23.3 轴对称变换（概念、性质、坐标系中的对称变换 5大题型提分练）（题型专练）数学北京版九年级下册

23.3轴对称变换 同步练习 题型一 关于x轴、y轴对称的点的坐标 1．在平面直角坐标系中，点A（﹣1，﹣2）关于y轴的对称点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．在同一平面直角坐标系内，已知点A（4，2），B（﹣2，2），下列结论正确的是（　　） A．线段AB＝2 B．直线AB∥x轴 C．点A与点B关于y轴对称 D．线段AB的中点坐标为（2，2） 3．已知P1（a﹣1，5）和P2（2，b﹣1）关于y轴对称，则（ab）2的值为 　 　． 题型二 坐标与图形变化-对称 4．与点（4，5）关于直线x＝﹣1对称的点为（　　） A．（﹣4，5） B．（4，﹣5） C．（﹣6，5） D．（4，﹣7） 题型三 作图-轴对称变换 5．，如图，在10x10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1（即三角形的顶点都在格点上）． （1）在图中作出△ABC关于直线对称的△A1B1C1；（要求：A与A1，B与B1，C与C1相对应）； （2）用无刻度直尺画出线段AB的垂直平分线； （3）已知Q是直线l上一个动点，当QB+QC取最小值时，请在图中作出此时Q点的位置； （4）求出△ABC的面积． 6．已知：如图，已知△ABC，△ABC的顶点A（0，﹣2），B（2，﹣4），C（4，﹣1）均在正方形网格的格点上． （1）画出与△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1并写出点A1的坐标； （2）求△ABC的面积． 7．如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上． （1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （2）直接写出点A1的坐标为 　 　． 8．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A，B，C均落在格点上． （1）画出△ABC关于直线l的轴对称图形△A′B′C′． （2）连接A′B、C′B，则△A′BC′的面积为 　 　． （3）在直线l上画出点M，使MA+MC的值最小，这个最小值是 　 　． 题型四 利用轴对称设计图案 9．如图，在3×3的正方形网格中，有一个以格点为顶点的三角形． （1）请你在图①，图②，图③中，分别画出一个与该三角形成轴对称且以格点为顶点的三角形，并将所画三角形涂上阴影．（注：所画的三幅图不能重复）． （2）格纸中所有与该三角形成轴对称且以格点为顶点的三角形共有 　 　个． 题型五 剪纸问题 10．小明和小颖同学交流学习心得，小明发现将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿着图③中的虚线剪下，就能得到一个特殊的图形．这个特殊的图形是（　　） A．矩形 B．三角形 C．菱形 D．正方形 题型六 翻折变换（折叠问题） 11．如图，已知点D，E，F分别在△ABC的三边上，将△ABC沿DE，DF翻折，顶点B，C均落在△ABC内的点O处，且BD与CD重合于线段OD，若∠AEO+∠AFO＝50°，则∠A的度数为（　　） A．60° B．65° C．70° D．75° 12．如图1，已知四边形ABCD是正方形，将△DAE，△DCF分别沿DE，DF向内折叠得到图2，此时DA与DC重合（A，C都落在G点），若GF＝4，GE＝6，则DG的长为（　　） A．8 B．10 C．12 D．14 13．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上，若AB＝6，BC＝9，折痕为EF，则FC的长为（　　） A．5 B．4 C．3 D． 14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，D是边AB上的动点，连接CD，将△ADC沿直线CD翻折得到△A′DC，直线AB与直线A′C交于点E．