专题05 相似三角形的应用重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学下册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

专题05 相似三角形的应用重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优） 题型一 相似三角形的应用之测高问题 题型二 相似三角形的应用之影长问题 题型三 相似三角形的应用之河宽问题 题型四 相似三角形的应用之树高问题 题型五 相似三角形的应用之物理问题 题型六 相似三角形的应用之表格问题 题型七 相似三角形的应用之三角形内接矩形问题 题型八 相似三角形的应用之杠杆问题 题型九 相似三角形的应用之生活实际问题 题型十 相似三角形的应用之古代问题 题型十一 相似三角形的应用之最值问题 题型十二 相似三角形的应用综合 【经典例题一 相似三角形的应用之测高问题】 1．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图所示，某测量工作人员头顶A与标杆顶点F、电视塔顶端E在同一直线上，已知此测量人员的头顶距地面的高为1.4m，标杆的长为2.8m，且测量人员与标杆的距离为3.5m，标杆与电视塔的距离为6.5m，，，，求电视塔的高． 2．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）小明对某塔进行了测量，测量方法如下，如图所示，先在点A处放一平面镜，从A处沿方向移动1米到点B处，恰好在平面镜中看到塔的顶部点M，再将平面镜沿方向继续移动米放在D处（即米），从点D处移动米到达点E处，恰好再次在平面镜中看到塔的顶部点M．已知小明眼睛到地面的距离米，点E、D、B、A、N在同一条直线上，．请根据题中提供的相关信息，求出这个塔的高度（平面镜大小忽略不计）． 3．（23-24九年级上·福建南平·期末）某校社会实践小组为了测量大雁塔的高度，如图，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得米，将标杆向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，G，E，C，A在同一直线上），这时测得米，米．    (1)请你根据以上数据，计算大雁塔的高度． (2)“景点简介”显示，大雁塔的高度约为64.5米．请计算本次测量的误差，并提出一条减小误差的合理化建议． 4．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）大雁塔是西安市的标志性建筑和著名古迹，是古城西安的象征．我校社会实践小组为了测量大雁塔的高度，他们在地面上立了两根高均为2米的标杆和，两杆之间的距离米，点G、C、B三点在同一直线上．小明从C处退行4米到点E处，他的眼睛贴着地面观察A点，A、D、E三点在同一直线上；他再从G处退行6米到点F处，从F观察A点，A、F、H三点也在同一直线上．请根据以上数据，计算大雁塔的高度． 【经典例题二 相似三角形的应用之影长问题】 5．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，王琳同学在晚上由路灯走向路灯，当他行到处时发现，他在路灯下的影长为米，且恰好位于路灯的正下方，接着他又走了米到处，此时他在路灯下的影子恰好位于路灯的正下方（已知王琳身高米，路灯高米） (1)标出王琳站在处在路灯下的影子； (2)计算王琳站在处在路灯下的影长； (3)计算路灯的高度． 6．（23-24八年级下·山东泰安·期末）如图，小明欲测量一座信号发射塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他自己影子的顶端正好与塔的影子的顶端重合，此时他距离该塔20米，已知他的身高1.8米，影长是2米． (1)图中与是否相似？为什么？ (2)求信号发射塔的高度． 7．（2024·广西·三模）综合与实践． 现实生活中，人们可以借助光源来测量物体的高度．首先根据光源确定人在地面上的影子；再测量出相关数据，如高度，影长等；最后利用相似三角形的相关知识，可求出所需要的数据．已知灯柱，在灯柱上有一盏路灯 P，在路灯下，人站在点 D和点 G的位置都有影子，B、D、G三点在同一水平线上．根据上述内容，解答下列问题： (1)已知人站在点D时路灯下的影子为DE，请画出路灯P及人站在点 G时路灯下的影子； (2)如图， 若身高为1.7米的小明站在点D影长为， 沿方向走到点 G， ， 此时影长为， 求路灯 P到地面的高度； 8．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在某学校的明德楼和启智楼之间有一条文化长廊，文化长廊上伫立着三座名人塑像，，，点A，D，F，H，B在同一直线上，且．在明德楼的楼顶有一照明灯P，塑像的影子为，塑像的影子为．该校“探数学”兴趣小组的同学测得文化长廊米，塑像高米，塑像的影长米． (1)求明德楼的高； (2)求塑像的影长． 【经典例题三 相似三角形的应用之河宽问题】9．（23-24八年级下·云南昭通·期末）为了测量一条两岸平行的河流的宽度，三个数学活动小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点B处测得河北岸的树AB恰好在B的正北方向，测量方案如下表： 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 观测者从B点向东走到点，此时测得点恰好在东南方向上． 观测者从B点出发，沿着南偏西的方向走到点，此时恰好测得． 观测者从B点向东走到点，在点插上一面标杆，继续向东走相同的路程到达点后，一直向南走到点，使得树、标杆、人在同一直线上． 测量示意图          (1)第一小组认为要知道河宽，只需要知道线段______的长度． (2)第二小组测得米，则______． (3)第三小组认为只要测得就能得到河宽，你认为第三小组的方案可行吗?如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由． 10．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）为了加快城市发展，保障市民出行方便，某市在流经该市的河流上架起一座桥，连通南北，铺就城市繁荣之路．小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算该桥的长．如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点B和点C，分别在，的延长线上取点D，E，使得．经测量，米，米，且点E到河岸的距离为90米．已知于点F，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥的长度． 11．（2024·浙江宁波·一模）某河流的一段如图1所示，现要估算河的宽度（即河两岸相对的两点A，B间的距离），可以按如下步骤操作：①先在河的对岸选定一个目标作为点A，使；②再在河的这一边选定点B和点C，使；③再选定点E，然后用视线确定和的交点D． (1)用皮尺测得，，，求河的宽度；（精确到0.1米） (2)请用所学过的知识设计一种测量旗杆高度的方案． 要求：①画出示意图，所测长度用a，b，c等表示；②不要求写操作步骤；③结合所测数据直接用含a，b， c等字母的式子表示出旗杆高度． 12．（2024·浙江金华·二模）某河流的一段如图1所示，现要估算河的宽度（即河两岸相对的两点A，B间的距离），可以按如下步骤操作：①先在河的对岸选定一个目标作为点A；②再在河的这一边选定点B和点C，使；③再选定点E，使，然后用视线确定和的交点D． (1)用皮尺测得，，，求河宽． (2)请用所学过的知识设计一种测量旗杆高度的方案． 要求：①画出示意图，所测长度用a，b，c等表示，直接标注在图2中的线段上；②不要求写操作步骤；③结合所测数据直接用含a，b，c等字母的式子表示出旗杆高度． 【经典例题四 相似三角形的应用之树高问题】 13．（2024·陕西西安·模拟预测）周末，小英与小淇同学逛公园时注意到一棵树，她们打算利用所学知识测量树高，为此找来了平面镜、直木棍、皮尺等工具．如图，小英先将平面镜（厚度不计）平放在水平地面的点D处，小淇站在点B处，通过平面镜从点A观察到树的顶端点M，随后小英在点D处竖直放置一根木棍，小淇从点A观察到术棍顶端点C与树的底端点N在同一直线上．已知，图中所有点均在同一平面内，求树的高．（光的反射角等于入射角） 14．（23-24九年级上·陕西榆林·期末）如图，小聪为测得学校操场上小树的高，他站在教室里的点处，从教室的窗口望出去，恰好能看见小树的整个树冠．经测量，窗口高，树干高，点距墙根点，点距墙根点，、、三点在同一水平线上，点在上，点在上，且，，．请根据上面的信息，帮小聪计算出小树的高． 15．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）教学楼旁边有一棵树，课外数学兴趣小组的同学在阳光下测得一根长为的竹竿的影长为，在同一时刻他们测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上，如图所示，经过一番争论，该小组的同学认为继续测量也可以求出树高，他们测得落在地面上的影长为，落在墙壁上的影长为，并画出了几何图形，图中线段长为树高，长为墙壁上的影子长，请你和他们一起计算一下树高多少米？    16．（24-25九年级上·陕西西安·开学考试）西安世博园是一个融合了古今中外园林艺术的美丽地方，让人流连忘返，它占地面积很大，拥有众多主题园区，每个园区都有独特的景观和特色．在阳光明媚的一天，小滨和小美去世园会游玩，想利用所学知识测量一棵银杏树的高度(银杏树四周被围起来了，底部不易到达)、小滨提议用平面镜和阳光下的影子来测量银杏树的高，方法如下：首先，小滨在某一时刻测得站立在E处的小美的影长，在同一时刻测量银杏树的影长时，因树靠近墙面，影子有一部分落在墙上，他测得落在墙上的影长；然后，小滨在小美和墙面之间的直线上平放一平面镜，这个平面镜在直线上的点M处，镜子不动，小滨来回走动，走到点N时，恰好在镜面中看到银杏树顶端A的像，这时测得小滨的眼睛距地面的距离 ，，，如图，已知点G、B、N均在直线上，，，，，小美的身高，其中，测量时所使用的平面镜的大小和厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出银杏树的高．    【经典例题五 相似三角形的应用之物理问题】 17．（23-24九年级下·河南南阳·期中）为测量操场上旗杆的高度，小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理，她找来镜子和卷尺，先将镜子放在脚下的地面处，然后从处后退，直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端，标记好脚掌中心位置为，测得脚掌中心位置到镜面中心的距离是，镜面中心距离旗杆底部的距离为，如图所示，已知小丽同学的我高是，眼睛位置到头顶的距离是，求旗杆的高度．    18．（23-24九年级上·广东河源·期末）综合与实践：利用相似三角形测量距离    (1)【学科融合】如图1，根据小孔成像的原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（蜡烛火焰到小孔的距离）（单位：）的反比例函数，当时，．则关于的函数关系式是__________（不用写自变量的取值范围）． (2)【数学思考】如图2，嘉嘉正在使用手电筒进行物理光学实验，手电筒的灯泡在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离．已知光在镜面反射中的反射角等于入射角，点A，B，C，D在同一水平面上．则灯泡到地面的高度__________． (3)【实际应用】如图3，小明家窗外有一步路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进客厅里．路灯顶部处发光，光线透过窗子照亮地面的长度为，小明测得窗户距离地面高度，窗高，某一时刻，，，其中O，F，D，E四点在同一条直线上，C，B，F三点在同一条直线上，且，，请求出路灯的高度． 19．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头进行移动，使物距为32厘米，光线传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为厘米． (1)求像的长度． (2)已知光线平行于主光轴l，经过凸透镜折射后通过焦点F，求凸透镜焦距的长． 20．（23-24九年级上·上海崇明·期中）学校数学兴趣小组为了测量操场旗杆的高度，做了如下的探索： 他们根据物理中“光的反射定理”，利用一面镜子和一把皮尺，设计了如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在距离旗杆底部（B）米的点E处，然后沿着直线后退到点D处，此时恰好在镜子里看到旗杆顶部A，即．再用皮尺测得为米，观察者目高为米． 根据上述测量方案及数据，求旗杆的高度． 【经典例题六 相似三角形的应用之表格问题】 21．（2024·北京大兴·二模）在数学活动课上，同学们分组测量学校旗杆的高度，经过交流、研讨及测量给出如下两种方案，请你选择一种方案求出旗杆的高度． 方案一：在某一时刻，借助太阳光线，测得小华的身高为米，他的影长为米，同时测得旗杆的影长为米． 方案二：利用“光在反射时，反射角等于入射角”的规律，小丽在她的脚下点放了一面小镜子，然后向后退米到达点，恰好在小镜子中看到旗杆的顶端，此时旗杆底端到点的距离为米，小丽的眼睛点到地面的距离为米． 22．（2024·浙江·二模） 探究不同裁剪方式的面积大小问题 素材1 图1是一张直角三角形纸板，两直角边分别为，，小华、小明、小富同学分别用这样的纸板裁剪出不一样的矩形，并使矩形的四个顶点都在三角形的边上．    素材2 小华同学按图2的方式裁剪出一个正方形；小明同学按图3的方式裁剪，且．    素材3 小富同学对纸板的裁剪按如下步骤：如图4， 步骤1：在直角纸板上裁下一个矩形，矩形的四个顶点都在的边上； 步骤2：取剩下的纸板裁下一个正方形，正方形的四个顶点都在边上；且满足矩形的边长是正方形边长的两倍小．    问题解决 任务1 请比较小华、小明同学裁处的两种矩形的面积大小，通过计算说明． 任务2 请求出小富同学裁下的矩形各边长． 23．（2024·广西钦州·一模）综合与实践 视力表中蕴含的数学知识 素材1 用硬纸板复制视力表中所对应的“”，并依次编号①，②，放在水平桌面上．如图1所示，将②号“”沿水平桌面向右移动，直至从观测点看去，对应顶点，，在一条直线上为止．这时我们说，在处用①号“”测得的视力与在处用②号“”测得的视力相同． 任务1 探究图中与之间的关系，请说明理由； 任务2 若，，①号“”的测量距离，要使测得的视力相同，求②号“”的测量距离． 素材2 为了加强视力保护意识，壮壮想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但书房空间过小，美美同学想到一个好方法：使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图2，在相距的两面墙上分别悬挂视力表与平面镜，由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼处，通过测量视力表的全长就可以计算出镜长． 任务3 美美的方法中如果视力表的全长为，请计算出镜长至少为多少米． 24．（23-24八年级下·山东泰安·期末）在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识来解决实际问题．实践报告如下： 实践报告 活动课题 测量学校旗杆的高度 活动工具 标杆、卷尺 测量过程 【步骤一】测量标杆的长度；测量兴趣小组成员小明的身高（地面到眼睛的高度）； 【步骤二】将标杆竖立在小明同学和旗杆之间，小明适当调整自己所处的位置，使自己、标杆、旗杆在同一条水平直线上，且旗杆的顶端、标杆的顶端与眼睛在同一条直线上 【步骤三】其他同学用卷尺测出小明到标杆的距离，旗杆到标杆的距离，并分别记录； 【步骤四】记录数据（单位：） 小明身高（地面到眼睛） 180 标杆高度 400 小明到标杆距离 400 旗杆到标杆距离 1200 解决问题 根据以上数据计算旗杆的高度． 请你帮助兴趣小组解决以上问题． 【经典例题七 相似三角形的应用之三角形内接矩形问题】 25．（23-24九年级上·江西吉安·期中）如图，是一张锐角三角形硬纸片，是边上的高，，．从这张硬纸片上剪下一个长是宽的2倍的矩形，使它的一边在上，顶点G，H分别在，上．设与交于点M． (1)求证：； (2)求矩形的宽的长度． 26．（23-24九年级上·河北邢台·期中）张师傅有一块如的锐角三角形木料，其中，高，张师傅想把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上，与交于点H．    (1)当点P恰好为中点时，______； (2)当四边形为正方形时，求出这个零件的边长； (3)若这个零件的边．则这个零件的长、宽各是多少？ 27．（23-24九年级上·山东济南·期中）如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成矩形零件PQMN，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上． （1）求证：△APQ∽△ABC； （2）若这个矩形的边PN：PQ＝2：1，则这个矩形的长、宽各是多少？ 28．（23-24九年级上·河南周口·期中）汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时(如图1)，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图，是他研究的一个汽车盲区的示意图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为，车宽，车头近似看成一个矩形，且满足，求汽车盲区的长度． 【经典例题八 相似三角形的应用之杠杆问题】 29．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）马戏团让狮子和公鸡表演跷跷板节目．跷跷板支柱的高度为米． (1)若吊环高度为2米，支点A为跷跷板的中点，狮子能否将公鸡送到吊环上？为什么？ (2)若吊环高度为米，在不改变其他条件的前提下移动支柱，当______时，狮子刚好能将公鸡送到吊环上． 30．（23-24九年级上·浙江丽水·期末）如图①是公园跷跷板的示意图，立柱OC与地面垂直，点C为横板AB的中点．小明和小聪去玩跷跷板，小明最高能将小聪翘到1米高（如图②）． (1)求立柱OC的高度； (2)小明想要把小聪最高翘到1.25米高，请你帮他找出一种方法，并解答． 31．（23-24九年级下·全国·课后作业）马戏团让狮子和公鸡表演跷跷板节目（如图），跷跷板支柱AB的高度为1.2米． （1）若吊环高度为2米，支点A为跷跷板PQ的中点，狮子能否将公鸡送到吊环上？为什么？ （2）若吊环高度为3.6米，在不改变其他条件的前提下移动支柱，当支点A移到跷跷板PQ的什么位置时，狮子刚好能将公鸡送到吊环上？ 32．（23-24九年级上·浙江温州·期中）铁路道口的栏杆如图，其A，B两端到旋转支点C的距离分别为AC＝1.2m，BC＝15m．栏杆在水平状态下到地面的距离CD为1.3m，栏杆绕点C转动，当A端下降至离地距离AE为0.9m时，求此时B端到地面的距离（BF）为多少米？ 【经典例题九 相似三角形的应用之生活实际问题】 33．（2024·陕西商洛·模拟预测）为了加强视力保护意识，欢欢想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但两面墙的距离只有．在一次课题学习课上，欢欢向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲同学设计了一个方案． 甲同学的设计方案 图例 方案 使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图，在相距的两面墙上分别悬挂视力表（）与平面镜（），由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿A，B发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼C处，通过测量视力表的全长（）就可以计算出所需镜长． 已知视力表的全长，要使墙面上的镜子能呈现完整的视力表，求镜面长至少为多少米？ 34．（2024·河南商丘·模拟预测）圭表是中国古代根据日影长度变化测定季节、划分四季和推算历法的工具．图1为圭表示意图．某同学受到启发，利用一根标杆和一个卷尺轻松测量出学校旗杆的高度．如图2，旗杆的影长在水平地面上，将标杆（长度1米）竖直放置在影长的最远端点A处，此时标杆的影长为．经测量，米，米． (1)根据以上信息，计算旗杆的高度．（结果保留整数） (2)若该同学在操作过程中，测量完的长度后，准备测量的长度时，发现卷尺不够长，又去寻找更长一点的卷尺，半小时后回来测量的长度，请问这样可以准确得到旗杆的高度吗？简单说明理由． 35．（23-24九年级上·四川成都·期末）【项目式学习】制作“”形视力表， 【课题实施】根据标准对数视力表（测试距离为米），以小组合作方式，制作变更测试距离的视力表． 【课题结论】 （1）如图1，利用“”的高度与它到眼睛的水平距离之比（即）来刻画视力． （2）大小不同的“”，只要它们这一比值（即）相同，那么用他们测得的视力就相同． 【课题应用】 问题1：根据图2所示，水平桌面上依次放着①号和②号大小不一样的两个“”字，将②号“”沿水平桌面向右移动，直至从观测点看去，对应顶点，，在同一直线上为止，其中是①号“”字的高度，是②号“”字的高度，请用所学知识证明：此时①号字“”与②号“”字测试的视力相同． 问题2：小明想制作一张测试距离为3米的“”形视力表．以图2所示，①号“”是标准对数视力表中视力为的“”字，其高度为，求小明在制作视力为的②号“”字时，②号“”的高度应为多少?（、、在一条直线上，、、在一条直线上） 36．（23-24九年级上·上海宝山·期中）学习了相似三角形知识后，小丽同学准备用自制的直角三角形纸板测量校园内一棵古树的高度．已知三角形纸板的斜边长为0.5米，较短的直角边长为0.3米．    (1)小丽先调整自己的位置至点P，将直角三角形纸板的三个顶点位置记为A、B、C（如图①），斜边平行于地面（点M、P、E、N在一直线上），且点D在边（较长直角边）的延长线上，此时测得边距离地面的高度为1.5米，小丽与古树的距离为16米，求古树的高度； (2)为了尝试不同的思路，小丽又向前移动自己的位置至点Q，将直角三角形纸板的三个顶点的新位置记为（如图②），使直角边（较短直角边）平行于地面（点M、Q、E、N在一直线上），点D在斜边的延长线上，且测得此时边距离地面的高度依然是1.5米，那么小丽向前移动了多少米？ 【经典例题十 相似三角形的应用之古代问题】 37．（23-24八年级下·山东烟台·期末）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义．如图所示，现将一高为米的木杆放在灯杆前，测得其影长为米，再将木杆沿着方向移动米至的位置（），此时测得其影长为米，求灯杆的高度．      38．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义．如图，现将一高度为米的木杆放在灯杆（点处为照明灯）前米处，沿着方向移动米放置另一个等长木杆． (1)请分别画出木杆，的影子（用线段表示，适当加粗）； (2)若测得木杆影长为1米，求木杆的影子长度． 39．（23-24九年级上·山西太原·阶段练习）阅读下列材料，并按要求完成相应的任务： 清虚阁，位于山西省晋中市榆次老城中，俗称南阁，建成于明代成化五年（），是榆次区境内仅见的，也是晋中地区稀有的古代阁楼式建筑杰作，如图，某中学数学实践小组利用节假日时间到现场测量清虚阁的高度． 步骤一：在地面BC上取两点，分别竖立高为的标杆和，两标杆间隔，并且清虚阁，标杆和在同一竖直平面内，从标杆后退到处，从处观察点，三点成一线； 步骤二：从标杆后退到处，从处观察点，三点也成一线． 下面是某同学根据测量结果，计算清虚阁的高度时的部分过程： 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ...... 任务： (1)请根据上面的思路，补充剩余的解答过程． (2)该小组在制定方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方案，但未被采纳，你认为其原因可能是什么？（写出一条即可） 40．（23-24八年级下·全国·单元测试）大雁塔位于陕西省西安市城南大慈恩寺内，是全国著名的古代建筑，被视为古都西安的象征，小明和小华决定带着皮尺用自己学到的知识测量大雁塔的高度．恰逢雨后天晴，两人用如下方法测量：如图，小明半蹲在地上，小华站在小明和大雁塔之间，两人适当调整位置，当小明的眼睛A、小华的头顶C、塔顶E刚好在同一条直线上时，两人分别标注自己的位置B，D，用皮尺测出，且小华刚好在距离自己的一小滩水（记为M）中看到了塔顶E（点B，D，M，F在同一条直线上）．小华身高，小明蹲地观测时眼睛与地面之间的距离．请根据提供的相关信息，求大雁塔的高（结果精确到）．    【经典例题十一 相似三角形的应用之最值问题】 41．（2024·广东广州·一模）如图，在矩形和矩形中，，，,．矩形绕着点A旋转，连接，，，．    (1)求证：； (2)当的长度最大时， ①求的长度； ②在内是否存在一点P，使得的值最小?若存在，求的最小值；若不存在，请说明理由． 42．（23-24九年级上·河南三门峡·期末）如图，已知直角三角形的铁片ABC的两直角边BC、AC的长分别为3cm和4cm，分别采用（1）、（2）两种剪法，剪出一块正方形铁片，为使所得的正方形面积最大，问哪一种剪法好？为什么？ 43．（23-24九年级下·甘肃白银·专题练习）如图，在一块三角形区域ABC中，∠C=90°，边AC=8，BC=6，现要在△ABC内建造一个矩形水池DEFG，如图的设计方案是使DE在AB上． （1）求△ABC中AB边上的高h； （2）设DG=x，当x取何值时，水池DEFG的面积最大？ （3）实际施工时，发现在AB上距B点1.85的M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为保护大树，请设计出另外的方案，使三角形区域中欲建的最大矩形水池能避开大树． 44．（23-24八年级下·浙江·期末）如图1，是一张等腰直角三角形彩色纸，，将斜边上的高四等分，然后裁出3张宽度相等的长方形纸条． （1）分别求出3张长方形纸条的长度； （2）若用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边（纸条不重叠），如图2，正方形美术作品的面积最大不能超过多少（用含a的代数式表示）． 【经典例题十二 相似三角形的应用综合】 45．（23-24九年级·全国·专题练习）阅读理解： 如图1，AD是△ABC的高，点E、F分别在AB和AC边上，且EFBC，可以得到以下结论：． 拓展应用： (1)如图2，在△ABC中，BC＝3，BC边上的高为4，在△ABC内放一个正方形EFGM，使其一边GM在BC上，点E、F分别在AB、AC上，则正方形EFGM的边长是多少？ (2)某葡萄酒庄欲在展厅的一面墙上，布置一个腰长为100cm，底边长为160cm的等腰三角形展台．现需将展台用隔板沿平行于底边，每间隔10cm分隔出一排，再将每一排尽可能多的分隔成若干个无盖正方体格子，要求每个正方体格子内放置一瓶葡萄酒．平面设计图如图3所示，将底边BC的长度看作是0排隔板的长度． ①在分隔的过程中发现，当正方体间的隔板厚度忽略不计时，每排的隔板长度（单位：厘米）随着排数（单位：排）的变化而变化．请完成下表： 排数/排 0 1 2 3 … 隔板长度/厘米 160 ______ ______ ______ … 若用n表示排数，y表示每排的隔板长度，试求出y与n的关系式； ②在①的条件下，请直接写出该展台最多可以摆放多少瓶葡萄酒？ 46．（23-24·湖北襄阳·一模）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P是△ABC外一点，连接BP，将线段BP绕点P逆时针旋转α得到线段PD，连接BD，CD，AP． 观察猜想： （1）如图1，当α＝60°时，的值为　　，直线CD与 AP所成的较小角的度数为　　°； 类比探究： （2）如图2，当α＝90°时，求出的值及直线CD与AP所成的较小角的度数； 拓展应用： （3）如图3，当α＝90°时，点E，F分别为AB，AC的中点，点P在线段FE的延长线上，点A，D，P三点在一条直线上，BD交PF于点G，CD交AB于点H. 