第21讲 一次函数与二元一次方程（1个知识点+4种题型+分层练习） -2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版）

第21讲 一次函数与二元一次方程（1个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点．一次函数与二元一次方程（组） （1）一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y＝kx+b确定它与x轴交点的横坐标值． （2）二元一次方程（组）与一次函数的关系 （3）一次函数和二元一次方程（组）的关系在实际问题中的应用：要准确的将条件转化为二元一次方程（组），注意自变量取值范围要符合实际意义． 题型强化 题型一．一次函数与二元一次方程（组） 1．（2023秋•雁塔区校级月考）如图，直线与交点的横坐标为1，若与轴的所夹角为，则方程组解为　　 A． B． C． D．无解 2．（2020秋•宝应县期末）已知关于、的二元一次方程组的解是，则一次函数和的图象交点坐标为　　． 3．（2023春•大余县期末）在平面直角坐标系中，对于与原点不重合的两个点和，关于，的方程称为点的“映射方程”．若是方程的解，则称点 “映射”了点，也可以说点被点 “映射”．例如，点的“映射方程”是，且是该方程的解，则点 “映射”了点，也可以说点被点 “映射”． （1）请写出点的“映射方程”：　 　； （2）若点同时被点和点 “映射”，请求出，． 题型二、两直线的交点与二元一次方程组的解 4．（23-24八年级上·江苏南京·期末）如图，一次函数的图像与的图像相交于点，则关于，的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，直线与直线相交于点，则关于x，y的方程组的解为 . 6．（23-24八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，直线交y轴于点． (1)求直线的解析式； (2)若点在轴上，当的面积为6时，求点的坐标． 题型三、图象法解二元一次方程组 7．（20-21八年级上·期末）如图直线与直线都经过点，则方程组，的解是（    ） A． B． C． D． 8．（21-22八年级上·江苏泰州·期末）若直线与直线的交点坐标为，则直线与直线的交点坐标为 ． 9．（八年级上·江苏盐城·期末）用图象法解下列二元一次方程组： （1） （2） 题型四、求直线围成的图形面积 10．（八年级上·江苏泰州·阶段练习）已知直线，它与坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A．6 B．10 C．25 D．30 11．（21-22八年级上·江苏泰州·阶段练习）若点A（8，0），B（0，n），且直线AB与坐标轴围成的三角形面积为12，则n＝ ． 12．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）如图，函数和的图象相交于点． (1)求m，a的值； (2)根据图象，求的面积． 分层练习 一、单选题 1．已知正比例函数，当自变量的值减小时，函数的值增大，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．直线与直线的交点为（    ） A． B． C． D． 3．直线（k，b是常数）与直线（m为常数）相交于点，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 4．两个一次函数和的交点坐标为，那么下列方程组中，解为的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，函数和的图像交于点，则根据图像可得，关于、的二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 6．如图，已知一次函数y＝x+1和一次函数y＝ax+3图象交于点P，点P的横坐标为1，那么方程y＝x+1和方程y＝ax+3的公共解为（　　） A． B． C． D． 7．如图，已知函数和的图象交于点P，则二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 8．如图，已知直线与相交于点P（﹣1，1），则关于x的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 9．如图，一次函数与图象的交点坐标是，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 10．图中两直线L1，L2的交点坐标可以看作方程组(   )的解． A． B． C． D． 二、填空题 11．直线与的交点在 象限． 12．若方程组的解为，那么函数与的交点坐标为 ． 13．已知直线与的交点的坐标为，则方程组的解是 ． 14．若一次函数、的图象相交于，则关于、的方程组的解为 ． 15．将直线的图象向上平移2个单位长度，将直线向右平移1个单位长度，则平移后的两直线的交点坐标为 ． 16．