23.4 位似变换（变换、作图 2大题型提分练）（题型专练）数学北京版九年级下册

23.4位似变换 同步练习 题型一 位似变换 1．在平面直角坐标系内，线段AB的两个端点的坐标分别为A（﹣6，3），B（﹣6，0），以原点O为位似中心，相似比为，将线段AB缩小得到线段A'B'，则点A的对应点A'的坐标为（　　） A．（﹣2，1） B．（1，﹣2）或（﹣1，2） C．（2，﹣1） D．（﹣2，1）或（2，﹣1） 【分析】利用位似图形的性质，结合两图形的位似比进而得出A'点坐标． 【详解】解：∵以原点O为位似中心，相似比为，将线段AB缩小得到线段A'B'， ∴端点A'的横坐标和纵坐标都变为A点的横坐标和纵坐标的±， 又∵A（﹣6，3）， ∴端点A'的坐标为（﹣6，3）或（﹣6×（），3×（）），即（﹣2，1）或（2，﹣1）． 故选：D． 2．如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为2：3，若AB＝3，则DE的长为（　　） A．4 B．4.5 C．5 D．6 【分析】利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：由题意△ABC∽△DEF， ∴， ∵AB＝3， ∴DE＝4.5． 故选：B． 3．如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心．若AD＝3OA，△ABC的面积为4，则△DEF的面积为（　　） A．12 B．16 C．24 D．54 【分析】根据位似图形的概念得到△ABC≌△DEF，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：∵△ABC与△DEF是位似图形， ∴△ABC∽△DEF， ∵AD＝3OA， ∴OA：OD＝1：2． ∴AB：DE＝1：2， ∴（）2， ∵△ABC的面积为4， ∴△DEF的面积为16， 故选：B． 4．由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°．若S△AOB＝1，则图中与△BOC位似的三角形的面积为（　　） A．（）3 B．（）7 C．（）6 D．（）6 【分析】根据余弦的定义得到OBOA，进而得到OG＝（）6OA，根据位似图形的概念得到△GOH与△AOB位似，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：在Rt△AOB中，∠AOB＝30°， ∵cos∠AOB， ∴OBOA， 同理，OCOB， ∴OC＝（）2OA， …… OG＝（）6OA， 由位似图形的概念可知，△GOH与△AOB位似，且位似比为（）6， ∵S△AOB＝1， ∴S△GOH＝[（）6]2＝（）6， 故选：C． 5．《墨子•天志》记载：“执规矩，以度天下之方圆”．度方知圆，感悟数学之美．如图，以面积为1的正方形ABCD的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A′B′C′D′，若AB：A′B′＝1：2，则四边形A′B′C′D′的面积为（　　） A．9 B．6 C．4 D．3 【分析】根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方作答． 【详解】解：∵正方形ABCD的面积为1，AB：A'B'＝1：2， ∴正方形ABCD的面积：四边形A′B′C′D′的面积＝1：4． ∴四边形A'B'C'D'的面积＝4． 故选：C． 6．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6）、B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（　　） A．（﹣1，2） B．（﹣9，18） C．（﹣9，18）或（9，﹣18） D．（﹣1，2）或（1，﹣2） 【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k解答． 【详解】解：∵点A（﹣3，6），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小， ∴点A的对应点A′的坐标是（﹣1，2）或（1，﹣2）， 故选：D． 7．如图，在平面直角坐标系中，已知B（2，1），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，且，则点E的坐标是（　　） A．（7，4） B．（7，3） C．（6，4） D．（6，3） 【分析】根据位似图形的概念易得△ABC与△DEF的相似比为1：3，根据位似变换的性质计算，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，且， 即△ABC与△DEF的相似比为1：3， 又∵B（2，1）， ∴E点的坐标为（2×3，1×3），即E点的坐标为（6，3）． 故选：D． 8．如图，△ABC与△A1B1C1是以点O为位似中心的位似图形，若，△A1B1C1的面积为1，则△ABC的面积为（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 【分析】根据位似变换的概念得到A1C1∥AC，进而证明△OA1C1∽△OAC，根据相似三角形的性质求出，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：∵△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形， ∴A1C1∥AC， ∴△OA1C1∽△OAC， ∴， ∴△ABC和△A1B1C1的面积比为1：4， ∵△A1B1C1的面积为1， ∴S△ABC＝4×1＝4， 故选：C． 9．如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，已知OA：AD＝3：2，则△ABC与△DEF的面积比为 　9：25　． 【分析】先根据位似图形的概念求出△ABC与△DEF的相似比，再根据相似的性质，面积比等于相似比的平方解题即可． 