第2章 第3节 匀变速直线运动的位移与时间的关系-【重难点手册】2024-2025学年高中物理必修第一册（人教版2019 浙江专用）

第二章匀变速直线运动的研究收出9 第3节匀变速直线运动的位移与时间的关系 重点和难点 课标要求 1.能利用（图像得出匀变速直线运动的位移与时间关系式x 重点：1.匀变魂直线运动的位移与时1十2a,进一步体会利用物理圈像分析物体运动规律的研究方法。 间关系的理解和应用. 2.能推导出匀变速直线运动的速度与位移关系式一话=2ax,体 2.匀变速直线运动的速度与位 会科学推理的逻辑严密性 移关系的推导和应用。 3.能在实际问题情境中使用匀变速直线运动的位移公式解决问题， 难点：远择合适的公式来分析和解决 体会物理知识的实际应用价值 匀变速直线运动的问题。 4.了解1图像国成的面积即相应时间内的位移.提高应用数学研 究物理问题的能力，体会变与不变的辩证关系 -01必备知识梳理，， 基础梳理 知识点1匀变速直线运动的位移 L,-1图像面积含义的推导 园记方法 (1)匀速直线运动t图像面积的含义 极限思想的应用 心t图像的面积与住移的 关系： (1)割成许多很小的时间 间隔△（微元的思想） ①如图所示，匀速直线运动的t图像是一条平行于时间轴 (2)y内看作简单的匀速 的直线.图线与对应的时间轴所围成的矩形面积（图中阴影部分） 直线运动（运动过程的简化）。 在数值上等于物体在这段时间内的位移， (3)位移为所有△1内的 位移之和（积分的思想）， ②方向：若图线与时间轴所围区域在时间轴上方，表示物体 (4)时间间隔无限小（山→ 的位移沿正方向：若图线与时间轴所围区域在时间轴下方，表示 0)时，平行于1轴的折线就趋 物体的位移沿负方向。 近于物体的速度图线，速度图 (2)匀变速直线运动1图像面积的含义 线与t轴包因的总面积即为 在匀变速直线运动中，虽然速度时刻变化，但只要时间足够 匀变速直线运动的位移. 小，速度的变化就非常小，在这段时间内近似应用我们熟悉的匀 速运动的公式计算位移，其误差也非常小，如图甲所示， 如果把每一小段△1时间内的运动看作匀速运动，则矩形面 积之和等于各段匀速直线运动的位移之和，显然小于匀变速直线 57 重滩点手细高中物理必修第一册®)（浙江专用） 运动在该段时间内的位移.但时间△越小，各匀速直线运动的位 2提个醒 移之和与匀变速直线运动的位移之间的差值就越小，当△0时， -t图像的意义 各矩形面积之和趋近于t图线下面的面积.可以想象，如果把整 无论物体是否做匀变速直 个运动过程划分得非常非常细，很多很多小矩形的面积之和就能准 线运动，物体运动的t图线 确代表物体的位移了，位移的大小等于图乙中梯形的面积， 与时间轴所国成的图形的面积 始终等于对应时问间隔内物体 位移的大小，如图所示。 Q 丙 上面这种分析问题的方法具有一般意义，原则上对于处理任 意形状的)1图像都适用.对于图丙所示的运动物体的位移，可用 其1图像阴影部分的面积来表示. 这种在处理复杂的变化量问题时，先把整个区间化为若干个 小区间，认为每个小区间内研究的量不变，再求和.这是物理学中 常用的一种方法。 2.位移与时间关系的建立 由前面的讨论可知，当时间间隔分割得足够小 时，折线趋近于直线AP,设想的运动就代表了真实的 运动，由此可以求出匀变速直线运动在时间（内的位 移，它在数值上等于直线AP下方的梯形OAPQ的面积（如图）. 1)推导方法-一：这个面积为x=n十=0A,0Q+号AR· RP=w1十aP,即位移x=1十号a,这就是匀变速直线运动 的位移公式 (2)推导方法二：这个面积为r=号(OA+QP)·0Q. 即x=号（十0，又w=w十a, 联立两式可得x=1叶+2a。 3.