如图，一次函数的图象与一次函数的图象相交于点P，则方程组的解为 ． 17．两个一次函数的表达式分别为与，且，与的图象交于点，求 ． 18．已知一次函数与（为常数，）的图像交点坐标为，则二元一次方程组的解是 ． 三、解答题 19． 一次函数图象与y轴交于点B（0，3），且图象过点（－3，－3） （1）求一次函数关系式； （2）画出该函数的图象； （3）一次函数图象与x轴的交点为A，求出△ABO的面积． 20．已知直线与直线的交点坐标为， (1)试确定方程组的解． (2)直接写出方程组的解． 21．设一次函数y1＝kx﹣2k（k是常数，且k≠0）． （1）若函数y1的图象经过点(﹣1，5)，求函数y1的表达式． （2）已知点P(x1，m)和Q(﹣3，n)在函数y1的图象上，若m＞n，求x1的取值范围． （3）若一次函数y2＝ax+b（a≠0）的图象与y1的图象始终经过同一定点，探究实数a，b满足的关系式． 22．在平面直角坐标系中，直线与直线交于点P， (1)无论m取何值，直线都过某定点，求该定点的坐标； (2)①求证：； ②设直线过定点A，直线过定点B，求线段的最大值． 23．甲、乙两车在连通A、B、C三地的公路上行驶，甲车从A地出发匀速向C地行驶，同时乙车从C地出发匀速向B地行驶，到达B地并在B地停留半小时后，按原路原速返回到C地．在两车行驶的过程中，甲、乙两车距B地的路程y（千米）（小时）之间的函数图象如图所示，请结合图象回答下列问题： (1)求甲、乙两车的速度； (2)求乙车从B地返回的C地的过程中，y与x之间的函数关系式； (3)当甲、乙两车行驶到距离B地的路程相等时，行驶时间x是多少？（请直接写出x的值） 24．为更好地开展第二课堂，丰富学校兴趣社团活动内容，某校增设了篆刻兴趣社团现计划购进一批篆刻石料，已知两个商家的标价相同，但甲商家提出：若购买一张会员卡则每块石料打七折；乙商家提出：每块石料按标价的九折出售．设购买篆刻石料的数量为x（块），甲商家所需费用；乙商家所需费用，．其函数图象如图所示，请根据图象回答下列问题． (1)甲商家一张会员卡的价格为______元，篆刻石料的标价为______元，______． (2)两个函数图象交于点A，则点A的坐标为______，该点所表示的实际意义是______； (3)若学校准备买40块石料，则选择哪个商家比较合算？请说明理由． (4)若本次购买石料的经费有800元，则选择哪个商家购买的石料数量会更多？ 25．研学旅行继承和发展了我国传统游学，“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式，提升了中小学生的自理能力，创新精神和实践能力．某校组织甲、乙两班学生分别乘坐两辆校车从学校出发，前往300km外的红色革命圣地﹣﹣延安，开展“传承红色基因 争做时代新人”研学旅行，已知乙班比甲班晚出发1.5h，且乙班以80km/h的速度行驶了1h后，提高了速度，并以提高后的速度匀速行驶至终点．如图，线段表示甲班离学校的距离y甲（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系；折线表示乙班离学校的距离y乙（km）与甲班行驶时间x（h）之间的函数关系，请根据图象解答下列问题：    (1)图中__________，______； (2)求线段所在直线的函数表达式； (3)乙班出发多久后追上甲班？此时两班距离延安有多远？ 26．“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某市书吧规定每次去书吧阅读的费用为元．现决定面向社会并提供优惠活动，活动方案如下． 方案一：办理会员卡（会员卡花费元），每次阅读的费用按六折优惠． 方案二：未办理会员卡，每次阅读的费用按九折优惠． (1)分别写出这两种方案中阅读的费用与阅读的次数之间的函数关系式． (2)这两种方案中阅读的费用与阅读的次数的关系图象如图所示，请求出点的坐标，并说明点所表示的实际意义． (3)小东同学计划在暑假期间去书吧阅读次，通过计算说明他选择哪种方案花费更少. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第21讲 一次函数与二元一次方程（1个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点．一次函数与二元一次方程（组） （1）一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y＝kx+b确定它与x轴交点的横坐标值． （2）二元一次方程（组）与一次函数的关系 （3）一次函数和二元一次方程（组）的关系在实际问题中的应用：要准确的将条件转化为二元一次方程（组），注意自变量取值范围要符合实际意义． 题型强化 题型一．一次函数与二元一次方程（组） 1．（2023秋•雁塔区校级月考）如图，直线与交点的横坐标为1，若与轴的所夹角为，则方程组解为　　 A． B． C． D．无解 【分析】先求出交点纵坐标再根据一次函数与二元一次方程组的关系求解即可． 【解答】解：如图， 对于，当时，， ，， ， ， ， ， ， ， 把，代入得，， 解得，， 方程组可变形为， 此时，方程组无解， 故选：． 