专题05 数列求和（4大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（人教A版2019选择性必修第二册）

专题05 数列求和 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 4 题型一、分组求和 4 题型二、裂项相消 6 题型三、错位相减 10 题型四、倒序相加 14 压轴能力测评（12题） 17 一、公式法 （1）等差数列的前n项和 （2）等比数列的前n项和 （3）一些常见的数列的前n项和： ①； ②； ③； ④ 二、几种数列求和的常用方法 （1）分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． （2）并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和． 策略方法 分组转化法求和的常见类型 （3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和． （1）基本步骤 （2）裂项原则 一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． （3）消项规律 消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项． （4）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解． 策略方法 错位相减法求数列的前n项和 （1）适用条件 若是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和． （2）基本步骤 （3）注意事项 ①在写出与的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出； （5）倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解． 策略方法 将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规律可循，并且容易求和，则这样的数列求和时可用倒序相加法（等差数列前项和公式的推导即用此方法）． 【常用结论】 裂项技巧 ①等差型 （1） （2） （3） （4） （5） （6） ②根式型 （1） （2） （3） ③指数型 （1） （2） （3） 【题型一 分组求和】 一、解答题 1．（2024·湖北黄冈·一模）设为数列的前n项和，满足. (1)求证：； (2)记，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，得到时，可得，两式相减得，得到数列为等比数列，即可得证； （2）由（1）求得，结合等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】（1）解：因为数列的前n项和，满足， 当时，可得， 两式相减得，即，所以， 令，可得，解得， 所以数列构成首项为，公比为的等比数列， 所以的图象公式为. （2）解：由（1）知，可得， 所以， 则 . 2．（23-24高二上·甘肃·期中）已知是递增的等比数列，，且. (1)求数列的通项公式； (2)数列的前项和为，且满足，又，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据条件列出关于的方程组求解即可； （2）利用构造法求的通项公式，然后使用分组求和法可得. 【详解】（1）记数列的公比为，由题知，即， 解得或， 又是递增的等比数列，所以，所以， 所以数列的通项公式为. （2）当时，，得 当时，，整理得， 所以是以为公比，为首项的等比数列， 所以，得， 又，所以， 所以 3．（2024·贵州铜仁·模拟预测）已知正项等差数列满足：且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足：，，求数列的前项和. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）由等比中项的性质以及等差数列的通项公式可求出公差，从而得到通项公式； （2）利用分组求和法，分别计算两种情况下数列的前项和. 【详解】（1）设正项等差数列的公差为，由成等比数列， 得，则， 又，即，解得或. 当时，. 当时，. 所以数列的通项公式为或. （2）由题意得，当时，，则， 所以数列的前项和 当时，， 则，且， 故是以为首项，为公比的等比数列， 则 . 故数列的前项和或. 【题型二 裂项相消】 一、解答题 1．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）已知数列的前n项和为，. (1)求证：数列为等差数列； (2)在数列中，，若的前n项和为，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用与的关系式，结合等差数列的定义即可得证； （2）利用（1）中结论求得，进而利用累乘法求得，再利用裂项相消法求得，从而得证. 【详解】（1）因为， 所以，即， 又， 所以数列是首项为，公差为的等差数列. （2）由（1）知：， 则， 又，所以， 所以 ， 所以. 2．（2023·河北保定·三模）已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合题意，利用与的关系式及等比数列的概念即可求解； （2）结合（1）的结论，利用裂项相消法即可求解. 【详解】（1）由， 得，即， 当时，， 两式相减得， 化简得， 当时，， 所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以； （2）由（1）知， 所以， 所以 . 3．