若CD＝2＋，求BD的长． 47．（23-24·辽宁鞍山·一模）（1）证明推断：如图（1），在正方形中，点，分别在边，上，于点，点，分别在边，上，．求证：； （2）类比探究：如图（2），在矩形中，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点．试探究与之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展应用：在（2）的条件下，连接，若，，求的长． 48．（23-24九年级上·江西抚州·阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为12，其内部有一个小正方形EFGH，其中E、F、H分别在BC、CD、AE上． （1）若BE=9，小正方形EFGH的边长固定不变，当小正方形 EFGH沿EA平移到使得点G落在AD上时停止运动，求平移的距离． （2）若BE=x，是否存在x的值使得小正方形EFGH的顶点F恰好是CD 的中点？ 1．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，在河两岸分别有，两村，现测得，，在一条直线上，，，在一条直线上，，米，米， 米，则，两村间的距离为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图为步枪在瞄准时的示意图，，从眼睛O到准星的距离为，眼睛到目标F的距离为，步枪上准星宽度为，若射击时，由于抖动导致视线偏离了准星上E点，则目标偏离的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图是一个常见的铁夹的剖面图，，表示铁夹的剖面的两条边，点是转动轴的位置，，垂足为，，，，且铁夹的剖面图是轴对称图形，则，两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级下·山东烟台·期末）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门一百步立一表，出西门二百二十五步适可见之，问邑方几何？”它的意思是：如图，M，N分别是正方形的边，的中点，，，过点A，且步，步，那么该正方形城邑边长约为（    ）步． A．300 B．250 C．225 D．150 5．（2024·湖南长沙·二模）如图，课后服务课上，刘老师让王刚同学站在点处去观测外的位于点处的一棵大树（），所用工具为一个平面镜和必要的长度测量工具（、、在一直线上）．已知王刚身高（），大树高，将平面镜放置在离王刚（    ）处才能观测到大树的顶端．    A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，一朵小花到照相机镜头的距离为，镜头到传感器的距离为．若小花高，则小花在传感器上的高度为 ． 7．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为 米． 8．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔米有一棵树，在北岸边每隔米有一根电线杆，小丽站在离南岸边米的点处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有两棵树，则河宽为 米． 9．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如图，，为两路灯，身高均为的小明、小亮站在两路灯之间，两人相距，小明站在处，小亮站在处，小明在路灯下的影长为，路灯高，则路灯的高为 ． 10．（2024·浙江湖州·模拟预测）土圭之法是在平台中央竖立一根尺长的杆子，观察杆子的日影长度，古代的人们发现，夏至时日影最短，冬至日影最长，这样通过日影的长度得到夏至和冬至，确定了四季，如图，利用土圭之法记录了两个时刻杆的影长，发现第一时刻光线与杆的夹角和第二时刻光线与地面的夹角相等，测得第一时刻的影长为尺，则第二时刻的影长为 尺 11．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，小张所在的数学小组想测量教学楼正后方水塔的高度．当小张站在与教学楼和水塔在同一直线的点处时，刚好看到教学楼顶端与水塔顶端在一条直线上，此时他与教学楼的距离为．已知教学楼的高为，小张的眼睛到地面的距离为．求水塔的高度． 12．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）学习了投影和相似的相关知识后，瑶瑶想测量操场边路灯的高度，如图，灯泡A处的灯光照在水平放置的单杠上，在地面上留下影子，经测量得知，单杠长米，影子米，单杠高米．已知，，，点B、M、E、N、F在同一水平直线上． (1)请你在图中画出点F的位置；（保留画图痕迹） (2)请你求出路灯的高度． 13．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）图I是大拇指广场示意图及测量其高度的方案，图II是求大拇指高度的示意图．如图II，在C处放置一根高度为且与地平线垂直的竹竿，点A，I，D在同一直线上，测得为．将竹竿平移至E处，点A，G，F在同一直线上，测得为．求大拇指的高度． 14．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）在学完利用相似三角形测高后，我校九年级数学兴趣小组准备去测量大雁塔的高度．测量方案如下：如图，首先，小辉站在处，位于点正前方米点处有一平面镜，通过平面镜小辉刚好看到大雁塔的顶端的像，此时测得小辉的眼睛到地面的距离为米；然后，小刚在处竖立了一根高米的标杆，发现地面上的点、标杆顶点和塔顶在一条直线上，此时测得为米，为米，已知，，，点、、、、在一条直线上，请根据以上所测数据，计算大雁塔的高度．（平面镜大小厚度忽略不计） 15．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）【学科融合】如图，在光的反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角等于入射角，这就是光的反射定律． 【问题解决】如图，小波和小海很想知道学校教学楼前雕像的高度（含底座），于是，他们带着测量工具来到雕像前进行测量，测量方案如下：如图，首先，小波在处放置一平面镜，他从点沿后退，当退行米到处时，恰好在镜子中看到雕像顶端的像，此时测得小波眼睛到地面的距离为米；然后，小波沿的延长线继续后退到点，用测倾器测得雕像的顶端的仰角为，此时，测得米，测倾器的高度米．已知点、、、在同一水平直线上，且、、均垂直于（光的反射角等于入射角）． (1)求证：； (2)求雕像的高度． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 相似三角形的应用重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优） 题型一 相似三角形的应用之测高问题 题型二 相似三角形的应用之影长问题 题型三 相似三角形的应用之河宽问题 题型四 相似三角形的应用之树高问题 题型五 相似三角形的应用之物理问题 题型六 相似三角形的应用之表格问题 题型七 相似三角形的应用之三角形内接矩形问题 题型八 相似三角形的应用之杠杆问题 题型九 相似三角形的应用之生活实际问题 题型十 相似三角形的应用之古代问题 题型十一 相似三角形的应用之最值问题 题型十二 相似三角形的应用综合 【经典例题一 相似三角形的应用之测高问题】 1．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图所示，某测量工作人员头顶A与标杆顶点F、电视塔顶端E在同一直线上，已知此测量人员的头顶距地面的高为1.4m，标杆的长为2.8m，且测量人员与标杆的距离为3.5m，标杆与电视塔的距离为6.5m，，，，求电视塔的高． 【答案】电视塔的高的长为米 【分析】本题考查相似三角形的应用，过点作，交于点，交于，易得，，，证明，列出比例式求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：过点作，交于点，交于，由题意，得：四边形，四边形均为矩形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 答：电视塔的高的长为． 2．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）小明对某塔进行了测量，测量方法如下，如图所示，先在点A处放一平面镜，从A处沿方向移动1米到点B处，恰好在平面镜中看到塔的顶部点M，再将平面镜沿方向继续移动米放在D处（即米），从点D处移动米到达点E处，恰好再次在平面镜中看到塔的顶部点M．已知小明眼睛到地面的距离米，点E、D、B、A、N在同一条直线上，．请根据题中提供的相关信息，求出这个塔的高度（平面镜大小忽略不计）． 【答案】米 【分析】本题考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的应用是解题的关键． 证明，，则，，即，，由①②可求的值． 【详解】解：由题意知，，，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， 由①得，， 将代入②可得，， 解得，， ∴这个塔的高度为米． 3．（23-24九年级上·福建南平·期末）某校社会实践小组为了测量大雁塔的高度，如图，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得米，将标杆向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，G，E，C，A在同一直线上），这时测得米，米．    (1)请你根据以上数据，计算大雁塔的高度． (2)“景点简介”显示，大雁塔的高度约为64.5米．请计算本次测量的误差，并提出一条减小误差的合理化建议． 【答案】(1) (2)，可多次测量，取测量数据的平均值 【分析】本题考查相似三角形的应用； （1）根据相似三角形的对应边成比例的建立方程，解出长，然后计算即可． （2）根据有理数的减法计算，然后提出减小误差的方法即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得， ， ， 解得， 答：大雁塔的高度 为 米. （2）误差为(米). 减小误差的建议：可多次测量，取测量数据的平均值(合理即可). 4．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）大雁塔是西安市的标志性建筑和著名古迹，是古城西安的象征．我校社会实践小组为了测量大雁塔的高度，他们在地面上立了两根高均为2米的标杆和，两杆之间的距离米，点G、C、B三点在同一直线上．小明从C处退行4米到点E处，他的眼睛贴着地面观察A点，A、D、E三点在同一直线上；他再从G处退行6米到点F处，从F观察A点，A、F、H三点也在同一直线上．请根据以上数据，计算大雁塔的高度． 【答案】大雁塔的高度为64米 【分析】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题，可证，，可得，，因为，推出，列出方程求出，由，可得，由此即可解决问题． 【详解】解：由题意知， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：大雁塔的高度为64米． 【经典例题二 相似三角形的应用之影长问题】 5．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，王琳同学在晚上由路灯走向路灯，当他行到处时发现，他在路灯下的影长为米，且恰好位于路灯的正下方，接着他又走了米到处，此时他在路灯下的影子恰好位于路灯的正下方（已知王琳身高米，路灯高米） (1)标出王琳站在处在路灯下的影子； (2)计算王琳站在处在路灯下的影长； (3)计算路灯的高度． 【答案】(1)线段 (2)米 (3)米 【分析】本题考查相似三角形的应用， （1）影子为光线与物高相交得到的阴影部分； （2）证明，利用对应边成比例可得长； （3）证明，利用对应边成比例可得长，也就是路灯的高度； 解题的关键是掌握：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例． 【详解】（1）解：线段为王琳在站在处路灯下的影子； （2）根据题意知：，，，，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 答：王琳站在处在路灯下的影长为米； （3）由（2）知：， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 答：路灯的高度为米． 6．（23-24八年级下·山东泰安·期末）如图，小明欲测量一座信号发射塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他自己影子的顶端正好与塔的影子的顶端重合，此时他距离该塔20米，已知他的身高1.8米，影长是2米． (1)图中与是否相似？为什么？ (2)求信号发射塔的高度． 【答案】(1)相似，理由见解析 (2)19.8米 【分析】本题考查了相似三角形应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． （1）根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似； （2）利用相似三角形的性质求得相应线段的长即可． 【详解】（1），， ， ， （2）， ， 即， （米）， 信号发射塔的高度为19.8米． 7．（2024·广西·三模）综合与实践． 现实生活中，人们可以借助光源来测量物体的高度．首先根据光源确定人在地面上的影子；再测量出相关数据，如高度，影长等；最后利用相似三角形的相关知识，可求出所需要的数据．已知灯柱，在灯柱上有一盏路灯 P，在路灯下，人站在点 D和点 G的位置都有影子，B、D、G三点在同一水平线上．