【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，一次函数的性质，解题的关键是掌握一次函数与二元一次方程组的关系． 2．（2020秋•宝应县期末）已知关于、的二元一次方程组的解是，则一次函数和的图象交点坐标为　　． 【分析】根据方程组是由两个函数的解析式所构成，因此方程组的解即为两函数的交点坐标． 【解答】解：根据题意可知： ，同时满足两个一次函数的解析式． 则一次函数和的图象交点坐标为． 故答案为：． 【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 3．（2023春•大余县期末）在平面直角坐标系中，对于与原点不重合的两个点和，关于，的方程称为点的“映射方程”．若是方程的解，则称点 “映射”了点，也可以说点被点 “映射”．例如，点的“映射方程”是，且是该方程的解，则点 “映射”了点，也可以说点被点 “映射”． （1）请写出点的“映射方程”：　 　； （2）若点同时被点和点 “映射”，请求出，． 【分析】（1）根据“映射方程”概念可得答案； （2）根据“映射方程”概念得出方程组，解方程组即可得答案． 【解答】解：（1）根据“映射方程”概念可知点的“映射方程”： ； 故答案为：； （2）根据“映射方程”概念可列方程组：， ． 【点评】本题考查一次函数和二元一次方程组，掌握新概念是解题关键． 题型二、两直线的交点与二元一次方程组的解 4．（23-24八年级上·江苏南京·期末）如图，一次函数的图像与的图像相交于点，则关于，的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，两直线的交点坐标即为对应二元一次方程组的解，据此即可求解． 【详解】解：关于，的方程组可化为： 故一次函数的图像与的图像的交点坐标即为方程组的解， 将代入得：， ∴ 故关于，的方程组的解是 故选：B 5．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，直线与直线相交于点，则关于x，y的方程组的解为 . 【答案】 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了二元一次方程组与一次函数的关系，首先利用待定系数法求出的值，进而得到点坐标即可，解题的关键是掌握两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次方程组的解． 【详解】解：直线与直线相交于点， 方程组的解为， 故答案为：． 6．（23-24八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，直线交y轴于点． (1)求直线的解析式； (2)若点在轴上，当的面积为6时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解、数轴上两点之间的距离、几何问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式 【分析】（1）由直线求得点的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线的解析式； （2）由直线求得点的坐标，然后利用三角形面积公式求得，进一步即可求得点的坐标． 【详解】（1）解：直线与直线交于点， ， ， 把，代入得，解得， 直线的解析式为； （2）解：令，则，解得， ， 点在轴上，的面积为6，， ，即， ，即，解得或， 或． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，三角形面积求交点坐标，利用数形结合是解题的关键． 题型三、图象法解二元一次方程组 7．（20-21八年级上·期末）如图直线与直线都经过点，则方程组，的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】图象法解二元一次方程组 【分析】根据方程组的解即为直线与直线的交点坐标进行求解即可． 【详解】解：∵直线与直线都经过点 ∴方程组的解是：． 故选择：D． 【点睛】本题考查了对一次函数与二元一次方程组的关系的理解和运用，题目比较典型，但是比较容易出错，正确理解“方程组的解即为直线与直线的交点坐标”是解题的关键． 8．（21-22八年级上·江苏泰州·期末）若直线与直线的交点坐标为，则直线与直线的交点坐标为 ． 【答案】(3，5) 【知识点】几何问题(一次函数的实际应用)、图象法解二元一次方程组、两直线的交点与二元一次方程组的解、一次函数图象平移问题 【分析】观察直线的解析式，得到直线l1与直线l2分别向右平移4个单位，再向上平移3个单位得到直线l3与直线l4，故直线l3与直线l4的交点坐标为点(-1， 2)向右平移4个单位，再向上平移3个单位对应的点的坐标． 