4.3 指数函数与对数函数的关系（同步课件）数学人教B版2019必修第二册

4.3 指数函数与对数函数的关系 第4章 指数函数、对数函数与幂函数 新知探索 从前面的知识中可以看出，指数函数与对数函数之间有非常密切的联系. 例如，当且时，有 ， 而且指数函数与对数函数的性质可列表如下. 函数 指数函数 对数函数 定义域 值域 单调性 时，为_______；时，为_______. 减函数 增函数 新知探索 由此可以看出，指数函数与对数函数中，一个函数的定义域是另一个函数的值域，而且它们的单调性相同.为什么会这样呢？这是因为在上述两个函数中，通过对调其中一个函数的自变量和因变量，可得到另一个函数. 一般地，如果在函数中，给定值域中任意一个的值，只有唯一的与之对应，那么是的函数，这个函数称为的反函数.此时，称存在反函数.而且，如果函数的自变量仍用表示，因变量仍用表示，则函数的反函数的表达式，可以通过对调中的与，然后从中求出得到. 新知探索 思考：对于指数函数，你能利用指数与对数间的关系，得到与之对应的对数函数吗？它们的定义域、值域之间有什么关系？它们也互为反函数吗？ 对数函数 定义域： 值域： 对数函数 定义域： 值域： 新知探索 例如，是增函数，因此任意给定一个值，只有唯一的与之对应，所以存在反函数.对调中的和得，解得. 因此是的反函数. 一般地，指数函数与对数函数 互为反函数，它们的定义域与值域正好互换.且图象关于直线对称. 新知探索 例题 例1 分别判断下列函数是否存在反函数，如果不存在，说明理由；如果存在，写出反函数. (1) (2) 解(1)因为时，或，即对应的不唯一，因此的反函数不存在. (2)因为对的值域中任意一个值，都只有唯一的与之对应，所以的反函数存在，而且反函数可以表示如下. 例题 例2 判断的反函数是否存在，如果不存在，说明理由；如果存在，写出反函数的解析式，并在同一平面直角坐标系中作出与的函数图象. 解：因为是增函数，因此任意给定值域中的一个值，只有唯一的与之对应，所以存在反函数. 令，对调其中的和，得， 解得，因此. 与的函数图象如图所示. 新知探索 由反函数的定义可知，如果是单调函数，那么它的反函数一定存在.此时，如果是增函数，则也是增函数；如果是减函数，则也是减函数. 练习 例.已知函数的反函数是，则的值为( ). 题型：求给定函数的反函数 解：因为， 所以，对调与，得， 即. 则. 答案：. 练习 方法技巧： 求反函数的步骤： (1)反解； (2)与互换； (3)原函数的定义域为反函数的值域，原函数的值域为反函数的定义域. 练习 变1.函数的反函数为 答案：. 解：因为， 所以，即，对调与，得， 而原函数中的定义域为，所以原函数的值域为. 则反函数的定义域为. 课堂小结&作业 课堂小结： (1)反函数的定义； (2)求反函数的方法. 作业： (1)整理本节课的题型； (2)课本P33的练习，练习； (3)课本P33的习题的第1—5题；习题的第1—6题； 习题的第1—2题. 谢谢学习 Thank you for learning $$