【详解】解：∵OA：AD＝3：2， ∴OA：OD＝1：5， ∵△ABC与△DEF位似， ∴△ABC与△DEF的位似比为3：5， ∴△ABC与△DEF的相似比为3：5， ∴△ABC与△DEF的面积比为9：25， 故答案为：9：25． 10．如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中OE＝2OB，则△ABC与△DEF的面积之比是 　1：4　． 【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽△DEF，BC∥EF，得出△OBC∽△OEF，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算得到答案． 【详解】解：∵△ABC与△DEF位似， ∴△ABC∽△DEF，BC∥EF， ∴△OBC∽△OEF， ∴， ∴△ABC与△DEF的面积之比为1：4， 故答案为：1：4． 11．如图，△ABC与△DEF位似，其位似中心为点O，且，若△ABC的周长为5，则△DEF的周长为 　　． 【分析】先根据位似的性质得到△ABC∽△DEF，，然后根据相似三角形的性质解决问题． 【详解】解：∵△ABC与△DEF位似，其位似中心为点O， ∴△ABC∽△DEF， ∴， ∴， ∴△DEF的周长＝5． 故答案为：． 12．在平面直角坐标系中，点A（﹣6，0）、点B（﹣4，﹣2），O为坐标原点，以点O为位似中心，按相似比2：1把△ABO放大，则点B的对应点B′的坐标为 　（﹣8，﹣4）或（8，4）　． 【分析】根据位似变换的性质计算即可． 【详解】解：∵以点O为位似中心，按相似比2：1把△ABO放大，点B的坐标为（﹣4，﹣2）， ∴点B的对应点B′的坐标为（﹣4×2，﹣2×2）或（﹣4×（﹣2），﹣2×（﹣2）），即（﹣8，﹣4）或（8，4）， 故答案为：（﹣8，﹣4）或（8，4）． 13．如图，四边形ABCD和A'B'C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA'＝3：4，则四边形ABCD与四边形A'B'C′D′的面积比为 　9：16　． 【分析】利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形ABCD和A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形， ∴四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′， ∴（）2， 故答案为：9：16． 题型二 作图-位似变换 14．已知，△ABC在平面直角坐标系的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为（1，0），（3，﹣1），（4，2）． （1）以点O为位似中心，在y轴右侧画△A′B′C′，使它与△ABC的相似比为2：1； （2）△A′B′C′的面积为 　14　； （3）若点M（a，b）为△ABC内一点，则点M的对应点M′的坐标为 　（2a，2b）　． 【分析】（1）根据位似的性质作图即可． （2）利用割补法求三角形的面积即可． （3）根据位似的性质可得答案． 【详解】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求． （2）△A′B′C′的面积为24﹣4﹣6＝14． 故答案为：14． （3）由题意得，点M的对应点M′的坐标为（2a，2b）． 故答案为：（2a，2b）． 15．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣3，3），C（﹣3，1）． （1）以点B为位似中心，在点B的下方画出△A1BC1，使△A1BC1与△ABC位似，且相似比为2：1，点A，C的对应点分别为A1，C1； （2）直接写出点A1和点C1的坐标：A1（ 　1　，　1　），C1（ 　﹣3　，　﹣1　）． 【分析】（1）根据位似的性质画图即可． （2）由图可得答案． 【详解】解：（1）如图，△A1BC1即为所求． （2）由图可得，A1（1，1），C1（﹣3，﹣1）． 故答案为：1；1；﹣3；﹣1． 16．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为点A（﹣3，5），B（﹣4，1），C（0，3）． （1）把△ABC先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到△A1B1C1，并写出点C1的坐标； （2）以点O为位似中心，将△A1B1C1放大两倍得到△A'B'C'； （3）直接写出△ABC的面积：　7　． 【分析】（1）根据平移的性质作图，即可得出答案． （2）根据位似的性质作图即可． （3）利用割补法求三角形的面积即可． 【详解】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求． 由图可得，点C1的坐标为（2，0）． （2）如图，△A'B'C'和△A''B''C''均满足题意． （3）△ABC的面积为14﹣4﹣3＝7． 故答案为：7． 17．如图，网格中每个小正方形的边长是1，△ABC在网格中的位置如图所示． （1）请在网格中画出△ABC关于点D位似的△EFG，点A与点E，点B与点F，点C与点G分别是对应点，且△ABC与△EFG的位似比是1：2． （2）在（1）的条件下，已知点在△ABC的边上，求点P的对应点Q的坐标． 【分析】（1）如图，连接AP、BP、CP并延长到2AP、2BP、2CP长度找到各点的对应点E、D、F，然后顺次连接E、D、F即可解答； （2）先确定点P的位置，再连接PD并延长至Q，使得DQ＝2PD，然后读出点Q的坐标即可． 【详解】解：（1）如图1：△EFG即为所求． （2）如图2： 已知点在△ABC的边上， ∴点P的对应点Q的坐标为（8，4）． 18．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣1，﹣2），B（﹣4，﹣1），C（﹣3，2）． （1）用没有刻度的直尺作出△ABC关于点A的同向位似图形△A1B1C1，且位似比为1：2； （2）画出△ABC绕点O顺时针旋转90°得到的△A2B2C2． 