对x=mf什2ar的理解 巴拓视野 (1)位移与时间的关系公式 在关于匀变速直线运动 位移 运动时间 的一些问题中，常常在题设中 1 给出直线运动的位移随时间 初速度 加速度 变化的函数关系式，如x=m 58 第二章匀变速直线运动的研究么 公式对做匀变速直线运动的物体都适用。 +nt(其中m、n都为已知 (2)公式中x、功、Q都是矢量，应用时必须选取统一的正方 量)，然后求解运动学的其他 量，在解这类问题时，可采用 向，一般选取初速度的方向为正方向. 数学中的待定系数法，即通过 若a与v同向，a取正值，物体做匀加速直线运动. 若a与va反向，a取负值，物体做匀减速直线运动. 比较公式x=t+ad和画 若位移的计算结果为正值，说明这段时间内位移的方向与规 数关系式x=t十t,可得出 1 定的正方向相同. =m,2a= 若位移的计算结果为负值，说明这段时间内位移的方向与规 由此可得出匀变速直线运 定的正方向相反 动中的初速度和加速度，则其 他相关量也可得出.应特别注 (3)若w=0,则x一2a,即位移与时间的平方成正比。 意两式中各量均包含正负号 (4)公式中各物理量应取国际单位， 例①(2024·湖北省实验中学高一月考)一辆汽车在平直公 路上做匀变速直线运动，公路边每隔15m有一棵树，如图所示. 汽车通过A、B两相邻的树用了3s,通过B、C两相邻的树用了 2s,求汽车运动的加速度大小和通过树B时的速度大小 解析设汽车经过树A时的速度为vA,加速度为a 对AB段运动，由T=t+aP有 1 15m=0AX3s+2aX(3s)2, 同理，对AC段运动，有30m=wX5s十aX(5s), 两式联立解得=3.5m/s,a=1m/s2. 再由v=6十at得vB=3.5m/s+1×3m/s=6.5m/s. 知识点2匀变速直线运动的速度与位移的关系 1.公式的推导 卫对点练司 v=w十at 问题1：在公式x 两式 r= →v2-6=2a.7 x=wt什2a 消去 2a 6中a和x可以同时为 2a 负吗？ 2.对公式2一=2ax的理解 [答案：a和x可以同时 (1)适用范围：仅适用于匀变速直线运动. 为负，表现为物体做匀减速直 59 重难食手册高中物理必修第一册)（浙江专用】 (2)各物理量的意义： 线运动，速度减为0后反向做 末速度 加速度 匀加速直线运动。在实际生活 -=2a.x位移 中，如果是汽车刹车问题，速 初速度 度减为0后即静止，此时a为 负，x不可能为负.] (3)矢量性：公式中、v、4、x均为矢量，要规定统一的正方 问题2：利用一(= 向（通常取功的方向为正方向，以下分析以的方向为正方向）. 2ax求解速度时，出现一正一 ①物体做加速运动时，a取正值：做减速运动时，a取负值. 负两个解怎么处理？ ②位移x>0,说明物体的位移方向与初速度的方向相同：位 [答案：根据实际情况确 移x<0,说明物体的位移方向与初速度的方向相反. 定，如果物体沿单方向做加速 (4)特殊情况：当=0时，公式简化为=2ax:当v=0时， 运动，速度不可能为负值，应 公式简化为-诺=2a.x. 舍去.] (5)常用情况：分析和解决不需要知道时间的问题时，使用 问题3：对于汽车刹车问 一6=2a.x求解，往往会使问题变得简便， 题，速度变为0后应用速度与 例②(2024·福建厦门外国语学校高一月考)某航空母舰上 位移关系公式求解刹车距离， 装有帮助飞机起飞的弹射系统.已知某型战斗机在跑道上加速时 还需要先确定制车停止前的 产生的最大加速度为5m/s2,起飞的最小速度是50m/s,弹射系 运动时间吗？ 统能够使战斗机具有的最大速度为30m/s,则： [答案：不需要.] (1)战斗机起飞时在跑道上至少加速多长时间才能起飞？ (2)航空母舰的跑道至少应该多长？ 解析(1)战斗机在跑道上运动的过程中，当有最大弹射速 度、最大加速度时，起飞所需的时间最短，故有 1=0-场=50-30 5 =4s, 则战斗机起飞时在跑道上的加速时间至少为4、 (2)根据速度位移关系式一6=2ax可得， x=t6-50-30 2a 2×5m=160m, 即航空母舰的跑道至少为160m. 