根据上述内容，解答下列问题： (1)已知人站在点D时路灯下的影子为DE，请画出路灯P及人站在点 G时路灯下的影子； (2)如图， 若身高为1.7米的小明站在点D影长为， 沿方向走到点 G， ， 此时影长为， 求路灯 P到地面的高度； 【答案】(1)见解析 (2)路灯P离地面的高度为 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用以及中心投影的性质： （1）利用中心投影的性质进而得出P点和H点位置； （2）利用相似三角形的判定与性质得出，同理可得，进而得出答案． 【详解】（1）解：如图所示，点P、线段即为所求， 延长于点P，找到路灯 P 的位置，连接并延长，交射线于点H，即为人在路灯下的影子． （2）解：∵， ∴， 即 ① ∵， ∴， 即 ② 由①②得 解得 解得． 答：路灯P离地面的高度为． 8．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在某学校的明德楼和启智楼之间有一条文化长廊，文化长廊上伫立着三座名人塑像，，，点A，D，F，H，B在同一直线上，且．在明德楼的楼顶有一照明灯P，塑像的影子为，塑像的影子为．该校“探数学”兴趣小组的同学测得文化长廊米，塑像高米，塑像的影长米． (1)求明德楼的高； (2)求塑像的影长． 【答案】(1)12米 (2)4米 【分析】本题考查了三角形相似的判定和性质， (1)根据，米，得到米，根据，得，列比例式，计算即可． (2)根据，得，列比例式，计算即可． 【详解】（1）∵，米， ∴米， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵米，塑像高米， ∴， 解得(米) 答：明德楼的高为12米． （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 答：塑像的影长为4米． 【经典例题三 相似三角形的应用之河宽问题】 9．（23-24八年级下·云南昭通·期末）为了测量一条两岸平行的河流的宽度，三个数学活动小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点B处测得河北岸的树AB恰好在B的正北方向，测量方案如下表： 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 观测者从B点向东走到点，此时测得点恰好在东南方向上． 观测者从B点出发，沿着南偏西的方向走到点，此时恰好测得． 观测者从B点向东走到点，在点插上一面标杆，继续向东走相同的路程到达点后，一直向南走到点，使得树、标杆、人在同一直线上． 测量示意图          (1)第一小组认为要知道河宽，只需要知道线段______的长度． (2)第二小组测得米，则______． (3)第三小组认为只要测得就能得到河宽，你认为第三小组的方案可行吗?如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由． 【答案】(1) (2)30米 (3)可行，理由见解析 【分析】（1）由题意得为等腰直角三角形，即可解答； （2）由题意得为等腰三角形，即可解答； （3）由题意得，即可解答． 【详解】（1）解：∵点C恰好在点A东南方向， ∴为等腰直角三角形， ∴要知道河宽，只需要知道线段的长度， 故答案为：； （2）解：∵， ∴ ， ∴， ∴米， 故答案为：30米； （3）解：可行，理由如下： 在和中， ， ∴， ∴， ∴只要测得就能得到河宽， 故第三小组的方案可行． 【点睛】本题考查了等腰三角形、相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握以上知识点并运用数学结合思想． 10．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）为了加快城市发展，保障市民出行方便，某市在流经该市的河流上架起一座桥，连通南北，铺就城市繁荣之路．小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算该桥的长．如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点B和点C，分别在，的延长线上取点D，E，使得．经测量，米，米，且点E到河岸的距离为90米．已知于点F，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥的长度． 【答案】桥的长度为120米 【分析】本题考查了相似测量河的宽度（测量距离），过E作于G，依据，即可得出，依据，即可得到，进而得出的长，构造相似三角形是解题的关键． 【详解】解：如图所示，过E作于G， ∵， ， ， ， ， ， ， ，即：， 解得， ∴桥的长度为120米． 11．（2024·浙江宁波·一模）某河流的一段如图1所示，现要估算河的宽度（即河两岸相对的两点A，B间的距离），可以按如下步骤操作：①先在河的对岸选定一个目标作为点A，使；②再在河的这一边选定点B和点C，使；③再选定点E，然后用视线确定和的交点D． (1)用皮尺测得，，，求河的宽度；（精确到0.1米） (2)请用所学过的知识设计一种测量旗杆高度的方案． 要求：①画出示意图，所测长度用a，b，c等表示；②不要求写操作步骤；③结合所测数据直接用含a，b， c等字母的式子表示出旗杆高度． 【答案】(1)95m (2)方案见解析， 【分析】 本题主要考查了相似三角形的应用——测量河宽和旗杆高．熟练掌握相似三角形的判断和性质，是解决问题的关键． （1）证明，得到，得到，即得； （2）将标杆竖立在地面适当的位置，使点C、D、A三点共线，测出，．根据，都垂直，得到，得到，得到，旗杆的高． 【详解】（1） ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 答：河宽为95m； （2） （方法不唯一）如图． ①将标杆竖立在一个适当的位置，使点C和标杆的顶点D，旗杆的顶点A三点在一条直线上； ②测出，； ③计算旗杆的高度： ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， 故旗杆的高． 12．（2024·浙江金华·二模）某河流的一段如图1所示，现要估算河的宽度（即河两岸相对的两点A，B间的距离），可以按如下步骤操作：①先在河的对岸选定一个目标作为点A；②再在河的这一边选定点B和点C，使；③再选定点E，使，然后用视线确定和的交点D． (1)用皮尺测得，，，求河宽． (2)请用所学过的知识设计一种测量旗杆高度的方案． 要求：①画出示意图，所测长度用a，b，c等表示，直接标注在图2中的线段上；②不要求写操作步骤；③结合所测数据直接用含a，b，c等字母的式子表示出旗杆高度． 【答案】(1)河宽为95m (2)，示意图见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用——测量河宽和旗杆高．熟练掌握相似三角形的判断和性质，是解决问题的关键． （1）证明，得到，得到，即得． （2）将标杆竖立在地面适当的位置，使点C、D、A三点共线，测出，．根据，，得到，得到，得到，即得旗杆高． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 答：河宽为95m． （2）（方法不唯一）如图． ①将标杆竖立在一个适当的位置，使点C和标杆的顶点D，旗杆的顶点A三点在一条直线上， ②测出，． ③计算旗杆的高度： ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴旗杆的高． 【经典例题四 相似三角形的应用之树高问题】 13．（2024·陕西西安·模拟预测）周末，小英与小淇同学逛公园时注意到一棵树，她们打算利用所学知识测量树高，为此找来了平面镜、直木棍、皮尺等工具．如图，小英先将平面镜（厚度不计）平放在水平地面的点D处，小淇站在点B处，通过平面镜从点A观察到树的顶端点M，随后小英在点D处竖直放置一根木棍，小淇从点A观察到术棍顶端点C与树的底端点N在同一直线上．已知，图中所有点均在同一平面内，求树的高．（光的反射角等于入射角） 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用．根据，可得，再根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：根据题意可知， ， ． 代入数据，得①，②， 解得， ∴树的高为． 14．（23-24九年级上·陕西榆林·期末）如图，小聪为测得学校操场上小树的高，他站在教室里的点处，从教室的窗口望出去，恰好能看见小树的整个树冠．经测量，窗口高，树干高，点距墙根点，点距墙根点，、、三点在同一水平线上，点在上，点在上，且，，．请根据上面的信息，帮小聪计算出小树的高． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，矩形的性质与判定等等，过点B作于N，交于E，则，，可证明四边形，四边形都是矩形，得到，证明得到，据此求出，则． 【详解】解：如图所示，过点B作于N，交于E， ∵，，， ∴， ∴四边形，四边形都是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴小树的高为． 15．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）教学楼旁边有一棵树，课外数学兴趣小组的同学在阳光下测得一根长为的竹竿的影长为，在同一时刻他们测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上，如图所示，经过一番争论，该小组的同学认为继续测量也可以求出树高，他们测得落在地面上的影长为，落在墙壁上的影长为，并画出了几何图形，图中线段长为树高，长为墙壁上的影子长，请你和他们一起计算一下树高多少米？    【答案】4.2米 【分析】本题考查了物高与影长成正比，过D作于点E，连接 求解即可． 【详解】解：过D作于点E，连接，    由题意知 又∵， ∴四边形为矩形． ∴，， ∴， ∴， ∴（米） 答：树高为米． 16．（24-25九年级上·陕西西安·开学考试）西安世博园是一个融合了古今中外园林艺术的美丽地方，让人流连忘返，它占地面积很大，拥有众多主题园区，每个园区都有独特的景观和特色．在阳光明媚的一天，小滨和小美去世园会游玩，想利用所学知识测量一棵银杏树的高度(银杏树四周被围起来了，底部不易到达)、小滨提议用平面镜和阳光下的影子来测量银杏树的高，方法如下：首先，小滨在某一时刻测得站立在E处的小美的影长，在同一时刻测量银杏树的影长时，因树靠近墙面，影子有一部分落在墙上，他测得落在墙上的影长；然后，小滨在小美和墙面之间的直线上平放一平面镜，这个平面镜在直线上的点M处，镜子不动，小滨来回走动，走到点N时，恰好在镜面中看到银杏树顶端A的像，这时测得小滨的眼睛距地面的距离 ，，，如图，已知点G、B、N均在直线上，，，，，小美的身高，其中，测量时所使用的平面镜的大小和厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出银杏树的高．    【答案】樱花树的高约为． 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理与性质，通过作辅助线，构造相似三角形求出与的等式关系是解题关键． 如图，过点D作于点P，先根据相似三角形的判定定理得出，从而可得，再根据相似三角形的判定定理得出，最后根据相似三角形的性质即可得出答案． 【详解】如图，过点D作于点P    由题意可得， ∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ ， ∴ ∴，即 ∴ ∴樱花树的高约为． 【经典例题五 相似三角形的应用之物理问题】 17．（23-24九年级下·河南南阳·期中）为测量操场上旗杆的高度，小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理，她找来镜子和卷尺，先将镜子放在脚下的地面处，然后从处后退，直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端，标记好脚掌中心位置为，测得脚掌中心位置到镜面中心的距离是，镜面中心距离旗杆底部的距离为，如图所示，已知小丽同学的我高是，眼睛位置到头顶的距离是，求旗杆的高度．    【答案】 【分析】先证明，得出，即，即可求出的长度． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵ ∴， 解得：， , 答：旗杆的高度为. 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定方法是解决问题的关键． 18．（23-24九年级上·广东河源·期末）综合与实践：利用相似三角形测量距离    (1)【学科融合】如图1，根据小孔成像的原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（蜡烛火焰到小孔的距离）（单位：）的反比例函数，当时，．则关于的函数关系式是__________（不用写自变量的取值范围）． (2)【数学思考】如图2，嘉嘉正在使用手电筒进行物理光学实验，手电筒的灯泡在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离．已知光在镜面反射中的反射角等于入射角，点A，B，C，D在同一水平面上．则灯泡到地面的高度__________． (3)【实际应用】如图3，小明家窗外有一步路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进客厅里．路灯顶部处发光，光线透过窗子照亮地面的长度为，小明测得窗户距离地面高度，窗高，某一时刻，，，其中O，F，D，E四点在同一条直线上，C，B，F三点在同一条直线上，且，，请求出路灯的高度． 【答案】(1) (2) (3)路灯的高度为 【分析】本题考查了反比例函数解析式，相似三角形的应用，相似三角形的判定与性质，熟练掌握反比例函数解析式，相似三角形的应用，相似三角形的判定与性质是解题的关键 （1）设关于的函数关系式为，将时，代入，解得，，进而可得关于的函数关系式； （2）由题意知，，证明，则，即，解得，，证明，则，即，计算求解即可； （3）由题意知，，，设，．证明，则，即，解得，，，则，即，计算求解即可． 【详解】（1）解：设关于的函数关系式为， 将时，代入得，， 解得，， ∴关于的函数关系式为， 故答案为：； （2）解：由题意知，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， 故答案为：； （3）解：由题意知，，， 设，． ∵，， ∴． ∴， ∴，即，解得，， ∴， ∴，即，解得， ∴路灯的高度为． 