专题02二项式定理6大压轴考法-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（人教B版2019选择性必修第二册）

专题02 二项式定理 目录 解题知识必备 2 压轴题型讲练 2 类型一、二项式展开特定项 3 类型二、两个二项式乘积展开特定项 4 类型三、三项展开特定项 5 类型四、二项式系数最值、二项式系数和 6 类型五、二项式中有关余数问题 6 类型六、杨辉三角 8 压轴能力测评（14题） 11 1、二项式定理 ，式中的是二项展开式的通项. 2、二项式的展开式的特点： ①项数：共有项，比二项式的次数大1； ②二项式系数：第项的二项式系数为，最大二项式系数项居中； 3、二项展开式的通项公式 二项展开式的通项： 公式特点：①它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是； ②字母的次数和组合数的上标相同； ③与的次数之和为． 4、二项式展开式中的二项式系数最值问题和二项式系数和问题 1）、二项式系数的和 二项式系数和令，则二项式系数的和为，变形式． 奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令， 则， 从而得到：． 3）二项式系数最大值： 如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大； 如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项，的二项式系数，相等且最大． 5、系数的最大项 求展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来． 6、二项式展开式中系数和有关问题 常用赋值举例： 若，则 ①常数项：令，得． ②各项系数和：令，得． ③奇数项的系数和与偶数项的系数和 （i）当为偶数时，奇数项的系数和为；偶数项的系数和为． （可简记为：为偶数，奇数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配） （ii）当为奇数时，奇数项的系数和为；偶数项的系数和为． （可简记为：为奇数，偶数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配） 若，同理可得． 注意：常见的赋值为令，或，然后通过加减运算即可得到相应的结果． 类型一、二项式展开式特定项 【例题讲解】已知的展开式中的项的系数为15，则 ． 【变式训练1】已知 ，若则实数的最大值为 . 【变式训练2】已知，则中正数的个数为 . 【变式训练3】在的展开式中，含的项的系数是9，则当取得最小值时，展开式中含的项的系数为 . 【变式训练4】在的展开式中，若的系数为，则 . 【变式训练5】（1）求的展开式； （2）化简：. 【变式训练6】在中，把，，…，称为三项式系数. (1)当时，写出三项式系数，，，，的值； (2)的展开式中，系数可用杨辉三角形数阵表示，如图，当，时，类似杨辉三角形数阵表，请列出三项式的次系数的数阵表； (3)求的值（用组合数作答）. 类型二、两个二项式乘积展开式特定项 【例题讲解】的展开式中的项的系数为30，则（    ） A． B． C．1 D．2 【变式训练1】的展开式中的系数为 . 【变式训练2】的展开式中的系数为 ．（用数字作答） 【变式训练3】的展开式中的系数为 （用数字作答） 【变式训练4】已知的展开式中所有项的二项式系数和为128，各项系数和为． (1)求n和a的值； (2)求展开式中项的系数 (3)求的展开式中的常数项． 类型三、三项展开式特定项 【例题讲解】的展开式中常数项为 ． 【变式训练1】的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】的展开式中无理项的项数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式训练3】（多选）若的展开式是关于的多项式，则下列说法正确的是（    ） A．展开式中每一项的次数都是6 B．展开式中含项的系数是60 C．所有项的系数之和为 D．展开式中共有28项 类型四、二项式系数最值、二项式系数和 【例题讲解】已知的展开式中，第4项和第9项的二项式系数相等． (1)求n； (2)求展开式中x的一次项的系数； (3)设展开式的所有项的系数和为M，展开式的所有偶数项的二项式系数和为N，求． 【变式训练1】已知的二项展开式的奇数项二项式系数和为，若，则等于 ． 【变式训练2】已知. (1)求; (2)求． 【变式训练3】已知二项式，若它的二项式系数之和为128，求展开式中系数最大的项． 【变式训练4】（多选）已知，则（    ） A． B． C． D．这8个数中最大值为35 【变式训练5】在二项式的展开式中，______.