第7章 锐角三角函数（B卷·提升卷·单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（苏科版，江苏专用）

第七章 锐角三角函数（B卷·提升卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（2023·四川攀枝花·中考真题）中，、、的对边分别为、、．已知，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·吉林长春·中考真题）2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（　　）      A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 3．（2024·天津·中考真题）的值等于（    ） A． B． C． D． 4．（2024·广东深圳·一模）如图，在的正方形网格中，的值为（     ） A． B．2 C． D． 5．（2024·山东烟台·一模）若tan，利用科学计算器计算的度数，下列按键顺序正确的是（    ） A．     B．   C．   D．   6．（2022·贵州毕节·中考真题）如图，某地一座建筑物的截面图的高，坡面的坡度为，则的长为（    ） A． B． C．5m D． 7．（2023·江苏苏州·一模）化简等于（    ） A． B．0 C． D．以上都不对 8．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，在中，，，则的长是（    ） A．3 B．6 C．8 D．9 9．（2024·山东日照·中考真题）潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为（点在同一平面内），则潮汐塔的高度为（    ） （结果精确到．参考数据：） A． B． C． D． 10．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在菱形中，，是的中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．（2023·浙江杭州·二模）若，则锐角的度数是 ． 12．（2024·江苏南通·中考真题）社团活动课上，九年级学习小组测量学校旗杆的高度．如图，他们在B处测得旗杆顶部A的仰角为，，则旗杆的高度为 m． 13．（2024·江苏南通·中考真题）若菱形的周长为，且有一个内角为，则该菱形的高为 ． 14．（2022·黑龙江绥化·中考真题）定义一种运算；，．例如：当，时， ，则的值为 ． 15．（2024·四川资阳·中考真题）第届国际数学教育大会（）会标如图所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（，，，）和一个小正方形拼成的大正方形．若，则 ． 16．（2023·江苏扬州·中考真题）在中，，，若是锐角三角形，则满足条件的长可以是 ． 17．（2024·四川内江·中考真题）如图，在矩形中，，，点在上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，那么 ．    18．（2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）矩形纸片中，，，点在边所在的直线上，且，将矩形纸片折叠，使点与点重合，折痕与，分别交于点，，则线段的长度为 ． 三、解答题：本大题共10小题，共96分． 19．（6分）（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）计算：； 20．（8分）（23-24九年级上·山东淄博·期末）在中，，，，解这个直角三角形． 21．（8分）（2023·安徽黄山·模拟预测）在中，若，求的度数． 22．（8分）（2024·浙江·中考真题）如图，在中，，是边上的中线，． (1)求的长； (2)求的值． 23．（8分）（2024·北京·模拟预测）如图，是等腰三角形，．已知，用两种方法表示的面积______ 【探究】你能否从这里得出的计算公式呢？ 24．（10分）（2023·河北保定·二模）嘉嘉在某次作业中得到如下结果： ， ， ， ， ． 据此，嘉嘉猜想：对于任意锐角，，若，均有． (1)当，时，验证是否成立？ (2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，请结合如图所示给予证明，其中所对的边为，所对的边为，斜边为；若不成立，请举出一个反例； (3)利用上面的证明方法，直接写出与，之间的关系． 25．（10分）（2024·江苏徐州·中考真题）如图，在徐州云龙湖旅游景区，点为“彭城风华”观演场地，点为“水族展览馆”，点为“徐州汉画像石艺术馆”．已知，，．求“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离（精确到）．（参考数据：，） 26．（12分）（2024·辽宁·中考真题）如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点到所在直线的距离，；停止位置示意图如图3，此时测得（点，，在同一直线上，且直线与平面平行，图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．（参考数据：，，，） (1)求的长； (2)求物体上升的高度（结果精确到）． 27．（12分）（2024·江苏镇江·中考真题）图1、2是一个折叠梯的实物图．图3是折叠梯展开、折叠过程中的一个主视图．图4是折叠梯充分展开后的主视图，此时点E落在上，已知，，点D、F、G、J在上，、、、均与所在直线平行，，．点N在上，、的长度固定不变．图5是折叠梯完全折叠时的主视图，此时、重合，点、、、、、在上的位置如图所示． 【分析问题】 （1）如图5，用图中的线段填空：_________； （2）如图4，_________，由，且的长度不变，可得与之间的数量关系为_________； 【解决问题】 （3）求的长． 28．（14分）（2023·四川自贡·中考真题）为测量学校后山高度，数学兴趣小组活动过程如下：    (1)测量坡角 如图1，后山一侧有三段相对平直的山坡，山的高度即为三段坡面的铅直高度之和，坡面的长度可以直接测量得到，要求山坡高度还需要知道坡角大小． 如图2，同学们将两根直杆的一端放在坡面起始端A处，直杆沿坡面方向放置，在直杆另一端N用细线系小重物G，当直杆与铅垂线重合时，测得两杆夹角的度数，由此可得山坡AB坡角的度数．