5.1.2弧度制导学案-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.1.2弧度制（教师版） 学习目标 1.了解弧度制,明确1弧度的含义. 2.能进行弧度与角度的互化. 3.掌握用弧度制表示扇形的弧长公式和面积公式. 教学重难点 重点：弧度制的概念与弧度制与角度制的转化； 难点：弧度制概念的理解． 教学环节 课前预习，新知导学 一、弧度制 1. 在平面几何里，度量角的大小用什么单位？ 【答案】角度制的单位有：度、分、秒。 2. 1°的角是如何定义的？ 【答案】规定：圆周1/360的圆心角称作1°角。 3.预习课本，引入新课 阅读课本172-174页，思考并完成以下问题 （1） 1弧度的含义是？ （2）角度值与弧度制如何互化？ （3）扇形的弧长公式与面积公式是？ 三、新知探究 （一）导入 日常生活中，度量长度可用 不同的单位，如：一个人的身高可以说是180厘米，也可以说1.8米，显然两种结果，因为单位的不同，而出现了不同的数值.不同的单位制能给解决问题带来方便.角的度量是否也能用不同的单位制呢？能否项度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？ （二）探索新知 我们介绍在数学和其他科学研究中经常采用的另一种度量角的单位制-----弧度制. 探究：在圆内，圆心角的大小和半径大小有关系吗？ 射线OA绕端点O旋转到OB形成角.在旋转过程中，射线OA上一定P(不同于点O)的轨迹是一条圆弧，这条圆弧对应于圆心角. 1.设，，点P所形成的圆弧的长为.由初中所学知识可知，则. 2.角度为300、600的圆心角，半径r=1,2,3时， （1）分别计算相对应的弧长l （2）分别计算对应弧长与半径之比 思考1：通过上面的计算，你发现了什么规律？ 【答案】①.圆心角不变，比值不变；比值的大小与所取的圆的半径大小无关； ②圆心角改变，比值改变；比值的大小只与圆心角的大小有关； 结论：弧度的概念 我们规定,长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角． 角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分： （1）正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0 （2）角的弧度数的绝对值 （为弧长，为半径） 思考2:圆的半径为r,弧长分别为2r、-3r,则它们所对圆心角的弧度数是多少? 【答案】2rad,-3rad. 思考3：如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么，角α的弧度数的绝对值如何计算？ 【答案】 结论：圆心角AOB的弧度数等于它所对的弧的长与半径长的比的绝对值. 3.角的概念推广后，角与实数之间建立了一一对应关系， 任意角的集合 实数集R 探究：角度与弧度的换算 思考3：一个周角以度为单位度量是多少度， 以弧度为单位度量是多少弧度？由此可得角度与弧度有怎样的换算关系？ 【答案】360º，。 思考4：根据上述关系，1°等于多少弧度， 1 rad等于多少度？ 【答案】 知识应用 题型一：角度制化弧度制 例1．角的弧度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据弧度制与角度值的转化即可. 【详解】. 故选：A. 针对练习 1．一些特殊角与弧度数的对应关系 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° 【答案】 0 2．将120°化为弧度制为 ． 【答案】 【分析】利用弧度制和角度制的转化即可得出答案. 【详解】因为 所以 所以 故答案为： 题型二：弧度制化角度制 例2．把化成角度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据弧度制与角度制的转化关系计算可得. 【详解】. 故选：B 针对练习 1．把化成角度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据弧度制与角度制的转化关系计算可得. 【详解】. 故选：B 2．3rad是第（   ）象限角 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】B 【分析】把弧度角化为角度，然后根据象限角的概念即可判断. 【详解】，为第二象限角. 故选：B 注: 常规写法 ① 用弧度数表示角时，常常把弧度数 写成多少的形式，不必写成小数． ②用弧度制表示角时,“弧度”二字或 “rad”通常略去不写,面只写该角所对应的弧度数. ③弧度与角度不能混用．即不能出现这样的形式:。 题型三：扇形弧长 例3．已知扇形所在圆的半径为2，扇形的弧长为，则扇形所对的圆心角的弧度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设这个扇形的圆心角的弧度数为，根据弧长公式求解即可． 【详解】设这个扇形的圆心角的弧度数为，， 根据扇形的弧长公式得，解得． 故选：A． 针对练习 1．若扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的半径为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据题意直接利用弧长公式求解即可. 