【详解】解：直线l1： y= kx +b(k≠0)与直线l2：y= 8x+t(s≠0)分别向右平移4个单位，再向上平移3个单位得到 直线l3：y=k(x-4)+b+ 3(k≠0)与直线l4：y=s(x-4)+t+3(s≠0)， ∵直线l1： y= kx+ b(k≠0)与直线l2：y= sx+ t(s≠0)的交点坐标为(-1，2)， ∴直线l3： y=k(x-4)+b+3(k≠0)与直线l4： y= s(x-4)+t+ 3(s≠0)的交点坐标为(-1 +4，2+3)，即(3， 5)， 故答案为(3， 5)． 【点睛】本题考查两条直线相交或平行问题，明确直线l1： y= kx +b(k≠0)与直线l2：y= 8x+t(s≠0)分别向右平移4个单位，再向上平移3个单位得到直线l3：y= k(x-4)+b+3(k≠0)与直线l4：y= s(x-4)+t+ 3(s≠0)是解题的关键． 9．（八年级上·江苏盐城·期末）用图象法解下列二元一次方程组： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【知识点】图象法解二元一次方程组 【详解】试题分析：先把各个方程化成一次函数的形式，再作出对应的函数图象，即可得到结果. （1）由得 由得 如图，在同一直角坐标系中，画出一次函数和的图象，它们的交点坐标为（1，3） 所以原二元一次方程组的解为； （2）由得 由得 如图，在同一直角坐标系中，画出一次函数和的图象，它们的交点坐标为（2，-2） 所以原二元一次方程组的解为. 考点：图象法解二元一次方程组 点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握图象法解二元一次方程组的一般步骤，即可完成． 题型四、求直线围成的图形面积 10．（八年级上·江苏泰州·阶段练习）已知直线，它与坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A．6 B．10 C．25 D．30 【答案】D 【知识点】求直线围成的图形面积 【详解】试题分析：首先求出图象与坐标轴的交点，进而求出直线与坐标轴围成的面积． 解：∵当y=0时，x=10； 当x=0时，y=6， ∴直线与坐标轴的交点分别为（10，0），（0，6）． 故直线与坐标轴围成的面积为：×10×6=30． 故选D． 11．（21-22八年级上·江苏泰州·阶段练习）若点A（8，0），B（0，n），且直线AB与坐标轴围成的三角形面积为12，则n＝ ． 【答案】±3 【知识点】求直线围成的图形面积 【分析】先分别求出点A、点B到坐标轴的距离即OA、OB，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵点A（８，0），B（0，n）， ∴OA=8，OB=｜n｜， ∵直线AB与坐标轴围成的三角形面积等于12， ∴×8×｜n｜=12， 解得：n=±3， 故答案为：±3． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质、三角形的面积公式，熟练掌握坐标与图形的性质，会利用点的坐标求图形的面积的方法是解答的关键． 12．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）如图，函数和的图象相交于点． (1)求m，a的值； (2)根据图象，求的面积． 【答案】(1)； (2)9． 【知识点】求直线围成的图形面积、求一次函数解析式 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数表达式的方法，坐标与图形面积． （1）把代入可得的值，再把的坐标代入可得的值，从而可得答案； （2）先求解的坐标，再利用三角形的面积公式计算即可； 【详解】（1）解：把代入得，， 解得：， ∴点的坐标为， ∵函数的图象经过点， ∴， 解得：； （2）解：∵一次函数为， 当时，则， ∴， ∴； 分层练习 一、单选题 1．已知正比例函数，当自变量的值减小时，函数的值增大，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据自变量的值减小时，函数的值增大列出关系式，结合已知函数关系式可得答案． 【详解】解： 正比例函数，当自变量的值减小时，函数的值增大， 故选D． 【点睛】本题考查的是一次函数的性质，以及一次函数与二元一次方程的关系，掌握一次函数与方程的联系是解题的关键． 2．直线与直线的交点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立两直线的解析式求解即可． 【详解】解：由题意得： ，解得 则直线与直线的交点为． 故答案为B． 【点睛】本题主要考查了直线的交点坐标，掌握直线交点的坐标即为两直线解析式组成方程组的解． 3．直线（k，b是常数）与直线（m为常数）相交于点，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程的关系，熟练掌握两条直线的交点坐标与二元一次方程解的关系是解题的关键．根据一次函数与二元一次方程组的关系可知，方程组的解对应两个一次函数的交点坐标，从而可写出方程组的解． 【详解】解：直线（k，b是常数）与直线（m为常数）相交于点， 方程组的解为， 故选：C． 4．两个一次函数和的交点坐标为，那么下列方程组中，解为的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握一次函数与二元一次方程组的关系是解题的关键．