请直接写出之间的数量关系． (2)测量山高 同学们测得山坡的坡长依次为40米，50米，40米，坡角依次为；为求，小熠同学在作业本上画了一个含角的（如图3），量得．求山高．（，结果精确到1米） (3)测量改进 由于测量工作量较大，同学们围绕如何优化测量进行了深入探究，有了以下新的测量方法．    如图4，5，在学校操场上，将直杆NP置于的顶端，当与铅垂线重合时，转动直杆，使点N，P，D共线，测得的度数，从而得到山顶仰角，向后山方向前进40米，采用相同方式，测得山顶仰角；画一个含的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为厘米，厘米，再画一个含的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为厘米，厘米．已知杆高MN为米，求山高．（结果用不含的字母表示） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章 锐角三角函数（B卷·提升卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（2023·四川攀枝花·中考真题）中，、、的对边分别为、、．已知，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：由题意得：； 故选C． 2．（2024·吉林长春·中考真题）2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（　　）      A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】A 【解析】解：由题意得： ∴千米 故选：A 3．（2024·天津·中考真题）的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 故选：A. 4．（2024·广东深圳·一模）如图，在的正方形网格中，的值为（     ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【解析】解：依题意如图所示： 故选：B 5．（2024·山东烟台·一模）若tan，利用科学计算器计算的度数，下列按键顺序正确的是（    ） A．     B．   C．   D．   【答案】A 【解析】在计算器中按下，然后找到的按键符号，即键 按下键，再按键，A项符合题意 故选：A． 6．（2022·贵州毕节·中考真题）如图，某地一座建筑物的截面图的高，坡面的坡度为，则的长为（    ） A． B． C．5m D． 【答案】B 【解析】解：∵坡面的坡度为， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故选：B． 7．（2023·江苏苏州·一模）化简等于（    ） A． B．0 C． D．以上都不对 【答案】C 【解析】解： ， ∵， ∴原式， 故选：C． 8．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，在中，，，则的长是（    ） A．3 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【解析】解：如图，过点A作于点D． ∵， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴． 故选B． 故选：C． 9．（2024·山东日照·中考真题）潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为（点在同一平面内），则潮汐塔的高度为（    ） （结果精确到．参考数据：） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，延长交于点C． 由题意得． 在中，， ， ． 在中，， ， ． 故选B． 10．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在菱形中，，是的中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：延长，过点E作延长线的垂线，垂足为点H， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 设， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．（2023·浙江杭州·二模）若，则锐角的度数是 ． 【解析】解：∵， ∴， 那么锐角的度数为． 故答案为：． 12．（2024·江苏南通·中考真题）社团活动课上，九年级学习小组测量学校旗杆的高度．如图，他们在B处测得旗杆顶部A的仰角为，，则旗杆的高度为 m． 【解析】解：由题意：， ∴； 故答案为：． 13．（2024·江苏南通·中考真题）若菱形的周长为，且有一个内角为，则该菱形的高为 ． 【解析】解：如图，菱形的周长为， ∴， 过作于，而， ∴， 故答案为： 14．（2022·黑龙江绥化·中考真题）定义一种运算；，．例如：当，时， ，则的值为 ． 【解析】解： = = = =． 故答案为：． 15．（2024·四川资阳·中考真题）第届国际数学教育大会（）会标如图所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（，，，）和一个小正方形拼成的大正方形．若，则 ． 【解析】解：根据题意，设，则， ∵，四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（2023·江苏扬州·中考真题）在中，，，若是锐角三角形，则满足条件的长可以是 ． 【解析】解：如图，作，，交的延长线于点E    ∴，， ∴，， ∵是锐角三角形， ∴，即， ∴满足条件的长可以是6， 故答案为：6． 17．（2024·四川内江·中考真题）如图，在矩形中，，，点在上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，那么 ．    【解析】解：∵四边形为矩形， ∴，，， ∵矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上的处， ∴，， ∴在中，， ∴， 设，则 ∵在中， ， ∴，解得， ∴， ∴． 故答案为：. 18．