给出下列条件： ①若展开式前三项的二项式系数的和等于37； ②若展开式中第四项与第五项的二项式系数比值为. 试在上面两个条件中选择一个补充在上面的横线上，并且完成下列问题： (1)求展开式中系数最大的项； (2)求展开式中含的项. 类型五、二项式中有关余数问题 【例题讲解】中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设a，b，m均为整数，若a和b被m除得的余数相间，则称a和b对模m同余，记为，如9和21被6除得的余数都是3，则记.若，且，则b的值可以是（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【变式训练1】若既能被9整除又能被7整除，则正整数a的最小值为（    ） A．6 B．10 C．55 D．63 【变式训练2】被3除的余数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练3】中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设均为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为，如9和21被6除得的余数都是3，则记．若，且，则的值可以是（    ） A．2010 B．2021 C．2019 D．199 类型六、杨辉三角 【例题讲解】“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望．如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（    ） A． B．第2023行中从左往右第1013个数与第1014个数相等 C．记第行的第个数为，则 D．第20行中第8个数与第9个数之比为 【变式训练1】“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（    ） A．在第10行中第5个数最大 B．第2023行中第1011个数和第1012个数相等 C． D．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个数 【变式训练2】杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》（1261年）一书中用如图所示的三角形解释二项式乘方展开的系数规律，现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，记作数列．若数列的前n项和为，则等于（   ）    A．235 B．512 C．521 D．1033 【变式训练3】（多选）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题中正确的是（    ）． 第0行 第1行 第2行 第3行 第4行 第5行 第n行 1 1   1 1   2   1 1   3   3   1 1   4   6   4   1 1   5   10   10   5   1 第n行 A．在第10行中第5个数最大 B． C．第8行中第4个数与第5个数之比为 D．在杨辉三角中，第n行的所有数字之和为 1.若，则的值为（    ） A．0 B． C．1 D． 2.已知为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为．如9和21除以6所得的余数都是3，则记为，若，，则的值可以是（    ） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 3.已知今天是周四，那么天后是（   ） A．周一 B．周三 C．周五 D．周日 4.（多选）在的二项展开式中，以下判断正确的是（    ） A．所有项的系数之和为1024 B．各二项式系数之和为32 C．第3项系数最大 D．常数项的值为90 5.（多选）已知展开式中共有8项．则该展开式结论正确的是（    ） A．所有项的二项式系数和为128 B．所有项的系数和为 C．系数最大项为第2项 D．有理项共有4项 6.（多选）已知，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 7.（多选）已知，下列命题中，正确的是（    ） A．展开式中所有项的二项式系数的和为 B．展开式中所有奇次项系数的和为 C．展开式中所有偶次项系数的和为 D． 8.（多选）“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望．如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（    ）    A． B．第2023行中从左往右第1013个数与第1014个数相等 C．