精品解析：湖北省恩施土家族苗族自治州巴东县第三高级中学2024-2025学年高一上学期11月月考数学试题

湖北省恩施土家族苗族自治州巴东县第三高级中学2024-2025学年高一上学期11月月考数学试题 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容:必修第一册第一章~第三章3.1. 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则集合的真子集个数为（ ） A. 1 B. 7 C. 15 D. 31 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 集合，，下列不能表示从到的函数的是（ ） A. ： B. ： C. ： D. ： 5. 已知集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 或 6. 命题“对，”为真命题的一个充分不必要条件可以是（　　） A. B. C. D. 7. 若不等式有且只有三个整数解，实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，.已知函数，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的为（ ） A. 集合，若集合有且仅有2个子集，则的值为 B. 函数和是同一个函数 C. 若一元二次不等式的解集为，则的取值范围为 D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 10. 下列说法中正确的为（ ） A. 已知，则“”是“”的必要不充分条件 B. 若，则的最小值为2 C. 若正实数满足，则的最小值为6 D. 若，且，则的最大值为7 11. 《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图（1），用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）．将三种颜色的图形进行重组，得到如图（2）所示的矩形，该矩形长为a+b，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图（3），设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形的对角线AE，过点A作于点F，则下列推理正确的是（ ） A. 由题图（1）和题图（2）面积相等得 B. 由可得 C. 由可得 D. 由可得 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，若，则a的值为___________． 13. 若正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围__________. 14. 用表示非空集合A中的元素的个数，定义，若，，若，则a的所有可能取值构成集合M，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知命题，，命题，. （1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围； （2）若命题p，q至少有一个为真命题，求实数m的取值范围. 16. 已知函数. （1）求，; （2）若，求实数的值; （3）求不等式的解集. 17. 求下列函数的解析式： （1）已知是一次函数，且满足： （2）已知函数满足：． 18. 已知函数． （1）解关于x的不等式； （2）若对任意的，恒成立，求实数m的取值范围． 19. 若方程x2+mx+n=0(m，n∈R)有两个不相等的实数根，且． （1）求证：m2=4n+4； （2）若m≤-4，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省恩施土家族苗族自治州巴东县第三高级中学2024-2025学年高一上学期11月月考数学试题 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容:必修第一册第一章~第三章3.1. 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则集合的真子集个数为（ ） A. 1 B. 7 C. 15 D. 31 【答案】C 【解析】 【分析】由集合中元素个数，判断真子集的个数. 【详解】，共有4个元素，故集合的真子集个数为. 故选：C. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数解析式有意义，列出不等式组求解即可. 【详解】由，解得且， 故函数的定义域为． 故选：B． 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分别求出集合A、B，再求. 【详解】因为函数在单减，在上单增，所以， 要使函数有意义，只需，解得， 所以， 所以 4. 集合，，下列不能表示从到的函数的是（ ） A. ： B. ： C. ： D. ： 【答案】C 【解析】 【分析】ABD选项，求出值域均为集合的子集，且对每一个，有唯一确定的与其对应；C选项，求出值域不是集合的子集，故C不能表示从A到B的函数. 【详解】A选项，，当时，， 且对每一个，有唯一确定的与其对应，故A能表示从A到B的函数； B选项，，当时，， 且对每一个，有唯一确定的与其对应，故B能表示从A到B的函数； C选项，，当时，,不是的子集，故C不能表示从A到B的函数； D选项，，当时，， 且对每一个，有唯一确定的与其对应，故D能表示从A到B的函数； 故选：C 5. 已知集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】求解集合，根据图可得阴影部分表示的集合为，根据集合交并补的运算求解即可． 【详解】由，解得，即， 由，解得，即， 则， 根据图可得阴影部分表示的集合为或， 故选：D. 6. 命题“对，”为真命题的一个充分不必要条件可以是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出命题为真命题时的充要条件，然后再结合选项进行选择即可． 【详解】因为，等价于，恒成立， 设， 则 ． 所以命题为真命题的充要条件为， 所以命题为真命题的一个充分不必要条件可以为． 故选C． 【点睛】解题的关键是得到命题为真命题时的充要条件，由于求的是命题为真时的一个充分不必要条件，故所选的范围应是充要条件对应范围的真子集，考查对充分条件、必要条件概念的理解． 7. 若不等式有且只有三个整数解，实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，则，，故可得不等式的解集中的三个整数为，据此可求参数的取值范围. 【详解】设，则， 故的解集中有整数1，而， 故不等式的解集中的三个整数为，故， 所以，故， 故选：D. 8. 设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，.已知函数，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据基本不等式求得，进而由高斯函数可得结果. 【详解】因为对任意，，则，即， 所以函数的值域为. 故选：D. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的为（ ） A. 集合，若集合有且仅有2个子集，则的值为 B. 函数和是同一个函数 C. 若一元二次不等式的解集为，则的取值范围为 D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】CD 【解析】 【分析】A选项，由集合中的元素个数，求的值；B选项，由两个函数的定义域和对应关系判断是否为是同一函数；C选项，由一元二次不等式的解集为所需条件，求的取值范围；D选项，由复合函数定义域的求法求解. 