第一章 直角三角形的边角关系（单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（北师大版，辽宁专用）

v 第一章 直角三角形的边角关系 （北师大版） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，在中，，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．在中，若各边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角A的余弦值（    ） A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的 C．保持不变 D．扩大为原来的4倍 3．在中，，若，，则的长是（  ） A． B． C．60 D．80 4．在中，，，，下列三角函数值正确的是（     ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，垂足为，若 ，，则 的长为（   ） A． B． C． D． 6．如图，某地一座建筑物的截面图的高，坡面的坡度为，则的长为（    ） A． B． C．5m D． 7．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，若点，，都在格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．已知点与点分别在反比例函数与的图像上，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，，，延长到点，使，连接．利用此图，可算出的值是（     ） A． B． C． D． 10．如图，一艘军舰在处测得小岛位于南偏东方向，向正东航行40海里后到达处，此时测得小岛位于南偏西方向，则小岛离观测点的距离是（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 二、填空题 11．计算： ． 12．已知菱形，，，点在上，若，则的长度为 ． 13．数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆高度，已知无人机的飞行高度为40米，当无人机与旗杆的水平距离是45米时，观测旗杆顶部的俯角为，则旗杆的高度为 米． 14．如图，点在矩形的边上，将沿翻折，点恰好落在边的点处，如果，，那么 ． 15．矩形纸片，长，宽，折叠纸片，使折痕经过点B，交边于点E，点A落在点处，展平后得到折痕，同时得到线段，，不再添加其他线段．当图中存在角时，的长为 cm． 三、解答题 16．求下列各式的值 (1) (2) (3) (4) 17．（1）计算： （2）先化简，再求值：，并从，0，1，2四个数中选一个合适的数代入求值． 18．为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：水坝加高2米（即CD=2米），背水坡DE的坡度i=1：1（即DB：EB=1：1），如图所示，已知AE=4米，∠EAC=130°，求水坝原来的高度BC．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）    19．在阳光下，测得一根与地面垂直、长为米的竹竿的影长为米．同时两名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上． (1)如图1：小明发现树的影子一部分落在地面上，还有一部分影子落在教学楼的墙壁上，量得墙壁上的影长为米，落在地面上的影长为米，求树的高度． (2)如图2：小红发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，此时测得地面上的影长为米，坡面上的影长为米．已知斜坡的坡角为，则树的高度为多少？ 20．《海岛算经》是中国古代测量术的代表作，原名《重差》．这本著作建立起了从直接测量到间接测量的桥梁．直至近代，重差测量法仍有借鉴意义．实践小组为测量海岛上一座山峰的高度，直立两根高3的标杆和，两杆间距相距8，在点E处观察山顶点A，测得仰角为；在点M处观察山顶点A，测得仰角为，求山峰的高度．（结果精确到米．参考数据：）    21．如图，在徐州云龙湖旅游景区，点为“彭城风华”观演场地，点为“水族展览馆”，点为“徐州汉画像石艺术馆”．已知，，．求“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离（精确到）．（参考数据：，） 22．风能是一种清洁无公害的可再生能源，利用风力发电非常环保．如图1所示，是一种风力发电装置；如图2为简化图，塔座建在山坡上（坡比，垂直于水平地面，，，三点共线），坡面长，三个相同长度的风轮叶片，，可绕点转动，每两个叶片之间的夹角为；当叶片静止，与重合时，在坡底F处向前走米至点处，测得点处的仰角为，又向前走米至点处，测得点处的仰角为（点，，，在同一水平线上）． (1)求叶片的长； (2)在图2状态下，当叶片绕点顺时针转动时（如图3），求叶片顶端离水平地面的距离．（参考数据：，，，，结果保留整数） 23．某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：      (1)探究原理：制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心O处，另一端系小重物G测量时，使支杆、量角器刻度线与铅垂线相互重合（如图①），绕点O转动量角器，使观测目标P与直径两端点A、B共线（如图②），此时目标P的仰角是图②中的∠_____．目标P的仰角与图②中的∠_____相等，请写出这两个角相等的证明过程． (2)拓展应用：公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端P距地面的高度PH（如图④），同学们经过讨论，决定先在水平地面上选取观测点E、F，E、F、H在同一直线上，分别测得点的仰角、，测得E、F间的距离2米，点、到地面的距离、均为1.5米．