记第n行的第i个数为，则 D．第20行中第8个数与第9个数之比为 9.（多选）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中画了一张表示二项式系数构成的三角形数阵（如图所示），在“杨辉三角”中，下列选项正确的是（    ） A．第10行所有数字的和为1024 B． C．第6行所有数字的平方和等于 D．若第行第个数记为，则 10.已知的展开式中的所有二项式系数的和为32． (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中所有的有理项． 11.已知. (1)若，求中含项的系数； (2)若，求. 12.设，其中n是正整数，a为正实数． (1)设，若展开式中含项的系数与含的系数相等，求展开式中的常数项； (2)设，，求展开式中系数最大项的系数（保留组合数以及2的幂）． 13.在下列三个条件中任选一个条件，补充在问题中的横线上，并解答． 条件①：展开式中前三项的二项式系数之和为46； 条件②：展开式中所有项的二项式系数之和为512； 条件③：展开式中常数项为第4项． 问题：已知二项式，若______，求： (1)展开式中二项式系数最大的两项； (2)展开式中的第九项． 14.在以下两个条件中任选一个条件，补充在下面问题中的横线上，并完成解答. ①所有项的系数之和与二项式系数之和的比为； ②前三项的二项式系数之和为22. 问题：在的展开式中，__________. (1)证明展开式中没有常数项； (2)求展开式中所有的有理项. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 二项式定理 目录 解题知识必备 2 压轴题型讲练 2 类型一、二项式展开特定项 6 类型二、两个二项式乘积展开特定项 8 类型三、三项展开特定项 9 类型四、二项式系数最值、二项式系数和 12 类型五、二项式中有关余数问题 14 类型六、杨辉三角 17 压轴能力测评（14题） 26 1、二项式定理 ，式中的是二项展开式的通项. 2、二项式的展开式的特点： ①项数：共有项，比二项式的次数大1； ②二项式系数：第项的二项式系数为，最大二项式系数项居中； 3、二项展开式的通项公式 二项展开式的通项： 公式特点：①它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是； ②字母的次数和组合数的上标相同； ③与的次数之和为． 4、二项式展开式中的二项式系数最值问题和二项式系数和问题 1）、二项式系数的和 二项式系数和令，则二项式系数的和为，变形式． 奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令， 则， 从而得到：． 3）二项式系数最大值： 如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大； 如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项，的二项式系数，相等且最大． 5、系数的最大项 求展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来． 6、二项式展开式中系数和有关问题 常用赋值举例： 若，则 ①常数项：令，得． ②各项系数和：令，得． ③奇数项的系数和与偶数项的系数和 （i）当为偶数时，奇数项的系数和为；偶数项的系数和为． （可简记为：为偶数，奇数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配） （ii）当为奇数时，奇数项的系数和为；偶数项的系数和为． （可简记为：为奇数，偶数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配） 若，同理可得． 注意：常见的赋值为令，或，然后通过加减运算即可得到相应的结果． 类型一、二项式展开式特定项 【例题讲解】已知的展开式中的项的系数为15，则 ． 【答案】 【详解】的展开式的通项为， 令，解得，所以，解得． 故答案为：. 【变式训练1】已知 ，若则实数的最大值为 . 【答案】23 【详解】因为展开式中的系数为， 展开式中的系数为， 所以展开式中的系数为 . 要使，则为奇数，且， 所以，则， 所以的最大值为. 故答案为：. 【变式训练2】已知，则中正数的个数为 . 【答案】1518 【详解】二项式的通项为， 二项式的通项为， 所以，， 若，则有： 当为奇数时，此时，即， 则，可得， 又因为为奇数，所以的最小值取为1013；从1013到2023共计506个奇数， 当为偶数时，此时，符合题意；中，共计1012个偶数 综上所述：中正数的个数为 故答案为：1518. 【变式训练3】在的展开式中，含的项的系数是9，则当取得最小值时，展开式中含的项的系数为 . 【答案】29 【详解】依题意可知，即， 所以，当且仅当时取等号， 故取得最小值时，. 此时，原式， 因为的展开式的通项为， 当时，含的项的系数为， 当时，含的项的系数为， 当时，含的项的系数为， 故展开式中含的项的系数为. 故答案为：29. 【变式训练4】在的展开式中，若的系数为，则 . 【答案】 【详解】由二项式的展开式的通项公式可得第， 令，可得的系数为， 所以， 则， 则. 故答案为：. 【变式训练5】（1）求的展开式； （2）化简：. 【答案】（1）；（2） （2）逆用二项式定理化简即可. 【详解】方法一  ： . 方法二：   . （2）原式 . 【变式训练6】在中，把，，…，称为三项式系数. (1)当时，写出三项式系数，，，，的值； (2)的展开式中，系数可用杨辉三角形数阵表示，如图，当，时，类似杨辉三角形数阵表，请列出三项式的次系数的数阵表； (3)求的值（用组合数作答）. 【答案】(1)，，，， (2)答案见解析 (3) 【详解】（1）因为， 所以，，，，； （2）因为， ， ， ， ， 所以三项式的（，）次系数的数阵表如下： （3） ， 其中系数为， 又 而二项式的通项（且）， 由，解得， 所以系数为， 由代数式恒成立， 所以. 类型二、两个二项式乘积展开式特定项 【例题讲解】的展开式中的项的系数为30，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【详解】中的展开式的通项为， 当时，，得到项的系数为， 当时，，得到项的系数为， 故展开式中的项的系数为，即． 故选：C 【变式训练1】的展开式中的系数为 . 【答案】 【详解】当取1，取，的系数为； 当取，取时，得的系数为：. 所以的系数为：. 故答案为： 【变式训练2】的展开式中的系数为 ．（用数字作答） 【答案】 【详解】第二个括号的通项为， 所以当前面括号出时，后面为， 当前面括号出时，后面出， 当前面括号出时，后面没有可出项， 所以的系数为， 故答案为：. 【变式训练3】的展开式中的系数为 （用数字作答） 【答案】 【详解】由题意，多项式的展开式中含有的项为： ， 所以的系数为． 故答案为：. 【变式训练4】已知的展开式中所有项的二项式系数和为128，各项系数和为． (1)求n和a的值； (2)求展开式中项的系数 (3)求的展开式中的常数项． 【答案】(1) (2) (3)448 【详解】（1）由条件可得，解得 （2） 展开式的通项为：， 当，即时，项的系数为 （3） ， ①当即时，； ②当即时，； 所求的常数项为． 类型三、三式展开式特定项 【例题讲解】的展开式中常数项为 ． 【答案】49 【详解】展开式的通项公式为 ，， 当时，常数项为1； 当时，得常数项为； 当时，得常数项为； 所以展开式中的常数项为. 故答案为：. 【变式训练1】的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 项对应，， 项对应系数为，故展开后系数为. 故选：D. 【变式训练2】的展开式中无理项的项数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】由题， 又的展开式， 所以的展开式的通项公式为， 所以当的指数不为整数时，该项为无理项， 而当时，不为整数，所以展开式中无理项的项数为4. 故选：B. 【变式训练3】（多选）若的展开式是关于的多项式，则下列说法正确的是（    ） A．展开式中每一项的次数都是6 B．展开式中含项的系数是60 C．所有项的系数之和为 D．展开式中共有28项 【答案】ABD 【详解】对于选项AB：由题意可知：展开式中每一项相对于个、个以及个相乘而得， 其中，且，展开式中每一项都为的形式， 展开式中每一项的次数都是，故A正确； 展开式中含项的系数是，故B正确； 对于选项C：令，可得所有项的系数之和为，故C错误； 对于选项D：本题等价于将6个相同的球分到3个不同的盒中， 等价于将9个相同的球分到3个不同的盒中（每盒不空），则有种可能放法， 所以展开式中共有28项，故D正确； 故选：ABD. 类型四、二项式系数最值、二项式系数和 【例题讲解】已知的展开式中，第4项和第9项的二项式系数相等． (1)求n； (2)求展开式中x的一次项的系数； (3)设展开式的所有项的系数和为M，展开式的所有偶数项的二项式系数和为N，求． 【答案】(1)11；(2)－1320；(3)1023 【详解】（1）∵第4项和第9项的二项式系数相等，∴，则． （2）展开式通项公式是，令，， ∴x的系数为； （3）在中令得，即为所有系数和． 展开式的所有偶数项的二项式系数和为, . 【变式训练1】已知的二项展开式的奇数项二项式系数和为，若，则等于 ． 【答案】 【详解】的二项展开式的奇数项二项式系数和为64， ，即， 则的通项公式为， 令，则， 所以. 故答案为：. 【变式训练2】已知. (1)求; (2)求． 