23.4 位似变换（变换、作图）（教学课件）数学北京版九年级下册

23.4 位似变换 主讲： 京改版九年级下册 第23章 图形的变换 复习导入 前面我们已经学习了图形的哪些变换？ 对称(轴对称与轴对称图形,中心对称与中心对称图形)：对称轴,对称中心. 平移：平移的方向,平移的距离. 旋转：旋转中心,旋转方向,旋转角度. 学习目标 目标 1 目标 2 1.掌握位似变换的定义、特点和性质； 目标 3 2.会找位似中心,并会画已知图的放大图和缩小图。 3.掌握在平面直角坐标系中的位似变换。 自学指导 仔细阅读教材P24---P27。用3分钟的时间看谁又快又好地解决以下问题： 1.什么是位似变换？ 2.位似变换有什么特点？ 实践 探究新知 在日常生活中，我们经常见到下面一类相似的图形 ：通过幻灯机，把图片上的图形放大到屏幕上；摄影师通过照相机，把景物的影像缩小在底片上 . 这样的放大或缩小，没有改变图形形状，经过放大或缩小的图形与原图形是相似的 . 因此，我们可以得到真实的图片和照片 . 下列图形中,每个图中的四边形ABCD和四边形A′B′C′D′都有什么特征? 观察 如果两个图形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点,对应边互相平行,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心. 位似图形的概念 知识要点 利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小 . 下图中的两个多边形不仅相似，而且对应点的连线相交于一点，这样的两个图形叫做位似图形 . 其中交点 O 叫做位似中心 . 例 任意画一个四边形，不改变图形的形状，把它的各边长缩小为原来的. 解：如图，在四边形 ABCD 外任意取一点 O，作射线 OA，OB， OC，OD，然后分别在射线 OA，OB，OC，OD 上取点 A′，B′，C′，D′，使得 = = = =顺次连接点 A′，B′，C′，D′，四边形 A′B′C′D′ 就是所要求作的图形 . 典型例题 由一个平面图形得到它的位似图形的图形运动称为位似变换。 特征： 1.位似图形一定是相似形，反之不一定。 2.判断位似图形(或位似变换)时要注意首先它们必须是相似形,其次每一对对应点所在直线都经过同一点. 位似变换的概念 O A B A` C` B` C D` D 已知:如图在同一平面内△ABC和△A`B`C`是位似图形,AA`、BB`、CC`的延长线相交于点O,OB交AC,A`C`于点D和D`. ①对应边有什么位置关系？ ②位似中心到对应点的线段比与相似比有什么关系？ O A B A` C` B` C D` D 证明：①∵△ABC和△A`B`C`是位似图形OB交AC，A`C`于点D和D` ∴ △ABC∽△A`B`C` 且D和D`是对应点 ∴ △ABD∽△A`B`D` ∴ ∠ABD=∠A`B`D` ∴ AB∥A`B` O A B A` C` B` C D` D 证明：②∵ AB∥A`B` ∴∠BAO=∠B`A`O， ∠ABO=∠A`B`O ∴△OAB∽△OA`B` 1.对应边互相平行或在一条直线上； 2.位似比等于位似图形的相似比。 位似图形的性质 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比叫位似比. 知识要点 利用下面的方法可以将一个图形放大： 如图，用螺钉把四根直尺在 A，B， C，D 四处互相连接起来，使连接处可以转动， 并使四边形 ABCD 形成一个平行四边形 . 在CB 尺上选一点 O，使 B 介于 C，O 之间 . 在O 处装上一根针，这根针的作用在于能把 O固定在图板上的某一点；再在 CD 尺上选一点 E，使 O，A，E 三点共线；最后在 A 处装上一根针，E 处装上一支铅笔 . 使用的时候，将 O 点固定，让 A 处的针描画已知图形，那么 E 处的铅笔便会随着画出相似的图形来 . 1.如图，△ABC 的顶点坐标分别为 A( 1，3 )，B( 1，1 )，C( 6，2 )， 以点 O 为位似中心，相似比为 2，将△ABC放大. 观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？ 