由于函数图像交点坐标为两个函数解析式组成的方程的解，因此联立两函数解析式即可得到答案． 【详解】解：由于一次函数和的交点坐标为， 是方程组的解， 即是方程组的解， 故选D． 5．如图，函数和的图像交于点，则根据图像可得，关于、的二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数图像交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解求解． 【详解】解：∵函数和的图像交于点， ∴方程组的解为， 即方程组的解为， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了函数解析式与图像的关系，满足解析式的点就在函数的图像上，在函数的图像上的点，就一定满足函数解析式．函数图像交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 6．如图，已知一次函数y＝x+1和一次函数y＝ax+3图象交于点P，点P的横坐标为1，那么方程y＝x+1和方程y＝ax+3的公共解为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用y＝x+1确定交点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解． 【详解】解：把x＝1时，代入y＝x+1，得出y＝2，即两直线的交点坐标P为（1，2），即x＝1，y＝2同时满足两个一次函数的解析式． 所以关于x，y的方程组的解为 故选B． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标. 7．如图，已知函数和的图象交于点P，则二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组，根据两函数图象的交点坐标就是两函数解析式组成的方程组的解即可求解，理解两函数图象交点坐标即为两函数解析式组成的方程组的解是解题的关键． 【详解】解：∵函数和的图象交点P的坐标为， ∴二元一次方程组的解为， 故选：B． 8．如图，已知直线与相交于点P（﹣1，1），则关于x的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程组与函数的关系求解． 【详解】解：方程组的解就是直线与的交点坐标，即P（-1，1）， ∴方程组的解是． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 9．如图，一次函数与图象的交点坐标是，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“从图形的角度看，确定两条直线交点的坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解”即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数y＝x＋1与y＝2x−1图象的交点是（2，3）， ∴方程组的解为． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了图象法解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解与相应的两个函数图象的交点坐标之间的关系是解题的关键． 10．图中两直线L1，L2的交点坐标可以看作方程组(   )的解． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】分析： 根据图中信息分别求出直线l1和l2的解析式即可作出判断. 详解： 设直线l1和l2的解析式分别为，根据图中信息可得： ， ， 解得： ，， ∴l1和l2的解析式分别为，即，， ∴直线l1和l2的交点坐标可以看作方程 的交点坐标. 故选B. 点睛：根据图象中的信息由待定系数法求得直线l1和l2的解析式是解答本题的关键. 二、填空题 11．直线与的交点在 象限． 【答案】第二 【分析】本题考查了两直线相交的问题，联立直线解析式求交点坐标是常用的方法，要熟练掌握并灵活运用．联立两直线解析式，解关于x、y的二元一次方程组，再根据各象限内点的坐标特征解答． 【详解】解：联立， 解得， 所以，交点坐标为在第二象限． 故答案为：第二． 12．若方程组的解为，那么函数与的交点坐标为 ． 【答案】. 【详解】试题分析：两个一次函数图象的交点坐标即是这两个解析式构成的方程组的解，所以函数与的交点坐标为. 考点：一次函数与方程组的关系. 13．已知直线与的交点的坐标为，则方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组．根据两条直线的交点坐标就是联立两个一次函数解析式所组方程组的解，即可直接得到答案． 【详解】解：∵直线与直线的交点坐标是， ∴方程组即的解是， 故答案为：． 14．