第5章 二次函数（B卷·提升卷·单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（苏科版，江苏专用）

第五章 二次函数（B卷·提升卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（2024·上海宝山·三模）下列函数中是二次函数的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：A、是二次函数，符合题意； B、不是二次函数，不符合题意； C、当时，不是二次函数，不符合题意； D、化简后不含项，不是二次函数，不符合题意； 故选A． 2．（2024·江西·一模）下列各选项为某同学得出的关于二次函数的性质的结论，其中不正确的是（    ） A．开口向下 B．顶点坐标为 C．方程的解是 D．当，函数值小于0 【答案】D 【解析】解：A. ∵，∴抛物线开口向下，故原选项正确，不合题意； B. ∵，∴抛物线的顶点坐标为，故原选项正确，不合题意； C. 解方程得，故原选项正确，不合题意； D. 由题意得，抛物线开口向下，与x轴交点坐标为，∴当时，函数值大于0，故原选项错误，符合题意． 故选：D 3．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）把抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：把抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位， 所得抛物线解析式为． 故选：C． 4．（2023九年级下·江苏·专题练习）如表是部分二次函数的自变量x与函数值y的对应值： x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 y 0.04 0.59 1.16 那么方程的一个根在（　　）范围之间． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：观察表格可知：当时；当时，， ∴方程的一个根在范围是． 故选：B． 5．（2024·广东广州·中考真题）函数与的图象如图所示，当（    ）时，，均随着的增大而减小． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：由函数图象可知，当时，随着的增大而减小； 位于一、三象限内，且在每一象限内均随着的增大而减小， 当时，，均随着的增大而减小， 故选：D． 6．（2024·北京西城·二模）下面问题中，与满足的函数关系是二次函数的是（   ） ①面积为的矩形中，矩形的长与宽的关系； ②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与医柱的高的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件元出售，可卖出件．利润（元）与每件进价（元）的关系． A．① B．② C．③ D．①③ 【答案】C 【解析】解：① 是的反比例函数，故题不符合题意； 是的正比例函数，故②不符合题意； ③，是的二次函数，故③符合题意； 故选：C． 7．（2024·浙江台州·二模）如图，人民医院在某流感高发时段，用防护隔帘布临时搭建了一隔离区，隔离区一面靠长为的墙，隔离区分成两个区域，中间也用防护隔帘布隔开．已知整个隔离区所用防护隔帘布总长为，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的一面不能超过墙长，小明认为：隔离区的最大面积为；小亮认为：隔离区的面积可能为，你认为他们俩的说法是（　　） A．小明正确，小亮错误 B．小明错误，小亮正确 C．两人均正确 D．两人均错误 【答案】B 【解析】解：设垂直于墙的一边为，矩形的面积为，则隔离区的另一边为， ∴， 根据题意，得不等式组， 解得：， 当时，， 解得（不合题意，舍去）； 当时，， 解得，（不合题意，舍去）， 故小明错误，小亮说法正确． 故选：B． 8．（2024·内蒙古·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致如图所示，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，即， ∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴，即， ∴函数的开口向下，与轴的交点位于轴的正半轴，对称轴为直线， 故选：D． 9．（2024·黑龙江绥化·中考真题）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中： ①  ②（m为任意实数）  ③ ④若、是抛物线上不同的两个点，则．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】解：∵二次函数图象开口向下 ∴ ∵对称轴为直线， ∴ ∴ ∵抛物线与轴交于正半轴，则 ∴，故①错误， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线, ∴当时，取得最大值，最大值为 ∴（m为任意实数） 即，故②正确； ∵时， 即 ∵ ∴ 即 ∴，故③正确； ∵、是抛物线上不同的两个点， ∴关于对称， ∴即故④不正确 正确的有②③ 故选：B 10．（2024·四川资阳·中考真题）已知二次函数与的图像均过点和坐标原点，这两个函数在时形成的封闭图像如图所示，为线段的中点，过点且与轴不重合的直线与封闭图像交于，两点．给出下列结论： ①； ②； ③以，，，为顶点的四边形可以为正方形； ④若点的横坐标为，点在轴上（，，三点不共线），则周长的最小值为． 