若△A′DE是等腰三角形，则∠ACD的度数为 　 　°． 15．如图，在矩形纸片ABCD中AB＝3cm，BC＝9cm，将矩形纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，求折痕EF＝ 　 　cm． 16．如图，在长方形ABCD中，AB＝5，BC＝6，P是射线BC上一动点，l为长方形ABCD的一条对称轴，将△ABP沿AP折叠，当点B的对应点B′落在l上时，BP的长为多少？ 1．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的动点，P是对角线AC上的动点，若AD＝4，∠D＝45°，则PE+PF的最小值是（　　） A．2 B．3 C．4 D． 2．如图，已知点D、E分别是等边△ABC中BC、AB边上的中点，AB＝6，点F是线段AD上的动点，则BF+EF的最小值为（　　） A．3 B．6 C．9 D． 3．如图，在△ABC中，过点A作AE⊥BC于点E，过点C作CD⊥AB于点D，AE、CD交于点F，连接BF将△ABF沿BF翻折得到△A′BF，点A′恰好落在线段AC上．若AE＝EC＝3，BE＝1，则△A′CF的面积是（　　） A．2 B． C．3 D．1 4．如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边上的F点处，若AB＝8cm，BC＝10cm，则EC长（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 5．数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．如图，矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，点E是AB边上与点A和点B不重合的任意一点，小明把矩形ABCD沿DE折叠，使点A落在点F处，连接BF，当线段DF+BF的值最小时，AE的长度为（　　） A． B． C． D． 6．如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，E是BC上的一个动点，将△ABE沿着AE折叠到△ADE处，再将边AC折叠到与AD重合，折痕为AF，当△DEF是等腰三角形时，BE的长是 　 　． 7．如图，已知长方形纸片ABCD的长BC＝16cm，宽AB＝6cm，点E，F均在BC上（E在F左侧），先将纸片沿AE折叠，记点B的对应点为B′，再将纸片沿DF折叠，使得CF的对应线段C′F∥B′E，连接B'C'，若折叠过程保持B′，C′分别在长方形的外部和内部，当B′C′∥AE时，CF的长为　 　cm． 8．如图所示，在边长为1的小正方形网格中，△AOB的顶点都在格点上． （1）B点关于y轴的对称点的坐标为　 　； （2）将△AOB向左平移3个单位长度得到△A1O1B1，请画出△A1O1B1； （3）在（2）条件下，点A1的坐标为　 　；请求出△A1O1B1的面积． 9．阅读下列一段文字：已知在平面内两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），其两点间的距离P1P2 问题解决：已知A（1，4），B（7，2） （1）试求A，B两点的距离； （2）在x轴上找一点P（不求坐标，画出图形即可），使PA+PB的长度最短，求PA+PB的最短长度． 10．折叠矩形ABCD的一边AD，点D落在BC边上的点F处，已知AB＝8cm，BC＝10cm， 求：（1）求CF的长； （2）求EC的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 23.3轴对称变换 同步练习 题型一 关于x轴、y轴对称的点的坐标 1．在平面直角坐标系中，点A（﹣1，﹣2）关于y轴的对称点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数求出对称点的坐标，再根据各象限内点的坐标特点解答即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点A（﹣1，﹣2）关于y轴的对称点是（1，﹣2）， 点（1，﹣2）在第四象限， 故选：D． 2．在同一平面直角坐标系内，已知点A（4，2），B（﹣2，2），下列结论正确的是（　　） A．线段AB＝2 B．直线AB∥x轴 C．点A与点B关于y轴对称 D．线段AB的中点坐标为（2，2） 【分析】根据平面直角坐标系中点的特点，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．AB＝4﹣（﹣2）＝6，故选项A错误，不符合题意； B．∵点A（4，2），B（﹣2，2），纵坐标相同，横坐标不同， ∴直线AB∥x轴，故选项B正确，符合题意； C．点A关于y轴的对称点坐标为（﹣4，2），故选项C错误，不符合题意； D．线段AB的中点坐标为（1，2），故选项D错误，不符合题意． 故选：B． 3．已知P1（a﹣1，5）和P2（2，b﹣1）关于y轴对称，则（ab）2的值为 　36　． 【分析】直接利用关于y轴对称点的性质，求出a，b的值，即可得出答案． 【详解】解：∵P1（a﹣1，5）和P2（2，b﹣1）关于y轴对称， ∴a﹣1+2＝0，b﹣1＝5， ∴a＝﹣1，b＝6， ∴（ab）2＝（﹣6）2＝36． 故答案为：36． 题型二 坐标与图形变化-对称 4．与点（4，5）关于直线x＝﹣1对称的点为（　　） A．（﹣4，5） B．（4，﹣5） C．（﹣6，5） D．（4，﹣7） 【分析】点（4，5）与关于直线x＝﹣1对称的点纵坐标不变，两点到x＝﹣1的距离相等，据此可得其横坐标． 【详解】解：点（4，5）关于直线x＝﹣1对称的点的坐标是（﹣6，5）． 故选：C． 题型三 作图-轴对称变换 5．，如图，在10x10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1（即三角形的顶点都在格点上）． （1）在图中作出△ABC关于直线对称的△A1B1C1；（要求：A与A1，B与B1，C与C1相对应）； （2）用无刻度直尺画出线段AB的垂直平分线； （3）已知Q是直线l上一个动点，当QB+QC取最小值时，请在图中作出此时Q点的位置； （4）求出△ABC的面积． 【分析】（1）根据轴对称的性质，找出点A、B、C关于直线l的对称点A1、B1、C1，顺次连接即可； （2）寻找相应的格点E、F，连接EF即可； （3）根据轴对称的性质可得：QC1＝QC，再根据三角形三边关系可得，当Q、B、C1三点共线时，QC+QB最小； （4）根据割补法即可求解． 【详解】解：（1）如图1，△A1B1C1即为所求； （2）如图2，直线EF即为所求作的垂直平分线； （3）连接BC1交直线l于点Q，连接CQ，如图3， 由轴对称的性质可得：QC1＝QC， ∴QC+QB＝QB+QC1， ∵两点之间线段最短， ∴此时QC1+QB最小，即QC+QB最小，且最小值为线段BC1的长； （4）S5． 6．已知：如图，已知△ABC，△ABC的顶点A（0，﹣2），B（2，﹣4），C（4，﹣1）均在正方形网格的格点上． （1）画出与△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1并写出点A1的坐标； （2）求△ABC的面积． 【分析】（1）分别作出三个顶点关于x轴的对称点，再首尾顺次连接即可，根据图形位置即可写出A1的坐标； （2）根据利用面积和差即可得到三角形面积． 【详解】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求， ∵A（0，﹣2），△ABC与△A1B1C1关于x轴对称， ∴A1（0，2）； （2）△ABC的面积． 7．如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上． （1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （2）直接写出点A1的坐标为 　（﹣1，3）　． 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可． （2）由图可得答案． 