19．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头进行移动，使物距为32厘米，光线传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为厘米． (1)求像的长度． (2)已知光线平行于主光轴l，经过凸透镜折射后通过焦点F，求凸透镜焦距的长． 【答案】(1)厘米 (2)厘米． 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，平行四边形的判定与性质等知识点， （1）利用相似三角形的判定与性质，通过证明与△解答即可； （2）过点作交于点E，利用平行四边形的判定与性质和相似三角形的判定与性质解答即可； 熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）由题意得：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴像的长度厘米． （2）过点作交于点E，如图， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴． 同理：四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴（厘米）． ∴凸透镜焦距的长为厘米． 20．（23-24九年级上·上海崇明·期中）学校数学兴趣小组为了测量操场旗杆的高度，做了如下的探索： 他们根据物理中“光的反射定理”，利用一面镜子和一把皮尺，设计了如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在距离旗杆底部（B）米的点E处，然后沿着直线后退到点D处，此时恰好在镜子里看到旗杆顶部A，即．再用皮尺测得为米，观察者目高为米． 根据上述测量方案及数据，求旗杆的高度． 【答案】米 【分析】根据题意可得，可证得，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∵， ∴， ∴，即， 解得：米， 答：旗杆的高度为米． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用举例，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【经典例题六 相似三角形的应用之表格问题】 21．（2024·北京大兴·二模）在数学活动课上，同学们分组测量学校旗杆的高度，经过交流、研讨及测量给出如下两种方案，请你选择一种方案求出旗杆的高度． 方案一：在某一时刻，借助太阳光线，测得小华的身高为米，他的影长为米，同时测得旗杆的影长为米． 方案二：利用“光在反射时，反射角等于入射角”的规律，小丽在她的脚下点放了一面小镜子，然后向后退米到达点，恰好在小镜子中看到旗杆的顶端，此时旗杆底端到点的距离为米，小丽的眼睛点到地面的距离为米． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握其判定和性质是解题的关键． 方案一：根据题意可得，根据相似三角形的判定和性质即可求解； 方案二：根据题意可得，根据相似三角形的判定和性质即可求解． 【详解】方案一： 解：由题意得，，． ． ． ． ，，， ． 答：旗杆高度为． 方案二： 解：由题意得，，， ． ． ，，， ． ． 答：旗杆高度为． 22．（2024·浙江·二模） 探究不同裁剪方式的面积大小问题 素材1 图1是一张直角三角形纸板，两直角边分别为，，小华、小明、小富同学分别用这样的纸板裁剪出不一样的矩形，并使矩形的四个顶点都在三角形的边上．    素材2 小华同学按图2的方式裁剪出一个正方形；小明同学按图3的方式裁剪，且．    素材3 小富同学对纸板的裁剪按如下步骤：如图4， 步骤1：在直角纸板上裁下一个矩形，矩形的四个顶点都在的边上； 步骤2：取剩下的纸板裁下一个正方形，正方形的四个顶点都在边上；且满足矩形的边长是正方形边长的两倍小．    问题解决 任务1 请比较小华、小明同学裁处的两种矩形的面积大小，通过计算说明． 任务2 请求出小富同学裁下的矩形各边长． 【答案】任务一：，见解析；任务二：矩形的各边长为，，， 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质， 任务1：小华：设正方形的边长为x，，由题意得：，再利用相似三角形的性质求得x，小明：由题意得：，再由及求得，然后比较大小即可； 任务2：由题意得：，可设，，，再由可得，求得，，由列出比例式，求得得：，从而得出．最后求解即可； 【详解】解：任务一：小华：设正方形的边长为x， 由题意得： ，得： 小明：由题意得： ∵ ，得． ∵ ，得： ∵   ． 任务二：由题意得： 设：，， 同理： ，得 ∵ ，得： ． 矩形的边长为：；． 23．（2024·广西钦州·一模）综合与实践 视力表中蕴含的数学知识 素材1 用硬纸板复制视力表中所对应的“”，并依次编号①，②，放在水平桌面上．如图1所示，将②号“”沿水平桌面向右移动，直至从观测点看去，对应顶点，，在一条直线上为止．这时我们说，在处用①号“”测得的视力与在处用②号“”测得的视力相同． 任务1 探究图中与之间的关系，请说明理由； 任务2 若，，①号“”的测量距离，要使测得的视力相同，求②号“”的测量距离． 素材2 为了加强视力保护意识，壮壮想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但书房空间过小，美美同学想到一个好方法：使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图2，在相距的两面墙上分别悬挂视力表与平面镜，由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼处，通过测量视力表的全长就可以计算出镜长． 任务3 美美的方法中如果视力表的全长为，请计算出镜长至少为多少米． 【答案】任务1：，理由见解析；任务2：②号“”的测量距离为；任务3：镜长至少为 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，理解题意，采用数形结合的思想是解此题的关键． 任务1：根据相似三角形的对应边成比例解答； 任务2：根据相似三角形的对应边成比例代入数据进行计算即可； 任务3：根据相似三角形的对应边成比例代入数据进行计算即可． 【详解】解：任务1：， 理由如下：， ， ，即； 任务2：，且，，， ， ， ②号“”的测量距离为； 任务3：如图，延长至，使，延长至，使，连接，作于，交于， ， 则，， ，， ， 由题意得：，， ， ， ， 镜长至少为． 24．（23-24八年级下·山东泰安·期末）在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识来解决实际问题．实践报告如下： 实践报告 活动课题 测量学校旗杆的高度 活动工具 标杆、卷尺 测量过程 【步骤一】测量标杆的长度；测量兴趣小组成员小明的身高（地面到眼睛的高度）； 【步骤二】将标杆竖立在小明同学和旗杆之间，小明适当调整自己所处的位置，使自己、标杆、旗杆在同一条水平直线上，且旗杆的顶端、标杆的顶端与眼睛在同一条直线上 【步骤三】其他同学用卷尺测出小明到标杆的距离，旗杆到标杆的距离，并分别记录； 【步骤四】记录数据（单位：） 小明身高（地面到眼睛） 180 标杆高度 400 小明到标杆距离 400 旗杆到标杆距离 1200 解决问题 根据以上数据计算旗杆的高度． 请你帮助兴趣小组解决以上问题． 【答案】旗杆的高度为 【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，如图，作于，交于，证明四边形、、是矩形，，再利用相似三角形的性质可得答案； 【详解】解：如图，作于，交于， 由题意得：，，， ，四边形、、是矩形， ，，， ∴，， ∵， ， ， ， ， ． ∴旗杆的高度为； 【经典例题七 相似三角形的应用之三角形内接矩形问题】 25．（23-24九年级上·江西吉安·期中）如图，是一张锐角三角形硬纸片，是边上的高，，．从这张硬纸片上剪下一个长是宽的2倍的矩形，使它的一边在上，顶点G，H分别在，上．设与交于点M． (1)求证：； (2)求矩形的宽的长度． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的应用：利用平行构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求线段的长． （1）由矩形的性质得，则可判断，然后根据相似三角形的性质即可得到结论； （2）设，，由（1）的结论得到，然后根据比例性质可计算求解． 【详解】（1）证明：四边形为矩形， ， 而， ， ， ； （2）解：由题意可设，， ∵，， ∴， 由（1）可得， 解得， ． 26．（23-24九年级上·河北邢台·期中）张师傅有一块如的锐角三角形木料，其中，高，张师傅想把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上，与交于点H．    (1)当点P恰好为中点时，______； (2)当四边形为正方形时，求出这个零件的边长； (3)若这个零件的边．则这个零件的长、宽各是多少？ 【答案】(1)60 (2)这个零件的边长为； (3)矩形的长为，宽为． 【分析】本题考查了相似三角形的应用． （1）根据，得到，利用相似三角形的性质可得到答案； （2）设正方形的边长为，根据，得到，得到对应高之比等于相似比，，据此求解即可； （3）设矩形的宽为，则长为，然后根据相似三角形，列出比例关系式求解． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ， ∴； 故答案为：60； （2）解：∵四边形为正方形， ∴，， 设正方形的边长为，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 答：这个零件的边长为； （3）解：设矩形宽为，则长为， 同理， ∴， ∴， 解得，， 故矩形的长为，宽为． 27．（23-24九年级上·山东济南·期中）如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成矩形零件PQMN，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上． （1）求证：△APQ∽△ABC； （2）若这个矩形的边PN：PQ＝2：1，则这个矩形的长、宽各是多少？ 【答案】（1）见解析，（2）矩形的长为60mm，宽是30mm． 【分析】（1）根据PQ∥BC证明即可． （2）设PQ为xmm，则PN为2xmm，同（1）列出比例关系求解即可． 【详解】（1）证明：∵PQMN是矩形， ∴PQ∥BC， ∴△APQ∽△ABC， （2）设边PQ为xmm，则PN为2xmm， ∵PQMN是矩形， ∴PQ∥BC， ∴△APQ∽△ABC， ∵AD是高， ∴PN∥AD， ∴△PBN∽△ABD， ∴、， 即，， ∵AP+BP＝AB， ∴＝1， 解得x＝30，2x＝60． 即长为60mm，宽为30mm． 答：矩形的长为60mm，宽是30mm． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用相似三角形的判定，证明三角形相似，列出比例式求解． 28．（23-24九年级上·河南周口·期中）汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时(如图1)，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图，是他研究的一个汽车盲区的示意图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为，车宽，车头近似看成一个矩形，且满足，求汽车盲区的长度． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，矩形的性质，过点作于点，交于点，根据相似三角形的性质列出比例式，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点． ，， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【经典例题八 相似三角形的应用之杠杆问题】 29．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）马戏团让狮子和公鸡表演跷跷板节目．跷跷板支柱的高度为米． (1)若吊环高度为2米，支点A为跷跷板的中点，狮子能否将公鸡送到吊环上？为什么？ (2)若吊环高度为米，在不改变其他条件的前提下移动支柱，当______时，狮子刚好能将公鸡送到吊环上． 【答案】(1)狮子能将公鸡送到吊环上，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线的性质等知识点，根据题意正确画出图形成为解题的关键． （1）当狮子将跷跷板P端按到底时可得到，而为的中位线，（米），，据此即可解答； （2）由于，所以，再根据相似三角形的性质求出的值即可． 【详解】（1）解：狮子能将公鸡送到吊环上，理由如下： 如图：当狮子将跷跷板P端按到底时可得到， ∵支点A为跷跷板的中点，， ∴为的中位线， ∵（米）， ∴， ∴狮子能将公鸡送到吊环上． （2）解：如图：支点A移到跷跷板处，狮子刚好能将公鸡送到吊环上， ∵， ∴， ∴，即 ∴当时，狮子刚好能将公鸡送到吊环上． 故答案为：． 30．（23-24九年级上·浙江丽水·期末）如图①是公园跷跷板的示意图，立柱OC与地面垂直，点C为横板AB的中点．小明和小聪去玩跷跷板，小明最高能将小聪翘到1米高（如图②）． (1)求立柱OC的高度； (2)小明想要把小聪最高翘到1.25米高，请你帮他找出一种方法，并解答． 【答案】(1)米 (2)设计方法为：要使小明想要把小聪最高翘到1.25米高，只需要将小明距离点的距离变为,即 【分析】（1）标注点，根据题意证明出，得到，再根据分别为的中点，即可得到； （2）利用三角形相似来设计，同样线先证明，得，根据，找到之间的关系即可． 