④求出定价：340÷10%=3400（元），再求出成本价。 ⑤列式：定价为（215+125）÷（20%-10%）=3400（元）；成本价为3400×（1-20%）+125=2845（元） ⑥答：此商品的购入价是2845元。 【经典习题3】某品牌西服原价800元一套，为了促销，降低了价格，销量增加了1倍，收入增加了40%。问每套西服降价多少元？ 【解析】 ①设原来西服销量为1件； ②现在西服销量为1×（1+1）=2件； ③现在收入为800×（1+40%）=1120（元） ④现在西服单价1120÷2=560（元） ⑤每套西服降价800-560=240（元） ⑥答：每套西服降价240元。 【经典习题4】某商店有两件商品，其中一件商品按成本增加20%出售，另一件按成本减价20%出售，结果两件商品的售价都是240元.那么，两件商品都卖出后是盈利还是亏损?盈利或亏损了多少元? 【解析】 ①售价÷售价的分率 = 单元 1 （成本） ②第一件商品盈利20 ％，表示售价是进价的1+20%=120%； ③另一件商品亏本20％，表示售价是进价的1-20%=80%； ④第一件商品的进价为240 ÷（1+20 ％）=200（元） ⑤另一件商品的进价为240 ÷（1-20 ％）=300（元） ⑥成本之和200+300=500（元），售价之和240×2=480（元）； ⑦亏本500-480=20（元）答：亏本20元。 【经典习题5】某人订购某种商品60件，每件定价100元，该人对商店提出条件:每减价1元多订购3件，商店经理计算了一下，如果减价5%，由于对方多订购，仍能获得原来一样多的利润，则这种商品的成本是多少元? 【解析】 ①如果你肯减价，每件每减1元，我就多订购3件； ②减价5%，就得多订购的件数为:100×5%=5（元），5×3=15(件)； ③原来60件商品利润下降5×60=300（元） ④这300元要从这15件商品进行弥补才能和原来获得一样多的利润。 ⑤所以现在这15件商品的利润为300元，每件商品获利300÷15=20（元） ⑥原来每件商品获利20+5=25（元） ⑦成本为100-25=75（元） 答：略 【经典习题6】商店购进一批每双6.5元的凉鞋，售价为7.4元，当卖到还剩下5双时，除去全部成本还已获利44元，那么这批凉鞋共有多少双? 【解析】 ①“当卖到还剩下5双时，除去全部成本还已获利44元”，这时如果把剩下的5双也按售价卖完，还可以获利5×7.4=37(元)； ②一共获利37+44=81(元)； ③每双凉鞋可以获利7.4-6.5=0.9(元) ④这批凉鞋的数量是81÷0.9=90(双)。 ⑤答:这批凉鞋共有90双。 ⑥列式：5×7.4+44=81(元) 81÷(7.4-6.5)=90(双) 【经典习题7】某商店第一天按定价300元的价格出售，共销售40件；第二天降价8%，这样销量增加了30%，所获得利润比第一天多120元。这种商品的成本是多少元？ 方法一： 【解析】 ①第一天售价300元，共销售40件； ②第二天降价300×8%=24（元），销量增加40×30%=12（件）； ③现在40件商品少获利润24×40=960（元）； ④因为第二天比第一天多获利润120元； ⑤说明后面12件衣服总共获利960+120=1080（元） ⑥后面每件商品获利1080÷12=90（元） ⑦每件商品成本是300-24-90=186（元） 方法二： 解：设这种商品的成本是x元. 40×(300-x)+120=40×（1+30%）×[300×（1-8%）-x] 解得：x=186 答：略 【经典习题8】甲、乙两种商品的成本共2200元。甲商品按20%的利润定价，乙商品按15%的利润定价，后来两种商品都按定价的90%出售，结果仍获利润131元。甲商品的成本是多少元？ 【解析】 解:设甲种商品成本价为x元，则乙种商品成本价为(2200-x)元. [ (1+20%) x +(2200-x)×(1+15%)]×90%=2200+131 解得：x=1200 答:甲种商品成本价是1200元. 【经典习题10】某商品按定价出售，每个可以获得45元的利润，现在按定价的85%折出售8个，按定价每个减价35元出售12个，所能获得的利润一样。这种商品每个定价多少元? 【解析】 ①每件降价25元出售12件所得利润为（45-35）×12=120元； ②那么按定价的85％出售8件所获得的利润为120元； ③每件商品获得的利润为120÷8=15元； ④每件商品降价45-15=30元，每个降价1-85%=15%； ⑤每件商品定价为30÷15%=200元。 ⑥列式：[45-（45-35）×12÷8]÷（1-85%）=200（元） 答：略 【经典测试参考答案】 1.