【详解】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求． （2）由图可得，点A1的坐标为（﹣1，3）． 故答案为：（﹣1，3）． 8．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A，B，C均落在格点上． （1）画出△ABC关于直线l的轴对称图形△A′B′C′． （2）连接A′B、C′B，则△A′BC′的面积为 　8　． （3）在直线l上画出点M，使MA+MC的值最小，这个最小值是 　　． 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可； （2）利用割补法求三角形的面积即可； （3）连接AC′，交直线l于点M，此时MA+MC的值最小，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求； （2）△A′BC′的面积； 故答案为：8； （3）如图，连接AC′，交直线l于点M，则点M即为所求， ， 由轴对称的性质可得CM＝C′M， ∴AM+CM＝AM+C′M＝AC′，由两点之间线段最短可得，此时AM+CM的值最小为AC′， 由勾股定理可得． 故答案为：． 题型四 利用轴对称设计图案 9．如图，在3×3的正方形网格中，有一个以格点为顶点的三角形． （1）请你在图①，图②，图③中，分别画出一个与该三角形成轴对称且以格点为顶点的三角形，并将所画三角形涂上阴影．（注：所画的三幅图不能重复）． （2）格纸中所有与该三角形成轴对称且以格点为顶点的三角形共有 　6　个． 【分析】（1）利用网格结合轴对称图形的性质画出符合题意的图形即可； （2）利用（1）中所画图形，进而得出答案． 【详解】解：（1）如图所示： （2）格纸中所有与该三角形成轴对称且以格点为顶点的三角形共有6个． 故答案为：6． 题型五 剪纸问题 10．小明和小颖同学交流学习心得，小明发现将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿着图③中的虚线剪下，就能得到一个特殊的图形．这个特殊的图形是（　　） A．矩形 B．三角形 C．菱形 D．正方形 【分析】由菱形的判定即可得出结论． 【详解】解：据所得到图形的4条边都是所剪直角三角形的斜边，并且相等，可得这个图形是菱形． 故选：C． 题型六 翻折变换（折叠问题） 11．如图，已知点D，E，F分别在△ABC的三边上，将△ABC沿DE，DF翻折，顶点B，C均落在△ABC内的点O处，且BD与CD重合于线段OD，若∠AEO+∠AFO＝50°，则∠A的度数为（　　） A．60° B．65° C．70° D．75° 【分析】连接BO、CO，由折叠的性质得BD＝CD＝DO，则∠BOC＝90°，∠OBC+∠OCB＝90°，又由折叠的性质得EO＝BE，FO＝CF，得出∠EOB＝∠EBO，∠FOC＝∠FCO，由三角形外角性质得出∠EBO+∠FCO＝25°，进而得到∠ABC+∠ACB＝115°，最后根据三角形的内角和定理即可得出结果． 【详解】解：连接BO、CO，如图所示： 由折叠的性质得：BD＝CD＝DO， ∴∠DBO＝∠DOB，∠DCO＝∠DOC， ∵∠DBO+∠DOB+∠DCO+∠DOC＝180°， ∴∠DOB+∠DOC＝90°， ∴∠BOC＝90°， ∴∠OBC+∠OCB＝90°， 又由折叠的性质得：EO＝BE，FO＝CF， ∴∠EOB＝∠EBO，∠FOC＝∠FCO， ∴∠AEO＝∠EOB+∠EBO＝2∠EBO，∠AFO＝∠FOC+∠FCO＝2∠FCO， ∵∠AEO+∠AFO＝50°， ∴2∠EBO+2∠FCO＝50°， ∴∠EBO+∠FCO＝25°， ∴∠ABC+∠ACB＝∠EBO+∠FCO+∠OBC+∠OCB＝25°+90°＝115°， ∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣115°＝65°， 故选：B． 12．如图1，已知四边形ABCD是正方形，将△DAE，△DCF分别沿DE，DF向内折叠得到图2，此时DA与DC重合（A，C都落在G点），若GF＝4，GE＝6，则DG的长为（　　） A．