若一次函数、的图象相交于，则关于、的方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解的关系，熟练掌握两个一次函数的交点坐标即为两个函数所组方程组的解是解题的关键． 根据一次函数、的图象相交于，因此点坐标，必为两函数解析式所组方程组的解． 【详解】解：∵一次函数、的图象相交于， ∴方程组的解为． 故答案为：． 15．将直线的图象向上平移2个单位长度，将直线向右平移1个单位长度，则平移后的两直线的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数函数图象的平移问题，一次函数函数图象的交点坐标与一元二次方程组的解．根据一次函数函数图象的规律可得平移后的两直线的解析式，再联立两函数解析式，即可求解． 【详解】解：∵将直线的图象向上平移2个单位长度，将直线向右平移1个单位长度， ∴平移后的两直线的解析式分别为，， 联立得：， 解得：， ∴平移后的两直线的交点坐标为． 故答案为： 16．如图，一次函数的图象与一次函数的图象相交于点P，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的交点坐标与二元一次方程组之间的关系，求两个一次函数的交点坐标就是将它们联立组成一个二元一次方程组求解即可． 由图象可知点既在一次函数的图象上，也在一次函数的图象上，因此点的坐标是方程组的解，所以把代入一次函数的解析式中求出a的值即可． 【详解】解：依题意，得：， 解得：， ∴方程组的解是． ∴方程组的解是． 故答案为：． 17．两个一次函数的表达式分别为与，且，与的图象交于点，求 ． 【答案】36 【分析】本题考查了一次函数图象交点坐标与方程组解的关系：对于函数，，其图象的交点坐标中x，y的值是方程组的解．把分别代入与得，两式相乘得，再把代入即可求解． 【详解】解：∵与的图象交于点， ∴， ∴， ，得 ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：36． 18．已知一次函数与（为常数，）的图像交点坐标为，则二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【分析】根据二元一次方程组的解即为一次函数与图像的交点坐标，即可解答． 【详解】解：二元一次方程组的解即为一次函数与图像的交点坐标， 所以二元一次方程组的解是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组，熟练掌握和运用一次函数与二元一次方程组的关系是解决本题的关键． 三、解答题 19． 一次函数图象与y轴交于点B（0，3），且图象过点（－3，－3） （1）求一次函数关系式； （2）画出该函数的图象； （3）一次函数图象与x轴的交点为A，求出△ABO的面积． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据待定系数法求一次函数解析式即可； （2）根据解析式画出函数图形即可； （3）根据三角形面积计算公式计算即可． 【详解】解：（1）设一次函数解析式为：， ∵一次函数图象与y轴交于点B（0，3），且图象过点（－3，－3）， ∴，解得， ∴一次函数的解析式为：； （2）一次函数的图像如下： （3）当时，，解得， ∴点， ∴， ∵点B（0，3）， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，画一次函数图像，一次函数与坐标轴交点问题，熟练掌握一次函数图像的基本性质是解本题的关键． 20．已知直线与直线的交点坐标为， (1)试确定方程组的解． (2)直接写出方程组的解． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系． （1）根据方程组的解就是交点坐标写出即可． （2）根据中心对称的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：∵直线与直线的交点坐标为， ∴方程组的解为； （2）解：如图，直线与直线的交点与点关于原点对称， ∴方程组的解为． 21．设一次函数y1＝kx﹣2k（k是常数，且k≠0）． （1）若函数y1的图象经过点(﹣1，5)，求函数y1的表达式． （2）已知点P(x1，m)和Q(﹣3，n)在函数y1的图象上，若m＞n，求x1的取值范围． （3）若一次函数y2＝ax+b（a≠0）的图象与y1的图象始终经过同一定点，探究实数a，b满足的关系式． 【答案】（1）；（2）当k＜0时，x1＜﹣3；当k＞0时，x1＞﹣3；（3）2a+b＝0． 【分析】（1）将点（﹣1，5）代入y1＝kx﹣2k，求得k值，即可得出函数解析式； （2）根据一次函数的性质，由k值判断函数自变量的大小，即可得出结论； （3）根据一次函数y1＝kx﹣2k得y1＝k（x﹣2），可得函数图象经过的定点为（2，0），再将定点坐标代入y2＝ax+b即可求出实数a，b满足的关系式． 【详解】解：（1）∵函数y1的图象经过点（﹣1，5）， ∴5＝﹣k﹣2k， 解得k＝， 函数y1的表达式； （2）当k＜0时，若m＞n，则x1＜﹣3； 当k＞0时，若m＞n，则x1＞﹣3； （3）∵y1＝kx﹣2k＝k（x﹣2）， ∴函数y1的图象经过定点（2，0）， 当y2＝ax+b经过（2，0）时，0＝2a+b，即2a+b＝0． 