4.2.3 对数函数的性质与图象（同步课件）数学人教B版2019必修第二册

4.2 对数与对数函数 4.2.3 对数函数的性质与图象 第4章 指数函数、对数函数与幂函数 情境引入 情境与问题： 我们已经知道，假设有机体生存时碳14的含量为1，那么有机体死亡年后体内碳14的含量满足，也就是说，是的函数. 在得到古生物的样品时，考古学家能够测量出其中的碳14含量，你认为考古学家们能利用这个值推断出古生物的死亡时间吗？给定一个值，有多少个值与之对应？这里的能看成的函数吗？为什么？ 新知探索 在表达式中，因为，所以这个函数可以看成一个指数函数，根据指数函数的性质可知，这个函数是一个减函数.这也就意味着，给定一个值，只有唯一的值与它对应，也就是说，如果把看成自变量，看成因变量，那么这里的可以看成的函数.事实上，利用指数函数和对数运算的关系，可以把上述关系式改写为. 如果仍用表示自变量，表示因变量，那么这一函数关系可以表示为 ，其中自变量在真数的位置上，我们称这样的函数为对数函数. 新知探索 一般地，函数称为对数函数，其中是常数，且. 注：(1)“”前面的系数必须为“1”； (2) 真数位置只能是“”，且真数必须大于零. 下面我们来研究对数函数的性质与图象. 作为例子，首先分析对数函数的性质，并得出其对应的图象. 新知探索 尝试与发现：(1)对数函数中，的值可以是吗？可以是吗？为什么？ (2)分别求出对数函数在自变量取，，，，，，时所对应的函数值(填写下表)，并由此猜测对数函数的定义域、值域、奇偶性、单调性，尝试说明理由. 新知探索 可以看出，中，不能是，也不能是. 事实上，根据对数运算的定义和性质，我们可以得到对数函数的性质： (1)定义域是_______； (2)值域是_________； (3)奇偶性是________________； (4)单调性是__________. 非奇非偶函数 增函数 新知探索 根据以上性质可知，函数的图象都在轴右侧，而且从左到右图象是逐渐上升的.通过描点，可以作出的图象，如图所示. 下面来研究指数函数的性质与图象. 新知探索 注意到，因此不难看出和之间的联系：当这两个函数的自变量相等时，对应的函数值互为相反数.也就是说，如果点在的图象上，那么这个点关于轴的对称点一定在的图象上；反之，的图象上任意一点，其关于轴的对称点也一定在的图象上.因此，对数函数和 的图象关于轴对称，如图所示. • • 新知探索 尝试与发现：(1)你能指出对数函数和的图象的公共点吗？ (2)你能得出对数函数一定过哪个定点吗？ 函数和的图象的公共点为.事实上，因为，所以的图象一定过点. 新知探索 由以上实例，可以归纳出对数函数(且)具有下列性质： (1)定义域是，因此函数图象一定在轴的右边. (2)值域是实数集. (3)函数图象一定过点. (4)当时，是增函数；当时，是减函数. 新知探索 先请同学们观察“网络画板”展示下对数函数(且)随着底数的变化而变化的过程，再总结归纳出对数函数且)的性质. 新知探索 一般地，对数函数)的图象和性质如下表所示： 图象 定义域 值域 性质 过定点，即时， 减函数 增函数 与的图象关于轴对称 例题 例1 比较下列各题中两个值的大小： (1)与；(2)与；(3)与. 解(1)因为，所以是减函数， 又因为，所以. 解(2)因为，所以是增函数， 又因为，所以. 解(3)因为，所以是增函数， 又因为，而且，所以. 例题 例2 已知，求的取值范围. 解：因为的定义域为，而且是减函数， 所以由已知， 即. 解得. 例题 例3 求下列函数的定义域： (1)；(2). 解(1)：因为有意义的充要条件是，即， 所以所求定义域为. 解(2)：因为有意义的充要条件是，即， 所以所求定义域为. 新知探索 在中，只要输入对数函数的表达式，就可以得到对应的图象，如图所示是用作出的，，，，的图象，你能从中得出什么规律吗？ 