8 B．10 C．12 D．14 【分析】设正方形ABCD的边长为x，由翻折及已知线段的长，可用含x的式子分别表示出BE、BF及EF的长；在Rt△BEF中，由勾股定理得关于x的方程，解得x的值，即为DG的长． 【详解】解：设正方形ABCD的边长为x， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝BC＝DC＝DA＝x，∠B＝90°， ∵将△DAE，△DCF分别沿DE，DF向内折叠得到图2： ∴DG＝DA＝DC＝x，AE＝EG，CF＝GF， ∵GF＝4，EG＝6， ∴AE＝6，CF＝4，EF＝GF+EG＝10， ∴BE＝AB﹣AE＝x﹣6，BF＝BC﹣CF＝x﹣4， 如图2，在Rt△BEF中，由勾股定理得：BE2+BF2＝EF2， 即（x﹣6）2+（x﹣4）2＝102， 整理得：x2﹣10x﹣24＝0，即（x﹣12）（x+2）＝0， 解得x＝12或x＝﹣2（不符题意，舍去）， 则DG＝12． 故选：C． 13．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上，若AB＝6，BC＝9，折痕为EF，则FC的长为（　　） A．5 B．4 C．3 D． 【分析】根据折叠的性质可知，FC＝FC′，利用勾股定理求出BF，从而得出FC即可． 【详解】解：根据折叠的性质可知，FC＝FC′， 设BF＝x，则FC＝FC′＝9﹣x， ∵BF2+BC′2＝FC′2， ∴x2+32＝（9﹣x）2， 解得：x＝4， ∴BF＝4， ∴FC＝BC﹣BF＝5． 故选：A． 14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，D是边AB上的动点，连接CD，将△ADC沿直线CD翻折得到△A′DC，直线AB与直线A′C交于点E．若△A′DE是等腰三角形，则∠ACD的度数为 　15或30或60　°． 【分析】设∠ACD＝α，由折叠的性质可求∠A＝∠A'＝40°，∠ACD＝∠A'CD＝α，∠ADC＝∠A'DC＝140°﹣α，分两种情况讨论，由等腰三角形的性质列出等式，即可求解． 【详解】解：设∠ACD＝α， ∵将△ACD沿CD翻折至△A′CD处， ∴∠A＝∠A'＝40°，∠ACD＝∠A'CD＝α，∠ADC＝∠A'DC＝140°﹣α， ∴∠AEA'＝2α+40°，∠A'DE＝100°﹣2α， 当A'E＝A'D，则∠A'ED＝∠AEA'， ∴2α+40°＝100°﹣2α， ∴α＝15°， 当A'E＝DE，则∠A'DE＝∠A'， ∴100°﹣2α＝40°， ∴α＝30°； 如图， 由折叠可知，∠A＝∠A′＝40°，∠ADC＝∠A′DC，∠ACD＝∠A′CD＝α， 显然此时∠EA′D为钝角， 若△A′DE是等腰三角形，则只能A′E＝A'E，即∠ADE′＝∠E＝20°， ∴∠ADC＝∠A′DC＝80°， ∴∠ACD＝180°﹣40°﹣80°＝60°． 综上，∠ACD的度数15°或30°或60°． 故答案为：15或30或60． 15．如图，在矩形纸片ABCD中AB＝3cm，BC＝9cm，将矩形纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，求折痕EF＝ 　　cm． 【分析】先过点F作FM⊥BC于M．利用勾股定理可求出AE，再利用翻折变换的知识，可得到AF＝CF，∠AFE＝∠CFE，再利用平行线可得∠AEF＝∠AFE，故有AE＝AF．求出FM，再次使用勾股定理可求出EF的长． 【详解】解：由折叠可知：∠AFE＝∠CFE， ∵AD∥BC， ∴∠AEF＝∠EFC， ∴∠AEF＝∠AFE， ∴AE＝AF，△AEF为等腰三角形； 过点F作FM⊥BC于GM， 由折叠可知：AF＝CF， 在Rt△ABF中，设BF＝x cm，AB＝3cm，AF＝CF＝（9﹣x）cm， ∴x2+32＝（9﹣x）2， ∴x＝4， 在Rt△FEM中，FM＝BM﹣BF＝AE﹣BF＝AF﹣BE＝5﹣4＝1cm，EM＝3cm， ∴EF cm， 故答案为：． 16．如图，在长方形ABCD中，AB＝5，BC＝6，P是射线BC上一动点，l为长方形ABCD的一条对称轴，将△ABP沿AP折叠，当点B的对应点B′落在l上时，BP的长为多少？ 