【点睛】本题考查了一次函数图象与性质，掌握一次函数的图象与性质并能准确理解题意进行解答是解题的关键． 22．在平面直角坐标系中，直线与直线交于点P， (1)无论m取何值，直线都过某定点，求该定点的坐标； (2)①求证：； ②设直线过定点A，直线过定点B，求线段的最大值． 【答案】(1)（1，3） (2)①见解析；②8 【分析】（1）由y=mx-m+3可变形为m(x-1)+(3-y)=0知x=1时y=3，从而得出答案； （2）①当m<0时，先求出与x轴和y轴的交点B和C的坐标，运用勾股定理求出BC的长，再求出BC边上的高OG，联立方程组，求出直线l1和l2的交点P，求出OG的长判断OG=OP，从而可得结论；②根据，可得，进一步 可得结论． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∵直线都过某定点， ∴ ∴ ∴直线恒过点（1，3） （2）①当时，如图，设直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，过O作OG⊥BC于点G， 对于，令则即， 令则 ∴ 由勾股定理得， ∴ ∵ ∴， ∴ 联立方程组 解得， ∴点P的坐标为（，） ∴ ∴，即迠P与点G重合， ∴； 当时，同理可证； ②∵直线恒过定点A（0，0） ∴点A与点O重合， ∴是直角三角形， ∴ ∵ ∴仅当PA=PB时， ∴此时△ABC为等腰直角三角形， ∴AB=AC， ∴， 整理得， ∵ ∴，解得， ∴AB=AC=3-(-1)=4 ∴，即线段的最大值为8． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质，以及一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的判定与性质以及不等式的应用等知识，正确判断△ABC为等腰直角三角形是解答本题的关键． 23．甲、乙两车在连通A、B、C三地的公路上行驶，甲车从A地出发匀速向C地行驶，同时乙车从C地出发匀速向B地行驶，到达B地并在B地停留半小时后，按原路原速返回到C地．在两车行驶的过程中，甲、乙两车距B地的路程y（千米）（小时）之间的函数图象如图所示，请结合图象回答下列问题： (1)求甲、乙两车的速度； (2)求乙车从B地返回的C地的过程中，y与x之间的函数关系式； (3)当甲、乙两车行驶到距离B地的路程相等时，行驶时间x是多少？（请直接写出x的值） 【答案】(1)甲的速度为120千米/小时，乙的速度为80千米/小时 (2)乙车从B地返回到C地的过程中，y与x之间的函数关系式为 (3)当甲、乙两车行驶到距B地的路程相等时，行驶时间x是4.7小时或6.5小时 【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求函数解析式，观察函数图象结合数量关系，列出相关函数关系式是解题的关键． （1）由已知图象求出甲、乙的速度． （2）根据图象上的点先求出乙车从地返回到地的函数解析式， （3）求出甲车从地到地的函数解析式和甲车从地到地的函数解析式，结合（2）列方程组即可解得答案． 【详解】（1）解：由已知图象得：甲的速度为：（千米小时）， 乙的速度为（千米小时）； （2）解：设乙车从地返回到地的函数解析式是， 乙的速度为80千米小时， 乙到地的时间是（小时）， 到达地并在地停留半小时后，按原路原速返回到地， 返回是在（小时）出发的， 图象经过，两点． ， 解得：， ， 答：乙车从地返回到地的过程中，与之间的函数关系式为； （3）解：甲车的速度是120千米小时， ∴甲车到达地需要5小时，即甲车对应图象经过点， 甲车从地到地的函数解析式是， 甲车从地到地的函数解析式是， 由和， 解得 或， 答：当甲、乙两车行驶到距地的路程相等时，行驶时间是4.7小时或6.5小时． 24．为更好地开展第二课堂，丰富学校兴趣社团活动内容，某校增设了篆刻兴趣社团现计划购进一批篆刻石料，已知两个商家的标价相同，但甲商家提出：若购买一张会员卡则每块石料打七折；乙商家提出：每块石料按标价的九折出售．设购买篆刻石料的数量为x（块），甲商家所需费用；乙商家所需费用，．其函数图象如图所示，请根据图象回答下列问题． (1)甲商家一张会员卡的价格为______元，篆刻石料的标价为______元，______． (2)两个函数图象交于点A，则点A的坐标为______，该点所表示的实际意义是______； (3)若学校准备买40块石料，则选择哪个商家比较合算？请说明理由． (4)若本次购买石料的经费有800元，则选择哪个商家购买的石料数量会更多？ 【答案】(1)100；10；9 (2)；当购买50块石料时，甲、乙两个商家所需费用相同，均为450元 (3)选择乙商家比较合算；理由见解析 (4)选择甲商家购买的石料数量会更多 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，数形结合求出函数表达式是本题的关键． （1）根据题意和图象，得出甲商家一张会员卡的价格为100元，根据甲商家所需费用，得出篆刻石料的标价为10元，根据题意得出乙商家所需费用，即可得出k的值； （2）设点A的坐标为，分别代入两个函数，构成二元一次方程组，求解即可；两个函数在交点A处的横坐标和纵坐标分别相等，点A的实际意义据此作答即可； （3）当时，分别计算和的值，结果较小的比较合算； （4）分别计算当和时对应x的值并比较大小，据此作答即可． 