【答案】(1) (2)2 【详解】（1）展开式的通项为：， 当时，得， 当时，得； （2）根据题意，令， 得， 由（1）知，， 所以. 【变式训练3】已知二项式，若它的二项式系数之和为128，求展开式中系数最大的项． 【答案】和 【详解】∵的二项式系数之和为128，， 则的展开通项公式为， 假设展开式中系数最大的项为第项， 则，即， 即，解得， ∴展开式中系数最大的项为第6，7项， 即. 【变式训练4】（多选）已知，则（    ） A． B． C． D．这8个数中最大值为35 【答案】ACD 【详解】由， 则结合已知，，故A正确； 令，则， 令，则，① 则，故B错误； 令，则，② 则由①②得，故C正确； 因为分别是二项式系数， 则最大值为，即，故D正确. 故选：ACD. 【变式训练5】在二项式的展开式中，______.给出下列条件： ①若展开式前三项的二项式系数的和等于37； ②若展开式中第四项与第五项的二项式系数比值为. 试在上面两个条件中选择一个补充在上面的横线上，并且完成下列问题： (1)求展开式中系数最大的项； (2)求展开式中含的项. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）选择①：依题意，得，即， 即，即，解得或（舍去）. 所以的展开式中， 当为偶数时，展开式中系数才可能取得最大，考虑， 根据二项式系数的性质可知，系数最大的项为第5项，即. 选择②：依题意，得，即，解得. 所以的展开式中， 当为偶数时，展开式中系数才可能取得最大，此时 根据二项式系数的性质可知，系数最大的项为第5项，即. （2）由（1）得的展开式中， 令，得， 所以的展开式中含的项为. 类型五、二项式中有关余数问题 【例题讲解】中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设a，b，m均为整数，若a和b被m除得的余数相间，则称a和b对模m同余，记为，如9和21被6除得的余数都是3，则记.若，且，则b的值可以是（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【详解】依题意， ，展开式共11项，其中前10均有因数8，最末一项为1， 则被8除得的余数是1，2022，2023，2024，2025被8除得的余数分别为6，7，0，1， 因此b的值可以是2025. 故选：D 【变式训练1】若既能被9整除又能被7整除，则正整数a的最小值为（    ） A．6 B．10 C．55 D．63 【答案】C 【详解】因为， 所以 ， 所以若既能被7整除，则，故 又， 所以 ， 所以若既能被9整除，则，故， 对于A，若，则由可知无解，故A错误； 对于B，若，则由可知无解，故B错误； 对于C，若，则由和得，故C正确； 对于D，若，则由可知无解，故D错误. 故选：C. 【变式训练2】被3除的余数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由二项式定理得， 令得，①， 令得，②， ①②得，， 解得，， 由 ， 故被3除的余数为. 故选：B. 【变式训练3】中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设均为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为，如9和21被6除得的余数都是3，则记．若，且，则的值可以是（    ） A．2010 B．2021 C．2019 D．1997 【答案】B 【详解】因为， 又，故， 又，，， ，结合选项可知只有B符合题意. 故选：B 类型六、杨辉三角 【例题讲解】“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望．如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（    ） A． B．第2023行中从左往右第1013个数与第1014个数相等 C．记第行的第个数为，则 D．第20行中第8个数与第9个数之比为 【答案】D 【详解】由图知，第行的第个数为，则， 对于A，由，得 ，故A错误； 对于B，第2023行有2024项，从左往右第1013个数与第1014个数分别为，所以，故B错误； 对于C，第行的第个数为，则， ，故C错误； 对于D，第20行中，第8个数与第9个数的比为，故D正确. 故选：D. 【变式训练1】“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（    ） A．在第10行中第5个数最大 B．第2023行中第1011个数和第1012个数相等 C． D．