第26章反比例函数大题专练（全章12大类型培优提分练）-【上好课】2024-2025学年九年级数学下册同步精品课堂（人教版）

第26章反比例函数大题专练（全章12大类型培优提分练） 目录 类型一、反比例函数的定义及解析式 1 类型二、反比例函数的性质 2 类型三、反比例函数的图象 3 类型四、反比例函数的k的几何意义 5 类型五、反比例函数与一次函数的交点问题 7 类型六、反比例函数的应用 8 类型七、反比例函数与一次函数的实际问题 9 类型八、反比例函数与几何问题 11 类型九、反比例函数与一次函数的综合问题 13 类型十、反比例函数与实际应用综合问题 15 类型十一、反比例函数与几何压轴综合问题 20 类型十二、反比例函数的新定义与材料探究问题 24 类型一、反比例函数的定义及解析式 1．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知函数． (1)当为何值时，此函数为正比例函数，且随的增大而增大？ (2)当为何值时，此函数为反比例函数，且图象经过第一、三象限？ 2．（24-25九年级上·湖南郴州·阶段练习）如果函数 是反比例函数，且当时y随x的增大而增大，求函数的解析式． 3．（22-23九年级上·上海·阶段练习）已知，并且与成正比例，与成反比例．当，当，；求关于的函数解析式． 4．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知函数，其中与成正比例，与成反比例，当时，；当时，．求： (1)关于的函数解析式及定义域； (2)当时的函数值． 类型二、反比例函数的性质 5．（2024九年级下·全国·专题练习）已知反比例函数． (1)若，则x的取值范围是__________； (2)若，则x的取值范围是__________； (3)若，且，则x的取值范围是__________． 6．（23-24八年级下·河南周口·期中）已知反比例函数的图象经过第一、三象限． (1)求的取值范围． (2)若，此函数的图象经过，两点，且，求的取值范围． 7．（23-24九年级上·贵州铜仁·阶段练习）已知反比例函数，其函数图象位于第一、三象限． (1)求的取值范围； (2)若点是该反比例函数图象上的两点，试比较的大小． 8．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知点，是反比例函数图象上两点．请用“”“”或“”填空． （1）若，，，则_____； （2）若，，，则______； （3）若，，，则______； （4）若，，则______； 变式  反比例函数中，若，，请讨论，的大小情况． 类型三、反比例函数的图象 9．（2024·贵州黔南·模拟预测）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的解析式； (2)在如图的平面直角坐标系中分别画出函数和的图象，并直接写出关于的不等式的解集． 10．（24-25九年级上·全国·课后作业）在同一平面直角坐标系中，分别画出函数与的图象． (1)填写表格： (2)根据表格中的对应值为点坐标，在下图中画出函数图象． 11．（2024·山东济南·模拟预测）【发现问题】 小明在学习过程中发现：周长为定值的矩形中面积最大的是正方形．那么，面积为定值的矩形中，其周长的取值范围如何呢？ 【解决问题】 小明尝试从函数图像的角度进行探究： （1）建立函数模型 设一矩形的面积为4，周长为，相邻的两边长为、，则，，即，，那么满足要求的应该是函数与的图象在第 　 　象限内的公共点坐标． （2）画出函数图像 ①画函数的图像； ②在同一直角坐标系中直接画出的图像，则的图像可以看成是由的图像向右平移_____________个单位长度得到． （3）研究函数图像：平移直线，观察两函数的图像； ①当直线平移到与函数的图像有唯一公共点的位置时，公共点的坐标为_________，周长m的值为___________； ②在直线平移的过程中，两函数图像公共点的个数还有什么情况？请直接写出公共点的个数及对应周长m的取值范围． 【结论运用】 （4）面积为10的矩形的周长m的取值范围为________． 12．（2024·青海·一模）如图，在同一平面直角坐标系中，正比例函数和反比例函数的图象交于A，B两点，轴，垂足是C．求： (1)反比例函数上的解析式； (2)的面积． 类型四、反比例函数的k的几何意义 13．（2024·四川绵阳·二模）如图，在中，，点在反比例函数的图象上，点的坐标为，，求点所在的反比例函数解析式． 14．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图，正方的边在x轴的正半轴上，点，反比例函数的图象分别交于点E，F，已知 (1)求反比例函数的解析式． (2)连接 求的面积． 15．（22-23八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点P在上，轴于点C，交于点A，轴于点D，交于点B，若四边形的面积为5，求k的值． 16．（23-24九年级上·陕西西安·期末）已知点A为反比例函数图象上任意一点，连接并延长至点B，使，过点B作轴交函数图象于点C，连接．    (1)如图1，若点A的坐标为，求点B的坐标； (2)如图2，过点A作，垂足为D，若设A点坐标为，求四边形的面积． 类型五、反比例函数与一次函数的交点问题 17．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图， 已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求直线与x轴的交点C的坐标及的面积； (3)直接写出一次函数的值小于反比例函数值的x的取值范围． 18．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于C，D两点，与x，y轴交于B，A两点，且，，． (1)求一次函数的解析式和反比例函数的解析式； (2)求的面积． 19．（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)若是轴上一点，且满足的面积是6，请求出点的坐标． 20．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，直线与反比例函数（）的图象交于点，与x轴交于点B，平行于x轴的直线（）交反比例函数的图象于点M，交于点N，连接． (1)求m的值和反比例函数的解析式； (2)观察图象，直接写出当时不等式的解集； (3)直线沿轴方向平移，当n为何值时，的面积最大？最大值是多少？ 类型六、反比例函数的应用 21．（23-24九年级上·辽宁大连·阶段练习）已知蓄电池的电压为定值，使用该蓄电池时，电流I（单位：）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求出这个反比例函数的解析式； (2)若使用时测得电流I为，则电阻R是 ； (3)如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不能超过，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围？ 22．（21-22九年级上·全国·单元测试）一辆汽车往返于甲、乙两地之间，如果汽车以千米/小时的平均速度从甲地出发，经过小时可达乙地． (1)甲、乙两地相距多远？ (2)如果汽车的速度（千米/小时）提高，那么从甲地到乙地所需的时间将怎样变化？ (3)由于某种原因，这辆汽车需要在小时内从甲地到乙地，则此地时汽车平均速度应至少为多少？ 23．（2024·河南商丘·模拟预测）某校科技小组在一次野外考察中遇到一片烂泥湿地．为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干块木板，构筑成一条临时近道．每块木板对地面的压强是木板面积的反比例函数，其图象如图所示． (1)求P于S的函数关系式； (2)求当时，物体所受的压强； (3)当时，求受力面积S的变化范围． 24．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）大约在两千四五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数．当时，． (1)求关于的函数表达式． (2)若物距（小孔到蜡烛的距离）为，求火焰的像高． (3)若火焰的像高不得超过，求小孔到蜡烛的距离至少是多少厘米？ 类型七、反比例函数与一次函数的实际问题 25．（23-24九年级上·广东江门·期末）通过试验研究发现：一节40分钟的课堂，初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．如图，学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分． (1)求反比例函数解析式和点A、D的坐标； (2)陈老师在一节课上讲解一道数学综合题需要16分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32？请说明理由． 26．（23-24九年级上·河南安阳·期末）心理学研究发现，一般情况下，在一节分钟的数学课中，学生的注意力随上课时间的变化而变化，开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持在较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散，通过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如下图所示，点B的坐标为、点C的坐标为，为反比例函数图象的一部分． (1)求所在的反比例函数的解析式； (2)数学老师计划在课堂上讲解一道代数推理题，准备安排分钟讲解，为了达到最佳的教学效果，要求学生的注意力指标数不低于，请问老师的安排是否合理？并说明理由． 27．（22-23八年级下·四川宜宾·期末）为了预防某种流感病毒，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数），如图所示．据图中提供的信息，解答下列问题：    (1)写出从药物释放开始，y与t之间的两个函数关系式及相应的自变量的取值范围； (2)当室内每立方米空气中的含药量达到1毫克及以上时才能起有效的消毒作用，请问本次消毒过程中，有效的消毒作用时长为多少小时？ (3)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.5毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？ 28．（22-23八年级下·河南驻马店·期末）紫外线杀菌灯的电阻随温度的变化的大致图象如图所示．通电后温度由室温上升到时，电阻与温度成反比的函数关系．且在温度达到时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度升高而增加，温度每上升，电阻增加．    (1)当时时，求与之间的关系式． (2)紫外线杀菌灯在使用过程中，温度在什么范围内时，电阻不超过． 类型八、反比例函数与几何问题 29．（2024·山西·模拟预测）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，过点作轴，垂足为，连接，．    (1)求反比例函数的表达式． (2)若，以，为边作平行四边形，点在第三象限内，求点的坐标． 30．（21-22九年级上·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，，两点在函数的图象上，其中，轴于点，轴于点，且． (1)若，则的长为________，的面积为________； (2)若点的横坐标为，且，当时，求的值． 31．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，A为反比例函数的图像上一点，轴，垂足为P． (1)连接，当时，求反比例函数的解析式； (2)若点在函数的图像上，点先向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得点，点恰好落在函数的图像上，求的值． (3)点B在直线上，且，过点B作直线轴，交反比例函数的图像于点C，若的面积为4，求k的值． 32．（2024·四川广元·二模）如图1，点A 是反比例函数 图象上的任意一点，过点 A 作轴，交另一个反比例函数 的图象于点 B，且的面积为 5． (1) ． (2)①若点 A 的纵坐标是求 的度数； ②如图 2，将①中的绕点O 顺时针旋转一定的角度．延长，分别交 于点 M，N，若点 M 的横坐标为，求直线的解析式． 类型九、反比例函数与一次函数的综合问题 33．