【分析】；∠B＝90°，EF⊥AD，EF⊥BC，再由平行线间间距相等得到EF＝AB＝5，由折叠的性质可得AB′＝AB＝5，BP＝B′P，则由勾股定理得到，可得B′F＝EF﹣B′E＝1，设BP＝B′P＝x，则PF＝BF﹣BP＝3﹣x，由勾股定理可得方程x2＝12+（3﹣x）2，解方程即可得到答案． 【详解】解：设直线l分别与AD，BC交于E、F， 由题意可得： ∴；∠B＝90°，EF⊥AD，EF⊥BC， ∵AD∥BC，AB⊥BC，EF⊥BC， ∴EF＝AB＝5， AB′＝AB＝5，BP＝B′P， 在Rt△AB′E中，， ∴B′F＝EF﹣B′E＝1， ∵设BP＝B′P＝x，则PF＝BF﹣BP＝3﹣x， ∵B′P2＝PF2+B′F2， ∴x2＝12+（3﹣x）2， ∴， ∴． 1．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的动点，P是对角线AC上的动点，若AD＝4，∠D＝45°，则PE+PF的最小值是（　　） A．2 B．3 C．4 D． 【分析】作点F关于AC的对称点N，连接HN，则FH＝HN，当点E，点H，点N三点共线且EN⊥CD时，EH+FH的最小值为EN，即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC平分∠BCD，AB∥CD， 如图，作点F关于AC的对称点N，连接PN，则FP＝PN， ∴EP+FP＝EP+PN， ∴点E，点P，点N三点共线且EN⊥CD时，EH+FH的最小值为EN， 过点A作AH⊥CD于H， ∴AH∥EN， ∴四边形AHNE是平行四边形， ∴AH＝EN， ∵∠D＝45°， ∴∠DAH＝45°＝∠D， ∴AH＝DH， 在Rt△ADH中，AH2+DH2＝AD2＝42， ∴2AH2＝16， ∴AH＝2， ∴EN＝2， ∴EH+FH的最小值为2． 故选：D． 2．如图，已知点D、E分别是等边△ABC中BC、AB边上的中点，AB＝6，点F是线段AD上的动点，则BF+EF的最小值为（　　） A．3 B．6 C．9 D． 【分析】连接CE交AD于点F，连接BF，此时BF+EF的值最小，最小值为CE． 【详解】解：连接CE交AD于点F，连接BF， ∵△ABC是等边三角形， ∴BF＝CF，， ∴BF+EF＝CF+EF＝CE， 此时BF+EF的值最小，最小值为CE， ∴， ∴BF+EF的最小值为， 故选：D． 3．如图，在△ABC中，过点A作AE⊥BC于点E，过点C作CD⊥AB于点D，AE、CD交于点F，连接BF将△ABF沿BF翻折得到△A′BF，点A′恰好落在线段AC上．若AE＝EC＝3，BE＝1，则△A′CF的面积是（　　） A．2 B． C．3 D．1 【分析】利用等量代换和对顶角相等得∠ABE＝∠CFE，证明△ABE≌△CFE（AAS），可得BE＝EF＝1，由折叠的性质得，∠BAF＝∠BA′F，BA＝BA′，根据等边对等角可得∠EAC＝∠FA′A＝45°，即可得AF⊥A′F，再由平行线的判定可得A′F∥EC，再利用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵AE⊥BC，CD⊥AB， ∴∠AEB＝∠CEF＝∠ADF＝90°， ∴∠DAF+∠AFD＝90°，∠DAF+∠ABE＝90°， ∴∠AFD＝∠ABE， 又∵∠AFD＝∠CFE， ∴∠ABE＝∠CFE， 又∵AE＝EC， ∴△ABE≌△CFE（AAS）， ∴BE＝EF＝1， 由折叠的性质得，∠BAF＝∠BA′F，BA＝BA′， ∴∠BAA′＝∠BA′A， ∴∠EAC＝∠FA′A， ∵EA＝EC＝3，∠AEC＝90°， ∴∠EAC＝∠ECA＝45°， ∴∠EAC＝∠FA′A＝45°， ∴AF⊥A′F，AF＝A′F＝AE﹣EF＝3﹣1＝2， 又∵AE⊥EC， ∴A′F∥EC， ∴， 故选：D． 4．如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边上的F点处，若AB＝8cm，BC＝10cm，则EC长（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 【分析】如图，根据勾股定理求出BF的长；进而求出FC的长度；由题意得EF＝DE；利用勾股定理列出关于EC的方程，解方程即可解决问题． 