（2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）矩形纸片中，，，点在边所在的直线上，且，将矩形纸片折叠，使点与点重合，折痕与，分别交于点，，则线段的长度为 ． 【详解】解：∵折叠， ∴， ∵四边形是矩形， ∴ ∴， 又 ∴ ∴， 当点在点的右侧时，如图所示，设交于点，    ∵，，， ∴中，， 则， ∵ ， ∴ ∴， 当点在点的左侧时，如图所示，设交于点， ∵，，， ∴中，    则， ∵ ， ∴ ∴， 综上所述，的长为：或， 故答案为：或． 三、解答题：本大题共10小题，共96分． 19．（6分）（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）计算：； 【解析】解：原式 ． 20．（8分）（23-24九年级上·山东淄博·期末）在中，，，，解这个直角三角形． 【解析】解：如图，在中，，，， ∴ ∵， ∴， ∴． 21．（8分）（2023·安徽黄山·模拟预测）在中，若，求的度数． 【解析】解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 22．（8分）（2024·浙江·中考真题）如图，在中，，是边上的中线，． (1)求的长； (2)求的值． 【解析】（1）解：在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴； （2）∵是边上的中线， ∴， ∴， ∴， ∴． 23．（8分）（2024·北京·模拟预测）如图，是等腰三角形，．已知，用两种方法表示的面积______ 【探究】你能否从这里得出的计算公式呢？ 【解析】填空： ∵是等腰三角形，， ∴，， 故答案为：，； 探究： ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴． 24．（10分）（2023·河北保定·二模）嘉嘉在某次作业中得到如下结果： ， ， ， ， ． 据此，嘉嘉猜想：对于任意锐角，，若，均有． (1)当，时，验证是否成立？ (2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，请结合如图所示给予证明，其中所对的边为，所对的边为，斜边为；若不成立，请举出一个反例； (3)利用上面的证明方法，直接写出与，之间的关系． 【解析】（1）解：∵，， ∴，结论成立； （2）解：成立．理由如下： 在中，，且， ∴，故结论成立； （3）解：，理由如下： 在中，，，， ∴， ∴． 25．（10分）（2024·江苏徐州·中考真题）如图，在徐州云龙湖旅游景区，点为“彭城风华”观演场地，点为“水族展览馆”，点为“徐州汉画像石艺术馆”．已知，，．求“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离（精确到）．（参考数据：，） 【解析】解：过作于， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴． 答：“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离约是． 26．（12分）（2024·辽宁·中考真题）如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点到所在直线的距离，；停止位置示意图如图3，此时测得（点，，在同一直线上，且直线与平面平行，图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．（参考数据：，，，） (1)求的长； (2)求物体上升的高度（结果精确到）． 【解析】（1）解：由题意得，， ∵，， ∴在中，由， 得：， ∴, 答：； （2）解：在中，由勾股定理得，， 在中，， ∴， ∴， 由题意得，， ∴， ∴， 答：物体上升的高度约为． 27．（12分）（2024·江苏镇江·中考真题）图1、2是一个折叠梯的实物图．图3是折叠梯展开、折叠过程中的一个主视图．图4是折叠梯充分展开后的主视图，此时点E落在上，已知，，点D、F、G、J在上，、、、均与所在直线平行，，．点N在上，、的长度固定不变．图5是折叠梯完全折叠时的主视图，此时、重合，点、、、、、在上的位置如图所示． 【分析问题】 （1）如图5，用图中的线段填空：_________； （2）如图4，_________，由，且的长度不变，可得与之间的数量关系为_________； 【解决问题】 （3）求的长． 【解析】解：（1）， ， 故答案为：； （2）、、、均与所在直线平行， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：，； （3）如图， 作于， ， ，， ， 设，则，， ， ， ． 28．（14分）（2023·四川自贡·中考真题）为测量学校后山高度，数学兴趣小组活动过程如下：    (1)测量坡角 如图1，后山一侧有三段相对平直的山坡，山的高度即为三段坡面的铅直高度之和，坡面的长度可以直接测量得到，要求山坡高度还需要知道坡角大小． 如图2，同学们将两根直杆的一端放在坡面起始端A处，直杆沿坡面方向放置，在直杆另一端N用细线系小重物G，当直杆与铅垂线重合时，测得两杆夹角的度数，由此可得山坡AB坡角的度数．请直接写出之间的数量关系． (2)测量山高 同学们测得山坡的坡长依次为40米，50米，40米，坡角依次为；为求，小熠同学在作业本上画了一个含角的（如图3），量得．求山高．（，结果精确到1米） (3)测量改进 由于测量工作量较大，同学们围绕如何优化测量进行了深入探究，有了以下新的测量方法．    如图4，5，在学校操场上，将直杆NP置于的顶端，当与铅垂线重合时，转动直杆，使点N，P，D共线，测得的度数，从而得到山顶仰角，向后山方向前进40米，采用相同方式，测得山顶仰角；画一个含的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为厘米，厘米，再画一个含的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为厘米，厘米．已知杆高MN为米，求山高．（结果用不含的字母表示） 【解析】（1）解：由题意得，      ∴； （2）解：在中，．    ∴， 在中，，米， ∴(米)， 在中，，米， ∴(米)， 在中，，米， ∴(米)， ∴山高(米)， 答：山高为69米； （3）解：如图，由题意得，，    设山高，则，    在中，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得，山高 答：山高的高为米． 学科网（北京）股份有限公司 $$