（24-25九年级上·上海闵行·期中）已知在直角坐标系内的位置如图所示，，双曲线与边交于点，与边交于点． (1)求的值； (2)当的正切值为时，连接，求的面积与直线的表达式； (3)在（2）的条件下，设直线与轴交于点，点在射线上，连接，如果与相似，试求点的坐标． 34．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，点和点是一次函数与反比例函数的图象的两个交点，点的坐标为． (1)求反比例函数的表达式及一次函数的表达式； (2)设点是轴上的一个动点，当最小时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，点在直线上，其中，点为坐标系内一点，当以C、M、E、F为顶点组成的四边形为菱形时，直接写出点的坐标． 35．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象与等边相交．    (1)如图1，当反比例函数的图象经过的顶点时，若． ①求反比例函数的表达式． ②若点是上点左侧的图象上一点，且满足的面积与的面积相等，求点的坐标． (2)如图2，反比例函数的图象分别交的边OA，AB于和两点，连接CD并延长交轴于点，连接OD，当时，求的值． 36．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图1，一次函数与反比例函数的图象相交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知． (1)求反比例函数与一次函数解析式； (2)若直线过点，且与反比例函数交于点D，点F是y轴上的一个动点．点P是直线上的一个动点，当最小时，求的最小值及此时点F的坐标： (3)如图2，若点，连接，将线段以点D为圆心逆时针旋转，得到线段，连接，在反比例函数图像上是否存在一点Q，使得？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 类型十、反比例函数与实际应用综合问题 37．（23-24九年级上·广西南宁·开学考试）【综合与实践】 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】小明提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】（1）小华尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，木栏总长为，得到，在平面直角坐标系中作出两个函数的图象，则同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线的交点坐标为和______，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或______m，______． 【类比探究】（2）若，能否围出矩形地块？请仿照小华的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】（3）当木栏总长为时，小华建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的．在平移过程中，当直线与反比例函数的图象有唯一交点时，求交点坐标及a的值． 38．（23-24八年级下·江苏镇江·阶段练习）某电子科技公司研发出一套学习软件，并对这套学习软件在周的销售时间内，做出了下面的预测：设第x周该软件的周销售量为（单位：千套），当时，与成反比；当时，与成正比，并预测得到了如表中对应的数据． 周 千套 设第周销售该软件每千套的利润为（单位：千元），与满足如图中的函数关系图象： (1)求与的函数关系式； (2)观察图象，当时，与的函数关系式为_______． (3)第周销售该学习软件所获的周利润总额为多少？ (4)在这周的销售时间内，是否存在所获周利润总额不变的情况？若存在，求出这个不变的值；若不存在，请说明理由． 39．（2023·江苏盐城·二模）盐城市纺织染整产业园为国家级绿色纺织生产基地，现有一块矩形布料的两边长分别是2米与3米，若把这个矩形布料按照如图1的方式扩大到面积为原来的2倍，设原矩形布料的一边加长米，另一边长加长米，可得与之间的函数关系式．某校“数学兴趣小组”对此函数进一步推广，得到更一般的函数，现对这个函数的图象和性质进行了探究，研究过程如下： (1)如图2，在平面直角坐标系中，请用描点法画出的图象，并完成如下问题： ①函数的图象可由函数的图象向左平移 　 　个单位，再向下平移 　　个单位得到，其对称中心坐标为 　　； ②根据该函数图象指出，当在什么范围内变化时，？ (2)若要使面积扩大两倍后的这块布料周长最小，请你帮助该校“数学兴趣小组”设计出符合要求的扩大方案． 40．（2022·河南南阳·二模）给定一个函数：，为了研究它的图象与性质，并运用它的图象与性质解决实际问题，进行如下探索： (1)图象初探 ①列表如下 1 2 3 4 3 请直接写出m，n的值； ②请在如下的平面直角坐标系中描出剩余两点，并用平滑的曲线画出该函数的图象．                                                     图① (2)性质再探 请结合函数的图象，写出当________，y有最小值为________； (3)学以致用 某农户要建进一个如图①所示的长方体无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已知底面造价为3千元/平方米，侧面造价为千元/平方米． 设水池底面一边长为x米，水池总造价为y千元，可得到y与x的函数关系式为：． 根据以上信息，请回答以下问题： ①水池总造价的最低费用为________千元； ②若该农户预算不超过千元，请直接写出x的值应控制在什么范围？ 类型十一、反比例函数与几何压轴综合问题 41．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）如图1，一次函数（）的图象与y轴交于点B，与反比例函数（）的图象交于点，点C是线段上一点，点C的横坐标为3，过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D，与x轴交于点H，连接、． (1)一次函数表达式为 ；反比例函数表达式为 ； (2)在线段上是否存在点E，使点E到的距离等于它到x轴的距离？若存在，求点E的坐标，若不存在，请说明理由； (3)将沿射线方向平移一定的距离后，得到． ①若点O的对应点恰好落在该反比例函数图象上（如图2），求出点、的坐标； ②如图3，在平移过程中，射线与x轴交于点F，点Q是平面内任意一点，若以、、F、Q为顶点的四边形是菱形时，直接写出点的坐标． 42．（23-24八年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，直线分别与轴，轴交于点，点，点是反比例函数图象与直线在第一象限内的交点，过点作轴于点，且． (1)求反比例函数的表达式； (2)点是直线右侧反比例函数图象上一点，且，直线交轴于点，点，是直线上两点，点在点的左侧且，求的最小值及此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，点为反比例函数图象上一点，若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 43．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，一次函数与反比例函数交于A、B两点，点A的横坐标为，过点A作y轴的垂线l，交y 轴于点C，把直线上方反比例数的图象沿着直线l翻折，其它部分保持不变，所形成的新图象称为“G图象（不包含直线）”． (1)若时，求一次函数解析式； (2)在（1）的条件下，求“G图象”与x轴交点的横坐标； (3)过y轴另一点作y轴的垂线，与“G图象”交于E，F两点 ①若时，且，求m的值； ②若，直接写出n与m的数量关系（用含m的代数式表示n） 44．（23-24九年级上·江苏泰州·开学考试）在平面直角坐标系中，点，的位置和函数、的图象如图所示．以为边在x轴上方作正方形，边与函数的图象相交于点E，边与函数、的图象分别相交于点G、H，一次函数的图象经过点E、G，与y轴相交于点P，连接． (1)若，， ①求函数的表达式及的面积； ②直接写出使成立的x的范围； (2)当a、m在满足的条件下任意变化时，的面积是否变化？请说明理由； 45．（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）定义：把能被一条对角线分成两个全等直角三角形的四边形叫做勾股四边形，比如：矩形就是勾股四边形． (1)如图，在直角坐标系中，直线与双曲线相交于两点，点在轴负半轴上，为直角坐标平面上一点． ①分别求出两点的坐标； ②如图，当四边形是平行四边形时，请证明平行四边形是勾股四边形． (2)在（）的条件下，当以为顶点的四边形是勾股四边形时，请直接写出点的坐标． 类型十二、反比例函数的新定义与材料探究问题 46．（2024·辽宁·一模）【发现问题】 随着时代的发展，在现代城市设计中，有许多街道是设计的相互垂直或平行的，因此往往不能沿直线行走到目的地，只能按直角拐弯的方式行走．我们可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点和，用以下方式定义两点间的“折线距离”：．    【提出问题】 （1）①已知点，则______； ②函数的图象如图1，B是图象上一点，若，则点B的坐标为______； （2）函数的图象如图2，该函数图象上是否存在点C，使？若存在，求出其坐标；若不存在，请说明理由； 【拓展运用】 （3）已知函数和函数的图象如图3，D是函数图象上的一点，E是函数图象上的一点，当和分别取到最小值的时候，请求出的值． 47．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）换一个角度初看 华罗庚先生曾说过，数缺形时少直观，形缺数时难入微．这真实地刻画了数形结合的互补性和不可分．例如：已知两个函数，当取何值时，？根据“代数”的思想要解一元二次不等式，比较麻烦．而利用数形结合思想，只要画出图象后观察交点，就很好理解了． （1）如图1，当时，的取值范围是_______． 换一个角度二看 我们定义：任意给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积都是原矩形的2倍，那么我们称是的“加倍矩形”，是的“双半矩形”．请你研究矩形是否存在“双半矩形”．我们利用数形结合思想来解决方程问题．如图2，在同一平面直角坐标系中画出一次函数和反比例函数的部分图象，其中和分别表示矩形的“双半矩形”的两边长． （2）请你结合之前的研究，回答下列问题： ①这个图象所研究的矩形的面积为_____，周长为_____． ②是否存在矩形的“双半矩形”？如果存在，请求出的边长；如果不存在，请说明理由． （3）在第（2）问的条件下，坐标平面内是否存在以，，，为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 48．（2024·河北保定·一模）如图，在平而直角坐标系中，记函数的图象为G，直线经过点，与图象G交于B，C两点．    (1)求b的值，并在图中画出直线l； (2)当点B与点A重合时，点在第一象限内且在直线l上，过点P作轴于点Q． ①求点C的坐标； ②连接．若，求m的取值范围； (3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G与直线l所围成的封闭区域（含边界）为W．当区域W的边界上有5个整点时，请直接写出满足条件的整数k的个数． 49．（2023·四川成都·二模）如图，直线与双曲线相交于，两点，点坐标为，点的坐标，点是轴负半轴上的一点． 备用图 (1)分别求出直线和双曲线的表达式； (2)连接，，，，若，求点的坐标； (3)我们把能被一条对角线分成两个全等直角三角形的四边形叫做"美丽四边形"．在（2）的条件下，平面内是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是美丽四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 50．（22-23八年级下·四川内江·期末）如图1，已知双曲线经过的、两点，且点，，．    (1)求双曲线和直线对应的函数关系式； (2)如图2，点在双曲线上，点Q在y轴上，若以点、、、为顶点的四边是平行四边形，请直接写出满足要求的所有点的坐标； (3)如图3，以线段为对角线作正方形，点是边（不含点、）上一个动点，点是的中点，，交于点．当在上运动时，的度数是否会变化？若会的话，请给出你的证明过程．若不是的话，只要给出结论． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第26章反比例函数大题专练（全章12大类型培优提分练） 目录 类型一、反比例函数的定义及解析式 1 类型二、反比例函数的性质 4 类型三、反比例函数的图象 8 类型四、反比例函数的k的几何意义 14 类型五、反比例函数与一次函数的交点问题 19 类型六、反比例函数的应用 24 类型七、反比例函数与一次函数的实际问题 29 类型八、反比例函数与几何问题 34 类型九、反比例函数与一次函数的综合问题 41 类型十、反比例函数与实际应用综合问题 54 类型十一、反比例函数与几何压轴综合问题 63 类型十二、反比例函数的新定义与材料探究问题 79 类型一、反比例函数的定义及解析式 1．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知函数． (1)当为何值时，此函数为正比例函数，且随的增大而增大？ (2)当为何值时，此函数为反比例函数，且图象经过第一、三象限？ 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了正比例和反比例函数的定义以及性质求解即可． （1）根据正比例函数的定义以及性质求解即可． （2）根据反比例函数的定义以及性质求解即可． 【详解】（1）解：当函数为正比例函数时， 则， 解得：， ∵随的增大而增大． ∴， ∴， ∴． （2）当函数为反比例函数时， 则， 解得：， ∵图象经过第一、三象限 ∴， ∴， ∴． 2．（24-25九年级上·湖南郴州·阶段练习）如果函数 是反比例函数，且当时y随x的增大而增大，求函数的解析式． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的定义，反比例函数的图象和性质，由反比例函数的定义得出，，求出k的值，再根据图象的增减性对k值进行取舍即可． 【详解】解： 是反比例函数， ，， 解得，， 当时y随x的增大而增大， ， ， ， ， 即函数的解析式为． 3．（22-23九年级上·上海·阶段练习）已知，并且与成正比例，与成反比例．当，当，；求关于的函数解析式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，设，，则有，把已知条件代入则可求得y与x的函数解析式 【详解】解：设，，则， 把和，代入得： ，解得， ∴． 4．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知函数，其中与成正比例，与成反比例，当时，；当时，．求： (1)关于的函数解析式及定义域； (2)当时的函数值． 【答案】(1) (2)28 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，熟练掌握正比例函数、反比例函数的定义以及待定系数法求函数解析式的方法是解题的关键． （1）根据正比例与反比例的定义设，，得到与之间的函数关系式，然后利用待定系数法求函数解析式即可； （2）把代入（1）中的函数关系式进行计算即可． 【详解】（1）解： 与成正比例，与成反比例 设， 当时，；当时， 解得：， （2）解：由（1）可知，，则 当时，． 类型二、反比例函数的性质 5．（2024九年级下·全国·专题练习）已知反比例函数． (1)若，则x的取值范围是__________； (2)若，则x的取值范围是__________； (3)若，且，则x的取值范围是__________． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】本题考查反比例函数的增减性， （1）先求出当时的值，然后根据反比例函数的增减性进行求解即可； （2）先求出当时的值，然后根据反比例函数的增减性进行求解即可； （3）先分别求出当和时的值，然后根据反比例函数的增减性进行求解即可； 解题的关键在于熟知反比例函数的性质：当时，函数的图像在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小；当时，函数的图像在第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大． 【详解】（1）解：反比例函数的图像如图所示， 当时，， ∵函数的图像在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∴当时，x的取值范围是或， 故答案为：或； （2）当时，， ∵函数的图像在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∴当时，x的取值范围是， 故答案为：； （3）当时，；当时，， ∵函数的图像在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∴当且时，x的取值范围是或． 6．（23-24九年级上·河南周口·期中）已知反比例函数的图象经过第一、三象限． (1)求的取值范围． (2)若，此函数的图象经过，两点，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的增减性是解本题的关键； （1）由反比例函数的图象经过第一、三象限可得，再解不等式即可； （2）由反比例函数的增减性可得，从而可得答案． 【详解】（1）解： 反比例函数的图象经过第一、三象限， ，解得， 的取值范围是． （2）， ，， 反比例函数的图象经过，两点，且， ， 解得， ∴的取值范围是． 7．（23-24九年级上·贵州铜仁·阶段练习）已知反比例函数，其函数图象位于第一、三象限． (1)求的取值范围； (2)若点是该反比例函数图象上的两点，试比较的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，反比例函数的性质及反比例函数的图象，熟知反比例函数图象上各点一定适合此函数的解析式是解题的关键． （1）根据题意得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可； （2）先根据函数解析式判断出函数图象所在的象限及增减性，进而可得出结论． 【详解】（1）解：该反比例函数的图象位于第一、三象限， ， 解得． （2）解：该反比例函数的图象在第一、三象限， 在每个象限内，随的增大而减小． 又， ． 8．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知点，是反比例函数图象上两点．请用“”“”或“”填空． （1）若，，，则_____； （2）若，，，则______； （3）若，，，则______； （4）若，，则______； 变式  反比例函数中，若，，请讨论，的大小情况． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；变式：①当时，；②当时，；③当时， 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． （1）（2）（3）（4）以及变式直接根据反比例函数的增减性求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：； （2）∵， ∴反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：； （3）∵， ∴反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小 ∵，， ∴， ∴． 故答案为：； （4）∵， ∴反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小 ∵， ∴， 故答案为：； 变式： ∵， ∴反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大， ①当时，；②当时，；③当时，． 类型三、反比例函数的图象 9．（2024·贵州黔南·模拟预测）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的解析式； (2)在如图的平面直角坐标系中分别画出函数和的图象，并直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2)或，图见解析 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，熟练掌握待定系数法确定解析式，灵活运用数形结合思想确定不等式的解集是解题的关键． （1）先根据的图象经过点，得到，即可得到解析式． （2）联立函数和，确定交点横坐标分别为，，根据图象，即可得到关于的不等式的解集． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的解析式为． （2）函数和的图象如下： 由题意，联立， 解得，， 结合图象可知关于的不等式的解集为：或． 10．（24-25九年级上·全国·课后作业）在同一平面直角坐标系中，分别画出函数与的图象． (1)填写表格： __ __ __ __ (2)根据表格中的对应值为点坐标，在下图中画出函数图象． 【答案】(1)填表见解析 (2)画图见解析 【分析】（）根据函数解析式求出对应的函数值后填写表格即可； （）以表格中的对应值为点的坐标，描出点连线即可画出函数图象； 本题考查了画反比例函数图象，掌握画反比例函数图象的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，；当时，； 当时，，当时，； ∴填写表格如下： （2）解：画函数图象如下： 11．（2024·山东济南·模拟预测）【发现问题】 小明在学习过程中发现：周长为定值的矩形中面积最大的是正方形．那么，面积为定值的矩形中，其周长的取值范围如何呢？ 【解决问题】 小明尝试从函数图像的角度进行探究： （1）建立函数模型 设一矩形的面积为4，周长为，相邻的两边长为、，则，，即，，那么满足要求的应该是函数与的图象在第 　 　象限内的公共点坐标． （2）画出函数图像 ①画函数的图像； ②在同一直角坐标系中直接画出的图像，则的图像可以看成是由的图像向右平移_____________个单位长度得到． （3）研究函数图像：平移直线，观察两函数的图像； ①当直线平移到与函数的图像有唯一公共点的位置时，公共点的坐标为_________，周长m的值为___________； ②在直线平移的过程中，两函数图像公共点的个数还有什么情况？请直接写出公共点的个数及对应周长m的取值范围． 【结论运用】 （4）面积为10的矩形的周长m的取值范围为________． 【答案】（1）一；（2）①见解析过程；②见解析过程，；（3），8；（4）． 【分析】本题是反比例函数的综合题，考查正比例函数的图象和性质、反比例函数的图象和性质，将点的坐标转化为线段的长，利用方程求出所设的参数，进而求出结果是解决此类问题常用的方法． （1）由，，可得在第一象限； （2）①直接画出图象即可；②直接画出图象即可，求出与轴的交点坐标，即可求解； （3）①联立方程组，可求解；②在直线平移过程中，交点个数有：0个、1个、2个三种情况，结合图象可求解； （4）联立方程组，可得，由根的判别式可求解． 【详解】解：（1），都是边长，周长为， ，，， 满足要求的应该是函数与的图象在第一象限内的公共点坐标． 故答案为：一； （2）①的图象如图所示： ②的图象如图所示， 与轴的交点为，， 的图象可以看成是由的图象向右平移个单位长度得到， 故答案为：； （3）①联立方程组可得：， 整理得：， 两图象有唯一交点， △， ， ， 解得：， 交点坐标为， 故答案为：，8； ②由①知：0个交点时，；2个交点时，；1个交点时，； （4）设相邻的两边长为、，则，，即，， 联立方程组可得， 整理得：， 两函数有交点， ， ， 故答案为：． 12．（2024·青海·一模）如图，在同一平面直角坐标系中，正比例函数和反比例函数的图象交于A，B两点，轴，垂足是C．求： (1)反比例函数上的解析式； (2)的面积． 【答案】(1) (2)的面积是2 【分析】本题考查的知识点是正比例函数以及反比例函数图象上点的坐标． （1）根据题意A的纵坐标为2，代入，求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得k的值； （2）分别求出和即可求解． 【详解】（1）解：∵正比例函数的图象与反比例函数的图象交点A的纵坐标为2， ， 解得：， 把代入，得， ∴反比例函数解析式为； （2）解：轴，垂足是C， ， ∵点A和点B关于原点对称， ， ∴，， ∴， 的面积是2． 类型四、反比例函数的k的几何意义 13．（2024·四川绵阳·二模）如图，在中，，点在反比例函数的图象上，点的坐标为，，求点所在的反比例函数解析式． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义．利用反比例函数中值的几何意义，求出三角形的面积就可推导出值，写出解析式． 【详解】解：设点所在的反比例函数解析式为：， 过点作，垂足为， ，， ， ； ，且图象在第四象限， ． 