【详解】设该扇形的半径为，则由题意得，解得. 故选：A 2．半径为，圆心角为210°的扇形的弧长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将角度化为弧度，然后利用弧长公式求解即可. 【详解】圆心角化为弧度为，则弧长为. 故选：D 题型四：扇形面积 例4．若扇形所对圆心角为，且该扇形面积为 ，那么该扇形的弧长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出弧的半径，即可根据弧长公式求解. 【详解】设扇形半径为，弧长为，圆心角为， 则扇形面积为,故， 故弧长为. 故选：C． 针对练习 1．如图，圆的半径为1，劣弧的长为，则阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由扇形面积减去三角形面积即可求解. 【详解】因为劣弧的长为，所以. 则， 所以阴影部分的面积为. 故选:B 2．已知扇形的圆心角为3rad，面积为24，则该扇形的弧长为（    ） A．4 B． C．12 D． 【答案】C 【分析】先由扇形的面积公式可得半径，进而由弧长公式可得答案. 【详解】设该扇形的弧长为，圆心角为，半径为， 由，可得，解得， 故. 故选：C. 测一测 1．与600°终边相同的最小正角为 弧度． 【答案】/ 【分析】与终边相同的角可以表示为，取适当的即可得解. 【详解】与终边相同的角可以表示为， 当时，与终边相同的最小正角为， 化为弧度制为：. 故答案为：. 2．把弧度化成角度是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用弧度制与角度制的转化可得解. 【详解】因为，所以. 故选：D. 3．已知扇形的半径是3，弧长为6，则扇形圆心角的弧度数是 . 【答案】2 【分析】利用扇形的弧长得到关于圆心角的方程，解之即可得解. 【详解】依题意，设扇形的圆心角为， 因为扇形的半径是，弧长为， 所以由，得，则. 故答案为：. 4．已知一个扇形的圆心角为，它的弧长为，则该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合弧长公式以及扇形面积公式，即可求解． 【详解】因为扇形圆心角，且所对的弧长， 设扇形所在圆的半径为，可得，解得， 所以扇形的面积为. 故选：B. 四、小结 1. 1弧度角的定义； 2.角度制与弧度制的联系与区别； 3.弧长公式与扇形的面积公式; 五、作业 1．将1920°转化为弧度数为 ． 【答案】 【分析】由角度制化为弧度制公式求解． 【详解】解：， 故答案为： 2．分别将下列角度化为弧度： (1)15°； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】将角度化为弧度，由度数乘以即可得到弧度. 【详解】（1）. （2）. （3）. 3．下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据弧度制与角度值不能混用即可排除AB，根据角度制与弧度制的互化以及终边相同角的概念即可判断CD. 【详解】对A,B在同一个表达式中，角度制与弧度制不能混用，所以A，B错误． 对C，，则与终边相同，而与终边相同， 且化为角度制即为，则与的终边相同， 则是与的终边相同的角的表达式，故C正确； 对D，由C得与终边相同， 则与终边相同的角可以写成的形式，则D正确． 故选：CD． 4．将化为度是 ． 【答案】 【分析】利用弧度与角度的互化关系求解即得. 【详解】. 故答案为： 5．把化成度． 【答案】－75° 【分析】按弧度的定义计算即可. 【详解】． 6．若扇形的圆心角为，半径为2，则扇形的弧长 ． 【答案】 【分析】由扇形的弧长公式即可求解. 【详解】 故答案为： 7．要在半径cm的圆形金属板上截取一块扇形板，使其弧的长为cm，则圆心角的弧度数是 ． 【答案】 【分析】根据弧长公式求圆心角弧度即可. 【详解】圆心角的弧度数为. 故答案为： 8．已知扇形的周长为12cm，圆心角为4rad，则此扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设扇形的半径为，列方程求出的值，再计算扇形的面积. 【详解】设扇形的半径为，则弧长为，周长为，解得：， 则此扇形的面积为：， 故选：D 9．已知的圆心角所对的弧长为，则这个扇形的面积为 . 【答案】 【分析】先求出半径，再用扇形面积公式计算即可. 【详解】，根据弧长公式， 则，所以扇形的面积为. 故答案为： 10．已知一个扇形的圆心角为60°，所对的弧长为，则该扇形的面积为 ． 【答案】 【分析】先求得扇形的半径，然后根据扇形的面积公式求得正确答案. 【详解】依题意，圆心角为， 所以扇形的半径， 所以扇形的面积为. 故答案为： 11．扇形圆心角为2，弧长为12cm，则扇形的面积为 . 【答案】36 【分析】利用圆心角与弧长以及半径之间的关系可求得面积. 【详解】根据题意设扇形的半径为， 由圆心角为2，弧长为12cm，可得半径cm， 因此可得扇形的面积为. 故答案为：36 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.1.2弧度制（学生版） 学习目标 1.了解弧度制,明确1弧度的含义. 2.能进行弧度与角度的互化. 3.掌握用弧度制表示扇形的弧长公式和面积公式. 教学重难点 重点：弧度制的概念与弧度制与角度制的转化； 难点：弧度制概念的理解． 教学环节 课前预习，新知导学 一、弧度制 1. 