【详解】解：折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的F点处，若AB＝8cm，BC＝10cm， ∴DC＝AB＝8cm；∠B＝∠C＝90°，AF＝AD＝10cm， 设EF＝DE＝λ cm，则EC＝（8﹣λ）cm， 由勾股定理得：BF2＝102﹣82， ∴BF＝6cm， ∴CF＝10﹣6＝4（cm）； 在△EFC中，由勾股定理得：λ2＝42+（8﹣λ）2， 解得：λ＝5， EC＝8﹣5＝3（cm）． 故选：B． 5．数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．如图，矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，点E是AB边上与点A和点B不重合的任意一点，小明把矩形ABCD沿DE折叠，使点A落在点F处，连接BF，当线段DF+BF的值最小时，AE的长度为（　　） A． B． C． D． 【分析】先根据两点之间线段最短得到线段DF+BF的值最小时，点F在BD上的点F′处，此时点E在点E′处，根据矩形和折叠性质得到BF′＝BD﹣DF′＝2，BE′＝AB﹣AE′＝4﹣AE′，在Rt△E′F′B中，由勾股定理求得即可． 【详解】解：连接BD， ∵DF+BF≥BD，当D、F、B共线时取等号， ∴线段DF+BF的值最小时，点F在BD上的点F′处，此时点E在点E′处，如图， 在矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，则， 由折叠性质得DF′＝AD＝3，E′F′＝AE′， ∴BF′＝BD﹣DF′＝2，BE′＝AB﹣AE′＝4﹣AE′， 在Rt△E′F′B中，由勾股定理得E′F′2+BF′2＝BE′2， ∴AE′2+22＝（4﹣AE′）2， 解得， 即线段DF+BF的值最小时，AE的长度为， 故选：D． 6．如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，E是BC上的一个动点，将△ABE沿着AE折叠到△ADE处，再将边AC折叠到与AD重合，折痕为AF，当△DEF是等腰三角形时，BE的长是 　5或或或10　． 【分析】由折叠的性质可得BE＝DE，DF＝CF，分三种情况讨论，利用全等三角形的性质和勾股定理可求解． 【详解】解：∵将△ABE沿着AE折叠到△ADE处，再将边AC折叠到与AD重合，折痕为AF， ∴BE＝DE，DF＝CF， ①当DE＝DF时，△DEF是等腰三角形， 如图1， ∴BE＝DE＝CF＝DF， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∴△ABE≌△ACF（SAS）， ∴AE＝AF， ∴AD垂直平分EF， ∴EH＝HF，BH＝CH， ∵AB＝AC＝10，BC＝16， ∴BH＝CH＝8， ∴AH6， ∴DH＝AD﹣AH＝10﹣6＝4， 设BE＝DE＝DF＝CF＝x， ∴EH（16﹣2x）＝8﹣x， ∴（8﹣x）2+42＝x2， ∴x＝5， ∴BE＝5； ②当DE＝EF时，如图2，作AH⊥BC，连接BD，延长AE交BD于N， ∵AB＝AC，AH⊥BC， ∴BH＝CH＝8， ∴AH6， ∵将△ABE沿着AE折叠到△ADE处，再将边AC折叠到与AD重合，折痕为AF， ∴BE＝DE，DF＝CF，∠BAE＝∠DAE，AB＝AD＝AC， ∴BE＝EF＝DE，BN＝DN，AN⊥BD， ∴DF＝2EN， 设EH＝a，则BE＝EF＝8﹣a， ∴CF＝16﹣（8﹣a+8﹣a）＝2a＝DF， ∴EN＝a＝EH，且∠BEN＝∠AEH，∠AHE＝∠BNE＝90°， ∴△AEH≌△BEN（ASA） ∴BE＝AE， ∵AE2＝EH2+AH2， ∴BE2＝（8﹣BE）2+36， ∴BE； ③若DF＝EF，如图3，作点A作AH⊥BC于H，延长AF交DC于M， 同理可求EF＝CF， ∴BE＝16﹣2， ④如图所示：当DE＝DF时，BE＝BA＝10， 故答案为：5或或或10． 