点所在的反比例函数解析式为：． 14．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图，正方的边在x轴的正半轴上，点，反比例函数的图象分别交于点E，F，已知 (1)求反比例函数的解析式． (2)连接 求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】 题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数系数k的几何意义，正方形的性质，求得点的坐标是解题的关键． （1）根据正方形的性质得到，，而，则，可得到E点坐标为，从而确定； （2）首先求得F的坐标，然后根据，利用梯形的面积公式即可求得． 【详解】（1）解：∵正方的边在x轴的正半轴上，点， ∴ ，， ∵ ∴， ∴E点坐标为， ∵的图象经过点， ∴ ∴反比例函数的解析式为； （2）解：连接，作于P， ∵， 把代入，求得， ∴ ∵， ∴． 15．（22-23九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点P在上，轴于点C，交于点A，轴于点D，交于点B，若四边形的面积为5，求k的值． 【答案】8 【分析】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，根据反比例函数系数k的几何意义得到，然后利用四边形的面积进行计算，熟练掌握图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即是解决此题的关键． 【详解】∵轴，轴，两个函数图象都在第一象限， ∴， ∴四边形的面积． 解得． 16．（23-24九年级上·陕西西安·期末）已知点A为反比例函数图象上任意一点，连接并延长至点B，使，过点B作轴交函数图象于点C，连接．    (1)如图1，若点A的坐标为，求点B的坐标； (2)如图2，过点A作，垂足为D，若设A点坐标为，求四边形的面积． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题主要考查了反比函数与几何的综合问题． （1）先根据点A的坐标在反比例函数的图象上，求出点A的坐标为，再由，可得点B的坐标． （2）设，可得点B的坐标为，从而得到点D的坐标为，，分别求出和的面积，即可求解． 【详解】（1）解：将点坐标代入到反比例函数中得， ， ∴点A的坐标为． ∵，， ∴点A为的中点， ∴点B的坐标为． （2）若设A点坐标为， ∵ ∴点B的坐标为：， ∵， ∴轴， ∴点D的坐标为， ∵，且点C在反比例函数图象上， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积为：． 类型五、反比例函数与一次函数的交点问题 17．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图， 已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求直线与x轴的交点C的坐标及的面积； (3)直接写出一次函数的值小于反比例函数值的x的取值范围． 【答案】(1)反比例函数解析式为： ，一次函数的解析式为：； (2)点C的坐标为：，的面积为6； (3)或． 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的基本性质，熟练掌握基本性质是解题关键． （1）先通过点得到反比例函数解析式，再求出点坐标，再通过两点坐标得到一次函数解析式； （2）令一次函数的函数值等于0，求出的值即可知道与轴的交点坐标，再把的面积拆成的面积与的面积之和即可求解； （3）直接通过函数图象即可得到． 【详解】（1）解： 在反比例函数 的图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为： 把代入 得， 解得， 则A点坐标为． 把，分别代入， 得 解得 ∴一次函数的解析式为； （2）∵， ∴当时，， ∴点C的坐标为：， ∴的面积=的面积+的面积． （3）由图象可知，当或时，一次函数的值小于反比例函数的值． 18．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于C，D两点，与x，y轴交于B，A两点，且，，． (1)求一次函数的解析式和反比例函数的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)8 【分析】这是一道一次函数和反比例函数的综合问题，考查了待定系数法求一次函数（反比例函数）关系式，求反比例函数和一次函数的交点，对于（1），根据，可求，得出点A，B的坐标，再根据待定系数法求出直线的关系式，结合，即点C的横坐标为，将代入直线关系式求出点C的坐标，进而得出反比例函数关系式； 对于（2），先求出点D的坐标，再根据可得答案． 【详解】（1）∵， ∴， ∴点． ∵一次函数经过点A，B， ∴， 解得， ∴一次函数的关系式为． ∵， ∴点C的横坐标为， 将代入，得， ∴点． ∵反比例函数经过点， ∴， 解得， ∴反比例函数的为； （2）将两个函数关系式联立，得 ， 解得， 当时，， ∴点， ∴． 19．（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)若是轴上一点，且满足的面积是6，请求出点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的解析式是，一次函数的解析式是； (2)点的坐标为或 【分析】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点求不等式解集，坐标与图形性质，以及三角形的面积求法． （1）将坐标代入反比例函数解析式中求出的值，即可确定出反比例函数解析式；将坐标代入反比例解析式中求出的值，确定出坐标，将与坐标代入一次函数解析式中求出与的值，即可确定出一次函数解析式； （2）作轴于，根据即可求出的长，进而求出点的坐标． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， ． 反比例函数的解析式是， 点在反比例函数的图象上， ， ， 一次函数的图象经过、两点， ， 解得：， 一次函数的解析式是； （2）解：如图，作轴于，则， ∵， ∴ 解得：， 点的坐标为或． 20．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，直线与反比例函数（）的图象交于点，与x轴交于点B，平行于x轴的直线（）交反比例函数的图象于点M，交于点N，连接． (1)求m的值和反比例函数的解析式； (2)观察图象，直接写出当时不等式的解集； (3)直线沿轴方向平移，当n为何值时，的面积最大？最大值是多少？ 【答案】(1)m =8，； (2)； (3)，的面积最大，最大值为． 【分析】本题考查反比例函数，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建二次函数，解决最值问题，属于中考常考题型． （1）求出点的坐标，利用待定系数法即可解决问题； （2）结合函数图象找到直线在双曲线上方对应的的取值范围； （3）构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：∵直线经过点A(1，m)， ， ， 反比例函数经过点， ， 反比例函数的解析式为； （2）解：∵， ∴由图象得，不等式的解集为； （3）解：由题意得，点M，N的坐标分别为，， ， ，， ， ∵， 时，的面积最大，最大值为． 类型六、反比例函数的应用 21．（23-24九年级上·辽宁大连·阶段练习）已知蓄电池的电压为定值，使用该蓄电池时，电流I（单位：）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求出这个反比例函数的解析式； (2)若使用时测得电流I为，则电阻R是 ； (3)如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不能超过，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围？ 【答案】(1) (2)24 (3)用电器可变电阻应控制在4.8欧以上的范围内 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是正确地从中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题． （1）先由电流J是电阻R的反比例函数，可设，将点，利用待定系数法即可求出这个反比例函数的解析式． （2）根据反比例函数关系式即可求解； （3）根据题意可得出，解不等式即可确定电阻的取值范围． 【详解】（1）解：电流1是电阻R的反比例函数， 设， ∵图象经过， ∴， 解得， ∴， （2）当时， 则， ∴， （3）∵，， ∴， ∴， 则用电器可变电阻应控制在4.8欧以上的范围内． 22．（21-22九年级上·全国·单元测试）一辆汽车往返于甲、乙两地之间，如果汽车以千米/小时的平均速度从甲地出发，经过小时可达乙地． (1)甲、乙两地相距多远？ (2)如果汽车的速度（千米/小时）提高，那么从甲地到乙地所需的时间将怎样变化？ (3)由于某种原因，这辆汽车需要在小时内从甲地到乙地，则此地时汽车平均速度应至少为多少？ 【答案】(1)300千米 (2)从甲地到乙地所需的时间将减小 (3)60千米/小时 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用： （1）根据路程等于速度乘以时间进行求解即可； （2）根据汽车的速度与从甲地到乙地所需的时间的乘积等于甲、乙两地的距离进行求解即可； （3）设（v为汽车的速度，t为到达时间），求出当时，v的值即可得到答案． 【详解】（1）解：千米， 答：甲、乙两地相距300千米； （2）解：∵汽车的速度与从甲地到乙地所需的时间的乘积等于甲、乙两地的距离， ∴当汽车的速度提高时，到达的时间将减小； （3）解：设（v为汽车的速度，t为到达时间）， 当时，， ∵， ∴v随t增大而减小， ∴当这辆汽车需要在小时内从甲地到乙地时，汽车平均速度应大于等于60千米/小时， ∴汽车平均速度应至少为60千米/小时． 23．（2024·河南商丘·模拟预测）某校科技小组在一次野外考察中遇到一片烂泥湿地．为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干块木板，构筑成一条临时近道．每块木板对地面的压强是木板面积的反比例函数，其图象如图所示． (1)求P于S的函数关系式； (2)求当时，物体所受的压强； (3)当时，求受力面积S的变化范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用： （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求把代入中求出P的值即可； （3）分别求出和时S的值即可得到答案． 【详解】（1）设， ∵点在这个函数的图象上， ∴． ∴． ∴P与S的函数关系式为． （2）解：当m2时，． （3）解：令，， 令，， ∵在中，， ∴P随S增大而减小， ∴当时，． 24．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）大约在两千四五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数．当时，． (1)求关于的函数表达式． (2)若物距（小孔到蜡烛的距离）为，求火焰的像高． (3)若火焰的像高不得超过，求小孔到蜡烛的距离至少是多少厘米？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是反比例函数的应用，掌握待定系数法是解本题的关键； （1）由题意设，再利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）把代入，再计算可得答案； （3）由再建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：由题意设：， 把，代入，得， 关于x的函数解析式为：； （2）把代入，得， ∴火焰的像高为． （3）时， ， ， ， 答：小孔到蜡烛的距离至少是． 类型七、反比例函数与一次函数的实际问题 25．（23-24九年级上·广东江门·期末）通过试验研究发现：一节40分钟的课堂，初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．如图，学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分．    (1)求反比例函数解析式和点A、D的坐标； (2)陈老师在一节课上讲解一道数学综合题需要16分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32？请说明理由． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，， (2)陈老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32，理由见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的实际应用： （1）设反比例函数的解析式为，由求出，可得坐标，从而求出的坐标； （2）求出解析式，得到时，，由反比例函数可得时，，根据，即可得到答案． 【详解】（1）解：设当时，反比例函数的解析式为，将代入得： ，解得， 反比例函数的解析式为， 当时，， ， ； （2）解：陈老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32，理由如下： 设当时，的解析式为，将、代入得： ， 解得， 的解析式为， 在中，当时，， 在中，当时，， 时，注意力指标都不低于32， ∵， 陈老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32． 26．（23-24九年级上·河南安阳·期末）心理学研究发现，一般情况下，在一节分钟的数学课中，学生的注意力随上课时间的变化而变化，开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持在较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散，通过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如下图所示，点B的坐标为、点C的坐标为，为反比例函数图象的一部分． (1)求所在的反比例函数的解析式； (2)数学老师计划在课堂上讲解一道代数推理题，准备安排分钟讲解，为了达到最佳的教学效果，要求学生的注意力指标数不低于，请问老师的安排是否合理？并说明理由． 【答案】(1)； (2)不合理，理由见解析． 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合在实际问题中的应用，掌握“建模”思想是解题关键． （1）设所在的反比例函数的解析式为，将代入即可求解； （2）求出直线的解析式，分别求出当时，一次函数与反比例函数的自变量的值，即可作出判断． 【详解】（1）解：设所在的反比例函数的解析式为． 由题意知，解得， ∴所在的反比例函数的解析式为． （2）解：不合理．理由如下： 设直线的解析式为 将代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为． 将代入， 得， 解得； 将代入， 得，解得． ， ∴老师的安排不合理． 27．（22-23九年级上·四川宜宾·期末）为了预防某种流感病毒，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数），如图所示．据图中提供的信息，解答下列问题：    (1)写出从药物释放开始，y与t之间的两个函数关系式及相应的自变量的取值范围； (2)当室内每立方米空气中的含药量达到1毫克及以上时才能起有效的消毒作用，请问本次消毒过程中，有效的消毒作用时长为多少小时？ (3)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.5毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？ 【答案】(1)， (2)有效的消毒作用时长为小时； (3)至少需要经过8小时后，学生才能进入教室 【分析】（1）根据函数图象信息，待定系数法求解析式即可，注意相应的自变量取值范围； （2）计算当时，求反比例函数的值即可； （3）计算当时，求反比例函数的值即可． 【详解】（1）解：当时，， 设正比例函数解析式为：，反比例函数解析式为：， 将分别代入，， 解得：， ∴，； （2）解：当时，，， 解得，， ∴（小时）． ∴有效的消毒作用时长为小时； （3）解：当时，， 解得， ∴至少需要经过8小时后，学生才能进入教室． 【点睛】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式、反比例函数解析式，从函数图象上获取信息，反比例函数图象的实际意义，理解图象信息是解题的关键． 28．（22-23九年级上·河南驻马店·期末）紫外线杀菌灯的电阻随温度的变化的大致图象如图所示．通电后温度由室温上升到时，电阻与温度成反比的函数关系．且在温度达到时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度升高而增加，温度每上升，电阻增加．    (1)当时时，求与之间的关系式． (2)紫外线杀菌灯在使用过程中，温度在什么范围内时，电阻不超过． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设关系为，将代入求； （2）将代入函数关系式求出的值． 【详解】（1）解：设． 过点， ． 当时，与的关系式为：； （2）将代入上式中得：，． 温度在时，电阻． 在温度达到时，电阻下降到最小值；随后电阻随温度升高而增加，温度每上升，电阻增加， 当时， ， 把代入， 得； 把时代入， 得； 答：当时，电阻不超过． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值． 类型八、反比例函数与几何问题 29．（2024·山西·模拟预测）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，过点作轴，垂足为，连接，．    (1)求反比例函数的表达式． (2)若，以，为边作平行四边形，点在第三象限内，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立正比例函数与反比例函数，解方程组可得，图形结合分析，再根据，由此即可求解； （2）把点代入反比例函数解析式可得，则，根据点关于原点对称可得，再根据平行四边形的性质可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵正比例函数与反比例函数的图象交于点， ∴， 解得，，， 根据图形可得，， ∴， ∵轴， ∴，点到的距离为， ∵， ∴， ∴反比例函数解析式为：； （2）解：由（1）可知，反比例函数解析式为，且点在反比例函数图象上， ∴，即， ∵轴， ∴， ∵正比例函数与反比例函数交于点， ∴点关于原点对称， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握一次函数与反比例函数交点的计算，解一元二次方程的方法，几何图形面积的计算方法，平行四边形的性质是解题的关键． 30．（21-22九年级上·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，，两点在函数的图象上，其中，轴于点，轴于点，且． (1)若，则的长为________，的面积为________； (2)若点的横坐标为，且，当时，求的值． 【答案】(1)；1 (2) 【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征、反比例函数系数k的几何意义以及两点间的距离公式， （1）由和的值可得出点A的坐标，利用勾股定理即可求出的长度，由点B在反比例函数图像上，利用反比例函数系数k的几何意义即可得出的面积； （2）根据反比例函数图像上点的坐标特征可找出点A、B的坐标，利用两点间的距离公式即可求出、的长度，由即可得出关于的方程，解之即可求出值，再根据即可确定值． 【详解】（1）解：∵，， ∴点， ∴， ． ∵点B在反比例函数的图像上， ∴． 故答案为；1． （2）解：∵A，B两点在函数的图像上， ∴，， ∴，． ∵， ∴， 解得：或． ∵， ∴． 31．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）如图，A为反比例函数的图像上一点，轴，垂足为P． (1)连接，当时，求反比例函数的解析式； (2)若点在函数的图像上，点先向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得点，点恰好落在函数的图像上，求的值． (3)点B在直线上，且，过点B作直线轴，交反比例函数的图像于点C，若的面积为4，求k的值． 【答案】(1) (2)1 (3)或 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，反比例函数与几何综合，反比例函数解析式等知识．熟练掌握反比例函数的几何意义，反比例函数与几何综合，反比例函数解析式是解题的关键． （1）根据反比例函数的几何意义求解作答即可； （2）由题意知，平移后的点坐标为，由点，点在函数的图像上，可得，计算求解即可； （3）如图2， 设，则，，分当在点左侧时，当在点右侧时两种情况，根据的面积为列等式，计算求解即可． 【详解】（1）解：如图1， 由题意知，， 解得，或（舍去）， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：由题意知，平移后的点坐标为， ∵点在函数的图像上，点恰好落在函数的图像上， ∴， 解得，， ∴的值为1． （3）解：如图2， 设，则，， 当在点左侧时，，则， 将代入得，， ∴， 解得，； 当在点右侧时，同理可得，，，， ∴， 解得，； 综上所述，k的值为或． 32．（2024·四川广元·二模）如图1，点A 是反比例函数 图象上的任意一点，过点 A 作轴，交另一个反比例函数 的图象于点 B，且的面积为 5． (1) ． (2)①若点 A 的纵坐标是求 的度数； ②如图 2，将①中的绕点O 顺时针旋转一定的角度．延长，分别交 于点 M，N，若点 M 的横坐标为，求直线的解析式． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，相似三角形的性质与判定，反比例函数比例系数的几何意义： （1）根据反比例函数比例系数的几何意义得到，进而得到，则可得到； （2）①先求出A、B坐标，进而求出即可得到答案；②过点M作轴于H，过点N作轴于G，则；求出，得到，证明，得到，则，可得，再利用待定系数法求出对应的直线解析式即可． 【详解】（1）解：设与轴交于C， ∵轴，点A在反比例函数的图象上， ∴， ∵的面积为 5， ∴， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴， ∵反比例函数的图象经过第二象限， ∴； （2）解；①在中，当时，，在中，当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且； ②如图所示，过点M作轴于H，过点N作轴于G， ∴ ∵点M和点N分别在反比例函数和反比例函数的图象上， ∴； 在当，当时，， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为． 类型九、反比例函数与一次函数的综合问题 33．（24-25九年级上·上海闵行·期中）已知在直角坐标系内的位置如图所示，，双曲线与边交于点，与边交于点． (1)求的值； (2)当的正切值为时，连接，求的面积与直线的表达式； (3)在（2）的条件下，设直线与轴交于点，点在射线上，连接，如果与相似，试求点的坐标． 【答案】(1) (2)2， (3)或 【分析】（1）待定系数法求出的值，再把代入解析式求出的值即可； （2）过点作轴于点，利用三角函数求出点坐标，进而求出直线的表达式，利用三角形的面积公式求出的面积即可； （3）先求出点坐标得到轴，然后分两种情况，列出比例式进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得：， ∴， 把代入，得：； （2）∵，， ∴轴，，， 由（1）知：， 连接，过点作轴于点，如图， 则：轴，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 设直线的解析式为，把，代入，得： ，解得：， ∴； （3）由（2）知：，， ∴当时，，当时，， ∴，， ∴， ∵， ∴轴， ∴， ∴当与相似时，分两种情况： ①，即：， ∴， ∴； ②，则：， ∴， ∴； 综上：或． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，解直角三角形，待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 34．