在平面几何里，度量角的大小用什么单位？ 2. 1°的角是如何定义的？ 3.预习课本，引入新课 阅读课本172-174页，思考并完成以下问题 （1） 1弧度的含义是？ （2）角度值与弧度制如何互化？ （3）扇形的弧长公式与面积公式是？ 三、新知探究 （一）导入 日常生活中，度量长度可用 不同的单位，如：一个人的身高可以说是180厘米，也可以说1.8米，显然两种结果，因为单位的不同，而出现了不同的数值.不同的单位制能给解决问题带来方便.角的度量是否也能用不同的单位制呢？能否项度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？ （二）探索新知 我们介绍在数学和其他科学研究中经常采用的另一种度量角的单位制-----弧度制. 探究：在圆内，圆心角的大小和半径大小有关系吗？ 射线OA绕端点O旋转到OB形成角.在旋转过程中，射线OA上一定P(不同于点O)的轨迹是一条圆弧，这条圆弧对应于圆心角. 1.设，，点P所形成的圆弧的长为.由初中所学知识可知，则. 2.角度为300、600的圆心角，半径r=1,2,3时， （1）分别计算相对应的弧长l （2）分别计算对应弧长与半径之比 思考1：通过上面的计算，你发现了什么规律？ 结论：弧度的概念 我们规定,长度等于 所对的圆心角叫做1弧度的角． 角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分： （1） 正角的弧度数是 ，负角的弧度数是 ，零角的弧度数是 （2）角的弧度数的绝对值 （为弧长，为半径） 思考2:圆的半径为r,弧长分别为2r、-3r,则它们所对圆心角的弧度数是多少? 思考3：如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么，角α的弧度数的绝对值如何计算？ 结论：圆心角AOB的弧度数等于它所对的弧的长与半径长的比的绝对值. 3.角的概念推广后，角与实数之间建立了一一对应关系， 任意角的集合 实数集R 探究：角度与弧度的换算 思考3：一个周角以度为单位度量是多少度， 以弧度为单位度量是多少弧度？由此可得角度与弧度有怎样的换算关系？ 思考4：根据上述关系，1°等于多少弧度， 1 rad等于多少度？ 知识应用 题型一：角度制化弧度制 例1．角的弧度数为（    ） A． B． C． D． 针对练习 1．一些特殊角与弧度数的对应关系 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° 2．将120°化为弧度制为 ． 题型二：弧度制化角度制 例2．把化成角度是（    ） A． B． C． D． 针对练习 1．把化成角度是（    ） A． B． C． D． 2．3rad是第（   ）象限角 A．一 B．二 C．三 D．四 注: 常规写法 ① 用弧度数表示角时，常常把弧度数 写成多少的形式，不必写成小数． ②用弧度制表示角时,“弧度”二字或 “rad”通常略去不写,面只写该角所对应的弧度数. ③弧度与角度不能混用．即不能出现这样的形式:。 题型三：扇形弧长 例3．已知扇形所在圆的半径为2，扇形的弧长为，则扇形所对的圆心角的弧度为（    ） A． B． C． D． 针对练习 1．若扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的半径为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．半径为，圆心角为210°的扇形的弧长为（    ） A． B． C． D． 题型四：扇形面积 例4．若扇形所对圆心角为，且该扇形面积为 ，那么该扇形的弧长为（    ） A． B． C． D． 针对练习 1．如图，圆的半径为1，劣弧的长为，则阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 2．已知扇形的圆心角为3rad，面积为24，则该扇形的弧长为（    ） A．4 B． C．12 D． 测一测 1．与600°终边相同的最小正角为 弧度． 2．把弧度化成角度是（    ） A． B． C． D． 3．已知扇形的半径是3，弧长为6，则扇形圆心角的弧度数是 . 4．已知一个扇形的圆心角为，它的弧长为，则该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 四、小结 1. 1弧度角的定义； 2.角度制与弧度制的联系与区别； 3.弧长公式与扇形的面积公式; 五、作业 1．将1920°转化为弧度数为 ． 2．分别将下列角度化为弧度： (1)15°； (2)； (3)． 3．下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．将化为度是 ． 5．把化成度． 6．若扇形的圆心角为，半径为2，则扇形的弧长 ． 7．要在半径cm的圆形金属板上截取一块扇形板，使其弧的长为cm，则圆心角的弧度数是 ． 8．已知扇形的周长为12cm，圆心角为4rad，则此扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 9．已知的圆心角所对的弧长为，则这个扇形的面积为 . 10．已知一个扇形的圆心角为60°，所对的弧长为，则该扇形的面积为 ． 11．扇形圆心角为2，弧长为12cm，则扇形的面积为 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$