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个数 【答案】D 【详解】对于A，因“杨辉三角”的第10行中第5个数是，又，故A错误； 对于B，因“杨辉三角”的第2023行中第1011个数和第1012个数分别为和， 因，故，故B错误； 对于C，因 ， 则，故C错误； 对于D，因而，故D正确. 故选：D. 【变式训练2】杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》（1261年）一书中用如图所示的三角形解释二项式乘方展开的系数规律，现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，记作数列．若数列的前n项和为，则等于（   ）    A．235 B．512 C．521 D．1033 【答案】C 【详解】根据题意，杨辉三角前9行共有（项）． 故前47项的和为杨辉三角前9行的和再加第10行的前两个数1和9， 又杨辉三角的第行的所有数的和为， 所以前47项的和． 故选：C 【变式训练3】（多选）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题中正确的是（    ）． 第0行 第1行 第2行 第3行 第4行 第5行 第n行 1 1   1 1   2   1 1   3   3   1 1   4   6   4   1 1   5   10   10   5   1 第n行 A．在第10行中第5个数最大 B． C．第8行中第4个数与第5个数之比为 D．在杨辉三角中，第n行的所有数字之和为 【答案】BC 【详解】对于A：第10行是二项式的展开式的系数， 所以第10行中第个数最大，故A错误； 对于B： ，故B正确； 对于C：第8行是二项式的展开式的系数，又展开式的通项为， 所以第4个数为，第5个数为， 所以第4个数与第5个数之比为，故C正确； 对于D：第n行是二项式的展开式的系数，故第n行的所有数字之和为，故D错误． 故选：BC． 1.若，则的值为（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】C 【详解】令， 令, 令,， 则 . 故选：C. 2.已知为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为．如9和21除以6所得的余数都是3，则记为，若，，则的值可以是（    ） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 【详解】因为， 所以， 而， 故除以10余数为1，而，所以除以10余数为1， 对于A，除以10余数为4，故A错误， 对于B，除以10余数为3，故B错误， 对于C，除以10余数为2，故C错误， 对于D，除以10余数为1，故D正确. 故选：D 3.已知今天是周四，那么天后是（   ） A．周一 B．周三 C．周五 D．周日 【答案】B 【详解】由题意得， 由二项式定理得， ， 因为可以整除7，则除7后余数为6，则天后是周三. 故选：B. 4.（多选）在的二项展开式中，以下判断正确的是（    ） A．所有项的系数之和为1024 B．各二项式系数之和为32 C．第3项系数最大 D．常数项的值为90 【答案】AB 【详解】对于选项A：令，可得二项展开式中各项系数之和为，故 A正确； 对于选项B：各二项式系数之和为，故 B 正确； 对于选项C：二项式展开式的通式公式为：， 第一项系数为：， 第二项系数为：， 第三项系数为：， 第四项系数为：， 第五项系数为：， 第六项系数为：， 所以，系数最大的是第二项，故 C 错误； 对于选项D：令，则，则，常数项的值应该为15，故选项D错误. 故选：AB. 5.（多选）已知展开式中共有8项．则该展开式结论正确的是（    ） A．所有项的二项式系数和为128 B．所有项的系数和为 C．系数最大项为第2项 D．有理项共有4项 【答案】AD 【详解】A项，因为的展开式共有8项，所以． 故所有项的二项式系数和为，故A正确； B项，令，可得所有项的系数和为，故B错误； 因为二项展开式的通项公式为： ．. C项， 当，设项系数最大， 由，解得，则， 且，第3项系数为. 当时，，系数为1； 当时，，系数为； 由，故第3项的系数最大；故C错误； D项，由为整数，且可知，的值可以为：0，2，4，6， 所以二项展开式中，有理项共有4项，故D正确． 故选：AD. 6.（多选）已知，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】设，原式为, 令，,A正确； 令，则， 同乘得， ，，故B错误 令，则，故C错误 两边同时求导得：， 再令，,故D正确. 故选：AD. 7.（多选）已知，下列命题中，正确的是（    ） A．展开式中所有项的二项式系数的和为 B．展开式中所有奇次项系数的和为 C．展开式中所有偶次项系数的和为 D． 