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，点和点是一次函数与反比例函数的图象的两个交点，点的坐标为． (1)求反比例函数的表达式及一次函数的表达式； (2)设点是轴上的一个动点，当最小时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，点在直线上，其中，点为坐标系内一点，当以C、M、E、F为顶点组成的四边形为菱形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)一次函数解析式为；反比例函数解析式为 (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出，设点关于轴的对称点为，连接交轴于点，则最小，此时，据此求出直线的解析式，进而求出点的坐标即可． （3）由菱形的性质可得．轴，则设，利用两点坐标公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：把代入中得：，解得， ∴一次函数解析式为； 把代入中得：，解得， ∴反比例函数解析式为； （2）解：将代入，得， ． 设点关于轴的对称点为， 连接交轴于点，则最小，此时． 设过点和的直线为， 将，代入，得 解得 ， 点的坐标为． （3）解：设直线的表达式为， 将，代入，得： ． 如图，C、M、E、F为顶点组成的四边形为菱形时，．轴， 设， ∴， 解得， ∴或 点的坐标为，点的坐标为． 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题属于反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的图象与性质，一次函数的性质，勾股定理，轴对称最短路径问题，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的图象与性质． 35．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象与等边相交．    (1)如图1，当反比例函数的图象经过的顶点时，若． ①求反比例函数的表达式． ②若点是上点左侧的图象上一点，且满足的面积与的面积相等，求点的坐标． (2)如图2，反比例函数的图象分别交的边OA，AB于和两点，连接CD并延长交轴于点，连接OD，当时，求的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①过点A作于点F，根据等边三角形的性质可得，再结合勾股定理可得点A的坐标为，即可求解； ②连接，分别过点B，M作，垂足分别为点K，H，则，则，证明四边形是平行四边形，则，求出直线的解析式为，可设直线的解析式为，求出直线的解析式为，联立得：，即可求出答案； （3）过点C作轴于点P，过点D作轴于点Q，设，再求出点C的坐标为，点D的坐标为，然后根据点C，D均在反比例函数解析式上，可得点D的坐标为，从而得到，再求出直线的解析式，可得点E的坐标为， 从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：①过点A作于点F，    ∵是等边三角形，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点A的坐标为， ∵反比例函数的图象经过点A， ∴， ∴反比例函数表达式为：； ②如图，连接，分别过点B，M作，垂足分别为点K，H，则，    ∵的面积与的面积相等， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 设直线的解析式为， 把点代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 可设直线的解析式为， ∵， ∴点B的坐标为， 把点代入，得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 联立得： 解得：（舍去）或， ∴点M的坐标为； （2）解：如图，过点C作轴于点P，过点D作轴于点Q，设，    ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴点C的坐标为，点D的坐标为， ∵点C，D均在反比例函数解析式上， ∴， 解得：（舍去）或， ∴点D的坐标为， ∴， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴点E的坐标为， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用、勾股定理、等边三角形的性质、直角三角形的性质，熟练掌握求反比例函数解析式的方法和反比例函数图象上点的横坐标与纵坐标的积等于比例系数是解题的关键． 36．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图1，一次函数与反比例函数的图象相交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知． (1)求反比例函数与一次函数解析式； (2)若直线过点，且与反比例函数交于点D，点F是y轴上的一个动点．点P是直线上的一个动点，当最小时，求的最小值及此时点F的坐标： (3)如图2，若点，连接，将线段以点D为圆心逆时针旋转，得到线段，连接，在反比例函数图像上是否存在一点Q，使得？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)一次函数解析式为；反比例函数解析式为 (2)的最小值为，点F的坐标 (3)在反比例函数上存在一点，使得，点Q的坐标为或 【分析】（1）由得出，从而得到，，再利用待定系数法求解即可； （2）待定系数法求出直线的解析式为，作轴于，轴于，交直线于，设，则，表示出，，，解直角三角形得出，推出，则，当、、再同一直线上，且轴时，值最小，此时最小值为，求出，作点关于轴的对称点为，连接交轴于，由轴对称的性质可得，，则，由两点之间，线段最短可得此时的值最小，由勾股定理计算出最小值，再由待定系数法求出直线的解析式为，当时，，即可得出点F的坐标； （3）过点作轴的垂线，过点、作垂线的垂线交于点、，则，由旋转的性质可得，，证明，，，从而得出，设直线与直线交于，证明，得出，作于，则，得到的横坐标为，待定系数法求出直线的解析式为，得到，待定系数法得出直线的解析式为，联立，解得：，即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， 将，代入得：， 解得：， ∴一次函数解析式为； 将代入得：， ∴， 将代入得：， ∴， ∴反比例函数解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图，作轴于，轴于，交直线于， ， 设，则， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 当、、再同一直线上，且轴时，值最小，此时最小值为， ∵， ∴在中，当时，，即， 如图，作点关于轴的对称点为，连接交轴于， 由轴对称的性质可得，， ∴，由两点之间，线段最短可得此时的值最小，最小值为， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴，即点F的坐标； （3）解：在反比例函数上存在一点，使得，理由如下： 过点作轴的垂线，过点、作垂线的垂线交于点、，则， ， 由旋转的性质可得，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即， 设直线与直线交于， ∵，， ∴， ∴， 作于，则， ∴的横坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，，即， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：， 当时，，当时，， ∴点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、解直角三角形、待定系数法求函数解析式、等腰三角形的判定与性质、两点间的距离公式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 类型十、反比例函数与实际应用综合问题 37．（23-24九年级上·广西南宁·开学考试）【综合与实践】 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】小明提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】（1）小华尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，木栏总长为，得到，在平面直角坐标系中作出两个函数的图象，则同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线的交点坐标为和______，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或______m，______． 【类比探究】（2）若，能否围出矩形地块？请仿照小华的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】（3）当木栏总长为时，小华建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的．在平移过程中，当直线与反比例函数的图象有唯一交点时，求交点坐标及a的值． 【答案】（1）；4；2；（2）时，不能围出面积为的矩形；图见解析，理由见解析；（3），交点坐标为． 【分析】（1）根据函数的解析式，联立构造方程组，转化为一元二次方程，解方程即可． （2）仿照（1），根据函数的解析式，联立构造方程组，转化为一元二次方程，利用根的判别式判定方程解的情况即可． （3）仿照（2），根据函数的解析式，联立构造方程组，转化为一元二次方程，利用根的判别式，令判别式等于零求解即可． 【详解】解：（1）将反比例函数与直线：联立得， ∴， ∴， ∴，， ∴方程组的解为或， ∴另一个交点坐标为， ∵为，为， ∴，． 故答案为：；4；2； （2）时，不能围出面积为的矩形；理由如下： 由题意得，即直线：， 将反比例函数与直线：联立得， ∴， ∴， ∵， ∴无解， 故两个函数图象无交点； 的图象， 当时，；当时，； 如图中所示： ∵与函数图象没有交点， ∴时，不能围出面积为的矩形； （3）如图中直线：所示， ∵直线与反比例函数的图象有唯一交点， ∴有唯一解，即：方程只有一个实数解， ∴， 解得：或（舍去）， 此时：， 解得：， 当时，， ∴此时交点坐标为． 【点睛】本题考查了一次函数解析式，反比例函数解析式，函数的交点问题，图象的画法，解方程组，解一元二次方程，根的判别式的应用，熟练掌握解方程组，解方程，根的判别式活用是解题的关键． 38．（23-24九年级上·江苏镇江·阶段练习）某电子科技公司研发出一套学习软件，并对这套学习软件在周的销售时间内，做出了下面的预测：设第x周该软件的周销售量为（单位：千套），当时，与成反比；当时，与成正比，并预测得到了如表中对应的数据． 周 千套 设第周销售该软件每千套的利润为（单位：千元），与满足如图中的函数关系图象： (1)求与的函数关系式； (2)观察图象，当时，与的函数关系式为_______． (3)第周销售该学习软件所获的周利润总额为多少？ (4)在这周的销售时间内，是否存在所获周利润总额不变的情况？若存在，求出这个不变的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)元 (4)存在，不变的值为240 【分析】本题考查了一次函数的应用，，正比例与反比例的应用； （1）通过待定系数法求函数关系式． （2）观察图象，分析函数图象性质，分段求解． （3）设第周销售该学习软件所获的周利润总额为，列出函数关系式，将代入，即可求解； （4）先求得当时，与的函数关系式为，根据分段表示出的函数关系式，即可求解． 【详解】（1）解：当时，设， 根据表格中的数据，当时，， ， 解得：， ， 当时，设， 根据表格中的数据，当时，， ， 解得：， ， 即：， 与的函数关系式为； （2）解：当时，设与的函数关系式为， 将，；，代入， 得：， 解得：， 当时，设与的函数关系式为， 故答案为：； （3）设第周销售该学习软件所获的周利润总额为， 当时， 当时，千元 即元 （4）存在，不变的值为， 由函数图像得：当时，设与的函数关系式为， 将，；，代入， 得：， 解得：， 当时，与的函数关系式为， 当时， ； 当时，； 当时，， 综上所述，在这周的销售时间内，存在所获周利润总额不变的情况，这个不变的值为． 39．（2023·江苏盐城·二模）盐城市纺织染整产业园为国家级绿色纺织生产基地，现有一块矩形布料的两边长分别是2米与3米，若把这个矩形布料按照如图1的方式扩大到面积为原来的2倍，设原矩形布料的一边加长米，另一边长加长米，可得与之间的函数关系式．某校“数学兴趣小组”对此函数进一步推广，得到更一般的函数，现对这个函数的图象和性质进行了探究，研究过程如下： (1)如图2，在平面直角坐标系中，请用描点法画出的图象，并完成如下问题： ①函数的图象可由函数的图象向左平移 　 　个单位，再向下平移 　　个单位得到，其对称中心坐标为 　　； ②根据该函数图象指出，当在什么范围内变化时，？ (2)若要使面积扩大两倍后的这块布料周长最小，请你帮助该校“数学兴趣小组”设计出符合要求的扩大方案． 【答案】(1)图像见解析；①3，2，；②； (2)， 【分析】本题考查反比例函数的图象及性质， （1）用描点法画出图象即可． ①根据函数图象的平移规律即可解答； ②先求出时，的取值，然后结合函数图象即可解答． （2）写出周长的表达式，并将其中的用表示出来，再利用，当时，取最小值，从而求出和的值． 灵活运用反比例函数的性质解决问题是关键． 【详解】（1）解：画出的图象如图所示： ①函数的图象可由函数的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到，其对称中心坐标为． 故答案为：3，2，． ②当时，有，即． 由图象可得：当时，． （2）面积扩大两倍后的这块布料周长． 当时，即当，时，取最小值． 40．（2022·河南南阳·二模）给定一个函数：，为了研究它的图象与性质，并运用它的图象与性质解决实际问题，进行如下探索： (1)图象初探 ①列表如下 1 2 3 4 3 请直接写出m，n的值； ②请在如下的平面直角坐标系中描出剩余两点，并用平滑的曲线画出该函数的图象．                                                     图① (2)性质再探 请结合函数的图象，写出当________，y有最小值为________； (3)学以致用 某农户要建进一个如图①所示的长方体无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已知底面造价为3千元/平方米，侧面造价为千元/平方米． 设水池底面一边长为x米，水池总造价为y千元，可得到y与x的函数关系式为：． 根据以上信息，请回答以下问题： ①水池总造价的最低费用为________千元； ②若该农户预算不超过千元，请直接写出x的值应控制在什么范围？ 【答案】(1)①，；②见解析 (2)1，3 (3)①5；② 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象和性质，数形结合是解此题的关键． （1）①把和分别代入解析式即可得出结论； ②把表格中，的对应值在平面直角坐标系中描出来，再用光滑的曲线连接起来； （2）根据图形得出结论； （3）①根据（2）可得结论； ②令，解不等式即可． 【详解】（1）①， 当时，， 当时，， ，； ②如图： （2）由图象可得：当时，的最小值为3， 故答案为：1，3； （3）①由（2）可知，当时，的最小值为5， 水池总造价的最低费用为5千元， 故答案为：5； ②由题意， ， ， 解得：． 类型十一、反比例函数与几何压轴综合问题 41．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）如图1，一次函数（）的图象与y轴交于点B，与反比例函数（）的图象交于点，点C是线段上一点，点C的横坐标为3，过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D，与x轴交于点H，连接、． (1)一次函数表达式为 ；反比例函数表达式为 ； (2)在线段上是否存在点E，使点E到的距离等于它到x轴的距离？若存在，求点E的坐标，若不存在，请说明理由； (3)将沿射线方向平移一定的距离后，得到． ①若点O的对应点恰好落在该反比例函数图象上（如图2），求出点、的坐标； ②如图3，在平移过程中，射线与x轴交于点F，点Q是平面内任意一点，若以、、F、Q为顶点的四边形是菱形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2)存在， (3)①，；②点的坐标为或或 【分析】（1）将点代入一次函数与反比例函数中求解，即可解题； （2）根据点C的横坐标为3，求出点C，的坐标，结合勾股定理进而得到，，设，记点E到的距离，利用等面积法推出，再根据“点E到的距离等于它到x轴的距离”建立等式求解，即可解题； （3）①记点O到对应点向右平移了个单位长度，得到，根据平移的特点进而得到，，再根据在一次函数图象上，建立等式求解，即可解题； ②设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，记直线向右平移个单位长度得到直线，得到直线的解析式，进而得到，即，联立与，求出，进而推出，，结合勾股定理得到、、，再根据以、、F、Q为顶点的四边形是菱形，分以下三种情况①当、为菱形的边时，②当、为菱形的边时，③当、为菱形的边时，结合菱形性质建立等式求解，即可解题． 【详解】（1）解：一次函数（）与反比例函数（）的图象交于点， ，， 解得，， 一次函数表达式为；反比例函数表达式为； 故答案为：；． （2）解：存在， 点C的横坐标为3， ，即， 轴，且在反比例函数上， ，，即， 点E在线段上， 设（）， ，， 记点E到的距离， 有， 即， 解得， 点E到的距离等于它到x轴的距离， 或， 解得或（不合题意，舍去）， ； （3）解：①记点O到对应点向右平移了个单位长度， 点O的对应点恰好落在该反比例函数图象上， ， 由平移的性质可知，，， 在一次函数图象上， ， 解得或（不合题意，舍去）， ，； ② ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 记直线向右平移个单位长度得到直线， 由平移的性质可知，直线的解析式为， 射线与x轴交于点F， ，即， 联立与，有， 整理得， 将代入中有：， 即， ，， ，，， 以、、F、Q为顶点的四边形是菱形， ①当、为菱形的边时， 有，即， 解得或（不合题意，舍去）， 即； ②当、为菱形的边时， 有，即， 整理得， 解得， 即； ③当、为菱形的边时， 有，即， 解得， 即； 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，待定系数法求解析式，等面积法，勾股定理，平移的性质，菱形的性质和判定，坐标与图形等，解题的关键在于熟练掌握相关知识并灵活运用． 42．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，直线分别与轴，轴交于点，点，点是反比例函数图象与直线在第一象限内的交点，过点作轴于点，且． (1)求反比例函数的表达式； (2)点是直线右侧反比例函数图象上一点，且，直线交轴于点，点，是直线上两点，点在点的左侧且，求的最小值及此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，点为反比例函数图象上一点，若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 【答案】(1) (2)的最小值为，此时； (3)或 【分析】（1）先依次求出点A、点B、点P的坐标，进而利用待定系数法求解k值即可； （2）过D作y轴的平行线交直线于K，设，，则，利用三角形的面积公式和坐标与图形求得，利用待定系数法求得直线的表达式为，则， 将点D沿射线方向平移个单位长度得到，连接，由平行四边形的判定与性质得到，当E、M、共线时取等号，此时最小，最小值为的长；利用两点坐标距离公式可求得，求出直线的表达式为，联立方程组求得，再利用平移性质可求得； （3）分当在的左侧时和当在的右侧时两种情况，分别利用坐标与图形性质，结合全等三角形、联立方程组解方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，由得，则， ∴， ∵， ∴，则， 由题意，点P的横坐标为2， 将代入中得， ∴， 将点P坐标代入中，得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：过D作y轴的平行线交直线于K， 设，，则， ∵，，， ∴， 整理，得， 解得或（舍去）， ∴， 设直线的表达式为， 则，解得， ∴直线的表达式为，则， ∵，， ∴， 将点D沿射线方向平移个单位长度得到，连接，， 则四边形是平行四边形，则， ∴，当E、M、共线时取等号， 此时最小，最小值为的长， ∵，， ∴直线的表达式为，， 由得， ∴，则， ∴的最小值为，此时； （3）解：当在的左侧时，如图， 设直线与x轴的交点为Q，则， ∴，则， ∵当时，， ∴，则， 过M作轴于H， ∴，，， ∴， ∴，则， ∵， ∴， ∴，即点E、M、F共线， 则点F为直线与反比例函数图象的交点， 由得， 解得或（舍去）； 当在的右侧时，如图，轴，则， 则， ∴，则， ∴直线的表达式为， 由得， 解得或（舍去）， 综上，符合条件的点的横坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、坐标与图形、平移性质、平行四边形的判定与性质、最短路径问题、全等三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，综合性强，熟练掌握相关知识的联系与运用，灵活运用数形结合和分类讨论思想是解答的关键． 43．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，一次函数与反比例函数交于A、B两点，点A的横坐标为，过点A作y轴的垂线l，交y 轴于点C，把直线上方反比例数的图象沿着直线l翻折，其它部分保持不变，所形成的新图象称为“G图象（不包含直线）”． (1)若时，求一次函数解析式； (2)在（1）的条件下，求“G图象”与x轴交点的横坐标； (3)过y轴另一点作y轴的垂线，与“G图象”交于E，F两点 ①若时，且，求m的值； ②若，直接写出n与m的数量关系（用含m的代数式表示n） 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】（1）将代入，求出，将此代入，即可求解； （2）设“G图象”与x轴交点为，可得直线l为，由对称得关于直线的对称点的坐标为，将此代入，即可求解； （3）①将代入，可求得，从而可求得， 在反比例函数上，由点与关于直线l为对称，得，即可求解；②将代入，可求得，从而可求得，，由点与关于直线l为对称得，即可求解． 【详解】（1）解：当时， ， ， ， 解得：， 一次函数解析式为：； （2）解：设“G图象”与x轴交点为， 过点A作y轴的垂线l， 直线l为， 关于直线的对称点的坐标为， 在反比例函数上， ， 解得：， 故“G图象”与x轴交点的横坐标为； （3）解：①当时， ， 解得：， ， ， ， ， ， 当时， ， 在反比例函数上， 点A的横坐标为， 直线l为， 点与关于直线l为对称， ， 解得：， 故m的值为； ②当时， ， 解得：， ， ， ， ， ， ， 当时， ， 在反比例函数上， 点A的横坐标为， 直线l为， 点与关于直线l为对称， ， 解得：， 故n与m的数量关系为． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，待定系数法，对称的性质等，掌握解法，利用对称求出点的坐标是解题的关键． 44．（23-24九年级上·江苏泰州·开学考试）在平面直角坐标系中，点， 的位置和函数、的图象如图所示．以为边在x轴上方作正方形，边与函数的图象相交于点E，边与函数、的图象分别相交于点G、H，一次函数的图象经过点E、G，与y轴相交于点P，连接． (1)若，， ①求函数的表达式及的面积； ②直接写出使成立的x的范围； (2)当a、m在满足的条件下任意变化时，的面积是否变化？请说明理由； 【答案】(1)①，；②， (2)当a、m在满足的条件下任意变化时，的面积不变化，理由见解析 【分析】（1）①先确定、两个点的坐标，再利用待定系数法求出函数的表达式，进而求出点的坐标，结合点求的面积； ②结合图象，可求解； （2）按（1）的思路求解； 【详解】（1）解：①，， 点，，，， ∴ 点，，， 一次函数的图象经过点、， 设，则 ， ， 函数的表达式为， ， ， ； ②当时，则，即， 当或时，； （2）解：的面积不变化．理由如下： 点，，，， 点，，， 设，则 ， ， ， ， ． 当、在满足的条件下任意变化时，的面积不变化． 【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法，反比例函数的性质和一次函数的性质，利用参数表示点的坐标是解题的关键． 45．