（2024高三·全国·专题练习）已知等差数列的前项和为，公差为，若为函数的两个零点，且． (1)求数列的通项公式； (2)若求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用零点概念，结合等差数列的求和公式和通项公式计算即可；（2）运用裂项相消计算即可. 【详解】（1）因为为函数的两个零点，且， 所以，又因为， 所以，解得，所以是首项为3，公差为2的等差数列， 所以． （2）因为 所以 4．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）已知数列各项均为正数，且，. (1)求的通项公式； (2)记数列前项的和为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数列递推式可得，结合等差数列定义，即可求得答案； （2）由（1）可得的表达式，利用裂项相消求和法，即得答案. 【详解】（1）因为， 所以， 因为各项均为正数，， 所以， 所以数列是以首项为，公差为的等差数列， 故. （2）， 所以 . 5．（24-25高三上·山东聊城·期中）在数列中，. (1)求证：数列为等比数列； (2)设数列满足，求数列的前项和的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）对式子变形可得，即可取对数，根据等比数列的定义求证， （2）根据式子变形可得，即可利用裂项相消法求和，结合数列的单调性即可求解最值. 【详解】（1）证明：因为， 整理得，，通分，. 由于，故， ， ， ，而，则， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列. （2）由（1）得，则， ，所以. ，由于单调递增，故单调递增， 则，所以数列的最小值为. 【题型三 错位相减】 一、解答题 1．（24-25高二上·甘肃酒泉·期中）已知等差数列的前n项和为，，，数列满足，． (1)证明：数列是等比数列； (2)证明：； (3)若，求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）由递推关系得，结合等比数列定义证明； （2）由等差数列前n项和求基本量，结合（1）结论，写出等差、等比数列通项公式、前n项和公式，再应用作差法比较大小即可； （3）应用错位相减、等比数列前n项和求结果. 【详解】（1）由题设，而， 所以是首项、公比均为2的等比数列，得证. （2）令数列的公差为，而， 所以，又， 则 恒成立， 所以，得证. （3）由上知，则， 则，即， 所以，即. 2．（四川省雅安市2024-2025学年高三上学期11月“零诊“考试数学试卷）已知数列满足，（，且）． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前n项和； (3)令，数列的前n项和为，证明：． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，求出，再利用构造法，结合等比数列定义推理即得. （2）由（1）求出，再利用分组求和法及错位相减法求即得. （3）利用（2）的信息求出，再利用不等式的性质，结合等比数列求和公式推理得证. 【详解】（1）数列中，当时，，则， 而，又，解得，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）知，，即，， 则， 令， 则， 两式相减得， 则，所以. （3）由（2）知，，，显然， 则；又， 于是， 所以. 【点睛】方法点睛：如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解． 3．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）已知数列满足：，， (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前n项和，求实数t的值，使得数列是等差数列． 【答案】(1) (2)-2 【分析】先得出所以是等比数列，得，化简得，可得数列成等差数列，可得数列的通项公式； 先运用错位相减可得，先得出的前三项，由等差数列的定义得出t，再由等差数列的定义证明即可. 【详解】因为， 所以 因为，所以， 所以是以3为首项，2为公比的等比数列. 于是， 所以，即， 所以数列成等差数列，其首项为，公差为 于是， 所以 因为， 所以， 所以 ， 所以 因为，，， 所以，所以 当时，因为， 所以，所以数列是等差数列. 【题型四 倒序相加】 一、解答题 1．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知函数，数列是正项等比数列，且， (1)计算的值； (2)用书本上推导等差数列前n项和的方法，求的值. 【答案】(1)1； (2). 【分析】（1）直接代入化简即可； （2）由（1），结合等比数列性质，即可求解. 【详解】（1）因为函数， 所以 （2）因数列是正项等比数列，且，则， 所以， 同理， 令， 又， 则有，故， 所以. 2．（2024·上海·模拟预测）已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前2024项和. 【答案】(1) (2)1012 【分析】（1）由题意得，再利用可求出， （2）先求得，，然后利用倒序相加法可求得结果. 【详解】（1）因为点均在函数的图象上， 所以， 当时，，即， 当时， ， 因为满足上式， 所以； （2）因为， 所以， 因为，所以， 所以 ①， 又 ②， ①+②，得， 所以. 3．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）已知数列满足：，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，当时，可得，两式相减，求得，再由，得到，即可求得数列的通项公式. （2）由（1）得，结合指数幂的运算法则，即可求得的值；. （3）由（2）知，结合倒序相加法，即可求解. 