新知探索 在直线的右侧，时，越大，图象越低，简称“底大图低”； 时，越大，图象越低，简称“底大图低”. 练习 例1.求下列函数的定义域. (1)(2)(3) 题型一：对数型函数的定义域 解：(1)由 得∴定义域为 (2)由得.由指数函数的单调性知， ∴定义域为 (3)据题意得：且，得且 ∴定义域为 练习 方法技巧： 求对数型函数定义域的原则： (1)分母不能为0； (2)根指数为偶数时，被开方数非负； (3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1； (4)若需对函数进行变形，则需先求出定义域，再对函数进行恒等变形. 练习 变1.(1)函数是对数函数，则实数 (2)函数是对数函数，则函数 答案：(1)1；(2)-3. (1)∵,解得或1. 而且，∴即1. (2)∵，解得或. 而∴.即 ∴ 练习 题型二：对数函数的图象问题 例2.(1)在同一直角坐标系中，函数，的图象 可能是( ). 解：当时，函数的图象过定点，在上单调递减，于是函数过定点，在上单调递增.函数过定点，在上单调递减.故选. 练习 例2.(2)如图，若，分别为函数和的图象，则( ). 解：由图知，对数函数在定义域内单调递减，所以.再根据“底大图低”，可知.故选. 练习 方法技巧： 与对数型函数相关的图象问题： (1)利用对数函数的性质，比如定点、定义域、值域和单调性； (2)在研究对数函数的图象时，可以利用图象的平移变换，进而得到目标函数的图象. 练习 变2.画出函数的图象，并写出函数的值域和单调区间. 解：据题意知， 由图可知,其值域为单调递增区间为，单调递减区间为. 练习 题型三：比较对数值的大小 例3.比较下列各组数的大小. (1) 解：(1)对数函数在上单调递增， 而∴. (2) 解：(2)由于，，又对数函数在上单 调递增，且 ∴即.(或者“底大图低”也可以直接判断) (3) 练习 解：(3)(中间值法)∵ ∴. 题型三：比较对数值的大小 例3.比较下列各组数的大小. 练习 比较对数值大小的策略： 1.同底时，根据单调性比较两真数的大小； 2.同底但底数是字母时，需对字母进行分类讨论，再根据单调性比较两真数的大小； 3.同真数但不同底时，可利用“底大图低”的口诀来直接判断大小； 4.不同底且不同真时，常借助中间值，如-1,0,1等进行比较. 练习 变3.(全国卷1)已知，则（ ）. 解：∵ 且即 ∴. 故选. 练习 题型四：解对数不等式 例4.解下列不等式： (1) (2) 解：(2)当时，，解得此时，无解. 当时，，解得此时，. 即不等式的解集为 解：(1)据题意得：解得即不等式的解集为 练习 例4.解下列不等式： (3) 解：(3)当时，解得即不等式的解集为 当时，，解得即不等式的解集为 综上，当时，解集为；当时，解集为 练习 解对数不等式的方法技巧： 1.形如的不等式，借助对数函数的单调性求解. 2.形如的不等式，应将化为以为底的对数式的形式，再借助的单调性求解. 3.形如的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解. 注：底数中若含有参数，一定要注意底数的范围，并进行分类讨论. 练习 变4.(1)不等式的解集为____________. 解：(1)据题意得：解得即不等式的解集为 练习 变4.(2)若则的取值范围是__________. 解：据题意得， ①当时，是增函数，解得，所以； ②当时，是减函数，解得，所以； 综上所述，或. 课堂小结&作业 课堂小结： (1)指数函数的图象性质； (2)比较指数式大小的类型及处理方法. 作业： (1)整理本节课的题型； (2)课本P13的练习，练习； (3)课本P14的习题的第2—4题；习题的第3—5题； 习题的第2题. 谢谢学习 Thank you for learning $$