【详解】（1）解：标注点如下图： 根据题意在和， ， ， ， 分别为的中点， ， ， （米）； （2）解：设计方法为：要使小明想要把小聪最高翘到1.25米高，只需要将小明距离点的距离变为,即，过程如下： 根据题意作如下图形， 根据题意在和， ， ， ， ， ， （米）； 小明想要把小聪最高翘到1.25米高，只需要将小明距离点的距离变为,即即可． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定及性质，解题的关键是掌握三角形相似的判定及性质来构建相似三角形． 31．（23-24九年级下·全国·课后作业）马戏团让狮子和公鸡表演跷跷板节目（如图），跷跷板支柱AB的高度为1.2米． （1）若吊环高度为2米，支点A为跷跷板PQ的中点，狮子能否将公鸡送到吊环上？为什么？ （2）若吊环高度为3.6米，在不改变其他条件的前提下移动支柱，当支点A移到跷跷板PQ的什么位置时，狮子刚好能将公鸡送到吊环上？ 【答案】（1）狮子能将公鸡送到吊环上，理由见解析；（2）支点A移到跷跷板PQ的三分之一处时，狮子刚好能将公鸡送到吊环上 【分析】（1）如图，过点Q作QH⊥PC于点H，则由题意可得：AB∥QH，从而可得PB：BH=PA：AQ=1，说明AB是△PQH的中位线，则QH=2AB=2.4>2，故狮子能将公鸡送上吊环； （2）由已知条件易得：△ PAB∽△ PQH，由此可得，说明当点A移到使AP=PQ处时，狮子刚好可将公鸡送到吊环上． 【详解】解：（1）狮子能将公鸡送到吊环上，理由如下： 如图，过点Q作QH⊥PC于点H， ∵AB⊥PC于点B， ∴AB∥QH， ∴PB：BH=PA：AQ=1， ∴AB是△PQH的中位线， ∴QH=2AB=2.4>2， ∴狮子能将公鸡送到吊环上； （2）由题意可知：QH=3.6，由（1）可知，AB∥QH， ∴△ PAB∽△ PQH， ∴， ∴PA=PQ，即当点A在PQ上移动到使PA=PQ时，狮子刚好将公鸡送到吊环上． 【点睛】本题主要考查的是应用相似三角形的性质来解决实际问题，解题的关键是过点Q作QH⊥PC于点H，从而构造出相似三角形△PQH和△PAB，这样利用相似三角形的性质就可使问题得到解决． 32．（23-24九年级上·浙江温州·期中）铁路道口的栏杆如图，其A，B两端到旋转支点C的距离分别为AC＝1.2m，BC＝15m．栏杆在水平状态下到地面的距离CD为1.3m，栏杆绕点C转动，当A端下降至离地距离AE为0.9m时，求此时B端到地面的距离（BF）为多少米？ 【答案】此时BF为米 【分析】通过证明，可得，可求解． 【详解】解：如图，由题意可得：AC＝，BC＝15，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴＝5， ∴（米）． 【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 【经典例题九 相似三角形的应用之生活实际问题】 33．（2024·陕西商洛·模拟预测）为了加强视力保护意识，欢欢想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但两面墙的距离只有．在一次课题学习课上，欢欢向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲同学设计了一个方案． 甲同学的设计方案 图例 方案 使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图，在相距的两面墙上分别悬挂视力表（）与平面镜（），由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿A，B发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼C处，通过测量视力表的全长（）就可以计算出所需镜长． 已知视力表的全长，要使墙面上的镜子能呈现完整的视力表，求镜面长至少为多少米？ 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，证明，则，由，则，即可求出即可． 【详解】解：如图，作于点D，延长线交于点E， 由题意知，， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴ ∴， 由题意知，，， ∴， ∴， ∴． ∴镜长至少为 34．（2024·河南商丘·模拟预测）圭表是中国古代根据日影长度变化测定季节、划分四季和推算历法的工具．图1为圭表示意图．某同学受到启发，利用一根标杆和一个卷尺轻松测量出学校旗杆的高度．如图2，旗杆的影长在水平地面上，将标杆（长度1米）竖直放置在影长的最远端点A处，此时标杆的影长为．经测量，米，米． (1)根据以上信息，计算旗杆的高度．（结果保留整数） (2)若该同学在操作过程中，测量完的长度后，准备测量的长度时，发现卷尺不够长，又去寻找更长一点的卷尺，半小时后回来测量的长度，请问这样可以准确得到旗杆的高度吗？简单说明理由． 【答案】(1)旗杆的高度约为10米 (2)不可以．理由见解析 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用： （1）根据证明，由相似三角形的性质可得，进行计算即可； （2）旗杆和标杆的影长随着时间变化而变化，必须同时测量，才可以准确得到旗杆的高度． 【详解】（1）解：由题意，可知． ∴． 又∵， ∴． ∴，即． ∴（米）． 答：旗杆MN的高度约为10米． （2）解：不可以． 理由如下：旗杆和标杆的影长随着时间变化而变化，必须同时测量，小明测量标杆影长后半个小时再测旗杆影长，此时旗杆影长已发生变化，故不可以准确得到旗杆的高度．（理由合理即可） 35．（23-24九年级上·四川成都·期末）【项目式学习】制作“”形视力表， 【课题实施】根据标准对数视力表（测试距离为米），以小组合作方式，制作变更测试距离的视力表． 【课题结论】 （1）如图1，利用“”的高度与它到眼睛的水平距离之比（即）来刻画视力． （2）大小不同的“”，只要它们这一比值（即）相同，那么用他们测得的视力就相同． 【课题应用】 问题1：根据图2所示，水平桌面上依次放着①号和②号大小不一样的两个“”字，将②号“”沿水平桌面向右移动，直至从观测点看去，对应顶点，，在同一直线上为止，其中是①号“”字的高度，是②号“”字的高度，请用所学知识证明：此时①号字“”与②号“”字测试的视力相同． 问题2：小明想制作一张测试距离为3米的“”形视力表．以图2所示，①号“”是标准对数视力表中视力为的“”字，其高度为，求小明在制作视力为的②号“”字时，②号“”的高度应为多少?（、、在一条直线上，、、在一条直线上） 【答案】问题1：证明见解析；问题2： 【分析】本题考查了相似三角形的应用；问题1：证明，根据相似三角形的性质可得； 问题2：根据相似三角形的性质，将数据代入比例式，即可求解． 【详解】问题1：由题可得 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴①号“”字与②号“字”测试的视力相同 问题2：由（1）可得      ∵ ∴ ∴ 答：②号“”的高度应为 36．（23-24九年级上·上海宝山·期中）学习了相似三角形知识后，小丽同学准备用自制的直角三角形纸板测量校园内一棵古树的高度．已知三角形纸板的斜边长为0.5米，较短的直角边长为0.3米．    (1)小丽先调整自己的位置至点P，将直角三角形纸板的三个顶点位置记为A、B、C（如图①），斜边平行于地面（点M、P、E、N在一直线上），且点D在边（较长直角边）的延长线上，此时测得边距离地面的高度为1.5米，小丽与古树的距离为16米，求古树的高度； (2)为了尝试不同的思路，小丽又向前移动自己的位置至点Q，将直角三角形纸板的三个顶点的新位置记为（如图②），使直角边（较短直角边）平行于地面（点M、Q、E、N在一直线上），点D在斜边的延长线上，且测得此时边距离地面的高度依然是1.5米，那么小丽向前移动了多少米？ 【答案】(1)古树的高度为13.5米 (2)小丽向前移动了7米 【分析】本题考查了相似三角形的应用和勾股定理的应用： （1）先在中，由勾股定理求得，再利用和相似求得的长，加上，即可求得树高； （2）利用和相似求得的长，即可求得小丽向前移动了多少米． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 在中， ∵， 由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：古树的高度DE为13.5米； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：小丽向前移动了7米． 【经典例题十 相似三角形的应用之古代问题】 37．（23-24八年级下·山东烟台·期末）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义．如图所示，现将一高为米的木杆放在灯杆前，测得其影长为米，再将木杆沿着方向移动米至的位置（），此时测得其影长为米，求灯杆的高度．      【答案】灯杆的高度为米． 【分析】根据，得到，根据相似三角形的对应边成比例得到 ，又根据，得出，根据相似三角形的对应边成比例得到，列出等式，即可求出，的长． 【详解】如图：由题意得： 米，米，， ∵， ∴． ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴． ∴， ∴米， ∴． ∴米， ∴灯杆的高度为米． 【点睛】此题考查了相似三角形的应用，解题的关键是读懂题意，熟悉相似三角形的判定与性质． 38．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义．如图，现将一高度为米的木杆放在灯杆（点处为照明灯）前米处，沿着方向移动米放置另一个等长木杆． (1)请分别画出木杆，的影子（用线段表示，适当加粗）； (2)若测得木杆影长为1米，求木杆的影子长度． 【答案】(1)见解析 (2)木杆的影子长度为米 【分析】（1）作射线分别交直线于点,则即为所求； （2）根据题意证明，，根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据进行计算即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，作射线分别交直线于点,则即为所求． （2）依题意，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴木杆的影子长度为米． 【点睛】本题考查了中心投影，相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 39．（23-24九年级上·山西太原·阶段练习）阅读下列材料，并按要求完成相应的任务： 清虚阁，位于山西省晋中市榆次老城中，俗称南阁，建成于明代成化五年（），是榆次区境内仅见的，也是晋中地区稀有的古代阁楼式建筑杰作，如图，某中学数学实践小组利用节假日时间到现场测量清虚阁的高度． 步骤一：在地面BC上取两点，分别竖立高为的标杆和，两标杆间隔，并且清虚阁，标杆和在同一竖直平面内，从标杆后退到处，从处观察点，三点成一线； 步骤二：从标杆后退到处，从处观察点，三点也成一线． 下面是某同学根据测量结果，计算清虚阁的高度时的部分过程： 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ...... 任务： (1)请根据上面的思路，补充剩余的解答过程． (2)该小组在制定方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方案，但未被采纳，你认为其原因可能是什么？（写出一条即可） 【答案】(1)见解析 (2)没有太阳光，或测量楼阁的影子长度有困难（答案不唯一） 【分析】（1）根据题意，将已知数据代入比例式进行计算即可求解； （2）原因可能是没有太阳光，或测量楼阁的影子长度有困难． 【详解】（1）解：∴， 即， ∴， 解得，， ∴， 即， ∴ （2）没有太阳光，或测量楼阁的影子长度有困难（答案不唯一） 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 40．（23-24八年级下·全国·单元测试）大雁塔位于陕西省西安市城南大慈恩寺内，是全国著名的古代建筑，被视为古都西安的象征，小明和小华决定带着皮尺用自己学到的知识测量大雁塔的高度．恰逢雨后天晴，两人用如下方法测量：如图，小明半蹲在地上，小华站在小明和大雁塔之间，两人适当调整位置，当小明的眼睛A、小华的头顶C、塔顶E刚好在同一条直线上时，两人分别标注自己的位置B，D，用皮尺测出，且小华刚好在距离自己的一小滩水（记为M）中看到了塔顶E（点B，D，M，F在同一条直线上）．小华身高，小明蹲地观测时眼睛与地面之间的距离．请根据提供的相关信息，求大雁塔的高（结果精确到）．    【答案】 【分析】过点作于点，交于点，则，，，，设，则，先根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得，再根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点，    则，，，， 设，则， 由题意得：，， 由反射角等于入射角得：， ， ， ，， ， 解得， ， ∵， ， ，即， 解得，经检验，是所列方程的解，且符合题意， 答：大雁塔的高约为． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 【经典例题十一 相似三角形的应用之最值问题】 41．（2024·广东广州·一模）如图，在矩形和矩形中，，，,．矩形绕着点A旋转，连接，，，．    (1)求证：； (2)当的长度最大时， ①求的长度； ②在内是否存在一点P，使得的值最小?若存在，求的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；②存在，最小值是 【分析】（1）根据矩形的性质，先证，利用相似三角形的性质准备条件，再证即可； （2）①先确定当在矩形外，且三点共线时，的长度最大，并画出图形，在中求出的长，最利用的性质求解即可；②将绕着点A顺时针旋转,且使，连接，同理将绕着点A顺时针旋转,得到, 且使，连接，过P作于S，过点L作垂直的延长线于点Q，确定，当C、P、K、L四点共线时，的长最小，再根据直角三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵ ，， ∴， ∵矩形和矩形， ∴，，， ∴， ∴，， ∴，， 即，， ∴ （2）∵， ∴当在矩形外，且三点共线时，的长度最大，如图所示：    此时，， ①∵，， ∴，， 在中，，， ∴， 由（1）得：， ∴， 即， ∴； ②如图，将绕着点A顺时针旋转,且使，连接，同理将绕着点A顺时针旋转,得到, 且使，连接，    由旋转可得：， ∴， ∴， ∴, 过P作于S，则 ，， ∴，则 ， ∴， ∴， ∵，即， 当C、P、K、L四点共线时，的长最小， 由题意，，， ，， 过点L作垂直的延长线于点Q， ， ∴，， 则， 在中，根据勾股定理得， ∴的最小值为. 