其中，所有正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：①二次函数与的图像均过点和坐标原点，为线段的中点， ，两个函数的对称轴均为直线， 即， 解得：，故①正确； ②如图，过点作交轴于点，过点作交轴于点， ， 由函数的对称性可知， 在和中， ， ， ，故正确②； ③当点、分别在两个函数的顶点上时，，点、的横坐标均为， 由①可知两个函数的解析式分别为，， ，， ， 点， ， ， 由 ， 此时以，，，为顶点的四边形为正方形，故③正确； ④作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时周长的最小，最小值为， 点的横坐标为， ，点的横坐标为， ，， ，， 周长的最小值为，故正确④； 故选：D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．（2024·广东·中考真题）若点都在二次函数的图象上，则 ． 【解析】解∶ 二次函数的对称轴为y轴，开口向上， ∴当时， y随x的增大而增大， ∵点都在二次函数的图象上，且， ∴， 故答案为∶． 12．（24-25九年级上·山东临沂·阶段练习）如图所示四个二次函数的图像中，分别对应的是①；②；③；④．则的大小关系为 ． 【解析】解：∵直线与四条抛物线的交点从上到下依次为，，，，如图， ∴． 故答案为：． 13．（2024·广东江门·二模）若一个二次函数的二次项系数为2，且经过点，请写出一个符合上述条件的二次函数表达式： ． 【解析】∵二次函数的二次项系数为2，设抛物线解析式为， ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴解析式为． 故答案为：（答案不唯一）． 14．（2024·吉林长春·中考真题）若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是 ． 【解析】解：∵抛物线与x轴没有交点， ∴没有实数根， ∴，． 故答案为：． 15．（2024·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与与相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为 ．    【解析】解：把点 ，点代入抛物线得， ， 解得， ∴抛物线， 令，得， 解得或， ∴， ∴； 故答案为：． 16．（2024·四川·中考真题）在完成劳动课布置的“青稞生长状态观察”的实践作业时，需要测量青稞穗长．同学们查阅资料得知：由于受仪器精度和观察误差影响，n次测量会得到n个数据，，…，，如果a与各个测量数据的差的平方和最小，就将a作为测量结果的最佳近似值．若5名同学对某株青稞的穗长测量得到的数据分别是：5.9，6.0，6.0，6.3，6.3（单位：），则这株青稞穗长的最佳近似值为 ． 【解析】解：由题意，a与各个测量数据的差的平方和 ， 时，有最小值， 青稞穗长的最佳近似长度为． 故答案为：． 17．（2024·江苏镇江·中考真题）对于二次函数（a是常数），下列结论：①将这个函数的图像向下平移3个单位长度后得到的图像经过原点；②当时，这个函数的图像在函数图像的上方；③若，则当时，函数值y随自变量x增大而增大；④这个函数的最小值不大于3．其中正确的是 （填写序号）． 【解析】解：将二次函数是常数）的图象向下平移3个单位长度后得到， 当时，， 平移后的函数的图象经过原点， 故①正确； 当时，则， 令，即， ， 抛物线与直线没有交点， 抛物线开口向上， 当时，这个函数的图象在函数图象的上方； 故②正确； 二次函数是常数）， 开口向上，对称轴为直线， 当时，函数值随自变量增大而增大， 故③错误； ， 顶点为， ， 故④正确． 故答案为：①②④． 18．（2024·黑龙江大庆·中考真题）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“倍值函数”，该点称为“倍值点”．例如：“倍值函数”，其“倍值点”为．下列说法不正确的序号为 ． ①函数是“倍值函数”； ②函数的图象上的“倍值点”是和； ③若关于x的函数的图象上有两个“倍值点”，则m的取值范围是； ④若关于x的函数的图象上存在唯一的“倍值点”，且当时，n的最小值为k，则k的值为． 【解析】解：①函数中，令，则，无解，故函数不是“倍值函数”，故①说法错误； ②函数中，令，则， 解得或， 经检验或都是原方程的解， 故函数的图象上的“倍值点”是和，故②说法正确； ③在中， 令，则， 整理得， ∵关于x的函数的图象上有两个“倍值点”， ∴且， 解得且，故③说法错误； ④在中， 令，则， 整理得， ∵该函数的图象上存在唯一的“倍值点”， ∴， 整理得， ∴对称轴为，此时n的最小值为， 根据题意分类讨论， ，解得； ，无解； ，解得或（舍去）， 综上，k的值为0或，故④说法错误； 故答案为：①③④． 三、解答题：本大题共10小题，共96分． 19．（6分）（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）已知抛物线（为常数），求证：无论为何值，抛物线与轴总有两个公共点． 【解析】证明：∵， ∴无论为何值，抛物线与轴总有两个公共点． 20．（8分）（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知抛物线． (1)求该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)根据图象指出为何值时，随着的增大而减小，为何值时，随着的增大而增大． 【解析】（1）解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为． （2）列表如下： 0 1 2 3 2 3 2 画图如下： 由图可知：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小． 21．（8分）（2024·贵州贵阳·模拟预测）如图是二次函数的图象，根据图象回答下列问题： (1)二次函数的图象与的图象有什么相同和不同（各写出两条）； (2)若有一个二次函数的图象与的图象形状相同，且不经过第三、四象限，写出一个符合条件的二次函数的表达式． 