（一般型利润问题）一件标价为 600 元的商品，按标价的80%出售后，仍赚 20 元，这件商品的成本是多少元？ 【解析】 ①600 元为标价（原价）； ②按标价的80%出售：说明售价是标价的80%； ③售价：600×80%=480（元）； ④成本价：480-20=460（元）； ⑤列式：600×80%-20=460（元） ⑥答：这件商品的成本是460元。 2.（盈亏型利润问题）一件商品随季节变化降价出售，如果按定价降价10%，可获利360元;如果按定价降价 20%，就要亏损480元。这种商品的进价是多少元？ 【解析】 设定价是x元，由题意得: (1-10%)x-360=(1-20%)x+480 解得:x=8400 进价:8400×(1-10%)-360=7200(元) 答：略 3.（设数型利润问题）一种服装，甲店比乙店的进货便宜10%，甲店按照20%的利润定价，乙店按照15%的利润定价，甲店比乙店的出厂价便宜11.2元，问甲店的进货价是多少元? 解法一： 【解析】 ①乙店的进货价为单位1，则甲店的进货价是乙店的1-10%=0.9； ②甲店的定价相当于乙店进货价的0.9×（1+20%）=108%； ③乙店现在的定价是进价的1×（1+15%）=115%; ④因为甲店比乙店的出厂价便宜11.2元，也就是便宜115%-108%=7%； ⑤乙店进货价为11.2÷7%=160（元） ⑥甲店进货价为160×(1-10%)=144(元) ⑦列式：11.2÷[（1+15%）-（1-10%）×（1+20%）]=160（元） 160×(1-10%)=144(元) 解法二： 解:设乙店的成本价为1 1×(1+15%)是乙店的定价 1×(1-10%)×(1+20%)是甲店的定价 1×(1+15%)-1×(1-10%)×(1+20%)=7% 11.2÷7%=160(元) 160×(1-10%)=144(元) 答:甲店的进货价为144元。 4.（亏损型利润）李阿姨卖出了两台洗衣机，每台售价960元，其中一台赚了20%，另一台亏了20%。则李阿姨卖出这两台洗衣机后是赚钱还是亏了，赚（或亏）了多少钱？ 【解析】考查“赚钱、亏本”的意义。 ①赚钱20%表示售价比进价高20%，相当于进价的1+20%=120%；则亏20%表示售价是进价的1-20%=80%。以“进价”为单位1的量。 ②第一台洗衣机的进价为960÷（1+20%）=800（元）； ③另一台洗衣机的进价为960÷（1-20%）=1200（元） ④总进价为8000+1200=2000（元） ⑤总售价为960×2=1920（元） ⑥总亏钱2000=1920=80（元） ⑦答：李阿姨卖出这两台洗衣机后是亏了，亏）了80元钱。 5.（回本型利润）商店以每只28元的价格购进一批玩具熊，然后以每只36元的价格出售。当卖出总数的时，不仅收回了全部成本，还盈利240元。商店一共购进多少只玩具熊? 【解析】 ①一共的成本+240元 = 全部的 个数的售价 ②解：设这批篮球共有x个。 ③根据①的数量关系列出方程：28x+240=36×X，解得x=120 ④答：这批篮球共有120个。 6.（分批销售型）新光商店把进货价是3元，原零售价是5.4元的800双袜子降价出售。开始按原零售价的80%出售，卖了500双;剩下的按原零售价60%出售。卖完这800双袜子是盈利还是亏本?盈（或亏）多少元? 【解析】 ①总成本为800×3=2400元； ②500双袜子的售价为500×（5.4×80%）=2160元； ③剩下800-500=300双； ④这300双袜子的售价300×（5.4×60%）=972元； ⑤总售价为972+2160=3132元。 ⑥盈利3132-2400=732元。 ⑦答：略。 7.（假设型利润）甲、乙两件商品成本共200元，甲商品按30%的利润定价，乙商品按20%的利润定价，后来两件商品都按定价的90%出售，结果仍获利27.7元，求甲商品的成本。 【解析】200×(1+20%)÷90%-200=16（元） (27.7-16)÷(30%-20%)÷90%=130（元） 8.（利润相同型）商店进了一批钢笔，用零售价10元卖出20支与用零售价11元卖出15支的利润相同。这批钢笔的进货价是每支多少钱? 方法一： 【解析】 ①用零售价10元卖出20支与用零售价11元卖出15支的利润相同； ②11元卖出15支，假如10元卖出15支则少获利润（11-10）×15=15元； ③这少获得的15元利润要（20-15）支钢笔承担； ④每个获得的利润为15÷5=3元 ⑤成本为10-3=7元 方法二： 解：设这批钢笔的进货价是每支x元。 （10-x）×20=（11-x）×15 解得：x=7 答：略 2 学科网（北京）股份有限公司 $$