【点睛】本题是一道压轴题，主要考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，解直角三角形，等腰三角形的判定，最短路径等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关的知识与联系，适当添加辅助线是解答的关键. 42．（23-24九年级上·河南三门峡·期末）如图，已知直角三角形的铁片ABC的两直角边BC、AC的长分别为3cm和4cm，分别采用（1）、（2）两种剪法，剪出一块正方形铁片，为使所得的正方形面积最大，问哪一种剪法好？为什么？ 【答案】（1）的情形下正方形的面积大，理由见解析 【分析】求出两个正方形的边长，根据面积大的比较合理来选择． 【详解】解：（1）设正方形边长为ycm，则DE=CD=EF=CF=ycm， ∵DE∥BC， ∴， ∴， ∴； （2）． 作边上的高，交于点M． 由， 得，解得． ∵DE∥AB， ∴△CDE∽△CAB， ∴． 设正方形的边长为， 则，解得． ∵， ∴（1）的情形下正方形的面积大． 【点睛】本题考查相似三角形的应用、正方形的面积等知识，解题的关键是根据相似三角形的性质列出方程解决问题，学会转化的思想思考问题． 43．（23-24九年级下·甘肃白银·专题练习）如图，在一块三角形区域ABC中，∠C=90°，边AC=8，BC=6，现要在△ABC内建造一个矩形水池DEFG，如图的设计方案是使DE在AB上． （1）求△ABC中AB边上的高h； （2）设DG=x，当x取何值时，水池DEFG的面积最大？ （3）实际施工时，发现在AB上距B点1.85的M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为保护大树，请设计出另外的方案，使三角形区域中欲建的最大矩形水池能避开大树． 【答案】（1）4.8；（2）2.4；（3）这棵大树在最大水池的边上，方案见解析． 【分析】（1）由三角形ABC的面积可求出AB边上的高； （2）由相似三角形对应高的比等于相似比，可用含x的代数式表示GF，得到水池的面积y关于x的二次函数，由二次函数的性质，可求面积最大时x的值； （3）根据相似形可算出BE小于1.85，大树在最大水池的边上，为了避开大树，可以取三角形ABC三边中点和点C为顶点构成一个矩形，这个矩形面积也达到最大． 【详解】解：如图，（1）过点C作CI⊥AB，交GF于H，在△ABC中用勾股定理得：AB=10， ∵S△ABC=AC•BC=AB•CI， ∴×6×8=×10×CI， ∴CI=4.8； ∴△ABC中AB边上的高h=4.8； （2）∵水池是矩形， ∴GF∥AB， ∴△CGF∽△CAB， ∵CH，CI分别是△CGF和△CAB对应边上的高， ∴，即， ∴GF=10-， ∵10-＞0， ∴0＜x＜， 设水池的面积为y，则 y=x（10-）=-x2+10x， 当x==2.4时，水池的面积最大； （3）∵FE⊥AB，CI⊥AB， ∴FE∥CI， ∴△BFE∽△BCI， ∴FE：CI=BE：BI， 又∵FE=2.4，CI=4.8， 在Rt△BCI中用勾股定理可得BI=3.6， ∴BE===1.8， ∵BE=1.8＜1.85， ∴这棵大树在最大水池的边上． 为了保护这棵大树，设计方案如图： 【点睛】根据题意寻找关系式，准确列出二次函数，由函数的性质，计算出面积最大时GD的值． 44．（23-24八年级下·浙江·期末）如图1，是一张等腰直角三角形彩色纸，，将斜边上的高四等分，然后裁出3张宽度相等的长方形纸条． （1）分别求出3张长方形纸条的长度； （2）若用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边（纸条不重叠），如图2，正方形美术作品的面积最大不能超过多少（用含a的代数式表示）． 【答案】（1），，；（2） 【分析】（1）利用相似三角形的性质求出每个纸条的长； （2）将（1）中相关数据相加，易得纸片的宽度，从而计算出正方形的边长，从而计算面积即可． 【详解】解：（1）如图1，是等腰直角三角形，，是斜边上的高， ，是斜边上的中线， ， ∵将斜边上的高CD四等分， 于是纸条的宽度为：， ， ． 同理，，， 张长方形纸条的长度分别为：，，； （2）由（1）知，3张长方形纸条的总长度为． 如图2，图画的正方形的边长为：， 面积为 答：正方形美术作品的面积最大不能超过． 【点睛】此题考查了相似三角形的应用，不仅要计算出纸条的长度，还要计算出宽度，要仔细观察图形，寻找隐含条件． 【经典例题十二 相似三角形的应用综合】 45．（23-24九年级·全国·专题练习）阅读理解： 如图1，AD是△ABC的高，点E、F分别在AB和AC边上，且EFBC，可以得到以下结论：． 拓展应用： (1)如图2，在△ABC中，BC＝3，BC边上的高为4，在△ABC内放一个正方形EFGM，使其一边GM在BC上，点E、F分别在AB、AC上，则正方形EFGM的边长是多少？ (2)某葡萄酒庄欲在展厅的一面墙上，布置一个腰长为100cm，底边长为160cm的等腰三角形展台．现需将展台用隔板沿平行于底边，每间隔10cm分隔出一排，再将每一排尽可能多的分隔成若干个无盖正方体格子，要求每个正方体格子内放置一瓶葡萄酒．平面设计图如图3所示，将底边BC的长度看作是0排隔板的长度． ①在分隔的过程中发现，当正方体间的隔板厚度忽略不计时，每排的隔板长度（单位：厘米）随着排数（单位：排）的变化而变化．请完成下表： 排数/排 0 1 2 3 … 隔板长度/厘米 160 ______ ______ ______ … 若用n表示排数，y表示每排的隔板长度，试求出y与n的关系式； ②在①的条件下，请直接写出该展台最多可以摆放多少瓶葡萄酒？ 【答案】(1)正方形的边长为 (2)①，，80；yn+160；②最多可以摆放38瓶葡萄酒 【分析】（1）过点A作AD⊥BC于D，交EF于H，由，可求解； （2）①由等腰三角形的性质可得BD=80cm，由勾股定理可求AD=60cm，分别设第1、第2、第3排的隔板长为y1，y2，y3，由阅读理解的结论可列方程，即可求解． ②分别求出每排最多可以放多少葡萄酒瓶，即可求解． 【详解】（1）如图2，过点A作AD⊥BC于D，交EF于H， 由阅读理解的结论可得：， 设正方形的边长为x， ∴， ∴x， ∴正方形的边长为； （2）①如图3﹣1，过点A作AD⊥BC于D， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝CD＝80cm， ∴AD60（cm）， 分别设第1、第2、第3排的隔板长为y1，y2，y3， 由阅读理解的结论可得： 解得：y1，y2，y3＝80， 故答案为：，，80； ∴， ∴yn+160； ②当n＝1时，隔板长cm， ∴可以作正方体的个数10≈13（个）， 当n＝2时，隔板长cm， ∴可以作正方体的个数10≈10（个）， 当n＝3时，隔板长80cm， ∴可以作正方体的个数＝80÷10≈8（个）， 当n＝4时，隔板长cm， ∴可以作正方体的个数10≈5（个）， 当n＝5时，隔板长cm， ∴可以作正方体的个数10≈2（个）， 当n＝6时，隔板长0cm，可以作正方体的个数为0个， ∴第1排最多可以摆放13瓶葡萄酒，第2排最多可以摆放10瓶葡萄酒，第3排最多可以摆放8瓶葡萄酒，第4排最多可以摆放5瓶葡萄酒，第5排最多可以摆放2瓶葡萄酒，第6排最多可以摆放0瓶葡萄酒， ∴13+10+8+5+2＝38（瓶）， 综上所述：最多可以摆放38瓶葡萄酒． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，找出规律是解题的关键． 46．（23-24·湖北襄阳·一模）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P是△ABC外一点，连接BP，将线段BP绕点P逆时针旋转α得到线段PD，连接BD，CD，AP． 观察猜想： （1）如图1，当α＝60°时，的值为　　，直线CD与 AP所成的较小角的度数为　　°； 类比探究： （2）如图2，当α＝90°时，求出的值及直线CD与AP所成的较小角的度数； 拓展应用： （3）如图3，当α＝90°时，点E，F分别为AB，AC的中点，点P在线段FE的延长线上，点A，D，P三点在一条直线上，BD交PF于点G，CD交AB于点H. 若CD＝2＋，求BD的长． 【答案】（1）1，60；（2），直线CD与AP所成的较小角的度数为45°；（3）BD＝． 【分析】（1）根据α＝60°时，△ABC是等边三角形，再证明△PBA≌△DBC，即可求解，再得到直线CD与 AP所成的度数； （2）根据等腰直角三角形的性质证明△PBA∽△DBC，再得到=，再根据相似三角形的性质求出直线CD与 AP所成的度数； （3）延长CA，BD相交于点K， 根据直角三角形斜边上的中线性质及中位线定理证得∠BCD＝∠KCD，由（2）的结论求出AP的长，再利用在Rt△PBD中，设PB＝PD＝x，由勾股定理可得BD＝x＝AD，再列出方程即可求出x，故可得到BD的长． 【详解】（1）∵α＝60°，AB＝AC， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB=CB ∵将线段BP绕点P逆时针旋转α得到线段PD， ∴△BDP是等边三角形， ∴BP=BD ∵∠PBA=∠PBD-∠ABD=60°-∠ABD，∠DBC=∠ABC-∠ABD=60°-∠ABD， ∴∠PBA=∠DBC ∴△PBA≌△DBC， ∴AP=CD ∴=1 如图，延长CD交AB，AP分别于点G，H，则∠AHC为直线CD与AP所成的较小角， ∵△PBA≌△DBC ∴∠PAB=∠DCB ∵∠HGA=∠BGC ∴∠AHC＝∠ABC＝60° 故答案为：1，60； （2）解：如图，延长CD交AB，AP分别于点M，N，则∠ANC为直线CD与AP所成的较小角， ∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠ABC＝45°. 在Rt△ABC中，＝cos∠ABC＝cos45°＝. ∵PB＝PD，∠BPD＝90°， ∴∠PBD＝∠PDB＝45°. 在Rt△PBD中，＝cos∠PBD＝cos45°＝. ∴＝，∠ABC＝∠PBD.   ∴∠ABC－∠ABD＝∠PBD－∠ABD. 即∠PBA＝∠DBC. ∴△PBA∽△DBC. ∴＝＝，∠PAB＝∠DCB.   ∵∠AMN＝∠CMB，∴∠ANC＝∠ABC＝45°.   即＝，直线CD与AP所成的较小角的度数为45°. (3)延长CA，BD相交于点K，如图. ∵∠APB＝90°，E为AB的中点，∴EP＝EA＝EB. ∴∠EAP＝∠EPA，∠EBP＝∠EPB. ∵点E，F为AB，AC的中点， ∴PFBC. ∴∠AFP＝∠ACB＝∠PBD＝45°.         ∵∠BGP＝∠FGK， ∴∠BPE＝∠K. ∴∠K＝∠EBP， ∵∠EBP＝∠PEB，∠PEB=∠DBC， ∴∠K＝∠CBD. ∴CB＝CK. ∴∠BCD＝∠KCD. 由(2)知∠ADC＝∠PDB＝45°，△PBA∽△DBC， ∴∠PAB＝∠DCB. ∴∠BDC＝180°－45°－45°＝90°＝∠BAC. ∵∠BHD＝∠CHA， ∴∠DBA＝∠DCA. ∴∠DBA＝∠PAB. ∴AD＝BD. 由(2)知DC＝AP， ∴AP＝. 在Rt△PBD中，PB＝PD＝x，由勾股定理可得BD＝=x＝AD. ∴AD＋PD＝x＋x＝AP＝1＋. ∴x＝1. ∴BD＝． 【点睛】此题主要考查四边形综合，解题的关键熟知旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及解直角三角形的方法． 47．（23-24·辽宁鞍山·一模）（1）证明推断：如图（1），在正方形中，点，分别在边，上，于点，点，分别在边，上，．求证：； （2）类比探究：如图（2），在矩形中，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点．试探究与之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展应用：在（2）的条件下，连接，若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；见解析；（3） 【分析】（1）先△ABE≌△DAQ，可得AE＝DQ;再证明四边形DQFG是平行四边形即可解决问题； （2）如图2中，作GM⊥AB于M．然后证明△ABE∽△GMF即可解决问题； （3）如图3中，作PM⊥BC交BC的延长线于M．利用相似三角形的性质求出PM，CM即可解决问题． 【详解】（1）如图（1），∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAQ． ∴∠QAO+∠OAD＝90°． ∵AE⊥DQ， ∴∠ADO+∠OAD＝90°． ∴∠QAO＝∠ADO． ∴△ABE≌△DAQ（ASA）， ∴AE＝DQ． ∵四边形ABCD是正方形，AE⊥DQ，AE⊥GF， ∴DG∥QF，DQ∥GF， ∴四边形DQFG是平行四边形， ∴DQ=GF， ∴FG=AE； （2）． 理由：如图（2）中，作GM⊥AB于M． ∵AE⊥GF， ∴∠AOF＝∠GMF＝∠ABE＝90°， ∴∠BAE+∠AFO＝90°，∠AFO+∠FGM＝90°， ∴∠BAE＝∠FGM， ∴△ABE∽△GMF， ∴GF：AE＝GM：AB， ∵∠AMG＝∠D＝∠DAM＝90°， ∴四边形AMGD是矩形， ∴GM＝AD， ∴GF：AE＝AD：AB， ∵四边形ABCD是矩形， ∴BC＝AD， ∴GF：AE＝BC：AB， ∵， ∴． （3）解：如图（3）中，作PM⊥BC交BC的延长线于M． 由BE：BF＝3：4 ，设BE＝3k，BF＝4k，则EF＝AF＝5k， ∵，， ∴AE＝， 在直角三角形ABE中，根据勾股定理，得， ∴ ∴k＝1或﹣1（舍去）， ∴BE＝3，AB＝9， ∵BC：AB＝2：3， ∴BC＝6， ∴BE＝CE＝3，AD＝PE＝BC＝6， ∵∠EBF＝∠FEP＝∠PME＝90°， ∴∠FEB+∠PEM＝90°，∠PEM+∠EPM＝90°， ∴∠FEB＝∠EPM， ∴△FBE∽△EMP， ∴， ∴， ∴EM＝ ，PM＝ ， ∴CM＝EM﹣EC＝﹣3＝， ∴PC＝=． 