实践 解：如图△A′B′C′和△A′′B′′C′′是以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大后的图形，对应顶点坐标的变化是：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为2，那么位似图形对应点的坐标的比等于2或﹣2． 2. 如图，利用计算机或图形计算器在平面直角坐标系中画一个△ABC，以点 O 为位似中心，自选相似比为 k，进行位似变换，得到△A′B′C′ 和△A″B″C″ . ( 1 ) 确定点 A′，A″ 的横坐标，并分别计算它们与点 A 的横坐标的比值 . ( 2 ) 确定点 A′，A″ 的纵坐标，并分别计算它们与点 A 的纵坐标的比值 . 观察比值与 k 有什么关系 . 其他对应点呢？任意改变△ABC 的位置，上面得出的结论是否仍然成立？ 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图形对应点的对应坐标的比等于k或 -k . 典型例题 例 已知：△ABC 的顶点坐标分别为 A( 2，4 )，B( 4，0 )，C( 6，0 ) . 在第一象限内画出它的一个以原点 O 为位似中心，相似比为12的位似图形 . 作法：如图，利用位似变换中对应点的坐标的变化规律，点 A 的对应点 A′ 的坐标为(2× ,4×),即（1，2）. 类似的，可以确定点 B′，C′ 的坐标分别为( 2，0 )，( 3，0 ) . 依次连接点 A′，B′，C′，△A′B′C′ 就是所要求作的△ABC 的位似图形 . 基础检测 1.如图，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'位似，点O为位似中心，若OB：OB'＝2：3，则四边形ABCD与四边形A'B'C′D'的面积比为（　　） A．2：3 B．2：5 C．4：9 D．4：25 C 分析：∵四边形ABCD与四边形A'B'C'D'位似， ∴四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，AB∥A′B′， ∴△OAB∽△OA′B′， ∴， ∴四边形ABCD与四边形A'B'C′D'的面积比＝（）2 2．如图，在正方形网格中，以点O为位似中心，△ABC的位似图形可以是（　　）  A．△DEF B．△DFH C．△GEH D．△GDJ 分析：∵△ABC与△GEH是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，∴△ABC与△GEH是位似图形。 C 一展身手 1．如图，△OA1B1与△OAB的形状相同，大小不同，△OA1B1是由△OAB的各顶点变化得到的，则各顶点变化情况（　　）  A．横坐标和纵坐标都加2 B．横坐标和纵坐标都乘以2 C．横坐标和纵坐标都除以2 D．横坐标和纵坐标都减2 分析：∵A1（2，1），A（4，2）；B1（1，3），B（2，6）， ∴各顶点变化情况为：横坐标和纵坐标都除以2． C 2.在如图所示的平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，已知点A（﹣2，﹣1），点B（﹣3，﹣3），点C（﹣1，﹣2）． （1）画出△ABC； （2）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1； （3）请以原点O为位似中心在第一象限内画出△A2B2C2，使它与△ABC位似，且相似比是2：1，并写出△A2B2C2三个顶点的坐标． 解：（1）△ABC如图所示； （2）∵△ABC与△A1B1C1关于x轴对称，A（﹣2，﹣1），B（﹣3，﹣3），C（﹣1，﹣2）， ∴A1（﹣2，1），B1（﹣3，3），C1（﹣1，2）， 如图所示：  （3）∵A（﹣2，﹣1），B（﹣3，﹣3），C（﹣1，﹣2）的坐标都乘以﹣2，∴A2（4，2），B2（6，6），C2（2，4），△A2B2C2如图所示． 挑战自我 如图，将△AOB以坐标原点O为位似中心放大，得到△OCD，已知A（1，2）、B（3，0）、D（4，0），则点C的坐标为 　 　． （，） 课堂小结 位似变换 1.位似变换的定义、特点和性质； 2.位似中心、位似比； 3.在平面直角坐标系中的位似变换。 主讲： 感谢聆听 京改版九年级下册 $$