【详解】（1）由数列满足：， 当时，可得， 两式相减，可得，所以， 当，可得，所以，适合上式， 所以数列的通项公式为. （2）由数列满足， 则. （3）由（2）知， 可得， 则， 两式相加可得，所以. 一、解答题 1．（24-25高三上·河北·阶段练习）已知数列满足. (1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式. (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据等差数列定义即可得数列是以为首项，为公差的等差数列，并求出通项公式； （2）写出数列的通项公式，利用分组求和的方法即可得出. 【详解】（1）根据题意由易知， 即可得为定值， 由此可得数列是以为首项，公差的等差数列， 所以，可得； 即数列的通项公式为； （2）由（1）可得； 则数列的前n项和 . 即可得 2．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知等比数列的公比，且，数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用等比数列、等差数列性质求出公比及公差，进而求出通项公式. （2）由（1）的结论，利用错位相减法求和即得. 【详解】（1）由题意得，而，解得， 所以. 由，得数列为等差数列，则，解得， 又，则，因此数列的公差为， 所以. （2）由（1）知， 则， 于是， 两式相减得 ， 所以. 3．（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）已知数列满足，且． (1)求，，； (2)是否存在一个实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)已知数列满足，其前项和，求 【答案】(1)，， (2)存在， (3)1948 【分析】（1）根据递推公式求数列的项. （2）假设存在实数，使数列为等差数列，根据为与无关的常数，可求的值. （3）根据（2）的结果，明确数列的通项公式，进而确定数列的通项公式，再利用分组求和的方法求. 【详解】（1）由 同理可得，． （2）假设存在的实数符合题意， 则必是与无关的常数， 则． 故存在实数，使得数列为等差数列． （3）由（2）知数列是公差的等差数列 ， 所以. 4．（23-24高二下·西藏拉萨·期末）设公差不为的等差数列的首项为，且成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列为正项数列，且，设数列的前项和为，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由等比中项的性质以及等差数列基本量的计算即可求解； （2）首先得，由裂项相消法求和即可得证. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则， 成等比数列， 则， 即， 将代入上式，解得或（舍去）． ； （2）由（1）得，又， 所以， 所以， 则 ． 5．（23-24高三上·湖南·阶段练习）已知递增等差数列满足：，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前2n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用因式分解得，即，从而求解通项公式. （2）解法一：结合等差数列求和公式和等比数列求和公式，利用分组求和求解即可；解法二：利用并项求和法求和即可. 【详解】（1）设递增等差数列的公差为d，则， 因为，所以， 即， 因为，，所以，所以，所以， 故数列的通项公式为. （2）解法一： . 解法二： . 6．（23-24高三上·浙江·开学考试）已知数列和满足． (1)求与； (2)设数列的前项和为，是否存在实数，使得成等差数列？若存在求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，． 【分析】（1）求出得，且根据递推公式可得，，从而得是首项为1，公比为2的等比数列，即可求出，从而可求出，即可求解. （2）利用错位相减法求得 ，然后利用等差数列的性质可得，从而可求解. 【详解】（1）由题得， ， ， 是首项为1，公比为2的等比数列， ，即， ，则得， ， ． 故，. （2）存在，．理由如下： ①， ②， ①-②得， 化简得 ， 代入， 可得， 故． 所以存在，使得成等差数列. 7．（24-25高三上·河北邯郸·期中）已知等比数列的各项均为正数，成等差数列，且满足，等差数列数列的前项和． (1)求数列和的通项公式： (2)设的前项和，求证：． 【答案】(1)， (2)证明见详解 【分析】（1）根据等差数列，等比数列的基本量运算列式求解； （2）由（1）可得，利用裂项相消法求和得证. 【详解】（1）由题，设数列的公比为（），的公差为， 由，即， 解得，， 又，即， 解得，. 所以数列的通项公式为，数列的通项公式为. （2）由（1）得，， 所以 ， ，， 所以. 8．（24-25高二上·福建莆田·阶段练习）记是公差不为的等差数列的前项和，已知，，数列满足，且. (1)求的通项公式； (2)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； (3)求证：对于任意正整数， 【答案】(1) (2)详见解析 (3)详见解析 【分析】（1）设公差为，结合等差数列通项和求和公式可构造方程组求得，进而得到； （2）由已知递推关系式可得，由此可得证得数列为等比数列，结合等比数列通项公式推导可得； （3）利用从第二项开始，，进行逐项放缩，进而证明. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由，， 则 ， 解得， 所以； （2）由，得， 则，，， 所以以为首项，为公比的等比数列， 故，则. （3）当时，， . 9．（22-23高二下·浙江·期中）函数，数则满足. (1)求证：为定值，并求数列的通项公式； (2)记数列的前n项和为，数列的前n项和为，若对恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）计算为定值2，用倒序相加法求得通项公式； （2）由（1）得，裂项相消求和得，求出的取值范围. 【详解】（1）证明： ， 则， ， 两式相加，得，即. （2）由（1），， 所以是以1为首项，2为公差的等差数列，， ， ， 由题，，所以， 因为， 设，， 由对勾函数的性质，当时，最小，即， 所以当时，最大，即， 所以. 10．（22-23高一下·上海浦东新·期末）已知函数. (1)求证为定值； (2)若数列的通项公式为（为正整数，、、、），求数列的前项和； (3)设数列满足，.设.若（2）中的满足，恒成立，试求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用指数的运算性质可证得为定值； （2）利用（1）中的结论可得出，并计算出的值，利用倒序相加法可求得； （3）由已知条件可得出，利用裂项相消法可求出，分析数列的单调性，求出的最小值，根据可得出关于的不等式，即可得出正整数的最大值. 【详解】（1）证明：， 因此，. （2）解：由（1）可知，， 则，其中，即， 所以，，且， ，① ，② ①②得，因此，. （3）解：因为，， 对任意的，，则，则， 所以，， 因为，则，所以，， 所以，数列单调递增， 因为，，， 当时，的最小值为， 因为恒成立，则，解得， 所以，正整数的最大值为. 11．（22-23高二下·江西萍乡·期末）已知函数关于点对称，其中为实数. (1)求实数的值； (2)若数列的通项满足，其前项和为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数中心对称性，整理方程，解得答案； （2）根据倒序相加法，可得答案. 【详解】（1）由题知，即， 整理得，解得 ； （2）由题知，，且， 则， 又， 故， 即. 12．（24-25高三上·江苏苏州·阶段练习）已知满足，且对任意正整数m，n有. (1)求的值； (2)设，证明：数列为等差数列； (3)设，求的前n项和. 【答案】(1)6，20 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）欲求，,只需令赋值即可; （2）以代替，然后利用配凑得到，用等差数列的定义即可证明; （3）以前两问的结果求得，结合等比数列求和公式，利用错位相减法求得最终答案. 【详解】（1）由题意，令，可得，再令，可得． （2）时，由已知 , (以代替)可得， 于是， 即．所以是公差为8的等差数列． （3）由（1）（2）可知是首项，公差为8的等差数列， 则，即． 另由已知 (令)可得，，那么 ， 所以． 当时，． 当时，， 两边同乘以，可得． 上述两式相减，得 ， 所以， 综上所述：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 数列求和 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 4 题型一、分组求和 4 题型二、裂项相消 4 题型三、错位相减 5 题型四、倒序相加 6 压轴能力测评（12题） 7 一、公式法 （1）等差数列的前n项和 （2）等比数列的前n项和 （3）一些常见的数列的前n项和： ①； ②； ③； ④ 二、几种数列求和的常用方法 （1）分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． （2）并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和． 策略方法 分组转化法求和的常见类型 （3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和． （1）基本步骤 （2）裂项原则 一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． （3）消项规律 消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项． （4）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解． 策略方法 错位相减法求数列的前n项和 （1）适用条件 若是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和． （2）基本步骤 （3）注意事项 ①在写出与的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出； （5）倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解． 策略方法 将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规律可循，并且容易求和，则这样的数列求和时可用倒序相加法（等差数列前项和公式的推导即用此方法）． 【常用结论】 裂项技巧 ①等差型 （1） （2） （3） （4） （5） （6） ②根式型 （1） （2） （3） ③指数型 （1） （2） （3） 【题型一 分组求和】 一、解答题 1．（2024·湖北黄冈·一模）设为数列的前n项和，满足. (1)求证：； (2)记，求. 2．