【点睛】本题考查了正方形、矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，是解题的关键． 48．（23-24九年级上·江西抚州·阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为12，其内部有一个小正方形EFGH，其中E、F、H分别在BC、CD、AE上． （1）若BE=9，小正方形EFGH的边长固定不变，当小正方形 EFGH沿EA平移到使得点G落在AD上时停止运动，求平移的距离． （2）若BE=x，是否存在x的值使得小正方形EFGH的顶点F恰好是CD 的中点？ 【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析． 【分析】（1）先根据勾股定理可以求出AE的长度，证明△ABE∽△ECF，可以求出EF的长度，设正方形平EFGH移后得正方形，由△ABE∽△可以求出的长度，故用AE减去EF再减去即可求出平移的距离； （2）根据△ABE∽△ECF，可以得到，代如数据求解，发现无解，故不存在x，即可解决． 【详解】解：(1) AE= ∵∠AEB+∠FEC=90°，∠FEC+∠EFC=90° ∴∠AEB=∠EFC ∵∠B=∠C=90° ∴△ABE∽△ECF ∴  即 ∴EF= 正方形平EFGH移后得正方形，如图所示： ∵AD//BC ∴∠=∠AEB ∵∠B=∠ ∴△ABE∽△ ∴ , 即 ∴ ∴ ∴平移距离为 (2)不存在，理由： 由（1）得△ABE∽△ECF，,  即 化简得，△=＜0， ∴不存在． 【点睛】本题主要考查了相似，熟悉图像运动后成的图形以及熟练的由相似列出比例式求解出线段长度是解决本题的关键． 1．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，在河两岸分别有，两村，现测得，，在一条直线上，，，在一条直线上，，米，米， 米，则，两村间的距离为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的应用举例，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．由证得，利用相似三角形的对应线段成比例即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ，即， ∵米，米， 米， ∴， 解得（米）， 故选：D． 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图为步枪在瞄准时的示意图，，从眼睛O到准星的距离为，眼睛到目标F的距离为，步枪上准星宽度为，若射击时，由于抖动导致视线偏离了准星上E点，则目标偏离的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形判定与性质，掌握相似三角形判定与性质是解题关键． 由题意可知目标偏离的距离为或，且，根据，得出，得出，即，求出，继而求出即可． 【详解】解：依题意得：由题意可知目标偏离的距离为或，且 ，， ∵， ∴， ∴，即， ∴． ∴ 故选：A． 3．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图是一个常见的铁夹的剖面图，，表示铁夹的剖面的两条边，点是转动轴的位置，，垂足为，，，，且铁夹的剖面图是轴对称图形，则，两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，连接，延长交于，由勾股定理得出，根据轴对称的性质得出，，证明，由相似三角形的性质计算即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，延长交于， ， 在中，， ∵铁夹的剖面图是轴对称图形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， 故选：A． 4．（23-24九年级下·山东烟台·期末）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门一百步立一表，出西门二百二十五步适可见之，问邑方几何？”它的意思是：如图，M，N分别是正方形的边，的中点，，，过点A，且步，步，那么该正方形城邑边长约为（    ）步． A．300 B．250 C．225 D．150 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形解实际应用题，读懂题意，熟练应用相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．由题意可知，根据相似三角形性质得到，设，由分别是正方形的边的中点可知，则，解得，从而得到正方形城邑边长步． 【详解】解：，， ， 正方形中，，过点， ，则， ， ， 分别是正方形的边的中点，设， ， 步，步， ，即，解得负舍去值， 正方形城邑边长步， 故选：A． 5．（2024·湖南长沙·二模）如图，课后服务课上，刘老师让王刚同学站在点处去观测外的位于点处的一棵大树（），所用工具为一个平面镜和必要的长度测量工具（、、在一直线上）．已知王刚身高（），大树高，将平面镜放置在离王刚（    ）处才能观测到大树的顶端．    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的应用，证明，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得：，，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴将平面镜放置在离王刚处才能观测到大树的顶端． 故选：B． 6．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，一朵小花到照相机镜头的距离为，镜头到传感器的距离为．若小花高，则小花在传感器上的高度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的应用是解题的关键． 根据小花的高度与长的比等于小花在传感器上的高度与长的比求解作答即可． 【详解】解：设小花在传感器上的高度为， 依题意得，， 解得，， 故答案为：． 7．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为 米． 【答案】7 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与应用，证得是解题的关键．先证明，再根据相似三角形的性质列比例式求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， （米）， 故答案为：7． 8．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔米有一棵树，在北岸边每隔米有一根电线杆，小丽站在离南岸边米的点处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有两棵树，则河宽为 米． 【答案】38 【分析】本题考查相似三角形的应用举例，利用比例性质可解决问题．过P作于F，延长交于E，由已知得米，米，米，由，，得到，，利用相似比等于对应高的比，可知，求出，再由即可求解． 【详解】解：如图所示，过P作于F，延长交于E， 由已知得米，米，米， ，， ， ，即， ， 米， 则河宽为38米． 故答案为：38． 9．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如图，，为两路灯，身高均为的小明、小亮站在两路灯之间，两人相距，小明站在处，小亮站在处，小明在路灯下的影长为，路灯高，则路灯的高为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了相似三角形的应用，先证明，求出、，再证明，即可得出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：． 10．（2024·浙江湖州·模拟预测）土圭之法是在平台中央竖立一根尺长的杆子，观察杆子的日影长度，古代的人们发现，夏至时日影最短，冬至日影最长，这样通过日影的长度得到夏至和冬至，确定了四季，如图，利用土圭之法记录了两个时刻杆的影长，发现第一时刻光线与杆的夹角和第二时刻光线与地面的夹角相等，测得第一时刻的影长为尺，则第二时刻的影长为 尺 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的应用，由，得，知，故（尺），即第二时刻的影长为尺． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 根据题意得：尺，尺， ∴（尺）； ∴第二时刻的影长为尺； 故答案为：． 11．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，小张所在的数学小组想测量教学楼正后方水塔的高度．当小张站在与教学楼和水塔在同一直线的点处时，刚好看到教学楼顶端与水塔顶端在一条直线上，此时他与教学楼的距离为．已知教学楼的高为，小张的眼睛到地面的距离为．求水塔的高度． 【答案】水塔的高度为 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，先过作，交于点交于点，可以构造矩形，利用平行线分线段成比例定理的推论易得，再利用比例线段，可求，进而可求即可． 【详解】解：如图，过作，交于点交于点， 结合题意知，，，，，则， ∵， ， ， ∴， ， ， 所以水塔的高度为． 12．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）学习了投影和相似的相关知识后，瑶瑶想测量操场边路灯的高度，如图，灯泡A处的灯光照在水平放置的单杠上，在地面上留下影子，经测量得知，单杠长米，影子米，单杠高米．已知，，，点B、M、E、N、F在同一水平直线上． (1)请你在图中画出点F的位置；（保留画图痕迹） (2)请你求出路灯的高度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，灵活运用相似三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）如图：连接并延长交延长线于F，即可确定点F的位置； （2）先证明，根据相似三角形的性质可得，再证明得到，最后代入数据求得的长即可． 【详解】（1）解：点F的位置如图所示． （2）解：由题意得：， ，， ， ， ． ，， ， ，即， ，即路灯的高度为． 13．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）图I是大拇指广场示意图及测量其高度的方案，图II是求大拇指高度的示意图．如图II，在C处放置一根高度为且与地平线垂直的竹竿，点A，I，D在同一直线上，测得为．将竹竿平移至E处，点A，G，F在同一直线上，测得为．求大拇指的高度． 【答案】大拇指的高度为 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 分别证明、可得、，进而得到可得；最后将代入求得的值即可解答． 【详解】解：由题意可得：， ∴． ∴． 由题意可得：， ∴． ∴． ∵， ∴， 即，解得：． 将代入， 得，解得． ∴大拇指的高度为． 14．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）在学完利用相似三角形测高后，我校九年级数学兴趣小组准备去测量大雁塔的高度．测量方案如下：如图，首先，小辉站在处，位于点正前方米点处有一平面镜，通过平面镜小辉刚好看到大雁塔的顶端的像，此时测得小辉的眼睛到地面的距离为米；然后，小刚在处竖立了一根高米的标杆，发现地面上的点、标杆顶点和塔顶在一条直线上，此时测得为米，为米，已知，，，点、、、、在一条直线上，请根据以上所测数据，计算大雁塔的高度．（平面镜大小厚度忽略不计） 【答案】米 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，根据题意，可证，设，可得，再证，即可求解． 【详解】解：已知，，，点、、、、在一条直线上， ∴， 根据题意，米，米，米，米，米， ∵位于点正前方米点处有一平面镜，通过平面镜小辉刚好看到大雁塔的顶端的像， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，且， ∴， 解得，， ∴大雁塔的高度米． 15．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）【学科融合】如图，在光的反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角等于入射角，这就是光的反射定律． 【问题解决】如图，小波和小海很想知道学校教学楼前雕像的高度（含底座），于是，他们带着测量工具来到雕像前进行测量，测量方案如下：如图，首先，小波在处放置一平面镜，他从点沿后退，当退行米到处时，恰好在镜子中看到雕像顶端的像，此时测得小波眼睛到地面的距离为米；然后，小波沿的延长线继续后退到点，用测倾器测得雕像的顶端的仰角为，此时，测得米，测倾器的高度米．已知点、、、在同一水平直线上，且、、均垂直于（光的反射角等于入射角）． (1)求证：； (2)求雕像的高度． 【答案】(1)证明见解析； (2)米． 【分析】（）如图，作出法线，可得，即可证明； （）由题意可得四边形、、都为矩形，即得米，米，，又由可得为等腰直角三角形，可得，进而得，设米，则米，米，由得，求出即可求解； 本题考查了相似三角形的应用，等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图，作出法线，则，， ∴， ∴， 即， ∵、均垂直于， ∴， ∴； （2）解：∵、、均垂直于， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形、、都为矩形， ∴米，米，， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴ 设米，则米，米， ∵， ∴， 即， 解得， ∴米， 答：雕像的高度为米． 学科网（北京）股份有限公司 $$