【分析】（1）找到位似中心，把原来的三角形三边作关于位似中心对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的图形； （2）将原三角形的三个顶点分别与原点相连，并过原点作相应连线的垂线，变化过程中旋转前后对应线段长度不变，即可得出对应的图形． 【详解】解：（1）将原来的三角形三边关于点A作对应的放大2倍即可得到对应的图形，所作图形如图1，△AB1C1即为所求； （2）将原三角形的三个顶点分别与原点相连，并过原点分别作OA、OB、OC的垂线且长度分别与之对应相等，即可得出对应的图形，如图2，△A2B2C2即为所求． ． 1．如图，已知△OAB和△OCD是以点O为位似中心的位似图形，△OAB的面积为4cm2，△OAB的周长与△OCD的周长比是1：3，则△OCD的面积等于（　　） A．40cm2 B．36cm2 C．12cm2 D．8cm2 【分析】根据位似图形的概念得到△OAB∽△OCD，再根据相似三角形的周长的比等于相似比、相似三角形的面积的比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：∵△OAB和△OCD是以点O为位似中心的位似图形， ∴△OAB∽△OCD， ∵△OAB的周长与△OCD的周长比是1：3， ∴△OAB的周长与△OCD的相似比是1：3， ∴△OAB的周长与△OCD的面积比是1：9， ∵△OAB的面积为4cm2， ∴△OCD的面积等于36cm2， 故选：B． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知A（6，4），B（2，3），D（3，2），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，则E点的坐标是（　　） A．（1，2） B． C． D． 【分析】先求出OA、OD的长，再根据位似图形的性质计算，得到答案． 【详解】解：设E点的坐标是（x，y）， ∵A（6，4），D（3，2）， ∴，， ∵△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，B（2，3）， ∴，， ∴x＝1， ∴E点的坐标为， 故选：B． 3．如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均相等，且每个小正方形的顶点称为格点，△OAB的顶点均在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图．（保留作图痕迹） （1）如图1，以点O为位似中心画△ODE，使得△ODE与△OAB位似，且相似比为2：1，D，E为格点． （2）如图2，在OA边上找一点F，使得． 【分析】（1）在OA延长线上取格点D，在OB延长线上取格点E，使OD＝2OA，OE＝2OB，连接OD，OE，DE，根据位似图形的判定和性质可知△ODE即为所求作； （2）在点A的下方取格点G，使AG＝3，AG∥OB，连接BG交AO于点F，根据相似三角形的判定和性质可知F即为所求． 【详解】解：（1）如图1所示，在OA延长线上取格点D，在OB延长线上取格点E，使OD＝2OA，OE＝2OB，连接OD，OE，DE， 则， ∵∠DOE＝∠AOB， ∴△ODE∽△OAB， 故△ODE即为所求； （2）如图2所示，在点A的下方取格点G，使AG＝3，AG∥OB，连接BG交AO于点F， 则△AGF∽△OBF， ∵OB＝2， ∴， 故点F即为所求作． 4．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，每个小正方形的边长为1，以原点O为位似中心，在第一象限内，对△ABC进行位似变换，得到△DEF（点A，B，C分别对应点D，E，F），且△ABC与△DEF的相似比为2：1．其中点B坐标为（4，2）． （1）画出△DEF； （2）点E坐标为 　（2，1）　； （3）线段AC上一点（x，y）经过变换后对应的点的坐标为 　　． 【分析】（1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，再由△DEF再第一象限确定D、E、F的坐标，描出D、E、F，再顺次连接D、E、F即可； （2）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，据此可得答案； （3）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，据此可得答案． 【详解】解：（1）如图所示，△DEF即为所求； （2）∵△ABC与△DEF关于原点位似，且相似比为2：1，B（4，2）， ∴点E的坐标为（2，1）， 故答案为：（2，1）； （3）∵△ABC与△DEF关于原点位似，且相似比为2：1， ∴线段AC上一点（x，y）经过变换后对应的点的坐标为 ， 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 23.4位似变换 同步练习 题型一 位似变换 1．在平面直角坐标系内，线段AB的两个端点的坐标分别为A（﹣6，3），B（﹣6，0），以原点O为位似中心，相似比为，将线段AB缩小得到线段A'B'，则点A的对应点A'的坐标为（　　） A．（﹣2，1） B．（1，﹣2）或（﹣1，2） C．（2，﹣1） D．（﹣2，1）或（2，﹣1） 2．如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为2：3，若AB＝3，则DE的长为（　　） A．4 B．4.5 C．5 D．6 3．如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心．若AD＝3OA，△ABC的面积为4，则△DEF的面积为（　　） A．12 B．16 C．24 D．54 4．由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°．