【答案】AD 【详解】对A，根据二项式系数的和即可判断A正确； 对B，令，可得， 令，可得， 两式相加得展开式中所有奇数项系数的和为，故B错误； 对C，两式相减得展开式中所有偶数项系数的和为，故C错误； 对D，令可求得， 再令，可得，代入得，故D正确. 故选：AD 8.（多选）“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望．如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（    ）    A． B．第2023行中从左往右第1013个数与第1014个数相等 C．记第n行的第i个数为，则 D．第20行中第8个数与第9个数之比为 【答案】CD 【详解】由图象可知为第行第三个数， 所以，故A错误； 易知第n行的第i个数为， 则第2023行中从左往右第1013个数与第1014个数分别为， 由组合数的性质知，故B错误； 易知，所以 ，故C正确； 第20行中第8个数与第9个数之比为，故D正确. 故选：CD 9.（多选）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中画了一张表示二项式系数构成的三角形数阵（如图所示），在“杨辉三角”中，下列选项正确的是（    ） A．第10行所有数字的和为1024 B． C．第6行所有数字的平方和等于 D．若第行第个数记为，则 【答案】ACD 【详解】A：第10行所有数字是二项式系数，因此第10行所有数字的和为，因此本选项正确； B： ，所以本选项不正确； C：所求的和表达式为：， 因为 ， 所以展开式中的系数为，即， 而， 因此有， 于是有，所以本选项正确； D：因为，所以本选项正确， 故选：ACD 10.已知的展开式中的所有二项式系数的和为32． (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中所有的有理项． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）易知：的展开式的所有二项式系数和为 由题意有，解得.  展开式共6项，二项式系数最大的项为第3项和第4项， 即，； （2）二项式展开式的通项为， 当时，对应项是有理项， 所以展开式中所有的有理项为． 11.已知. (1)若，求中含项的系数； (2)若，求. 【答案】(1)216 (2) 【详解】（1）， ∵展开式中第项， ∴展开式中，，项分别为，， 故中含的项为 ， ∴中含项的系数为216， （2）， 令，得，① 令，得，② 两式相加，得， 所以 12.设，其中n是正整数，a为正实数． (1)设，若展开式中含项的系数与含的系数相等，求展开式中的常数项； (2)设，，求展开式中系数最大项的系数（保留组合数以及2的幂）． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）当时,, 其二项展开式的通项为, 展开式中含项的系数与含的系数相等, 又 , 展开式中的常数项为. （2）当时，, 其通项. 设第项的系数最大， 则， 整理得, 解得, 或. 经检验,. 展开式中系数最大项的系数为：或. 13.在下列三个条件中任选一个条件，补充在问题中的横线上，并解答． 条件①：展开式中前三项的二项式系数之和为46； 条件②：展开式中所有项的二项式系数之和为512； 条件③：展开式中常数项为第4项． 问题：已知二项式，若______，求： (1)展开式中二项式系数最大的两项； (2)展开式中的第九项． 【答案】(1)，；(2) 【详解】（1）对有， 若选条件①：展开式中前三项的二项式系数之和为46， 则有，即， 整理得，由，故， 则展开式中二项式系数最大的两项为： ，； 若选条件②：展开式中所有项的二项式系数之和为512； 则有，解得， 则展开式中二项式系数最大的两项为： ，； 若选条件③：展开式中常数项为第4项， 则有，解得， 则展开式中二项式系数最大的两项为： ，； （2）由（1）知，，故对有， 则. 14.在以下两个条件中任选一个条件，补充在下面问题中的横线上，并完成解答. ①所有项的系数之和与二项式系数之和的比为； ②前三项的二项式系数之和为22. 问题：在的展开式中，__________. (1)证明展开式中没有常数项； (2)求展开式中所有的有理项. 【答案】(1)证明见解析 (2)，. 【详解】（1）若选①，令，则所有项的系数和为； 二项式系数之和为. 因为展开式中的所有项的系数之和与二项式系数之和的比为， 所以，解得. 故. 若是常数项，则，得， 故展开式没有常数项； 若选②，因为前三项的二项式系数之和为22， 所以， 整理得，解得. 故. 若是常数项，则，得， 故展开式中没有常数项. （2）由（1）得，. 是有理项，当且仅当为整数. 又因为，所以. 故展开式中有3个有理项，分别为，. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$