（23-24高二上·甘肃·期中）已知是递增的等比数列，，且. (1)求数列的通项公式； (2)数列的前项和为，且满足，又，求数列的前项和. 3．（2024·贵州铜仁·模拟预测）已知正项等差数列满足：且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足：，，求数列的前项和. 【题型二 裂项相消】 一、解答题 1．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）已知数列的前n项和为，. (1)求证：数列为等差数列； (2)在数列中，，若的前n项和为，求证：. 2．（2023·河北保定·三模）已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 3．（2024高三·全国·专题练习）已知等差数列的前项和为，公差为，若为函数的两个零点，且． (1)求数列的通项公式； (2)若求数列的前项和． 4．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）已知数列各项均为正数，且，. (1)求的通项公式； (2)记数列前项的和为，求. 5．（24-25高三上·山东聊城·期中）在数列中，. (1)求证：数列为等比数列； (2)设数列满足，求数列的前项和的最小值. 【题型三 错位相减】 一、解答题 1．（24-25高二上·甘肃酒泉·期中）已知等差数列的前n项和为，，，数列满足，． (1)证明：数列是等比数列； (2)证明：； (3)若，求数列的前n项和． 2．（四川省雅安市2024-2025学年高三上学期11月“零诊“考试数学试卷）已知数列满足，（，且）． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前n项和； (3)令，数列的前n项和为，证明：． 3．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）已知数列满足：，， (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前n项和，求实数t的值，使得数列是等差数列． 【题型四 倒序相加】 一、解答题 1．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知函数，数列是正项等比数列，且， (1)计算的值； (2)用书本上推导等差数列前n项和的方法，求的值. 2．（2024·上海·模拟预测）已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前2024项和. 3．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）已知数列满足：，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求的值； (3)求的值. 一、解答题 1．（24-25高三上·河北·阶段练习）已知数列满足. (1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式. (2)设，求数列的前n项和. 2．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知等比数列的公比，且，数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 3．（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）已知数列满足，且． (1)求，，； (2)是否存在一个实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)已知数列满足，其前项和，求 4．（23-24高二下·西藏拉萨·期末）设公差不为的等差数列的首项为，且成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列为正项数列，且，设数列的前项和为，求证：. 5．（23-24高三上·湖南·阶段练习）已知递增等差数列满足：，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前2n项和. 6．（23-24高三上·浙江·开学考试）已知数列和满足． (1)求与； (2)设数列的前项和为，是否存在实数，使得成等差数列？若存在求出的值；若不存在，请说明理由． 7．（24-25高三上·河北邯郸·期中）已知等比数列的各项均为正数，成等差数列，且满足，等差数列数列的前项和． (1)求数列和的通项公式： (2)设的前项和，求证：． 8．（24-25高二上·福建莆田·阶段练习）记是公差不为的等差数列的前项和，已知，，数列满足，且. (1)求的通项公式； (2)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； (3)求证：对于任意正整数， 9．（22-23高二下·浙江·期中）函数，数则满足. (1)求证：为定值，并求数列的通项公式； (2)记数列的前n项和为，数列的前n项和为，若对恒成立，求的取值范围. 10．（22-23高一下·上海浦东新·期末）已知函数. (1)求证为定值； (2)若数列的通项公式为（为正整数，、、、），求数列的前项和； (3)设数列满足，.设.若（2）中的满足，恒成立，试求的最大值. 11．（22-23高二下·江西萍乡·期末）已知函数关于点对称，其中为实数. (1)求实数的值； (2)若数列的通项满足，其前项和为，求. 12．（24-25高三上·江苏苏州·阶段练习）已知满足，且对任意正整数m，n有. (1)求的值； (2)设，证明：数列为等差数列； (3)设，求的前n项和. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$