若S△AOB＝1，则图中与△BOC位似的三角形的面积为（　　） A．（）3 B．（）7 C．（）6 D．（）6 5．《墨子•天志》记载：“执规矩，以度天下之方圆”．度方知圆，感悟数学之美．如图，以面积为1的正方形ABCD的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A′B′C′D′，若AB：A′B′＝1：2，则四边形A′B′C′D′的面积为（　　） A．9 B．6 C．4 D．3 6．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6）、B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（　　） A．（﹣1，2） B．（﹣9，18） C．（﹣9，18）或（9，﹣18） D．（﹣1，2）或（1，﹣2） 7．如图，在平面直角坐标系中，已知B（2，1），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，且，则点E的坐标是（　　） A．（7，4） B．（7，3） C．（6，4） D．（6，3） 8．如图，△ABC与△A1B1C1是以点O为位似中心的位似图形，若，△A1B1C1的面积为1，则△ABC的面积为（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 9．如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，已知OA：AD＝3：2，则△ABC与△DEF的面积比为 　 　． 10．如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中OE＝2OB，则△ABC与△DEF的面积之比是 　 　． 11．如图，△ABC与△DEF位似，其位似中心为点O，且，若△ABC的周长为5，则△DEF的周长为 　 　． 12．在平面直角坐标系中，点A（﹣6，0）、点B（﹣4，﹣2），O为坐标原点，以点O为位似中心，按相似比2：1把△ABO放大，则点B的对应点B′的坐标为 　 　． 13．如图，四边形ABCD和A'B'C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA'＝3：4，则四边形ABCD与四边形A'B'C′D′的面积比为 　 　． 题型二 作图-位似变换 14．已知，△ABC在平面直角坐标系的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为（1，0），（3，﹣1），（4，2）． （1）以点O为位似中心，在y轴右侧画△A′B′C′，使它与△ABC的相似比为2：1； （2）△A′B′C′的面积为 　 　； （3）若点M（a，b）为△ABC内一点，则点M的对应点M′的坐标为 　 　． 15．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣3，3），C（﹣3，1）． （1）以点B为位似中心，在点B的下方画出△A1BC1，使△A1BC1与△ABC位似，且相似比为2：1，点A，C的对应点分别为A1，C1； （2）直接写出点A1和点C1的坐标：A1（ 　 　，　 　），C1（ 　 　，　 　）． 16．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为点A（﹣3，5），B（﹣4，1），C（0，3）． （1）把△ABC先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到△A1B1C1，并写出点C1的坐标； （2）以点O为位似中心，将△A1B1C1放大两倍得到△A'B'C'； （3）直接写出△ABC的面积：　 　． 17．如图，网格中每个小正方形的边长是1，△ABC在网格中的位置如图所示． （1）请在网格中画出△ABC关于点D位似的△EFG，点A与点E，点B与点F，点C与点G分别是对应点，且△ABC与△EFG的位似比是1：2． （2）在（1）的条件下，已知点在△ABC的边上，求点P的对应点Q的坐标． 18．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣1，﹣2），B（﹣4，﹣1），C（﹣3，2）． （1）用没有刻度的直尺作出△ABC关于点A的同向位似图形△A1B1C1，且位似比为1：2； （2）画出△ABC绕点O顺时针旋转90°得到的△A2B2C2． 1．如图，已知△OAB和△OCD是以点O为位似中心的位似图形，△OAB的面积为4cm2，△OAB的周长与△OCD的周长比是1：3，则△OCD的面积等于（　　） A．40cm2 B．36cm2 C．12cm2 D．8cm2 2．如图，在平面直角坐标系中，已知A（6，4），B（2，3），D（3，2），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，则E点的坐标是（　　） A．（1，2） B． C． D． 3．如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均相等，且每个小正方形的顶点称为格点，△OAB的顶点均在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图．（保留作图痕迹） （1）如图1，以点O为位似中心画△ODE，使得△ODE与△OAB位似，且相似比为2：1，D，E为格点． （2）如图2，在OA边上找一点F，使得． 4．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，每个小正方形的边长为1，以原点O为位似中心，在第一象限内，对△ABC进行位似变换，得到△DEF（点A，B，C分别对应点D，E，F），且△ABC与△DEF的相似比为2：1．其中点B坐标为（4，2）． （1）画出△DEF； （2）点E坐标为 　 　； （3）线段AC上一点（x，y）经过变换后对应的点的坐标为 　 　． 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