求PH的长（结果保留根号） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 直角三角形的边角关系 （北师大版） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，在中，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查锐角三角函数．根据题意利用锐角三角函数的定义列出代数式即为本题答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 2．在中，若各边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角A的余弦值（    ） A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的 C．保持不变 D．扩大为原来的4倍 【答案】C 【分析】本题考查了角的余弦值，某个角的余弦值只与该角的大小有关，据此即可求解． 【详解】解：∵某个角的余弦值只与该角的大小有关， ∴若各边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角A的余弦值保持不变 故选：C ． 3．在中，，若，，则的长是（  ） A． B． C．60 D．80 【答案】D 【分析】本题主要考查的是解直角三角形，根据三角函数的定义求出，然后利用勾股定理即可求解．掌握勾股定理和正弦函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故选：D． 4．在中，，，，下列三角函数值正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求正弦，余弦，正切，掌握直角三角形中边角关系是解题的关键．根据题意作出图形，进而根据三角函数关系求解即可． 【详解】解：如图，在中，，，， ， ，，，， ∴、、错误，正确， 故选B． 5．如图，在中，，，垂足为，若 ，，则 的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形，同角的余角相等，由同角的余角相等得，则，设，则，然后通过勾股定理求出的值即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴由勾股定理得：， ∴，解得：， ∴， 故选：． 6．如图，某地一座建筑物的截面图的高，坡面的坡度为，则的长为（    ） A． B． C．5m D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据坡度求得，解即可求解，求得是解题的关键． 【详解】解：∵坡面的坡度为， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故选：B． 7．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，若点，，都在格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，角的正弦值，能够作出辅助线得到直角三角形是解题关键． 如图，取格点，可通过勾股定理算出三者长度，再通过勾股定理逆定理得到为直角三角形，进而通过正弦的定义即可解题． 【详解】解：取格点，通过勾股定理可算出 ，， 得到 ∴为直角三角形，且 ∴ 故选：A． 8．已知点与点分别在反比例函数与的图像上，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，过点作轴，过点作轴，根据值的几何意义，得到，，证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求出的值，即可． 【详解】解：过点作轴，过点作轴，则：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点与点分别在反比例函数与的图像上， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选C． 9．如图，在中，，，，延长到点，使，连接．利用此图，可算出的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据锐角三角函数可求，由勾股定理求得，根据等腰三角形的性质以及外角求得，最后在中，． 【详解】解：在中，， ， ， ， ， ， 在中，， 故选：A． 【点睛】本题考查锐角三角函数，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练利用数形结合的思想是解题的关键． 10．如图，一艘军舰在处测得小岛位于南偏东方向，向正东航行40海里后到达处，此时测得小岛位于南偏西方向，则小岛离观测点的距离是（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】B 【分析】本题主要考查了构造直角三角形，解直角三角形，过点B作，交的延长线于H，由题意可知，由含的直角三角形的性质可得出海里 ，再通过角度的计算得出，通过等角对等边可得出海里，根据余弦的定义求出，最后根据线段的和差关系可得出答案． 【详解】解：如图，过点B作，交的延长线于H， 则， 由题意可知：，海里 ∴海里，， ∵， ∴， ∴ ∴海里， ∵， ∴海里， ∴海里， 故选：B． 二、填空题 11．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查特殊角三角函数值，解题的关键是根据，再代入进行二次根式的乘法运算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12．