7．如图，已知长方形纸片ABCD的长BC＝16cm，宽AB＝6cm，点E，F均在BC上（E在F左侧），先将纸片沿AE折叠，记点B的对应点为B′，再将纸片沿DF折叠，使得CF的对应线段C′F∥B′E，连接B'C'，若折叠过程保持B′，C′分别在长方形的外部和内部，当B′C′∥AE时，CF的长为　　cm． 【分析】连接CC′交DF于J，设AB交B′C′于点O．利用全等三角形的性质证明AO＝OD＝8cm，再证明B′，C′，C共线，求出DJ，设CF＝x，FJ＝y，利用勾股定理构建方程组求解即可． 【详解】解：连接CC′交DF于J，设AB交B′C′于点O． 由翻折的性质可知，AB＝AB′＝6cm，DC＝DC′＝6cm，∠B＝∠AB′E＝90°，∠DC′F＝∠DCF＝90°， ∴AB′⊥B′E，DC′⊥FC′， ∵C′F∥B′E， ∴AB′∥DC′， ∴∠B′AO＝∠ODC′， ∵∠AOB′＝∠DOC′，AB′＝DC′， ∴△AOB′≌△DOC′（AAS）， ∴AO＝OC＝8（cm）， ∵FC′∥EB′， ∴∠BEB′＝∠EFC′， ∴2∠BEA+2∠DFC＝180°， ∴∠AEB+∠DFC＝90°， ∵∠DFC+∠CDF＝90°， ∴∠AEB＝∠CDF， ∵∠FCJ+∠DCJ＝90°，∠DCJ+∠CDF＝90°， ∴∠FCJ＝∠CDF＝∠AEB， ∴AE∥CC′， ∵B′C′∥AE， ∴B′，C′，C共线， ∴OC10（cm））， ∵DF⊥CC′， ∴DJ，CJ（cm）， 设CF＝x，FJ＝y，则有， 可得x， ∴CF（cm）， 故答案为． 8．如图所示，在边长为1的小正方形网格中，△AOB的顶点都在格点上． （1）B点关于y轴的对称点的坐标为　（﹣3，2）　； （2）将△AOB向左平移3个单位长度得到△A1O1B1，请画出△A1O1B1； （3）在（2）条件下，点A1的坐标为　（﹣2，3）　；请求出△A1O1B1的面积． 【分析】（1）首先根据坐标系确定B点坐标，再根据关于y轴的对称点的坐标横坐标相反，纵坐标不变可得答案； （2）首先确定A、B、O三点向左平移3个单位长度后的对应点位置，再连接即可； （3）根据坐标系写出点A1的坐标，再利用正方形的面积减去周围多余三角形的面积可得答案． 【详解】解：（1）B点关于y轴的对称点的坐标为（﹣3，2）， 故答案为：（﹣3，2）； （2）如图所示： （3）点A1的坐标为（﹣2，3）， △A1O1B1的面积：3×33×11×22×3＝3.5． 故答案为：（﹣2，3）． 9．阅读下列一段文字：已知在平面内两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），其两点间的距离P1P2 问题解决：已知A（1，4），B（7，2） （1）试求A，B两点的距离； （2）在x轴上找一点P（不求坐标，画出图形即可），使PA+PB的长度最短，求PA+PB的最短长度． 【分析】（1）根据点A和点B的坐标，直接代入公式，从而求得结果； （2）作点A关于点x轴的对称点A′，连接A′B，求得A′B的长，从而得出结果． 【详解】解：（1）AB2； （2）如图， 作点A关于x轴的对称点A′（1，﹣4），连接A′B，交x轴于点P， 则PA+PB的最小值是A′B的长， ∵A′B6， ∴（PA+PB）最小＝6． 10．折叠矩形ABCD的一边AD，点D落在BC边上的点F处，已知AB＝8cm，BC＝10cm， 求：（1）求CF的长； （2）求EC的长． 【分析】（1）设CE＝xcm，EF＝（8﹣x）cm，先在Rt△ABF中利用勾股定理即可求得BF的长，进一步得到CF的长； （2）在Rt△ECF中利用勾股定理即可求得EC的长． 【详解】解：（1）设CE＝xcm，EF＝（8﹣x）cm， 在Rt△ABF中，BF6cm， CF＝10﹣6＝4cm． 故CF的长为4cm； （2）在Rt△ECF中，EF2＝CE2+CF2，即（8﹣x）2＝x2+42， 解得x＝3． 故EC的长为3cm． 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