【解析】（1）解：二次函数的图象与二次函数的图象： 相同点是：①开口向上，②对称轴都是y轴， 不同点：①二次函数的图象的顶点是，二次函数的图象的顶点是，②开口大小不同，二次函数的图象的开口大于二次函数的图象的开口； （2）解：二次函数的图象与的图象形状相同，且不经过第三、四象限，则即可满足题意． 22．（8分）（2024·河北唐山·二模）如图，二次函数的顶点坐标为，还过点． (1)求二次函数的表达式； (2)已知为一直角三角形纸片，，，，直角边落在轴上，将纸片沿轴平移，当点落在抛物线上时，求点的坐标． 【解析】（1）解：二次函数的顶点坐标为， 设， 将代入得， 函数的解析式为，即； （2），，直角边在轴上， 点的纵坐标为2， 当时，， 解得：， 或． ∵， ∴或． 23．（8分）（2024·江苏徐州·中考真题）如图，A、B为一次函数的图像与二次函数的图像的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数的图像上的动点，且位于直线的下方，连接、． (1)求b、c的值； (2)求的面积的最大值． 【解析】（1）解：当时，；当时，， 则，， 则， 解得：； （2）解：由（1）可得：，设，作交于E， 则，则， ∴， 当时，最大值为8． 24．（10分）（2024·内蒙古赤峰·二模）请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务．利用二次函数图象解不等式． 数学活动课上，老师提出这样一个问题：我们曾经利用一次函数的图象解一元一次不等式，类比前面的学习经验，我们能否利用二次函数的图象解相应的不等式呢？例如解不等式，同学们以小组为单位展开了讨论． 第一小组展示了他们的方法：将不等式进一步变形为，如图1，画出函数 的图象，抛物线与轴相交于和两点，这两个点将轴分为三段，当或时，二次函数的图象位于轴上方，此时，所以，即，所以此不等式的解集为或． 第二小组受第一小组的启发，画出函数的图象和直线，如图2所示，它们相交于和两点，当或时，二次函数的图象位于直线的上方，此时，即，所以不等式的解集为或． 相信聪明的你一定能完成以下任务： (1)两个小组的方法主要运用的数学思想是 (从下面的选项中选择一个即可) A．数形结合思想  B．分类讨论思想  C．由特殊到一般思想 (2)请你选择阅读材料中的一个方法解不等式，请将函数图象画在图3的平面直角坐标系中，并参照材料中的分析过程写出你的分析过程． 【解析】（1）解：两个小组的方法主要运用的数学思想是数形结合思想， 故选：A； （2）①选择第一小组的方法：将不等式进一步变形为， 画出函数的图象，如图， 观察图象可知：抛物线与轴相交于和两点，这两个点将轴分为三段， 当时，二次函数的图象位于轴上方， 此时，即， ∴不等式的解集为； ②选择第二小组的方法：画出函数的图象和直线， 观察图象可知，函数的图象和直线相交于和两点， 当时，二次函数的图象位于直线的上方， 此时，即， ∴不等式的解集为． 25．（10分）（2024·贵州·中考真题）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … (1)求y与x的函数表达式； (2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ (3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值． 【解析】（1）解∶设y与x的函数表达式为， 把，；，代入，得， 解得， ∴y与x的函数表达式为； （2）解：设日销售利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时，有最大值为450， ∴糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元； （3）解：设日销售利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时，有最大值为， ∵糖果日销售获得的最大利润为392元， ∴， 化简得 解得， 当时，, 则每盒的利润为：,舍去， ∴m的值为2． 26．（12分）（2024·湖北武汉·中考真题）16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级． (1)若火箭第二级的引发点的高度为． ①直接写出a，b的值； ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． (2)直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过． 【解析】（1）解：①∵火箭第二级的引发点的高度为 ∴抛物线和直线均经过点 ∴， 解得，． ②由①知，， ∴ ∴最大值 当时， 则 解得， 又∵时， ∴当时， 则 解得 ∴这两个位置之间的距离． （2）解：当水平距离超过时， 火箭第二级的引发点为， 将，代入，得 ， 解得， ∴． 27．（12分）（2024·江苏苏州·中考真题）如图，中，，，，，反比例函数的图象与交于点，与交于点E．      (1)求m，k的值； (2)点P为反比例函数图象上一动点（点P在D，E之间运动，不与D，E重合），过点P作，交y轴于点M，过点P作轴，交于点N，连接，求面积的最大值，并求出此时点P的坐标． 【解析】（1）解： ，， ． 又， ． ， 点． 设直线的函数表达式为， 将，代入，得， 解得， ∴直线的函数表达式为． 将点代入，得． ． 将代入，得． （2）解：延长交y轴于点Q，交于点L．    ，， ． 轴， ，． ， ， ， ． 设点P的坐标为，，则，． ． ． 当时，有最大值，此时． 28．（14分）（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为点，点P是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，分别交直线于点E，点F． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是x轴上的任意一点，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出点D的坐标； (3)当时，求点P的坐标； (4)在（3）的条件下，若点N是y轴上的一个动点，过点N作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接，则的最小值为______． 【解析】（1）解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点C， ∴当时，，即；当时，，即； ∵， ∴设抛物线的解析式为， 把代入可得：，解得：， ∴， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：∵，， ∴, ∴， 如图：当， ∴,即； 如图：当， ∴,即； 如图：当， ∴,即； 综上，点D的坐标为． （3）解：如图：∵轴， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴, ∴, ∵设，则, ∴， ∴，解得：（负值舍去）， 当时，， ∴． （4）解： ∵抛物线的解析式为：， ∴抛物线的对称轴为：直线， 如图：将线段向右平移单位得到, ∴四边形是平行四边形， ∴,即, 作关于对称轴的点,则 ∴, ∵， ∴的最小值为． 故答案为． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 二次函数（B卷·提升卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（2024·上海宝山·三模）下列函数中是二次函数的（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江西·一模）下列各选项为某同学得出的关于二次函数的性质的结论，其中不正确的是（    ） A．开口向下 B．顶点坐标为 C．方程的解是 D．当，函数值小于0 3．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）把抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线解析式为（   ） A． B． C． D． 4．（2023九年级下·江苏·专题练习）如表是部分二次函数的自变量x与函数值y的对应值： x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 y 0.04 0.59 1.16 那么方程的一个根在（　　）范围之间． A． B． C． D． 5．（2024·广东广州·中考真题）函数与的图象如图所示，当（    ）时，，均随着的增大而减小． A． B． C． D． 6．（2024·北京西城·二模）下面问题中，与满足的函数关系是二次函数的是（   ） ①面积为的矩形中，矩形的长与宽的关系； ②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与医柱的高的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件元出售，可卖出件．利润（元）与每件进价（元）的关系． A．① B．② C．③ D．①③ 7．（2024·浙江台州·二模）如图，人民医院在某流感高发时段，用防护隔帘布临时搭建了一隔离区，隔离区一面靠长为的墙，隔离区分成两个区域，中间也用防护隔帘布隔开．已知整个隔离区所用防护隔帘布总长为，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的一面不能超过墙长，小明认为：隔离区的最大面积为；小亮认为：隔离区的面积可能为，你认为他们俩的说法是（　　） A．小明正确，小亮错误 B．小明错误，小亮正确 C．两人均正确 D．两人均错误 8．（2024·内蒙古·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致如图所示，则函数的图象大致为（    ） A． B．C． D． 9．（2024·黑龙江绥化·中考真题）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中： ①  ②（m为任意实数）  ③ ④若、是抛物线上不同的两个点，则．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（2024·四川资阳·中考真题）已知二次函数与的图像均过点和坐标原点，这两个函数在时形成的封闭图像如图所示，为线段的中点，过点且与轴不重合的直线与封闭图像交于，两点．给出下列结论： ①； ②； ③以，，，为顶点的四边形可以为正方形； ④若点的横坐标为，点在轴上（，，三点不共线）， 则周长的最小值为． 其中，所有正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．（2024·广东·中考真题）若点都在二次函数的图象上，则 ． 12．（24-25九年级上·山东临沂·阶段练习）如图所示四个二次函数的图像中，分别对应的是①；②；③；④．则的大小关系为 ． 13．（2024·广东江门·二模）若一个二次函数的二次项系数为2，且经过点，请写出一个符合上述条件的二次函数表达式： ． 14．（2024·吉林长春·中考真题）若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是 ． 15．（2024·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与与相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为 ．    16．（2024·四川·中考真题）在完成劳动课布置的“青稞生长状态观察”的实践作业时，需要测量青稞穗长．同学们查阅资料得知：由于受仪器精度和观察误差影响，n次测量会得到n个数据，，…，，如果a与各个测量数据的差的平方和最小，就将a作为测量结果的最佳近似值．若5名同学对某株青稞的穗长测量得到的数据分别是：5.9，6.0，6.0，6.3，6.3（单位：），则这株青稞穗长的最佳近似值为 ． 17．（2024·江苏镇江·中考真题）对于二次函数（a是常数），下列结论：①将这个函数的图像向下平移3个单位长度后得到的图像经过原点；②当时，这个函数的图像在函数图像的上方；③若，则当时，函数值y随自变量x增大而增大；④这个函数的最小值不大于3．其中正确的是 （填写序号）． 18．（2024·黑龙江大庆·中考真题）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“倍值函数”，该点称为“倍值点”．例如：“倍值函数”，其“倍值点”为．下列说法不正确的序号为 ． ①函数是“倍值函数”； ②函数的图象上的“倍值点”是和； ③若关于x的函数的图象上有两个“倍值点”，则m的取值范围是； ④若关于x的函数的图象上存在唯一的“倍值点”，且当时，n的最小值为k，则k的值为． 三、解答题：本大题共10小题，共96分． 19．（6分）（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）已知抛物线（为常数），求证：无论为何值，抛物线与轴总有两个公共点． 20．（8分）（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知抛物线． (1)求该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)根据图象指出为何值时，随着的增大而减小，为何值时，随着的增大而增大． 21．（8分）（2024·贵州贵阳·模拟预测）如图是二次函数的图象，根据图象回答下列问题： (1)二次函数的图象与的图象有什么相同和不同（各写出两条）； (2)若有一个二次函数的图象与的图象形状相同，且不经过第三、四象限，写出一个符合条件的二次函数的表达式． 22．（8分）（2024·河北唐山·二模）如图，二次函数的顶点坐标为，还过点． (1)求二次函数的表达式； (2)已知为一直角三角形纸片，，，，直角边落在轴上，将纸片沿轴平移，当点落在抛物线上时，求点的坐标． 23．（8分）（2024·江苏徐州·中考真题）如图，A、B为一次函数的图像与二次函数的图像的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数的图像上的动点，且位于直线的下方，连接、． (1)求b、c的值； (2)求的面积的最大值． 24．（10分）（2024·内蒙古赤峰·二模）请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务．利用二次函数图象解不等式． 数学活动课上，老师提出这样一个问题：我们曾经利用一次函数的图象解一元一次不等式，类比前面的学习经验，我们能否利用二次函数的图象解相应的不等式呢？例如解不等式，同学们以小组为单位展开了讨论． 第一小组展示了他们的方法：将不等式进一步变形为，如图1，画出函数 的图象，抛物线与轴相交于和两点，这两个点将轴分为三段，当或时，二次函数的图象位于轴上方，此时，所以，即，所以此不等式的解集为或． 第二小组受第一小组的启发，画出函数的图象和直线，如图2所示，它们相交于和两点，当或时，二次函数的图象位于直线的上方，此时，即，所以不等式的解集为或． 相信聪明的你一定能完成以下任务： (1)两个小组的方法主要运用的数学思想是 (从下面的选项中选择一个即可) A．数形结合思想  B．分类讨论思想  C．由特殊到一般思想 (2)请你选择阅读材料中的一个方法解不等式，请将函数图象画在图3的平面直角坐标系中，并参照材料中的分析过程写出你的分析过程． 25．（10分）（2024·贵州·中考真题）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … (1)求y与x的函数表达式； (2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ (3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值． 26．（12分）（2024·湖北武汉·中考真题）16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级． (1)若火箭第二级的引发点的高度为． ①直接写出a，b的值； ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． (2)直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过． 27．（12分）（2024·江苏苏州·中考真题）如图，中，，，，，反比例函数的图象与交于点，与交于点E．      (1)求m，k的值； (2)点P为反比例函数图象上一动点（点P在D，E之间运动，不与D，E重合），过点P作，交y轴于点M，过点P作轴，交于点N，连接，求面积的最大值，并求出此时点P的坐标． 28．（14分）（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为点，点P是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，分别交直线于点E，点F． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是x轴上的任意一点，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出点D的坐标； (3)当时，求点P的坐标； (4)在（3）的条件下，若点N是y轴上的一个动点，过点N作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接，则的最小值为______． 学科网（北京）股份有限公司 $$