【详解】（1）解：根据题意可知：甲商家所需费用， ∴甲商家一张会员卡的价格为100元，篆刻石料的标价为：（元）， ∵乙商家提出每块石料按标价的九折出售， ∴， ∴． 故答案为：100；10；9． （2）解：设，则， 解得， ∴点A的坐标为，该点所表示的实际意义是当购买50块石料时，甲、乙两个商家所需费用相同，均为450元． 故答案为：；当购买50块石料时，甲、乙两个商家所需费用相同，均为450元． （3）解：当时，，， ∵， ∴选择乙商家比较合算． （4）解：当时，， 解得； 当时，， 解得， ∵， ∴选择甲商家购买的石料数量会更多． 25．研学旅行继承和发展了我国传统游学，“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式，提升了中小学生的自理能力，创新精神和实践能力．某校组织甲、乙两班学生分别乘坐两辆校车从学校出发，前往300km外的红色革命圣地﹣﹣延安，开展“传承红色基因 争做时代新人”研学旅行，已知乙班比甲班晚出发1.5h，且乙班以80km/h的速度行驶了1h后，提高了速度，并以提高后的速度匀速行驶至终点．如图，线段表示甲班离学校的距离y甲（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系；折线表示乙班离学校的距离y乙（km）与甲班行驶时间x（h）之间的函数关系，请根据图象解答下列问题：    (1)图中__________，______； (2)求线段所在直线的函数表达式； (3)乙班出发多久后追上甲班？此时两班距离延安有多远？ 【答案】(1)2.5，80 (2) (3)乙班出发后经过2.4h追上甲班，此时两班距离延安有66km 【分析】本题考查了一次函数的应用，求一次函数解析式，两直线的交点与二元一次方程组的解，解题关键是掌握一次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，及联立方程组求交点坐标的方法． （1）由“乙班比甲班晚出发1.5h，且乙班以80km/h的速度行驶了1h后，提高了速度”，结合图象，即可得，n＝80； （2）先求出点和点的坐标，再用待定系数法求一次函数的解析式即可； （3）结合图象可得与与交点即为乙班追上甲班之时，先求出的函数解析式，再根据解析式和解析式，联立二元一次方程组，求解即可计算出答案． 【详解】（1）解：乙班比甲班晚出发1.5h，且乙班以80km/h的速度行驶了1h后，提高了速度， ∴，n＝80， 故答案为：2.5，80． （2）解：设线段所在直线的函数表达式是， 根据题意得，， 将、坐标代入的函数表达式，得， 解得：， 线段CD所在直线的函数表达式为：． （3）解：设OA的解析式是：， 由题意得，代入得， 解得， OA的函数解析式为：， 根据题意得：， 解得， 乙班出发后追上甲班的时间为：， 此时两班距离延安有， 答：乙班出发后经过2.4h后追上甲班，此时两班距离延安有66km． 26．“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某市书吧规定每次去书吧阅读的费用为元．现决定面向社会并提供优惠活动，活动方案如下． 方案一：办理会员卡（会员卡花费元），每次阅读的费用按六折优惠． 方案二：未办理会员卡，每次阅读的费用按九折优惠． (1)分别写出这两种方案中阅读的费用与阅读的次数之间的函数关系式． (2)这两种方案中阅读的费用与阅读的次数的关系图象如图所示，请求出点的坐标，并说明点所表示的实际意义． (3)小东同学计划在暑假期间去书吧阅读次，通过计算说明他选择哪种方案花费更少． 【答案】(1)方案一：；方案二： (2)，，点所表示的实际意义是当去书吧阅读的次数是时，两种方案总花费一样，均为元 (3)选择方案一花费更少 【分析】本题考查一次函数的应用，一次函数与二元一次方程组的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）按照题意分别列出关系式即可 （2）点在轴上，故将，代入解析式可得，即可求出点坐标，再联列两个关系式，即可形成二元一次方程组，解答即可求出的点坐标，结合题意说明点所表示的实际意义即可． （3）将分别代入两个关系式，即可求出两个方案的花费，对比大小即可． 【详解】（1）方案一：办理会员卡的花费是元，之后每次阅读的费用打六折， ∴阅读的费用与阅读的次数之间的函数关系式为：． 方案二：每次阅读的费用打六折： ∴阅读的费用与阅读的次数之间的函数关系式为：． （2）∵，当时，得， ∴点． 由，解得， ∴点． 点所表示的实际意义是当去书吧阅读的次数是时，两种方案总花费一样，均为元． （3）选择方案一花费更少． 理由：当时，（元）， （元）． ∵， ∴小东同学选择方案一花费更少． 学科网（北京）股份有限公司 $$