已知菱形，，，点在上，若，则的长度为 ． 【答案】或/5或1 【分析】本题考查菱形与锐角三角形函数，解题的关键是过点作交于点，根据菱形的性质，则，，根据，则，求出，根据勾股定理，求出，；分类讨论：当点在之间，当点在之间，进行解答，即可． 【详解】解：过点作交于点， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 当点在之间，； 当点在之间，． 故答案为：或． 13．数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆高度，已知无人机的飞行高度为40米，当无人机与旗杆的水平距离是45米时，观测旗杆顶部的俯角为，则旗杆的高度为 米． 【答案】/ 【分析】本题考查解直角三角形的应用仰角、俯角的问题，以及解直角三角形方法，解题的关键是从实际问题中构造出直角三角形，难度不大．过点作于点，利用直角三角形的解法得出，进而解答即可． 【详解】解：过点作于点， 当无人机与旗杆的水平距离是45米时，观测旗杆顶部的俯角为， 米，， （米）， 旗杆的高度（米）， 故答案为：． 14．如图，点在矩形的边上，将沿翻折，点恰好落在边的点处，如果，，那么 ． 【答案】3 【分析】本题考查了矩形与折叠，解直角三角形的应用，灵活运用锐角三角函数是解题关键．由矩形与折叠的性质，得到，，利用锐角三角函数，得出，，，再根据同角的余角相等，得到，再结合锐角三角函数即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠的性质可得，， 在中，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， 故答案为：3． 15．矩形纸片，长，宽，折叠纸片，使折痕经过点B，交边于点E，点A落在点处，展平后得到折痕，同时得到线段，，不再添加其他线段．当图中存在角时，的长为 cm． 【答案】或或 【分析】根据翻折可得，分3种情况讨论：当时或当时或当时求的长． 【详解】解：①当时，（厘米）； ②当时，（厘米）； ③时，，延长交于，如图所示， ∴， 设，则，， （厘米）， ， ， 厘米． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质及三角函数，解决本题的关键是掌握矩形性质． 三、解答题 16．求下列各式的值 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了实数的运算； （1）原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果； （2）原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果； （3）根据负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值计算即可得到结果． （4）原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 17．（1）计算： （2）先化简，再求值：，并从，0，1，2四个数中选一个合适的数代入求值． 【答案】（1）6；（2）；时，原式 【分析】本题主要考查了实数混合运算，分式化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据负整数指数幂和零指数幂运算法则，特殊角的三角函数值，二次根式性质进行计算即可； （2）根据分式混合运算法则进行计算，然后再代入数据进行计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， ∵，，， ∴，，， 把代入得：原式． 18．为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：水坝加高2米（即CD=2米），背水坡DE的坡度i=1：1（即DB：EB=1：1），如图所示，已知AE=4米，∠EAC=130°，求水坝原来的高度BC．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）    【答案】水坝原来的高度为12米 【详解】试题分析：设BC=x米，用x表示出AB的长，利用坡度的定义得到BD=BE，进而列出x的方程，求出x的值即可． 试题解析：设BC=x米， 在Rt△ABC中，∠CAB=180°﹣∠EAC=50°，AB=≈=， 在Rt△EBD中， ∵i=DB：EB=1：1，∴BD=BE，∴CD+BC=AE+AB， 即2+x=4+，解得x=12，即BC=12， 答：水坝原来的高度为12米．. 考点：解直角三角形的应用，坡度. 19．在阳光下，测得一根与地面垂直、长为米的竹竿的影长为米．同时两名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上． (1)如图1：小明发现树的影子一部分落在地面上，还有一部分影子落在教学楼的墙壁上，量得墙壁上的影长为米，落在地面上的影长为米，求树的高度． (2)如图2：小红发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，此时测得地面上的影长为米，坡面上的影长为米．已知斜坡的坡角为，则树的高度为多少？ 