【详解】对于A选项，若集合有且仅有2个子集，则集合中有且仅有1个元素， 即方程只有1个根，可得和，故A错误； 对于B选项，的定义域为，的定义域为，故B错误； 对于C选项，依题意有，解得，故C正确; 对于D选项，的定义域为，可得， 故函数中，，解得， 故的定义域为，故D正确. 故选：CD. 10. 下列说法中正确的为（ ） A. 已知，则“”是“”的必要不充分条件 B. 若，则的最小值为2 C. 若正实数满足，则的最小值为6 D. 若，且，则的最大值为7 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据必要不充分判定可判断；对于B，根据基本不等式可判断，取“=”，但此时无解，可判断；对于C，将转化为已知条件，根据基本不等式即可判断；对于D，设，解出，将使用的表达式表示出来，再利用基本不等式即可判断. 【详解】对于A选项，中，中，所以， 不能推出，所以“”是“”的必要不充分条件，故A正确； 对于B选项，，当且仅当时取“=”，但此时无解，故B错误； 对于C选项，因为，所以 则， 当且仅当时，即时，取“=”，故C正确； 对于D选项，设，则， 则， 其中， 当且仅当时，等号成立，故，故D正确. 故选：ACD. 11. 《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图（1），用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）．将三种颜色的图形进行重组，得到如图（2）所示的矩形，该矩形长为a+b，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图（3），设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形的对角线AE，过点A作于点F，则下列推理正确的是（ ） A. 由题图（1）和题图（2）面积相等得 B. 由可得 C. 由可得 D. 由可得 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题图（1），（2）面积相等，可求得d的表达式，从而判断A选项的正误，由题意可求得题图（3）中，，的表达式，逐一分析B，C，D选项，即可得答案． 【详解】对于A，由题图（1），（2）面积相等得，所以，故A错误． 对于B，因为，所以，所以， 设题图（3）中内接正方形的边长为t，根据三角形相似可得，解得，所以． 因为，所以，整理可得，故B正确． 对于C，因为D为斜边的中点，所以， 因为，所以，整理得，故C正确． 对于D，因为，所以，整理得，故D正确． 故选：BCD 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，若，则a的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用集合的包含关系列方程即可求解. 【详解】当时，即.当时，，不合题意，舍去；当时，，满足题意. 当时，，不合题意，舍去. 故． 故答案为：-2. 13. 若正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围__________. 【答案】或## 【解析】 【分析】要使有解，则大于最小值即可；求出最小值，建立不等式，求出的取值范围. 【详解】因为，所以，所以，当时，等号成立，因为，所以此时，所以的最小值为，由题可得，解得或. 故填：或 14. 用表示非空集合A中的元素的个数，定义，若，，若，则a的所有可能取值构成集合M，则__________. 【答案】5 【解析】 【分析】由新定义可知，或，根据集合的元素个数，讨论方程解的情况，即可求解． 【详解】因为， 又方程有两个不同的实数根，所以， 若，则或. 当时，方程只有实数根0， 所以且，得； 当时，方程有3个实数根， 时，方程有2个不等的实数根，分别为和， 0不是方程的实数根， 若是方程的实数根，则， 若，的实数根分别为0，和， 即，满足条件， 若，的实数根分别为0，和， 即，满足条件， 若不是方程的实数根， 所以方程有2个相等的实数根，即，得， 当时，，满足条件， 当时，，满足条件， 所以， 故答案为：5 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知命题，，命题，. （1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围； （2）若命题p，q至少有一个为真命题，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据命题是真命题，将不等式转化为对恒成立，即可求的取值范围； （2）求命题q为真命题时的取值范围，再求两个集合的并集. 【小问1详解】 若命题p为真命题，则对恒成立，因此，解得. 因此，实数m的取值范围是. 【小问2详解】 若命题q为真命题，则，即，解得或. 因此，实数m的取值范围是或； 若命题p，q至少有一个为真命题， 可得或或. 所以实数的取值范围或. 16. 已知函数. （1）求，; （2）若，求实数的值; （3）求不等式的解集. 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）直接代入解析式计算函数值即可； （2）利用分段函数分和进行分类讨论计算即可； （3）分和两种情况讨论即可. 【小问1详解】 易知， ； 【小问2详解】 当时，，解得，满足要求， 当时，，解得或(舍) 综上可得或； 【小问3详解】 当时，，解得， 当时，，解得，由于， ， 综上，的解集为. 17. 求下列函数的解析式： （1）已知是一次函数，且满足： （2）已知函数满足：． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设出一次函数解析式，化简后得到方程组，求出的值，确定解析式； （2）换元法求解函数解析式，注意定义域. 【小问1详解】 令，依题意， 即， ，故解得：， 所以 【小问2详解】 令，由对勾函数可知或， 依题意 故， 所以或． 18. 已知函数． （1）解关于x的不等式； （2）若对任意的，恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1） 当时，不等式解集为或； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为或. （2） 【解析】 【分析】（1）将化为，分别研究、、时不等式的解集即可. （2）运用分离参数及基本不等式求最值即可求得结果. 【小问1详解】 由题意知，， ①当时，或； ②当时，； ③当时，或. 所以①当时，不等式解集为或； ②当时，不等式解集为； ③当时，不等式解集为或. 【小问2详解】 对任意的，恒成立， 即对任意的，恒成立， 则对任意的恒成立， 所以，， 又，当且仅当时等号成立． 故. 19. 若方程x2+mx+n=0(m，n∈R)有两个不相等的实数根，且． （1）求证：m2=4n+4； （2）若m≤-4，求的最小值． 【答案】（1） 因方程(m，n∈R)有两个不相等的实数根，则，且， 又，则，整理得：，即， 所以. （2）8 【解析】 【分析】(1)把两边平方并用与表示，再借助韦达定理即可得证. (2)把用与表示结合韦达定理及(1)的结论，化为m的函数并求其最小值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由(1)知，，且，则： ， 令，显然在上单调递减，即当时，，则有， 从而有，当且仅当t＝4时取等号，此时， 所以，当时，取得最小值8. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $