2.1.2 三角形的高、角平分线、中线 课件 2024--2025学年湘教版八年级数学上册

第2章 三角形 2.1.2三角形的高、角平分线、中线 情景导入 1.如右图,在△ABC中,点D是线段BC上一动点,连接AD. （1）当点D运动到何处时,AD最短? （2）当点D运动到何处时,将∠BAC沿AD折叠, 能使边AB与AC重合? （3）当点D运动到何处时,AD能将△ABC的面积二等分? A B D C 图(1) 图(2) A B D C 1 2 A B D(中点) C 图(3) A B C D 问题1 什么是三角形的高？怎样画三角形的高？ 定义 如图，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D,所得线段AD 叫做△ABC的边BC上的高. 思考：由三角形的高你能得到什么结论？ A B C 注意: 标明垂直的记号和垂足的字母. 探究新知一 探究新知一 锐角三角形的三条高 问题1 每人画一个锐角三角形. (1) 你能画出这个三角形的三条高吗? (2) 这三条高之间有怎样的位置关系？ 锐角三角形的三条高交于同一点. 问题2 锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部? 锐角三角形的三条高都在三角形的内部. A B C D E F O 探究新知一 直角三角形的三条高 问题3：在纸上画出一个直角三角形. (1)画出直角三角形的三条高. 直角边BC边上的高是______; A B C AB 直角边AB边上的高是______; CB 斜边AC边上的高是_______. D BD (2)它们有怎样的位置关系？ 直角三角形的三条高交于直角顶点. 探究新知一 钝角三角形的三条高 (2) 钝角三角形的三条高交于一点吗？ 问题4 每人画一个钝角三角形. (1) 你能画出这个三角形的三条高吗? A B C D F E 钝角三角形的三条高不相交于一点 (3)它们所在的直线交于一点吗？ O 钝角三角形的三条高所在直线交于一点 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 图示 高的数量和位置 3条都在内部 1条在内部 2条在边上 1条在内部 2条在外部 三条高是否相交 相交 相交 不相交 三条高所在的直线 是否相交 相交 相交 相交 三条高所在直线的交点的位置 三角形内部 直角顶点 三角形外部 三角形的三条高的特性 新知应用 1.下列各组图形中，哪一组图形中的AD是△ABC 的高( ) 2.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是_________三角形。 D 直角 新知应用 3.如图，△ABC中∠C=90°，CD⊥AB，图中线段中可以作为△ABC的高的有（　　） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 A B C D B 探究新知二 问题1 如图，如果点C是线段AB的中点，你能得到什么结论？ A C B 探究新知二 问题2 如图，如果点D是线段BC的中点，那么线段AD就称为△ABC的中线．类比三角形的高的概念，试说明什么叫三角形的中线？ A B C D 定义： 如图，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线. 探究新知二 画一画：如图，分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线，并观察它们中线的交点有什么规律？ A B C A B C A B C D E F O D E F O D E F O 画图发现 三角形的三条中线交于三角形内部一点.这一点我们称为三角形的重心. 例.如图所示,AD是△ABC的中线,AE是△ABC的高. （1）图中有几个三角形?请你分别列举出来. （2）其中哪些三角形的面积相等? 解：(1)△ABD,△ADE,△ACE, △ABE,△ACD,△ABC (2) S△ABD=S△ACD 新知应用 A B D E C 1.如图1，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，S△AEC=3cm2，则S△ABC =______. 新知应用 12cm2 2.如图2,在△ABC中,CD是中线,已知BC-AC=5cm, △DBC的周长为25cm,则△ADC的周长为_______cm. 图2 A D B C 图1 A B C D E 20 探究新知三 问题1 如图，若OC是∠AOB的平分线，你能得到什么结论？ A C B O 问题2 你能用同样的方法画出任意一个 三角形的一个内角的平分线吗? A B C D 想一想：三角形的角平分线与角的角平分线相同吗? 相同点是： ∠ BAD= ∠ CAD; 不同点是：前者是线段，后者是射线. 探究新知三 问题3：一个三角形有几条角平分线？ 问题4:请画出直角三角形、钝角三角形的三条角平分线，你有什么发现？ 三角形的三条角平分线交于一点． 称之为三角形的内心． 新知应用 1.如图，DC平分∠ACB，DE∥BC,∠AED=80°， 则∠ECD的度数为_________. 40° 2.如图, ∠1=∠2, ∠3=∠4,下列结论错误的是( ) A.BD是△ABC的角平分线 B.AE是△ABC的角平分线 C.AE是△ABD的角平分线 D. ∠1= ∠ABC B A B C D E A B C D E 1 2 3 4 三角形的 重要线段 概念 图形 表示法 三角形 的高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段 ∵AD是△ABC的高线. ∴AD⊥BC ∴∠ADB=∠ADC=90°. 三角形 的中线 三角形中,连结一个顶点和它对边中的线段 ∵ AD是△ABC的BC上的中线. ∴ BD=CD= BC. 三角形的 角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段 ∵.AD是△ABC的∠BAC的平分线 ∴ ∠1=∠2= ∠BAC 知识归纳 课堂小结 三角形中的几种重要线段 高 垂心 中线 重心 角平分线 内心 1、如图,AD为△ABC的中线,BE为△ABD的中线, (1)在△BED中画出BD边上的高. (2)若△ABC的面积为60,BD=5,则点E到BC边的距离是______. 当堂检测 A B C D E 6 H 当堂检测 2．在△ABC中，AD为中线，BE为角平分线，则在以下等式中：①∠BAD=∠CAD；②∠ABE=∠CBE；③BD=DC；④AE=EC．其中正确的是(　　） A．①② B．③④ C．①④ D．②③ D 作业布置 1.上本作业 课本P48 练习2、3 2.《学法》学哪做哪 $$