【答案】(1)（米） (2)树的高度为为米 【分析】本题主要考查解直角三角形，线段成比例的运用，合作作出辅助线是解题的关键， （1）如图所示，连接并延长交延长线于点，根据与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为2米，可得，求出的值，同理，，即可求解； （2）如图所示，延长交延长线于点，过点作于点，根据与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为2米，可得，求出的值，在中，，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，米，米， 如图所示，连接并延长交延长线于点， ∵与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为2米， ∴，即， ∴（米）， ∴（米）， 同理，， ∴（米）； （2）解：如图所示，延长交延长线于点，过点作于点，米，米，， ∴在中，（米），（米）， ∴（米），（米）， ∵与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为2米， ∴，即， ∴（米）， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， ∴树的高度为米． 20．《海岛算经》是中国古代测量术的代表作，原名《重差》．这本著作建立起了从直接测量到间接测量的桥梁．直至近代，重差测量法仍有借鉴意义．实践小组为测量海岛上一座山峰的高度，直立两根高3的标杆和，两杆间距相距8，在点E处观察山顶点A，测得仰角为；在点M处观察山顶点A，测得仰角为，求山峰的高度．（结果精确到米．参考数据：）    【答案】山峰的高度约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——俯仰角．熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键． 在中，，可求．在中，，可求，则．设的长为，则，由，可得，计算求解即可． 【详解】解：由题意得， ∴．在中，， ∴． 在中，， ∴， ∴． 设的长为，则， ∵， ∴， 解得． 答：山峰的高度约为． 21．如图，在徐州云龙湖旅游景区，点为“彭城风华”观演场地，点为“水族展览馆”，点为“徐州汉画像石艺术馆”．已知，，．求“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离（精确到）．（参考数据：，） 【答案】“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离约是 【分析】本题考查解直角三角形的应用，关键是过作于，构造包含特殊角的直角三角形，用解直角三角形的方法来解决问题． 过作于，设，由含度角的直角三角形的性质得到，由锐角的正切定义得到，判定是等腰直角三角形，因此，得到，求出，即可得到的长． 【详解】解：过作于， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 答：“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离约是． 22．风能是一种清洁无公害的可再生能源，利用风力发电非常环保．如图1所示，是一种风力发电装置；如图2为简化图，塔座建在山坡上（坡比，垂直于水平地面，，，三点共线），坡面长，三个相同长度的风轮叶片，，可绕点转动，每两个叶片之间的夹角为；当叶片静止，与重合时，在坡底F处向前走米至点处，测得点处的仰角为，又向前走米至点处，测得点处的仰角为（点，，，在同一水平线上）． (1)求叶片的长； (2)在图2状态下，当叶片绕点顺时针转动时（如图3），求叶片顶端离水平地面的距离．（参考数据：，，，，结果保留整数） 【答案】(1) (2)叶片顶端C离水平地面的距离为 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的判定及性质，勾股定理，熟练利用三角函数解直角三角形是解题的关键． （1）利用坡比可求出、的长，在或中，利用和的正切值分别求出、的长即可得答案； （2）过点作于点，于，可得四边形是矩形，根据旋转的性质得出，利用的余弦值可求出的长，进而可得答案． 【详解】（1）解：∵垂直于水平地面， ∴， ∵坡比， ∴， 设，则， ∵坡面长， ∴， 解得：，（负值舍去） ∴，， ∵， ∴， 由题意得：， ∴， ∵， ∴． 由题意得：， ∴， ∴． （2）如图，过点作于点，于， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵叶片绕点顺时针转动， ∴， ∵， ∴， 由题意得：， ∴， ∴． ∴叶片顶端离水平地面的距离为． 23．某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：      (1)探究原理：制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心O处，另一端系小重物G测量时，使支杆、量角器刻度线与铅垂线相互重合（如图①），绕点O转动量角器，使观测目标P与直径两端点A、B共线（如图②），此时目标P的仰角是图②中的∠_____．目标P的仰角与图②中的∠_____相等，请写出这两个角相等的证明过程． (2)拓展应用：公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端P距地面的高度PH（如图④），同学们经过讨论，决定先在水平地面上选取观测点E、F，E、F、H在同一直线上，分别测得点的仰角、，测得E、F间的距离2米，点、到地面的距离、均为1.5米．求PH的长（结果保留根号） 【答案】(1)，，证明见解析 (2)米 【分析】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题，理清题意，找到思路是解答本题的关键． （1）根据题意写出目标的仰角，再根据同角的余角相等找到和目标的仰角相等的角； （2）先根据解直角三角形的知识求出的长度，再根据求出的值即可． 【详解】（1）目标P的仰角是图②中的  目标P的仰角与图②中的相等 证明，， ， ； （2）解：由题意可得， ，米， 由图可得，，， ，， ， ， ， 米． 故的值为米． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$