（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）定义：把能被一条对角线分成两个全等直角三角形的四边形叫做勾股四边形，比如：矩形就是勾股四边形． (1)如图，在直角坐标系中，直线与双曲线相交于两点，点在轴负半轴上，为直角坐标平面上一点． ①分别求出两点的坐标； ②如图，当四边形是平行四边形时，请证明平行四边形是勾股四边形． (2)在（）的条件下，当以为顶点的四边形是勾股四边形时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)①，；②证明见解析； (2)点的坐标为或或或． 【分析】（）①联立函数解析式解方程组即可求解； ②利用两点距离公式求出，进而由勾股定理的逆定理可得，再根据平行四边形的性质证明即可求证； （）设点的坐标为， 分、、和四种情况，利用全等三角形的性质和平移的性质解答即可求解． 【详解】（1）解：①由，解得，， ∴，； ②证明：∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴平行四边形是勾股四边形； （2）解：由（）知，，，， 设点的坐标为， ①如图，当时， ∵，， ∴， 解得， ∴； ②如图，当时， ∵，， ∴， 解得， ∴； ③如图，当时，设直线与轴交于点，过点作轴于点，作轴，过点作于点，则， ∵直线， 令，则， 解得， ∴， ∵，轴， ∴， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 解得， ∴； ④如图，当时， ∵，， ∴， 解得， ∴； 综上，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，反比例函数与一次函数交点问题，勾股定理及逆定理，平移的性质等知识，运用数形结合的思想和分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 类型十二、反比例函数的新定义与材料探究问题 46．（2024·辽宁·一模）【发现问题】 随着时代的发展，在现代城市设计中，有许多街道是设计的相互垂直或平行的，因此往往不能沿直线行走到目的地，只能按直角拐弯的方式行走．我们可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点和，用以下方式定义两点间的“折线距离”：．    【提出问题】 （1）①已知点，则______； ②函数的图象如图1，B是图象上一点，若，则点B的坐标为______； （2）函数的图象如图2，该函数图象上是否存在点C，使？若存在，求出其坐标；若不存在，请说明理由； 【拓展运用】 （3）已知函数和函数的图象如图3，D是函数图象上的一点，E是函数图象上的一点，当和分别取到最小值的时候，请求出的值． 【答案】（1）①5；②（2）不存在，理由见解析（3） 【分析】 本题在新定义下考查了一次方程和分式方程的解法，二次函数的最值，关键是紧靠定义来构造方程和函数． （1）①代入定义中的公式求； ②设出函数的图象上点B的坐标，通过建立方程，解方程； （2）设出函数的图象上点C的坐标，通过建立方程，看方程解的情况； （3）设出函数的图象上点D的坐标，将表示成函数，利用二次函数的性质求函数最值，可求得点D的坐标；设出函数的图象上点E的坐标，利用一次函数的性质，可求得点E的坐标；再按定义求得的值即可． 【详解】 解：（1）①∵点，点， ∴； 故答案为：5； ②设点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点． 故答案为：； （2）不存在，理由如下： 设点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴此方程没有实数根， ∴不存在符合条件的点C； （3）设点D为， ∴， ∵，， ∴， ∴当时，最小，最小值为， 此时点D坐标为． 设点E为， ∴， 当时，， ∴当时，最小，最小值为2； 当时，， ∴当时，最小，最小值为3； ∴此时点E坐标为． ∴． 47．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）换一个角度初看 华罗庚先生曾说过，数缺形时少直观，形缺数时难入微．这真实地刻画了数形结合的互补性和不可分．例如：已知两个函数，当取何值时，？根据“代数”的思想要解一元二次不等式，比较麻烦．而利用数形结合思想，只要画出图象后观察交点，就很好理解了． （1）如图1，当时，的取值范围是_______． 换一个角度二看 我们定义：任意给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积都是原矩形的2倍，那么我们称是的“加倍矩形”，是的“双半矩形”．请你研究矩形是否存在“双半矩形”．我们利用数形结合思想来解决方程问题．如图2，在同一平面直角坐标系中画出一次函数和反比例函数的部分图象，其中和分别表示矩形的“双半矩形”的两边长． （2）请你结合之前的研究，回答下列问题： ①这个图象所研究的矩形的面积为_____，周长为_____． ②是否存在矩形的“双半矩形”？如果存在，请求出的边长；如果不存在，请说明理由． （3）在第（2）问的条件下，坐标平面内是否存在以，，，为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）①20，28；②不存在，见解析；（3）存在，或或 【分析】（1）求出两函数图象的交点，观察函数图象，即可求解； （2）①由题意得：且，即可求解； ②假设存在矩形，其边长为，，同理可得：，，则存在方程：，而方程无解，即可求解； （3）当为对角线时，由中点坐标公式列出方程组即可求解；当或为对角线时，同理可解． 【详解】解：（1）联立和得：， 解得：或5， 观察函数图象知，当时，的取值范围是， 故答案为：； （2）①设矩形的边长分别为：，， 由题意得：且， 而，， 则，， 故周长为28，面积为20， 故答案为：20，28； ②假设存在矩形，其边长为，， 同理可得：，， 则存在方程：， ， ∴方程无解， 故不存在矩形； （3）存在，理由： 联立两个函数表达式得：， 解得：或5， 即点、的坐标分别为：、； 设点， 当为对角线时， 由中点坐标公式得： ， 解得：，即点； 当或为对角线时， 同理可得：或， 解得：或， 即点或； 综上，或或． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了反比例函数的应用，中点坐标公式，平行四边形的性质，解一元二次方程，解题的关键是会灵活的运用函数图象交点的意义，以及图象的特点，试题中贯穿了方程思想和数形结合的思想，请注意体会． 48．（2024·河北保定·一模）如图，在平而直角坐标系中，记函数的图象为G，直线经过点，与图象G交于B，C两点．    (1)求b的值，并在图中画出直线l； (2)当点B与点A重合时，点在第一象限内且在直线l上，过点P作轴于点Q． ①求点C的坐标； ②连接．若，求m的取值范围； (3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G与直线l所围成的封闭区域（含边界）为W．当区域W的边界上有5个整点时，请直接写出满足条件的整数k的个数． 【答案】(1)4，画图见解析 (2)①；② (3)1 【分析】（1）把代入，即可求出b，然后描点、连线画出直线l即可； （2）①先求出反比例函数解析式，然后联立方程组，解方程组，即可求出点C的坐标； ②根据点P在直线l上，可得出，结合条件得出，整理得，得出不等式组或，然后解不等式组即可； （3）分别画出，，的图象，观察图象找出区域W内整点的个数，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵直线经过点， ∴， ∴， 画图，如下：   ； （2）解：点B与点重合时， ∴， ∴， 由（1）知：直线l解析式为， 联立方程组， 解得或， ∴点C的坐标为； ②∵点在第一象限内且在直线l上， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 整理得，即 ∴或， ∴； （3）解：当时， 图象如下：    区域W内有7个整点， 当时， 图象如下：    区域W内有5个整点， 当时， 图象如下：    区域W内有4个整点， ∴时，区域W内有5个整点， ∴整数时，区域W内有5个整点． ∴符合条件的整数k只有1个． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合问题，解一元二次方程，解不等式组等知识，待定系数法求一次函数（反比例函数）解析式，确定临界点是解题的关键． 49．（2023·四川成都·二模）如图，直线与双曲线相交于，两点，点坐标为，点的坐标，点是轴负半轴上的一点． 备用图 (1)分别求出直线和双曲线的表达式； (2)连接，，，，若，求点的坐标； (3)我们把能被一条对角线分成两个全等直角三角形的四边形叫做"美丽四边形"．在（2）的条件下，平面内是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是美丽四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)平面内存在点，使得以，，，为顶点的四边形是美丽四边形，点的坐标为或或或 【分析】此题属于反比例函数与一次函数综合题，涉及的知识有：勾股定理，坐标与图形性质，待定系数法求函数解析式，面积问题，平行四边形存在性问题，三角函数的性质，利用了分类讨论的思想，理解新定义是解本题第三问的关键． （1）把分别代入两个解析式计算即可； （2）设，表示出和的面积，再根据列方程计算即可； （3）设，分四种情况：当时，利用平移的性质可得；当时，运用平移的性质可得；当时，通过构造全等三角形建立方程即可得出；当时，利用平移的性质可得． 【详解】（1）解：（1）直线经过点， ， 解得：， ； 双曲线经过点， ， 解得：， ； （2）如图，设直线交轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点， 上点的坐标为， ， 又， ，， 在中，令，得， 解得：， ， ， 设，且， ， ，即， ， ，即， 解得：， ； （3）平面内存在点，使得以，，，为顶点的四边形是美丽四边形． ，，， ，， ， ，， ， 是直角三角形，， 设，当时，如图， 则，，． 解得：， ； 当时，如图， 则，，， 解得：， ； 当时，如图，设直线交轴于点，过点作轴于，作轴，过点作于， 则，， 由（2）知：， ，， ， ，， 是等腰直角三角形，， 轴， ， ， ，即， ，， ， ，， ，， ，， ； 当时，如图， 则，， ， 解得：， ； 综上所述，平面内存在点，使得以，，，为顶点的四边形是美丽四边形，点的坐标为或或或． 50．（22-23九年级上·四川内江·期末）如图1，已知双曲线经过的、两点，且点，，．    (1)求双曲线和直线对应的函数关系式； (2)如图2，点在双曲线上，点Q在y轴上，若以点、、、为顶点的四边是平行四边形，请直接写出满足要求的所有点的坐标； (3)如图3，以线段为对角线作正方形，点是边（不含点、）上一个动点，点是的中点，，交于点．当在上运动时，的度数是否会变化？若会的话，请给出你的证明过程．若不是的话，只要给出结论． 【答案】(1)反比例函数的解析式为；直线DC的函数关系式为 (2)满足要求的所有点的坐标为：、、 (3)的度数不会变化，等于 【分析】（1）把代入求出值，可得反比例函数解析式，根据平行四边形的性质得出点坐标，利用待定系数法即可得出直线解析式； （2）可分两种情况：为边、为对角线讨论，然后运用中点坐标公式即可解决问题； （3）过点作于，作于，连接、，根据正方形的性质及角平分线的性质可得，利用可证明，得出，由此可得，即可得到是等腰直角三角形，因而为定值． 【详解】（1）解：∵双曲线经过的、两点，且点，，， ∴， ∴反比例函数的解析式为：， ∵四边形是平行四边形，，，， ∴， 设直线的函数关系式为：，则， 解得：， ∴直线DC的函数关系式为：． （2）解：由（1）知：反比例函数的解析式为：， ∵点P在双曲线上，点Q在y轴上， ∴设，， ①如图1，当为边时，    若四边形为平行四边形，则， 解得：， ∴， ∴， ∴中点坐标为，， ∴， 解得：， ∴． 如图2，若四边形为平行四边形，    ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴，则， ∴， ∵， ∴． ②如图3，当AB为对角线时，    ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴，则， ∴， ∴． 综上所述，满足要求的所有点的坐标为：、、． （3）解：当在上运动时，的度数不会变化，等于，理由如下： 过点作于，作于，连接，，如图所示，    ∵， ∴， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、中点坐标公式等知识，运用分类讨论是解决第（2）小题的关键，除用中点坐标公式外，也可通过构造全等三角形来解决第（1）题和第（2）题． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$