知识点了中间时刻的瞬时速度公式 (1)某段时间的平均速度等于初、末速度的平均值，即 2(u+. 证明：如图所示为匀变速直线运动的v-1图 像，则1时间内的位移为图像与时间轴所围的面 积.则位移x为 x=2(6十)L, 60 第二章匀变速直线运动的研究么9 故平均速度可=-（心十）. P拓视野 (2)某段过程中间时刻的瞬时速度，等于该过程的平均速度， 匀变速直线运动中 平均速度的求解 即4==立（十）， 平均速度公式元=西十巴 2 证明：如上图所示。 =只适用于匀变速直线运 对0~气，有4=w十a· 2 ① 动，且以后在处理用打点计时 对21，有=4十a· ② 器研究匀变速直线运动物体 的速度时，可用此公式精确求 由①②式得4=2（十w)=元 解打某点时物体的瞬时速度， 另外，此公式也是把平均速度 例图(2024·陕西黄陵中学期中)一个冰球在冰面上滑行， 转化为醉时速度的重要公式 依次通过长度都是L的两段距离，并继续向前运动，它通过第一段 距离的时间为1，通过第二段距离的时间为2t.如果冰球在冰面上的 运动可看作匀变速直线运动，求冰球在第一段距离末时的速度， 解析方法一由题意可得，冰球做匀减速直线运动，其运动 简图如图所示 t Lv=?L A iB 2t C 以冰球过A,点为起始时刻、起始点，设A、B、C三点的速度分 别为、、2，由平均速度关系式得 从A到B:L=十1， 2 ① 从B到C:L=十边X2, 2 ② 从A到C:2L=十应X36, 2 ③ 联立①②③式解得4= 方法二根据4=⑦知AB段中间时刻的速度=上，BC 段中间时刻的速度u一乞 这两个时刻相隔的时间为，则匀减速直线运动的加建度大 小a=购一4=L 32 2 据位移与时间的关系式，得L=×21-a(2)P,将a代入 5L 得0一6t 61 重难食手册高中物理必修第一册)（浙江专用】 知识点4位移中点的瞬时速度公式 1.公式 刀对点练 做匀变速直线运动的物体，在某段位移中点位置的瞬时速度 中间时刻与中间位置的速度 话十话 做匀加速直线运动的物 与这段位移始、末位置瞬时速度的关系为一√2。 体，是中间时刻的速度大，还 2.推导 是中间位置的速度大？那么 设匀变速直线运动的初速度为，加速度为4，末速度为4， 匀减速直线运动呢？ 位移为x,物体经过这段位移的中点时的速度为，如图所示。 [答案：不论是匀加速直 线运动还是匀减速直线运动， 都是4>4· 2 当物体做匀加速直线运 动时，速度一时间图像如图甲 则对于前半段位移号，有4一6=2a·受， 所示，物体经过中点位置时， 对于后半段位移登，有听一4=2·受 前后两段过程的位移相等， 1图线与时间抽所围图形的 十暖 由以上两式得一√2 面积相等，由数学知识可知 4<:当物体做匀减速直 例④(2023·天津一中高一期中)物体从斜面顶端由静止开 线运动时，速度一时间图像如 始匀加速下滑，到达斜面底端时速度为4/s,则物体经过斜面中 图乙所示，物体经过中点位置 点时的速度为(). 时，前后两段过程的位移相 等，同理可知4<4·门 A.2 m/s B.22 m/s C.√2m/s 2 m/s 话十 解析已知w=0,v=4m/s,根据一√2 ,解得物体经 过斜面中点时的速度为2√2m/s,故B正确. [答案B 重难拓展 重雅点1x1图像和-1图像的应用 1.x-t图像的应用 (1)能通过图像得出对应时刻物体所在的位置. (2)图线的倾斜程度反映了物体运动的快慢.斜率越大，说明 物体运动越快，速度越大， (3)图线只能描述对于出发点的位移随时间的变化关系，不 是物体的实际运动轨迹随时间的变化关系，两者不能混淆。 (④)由位移公式x=h十2a可以看出，x是 t的二次函数.当=0时，xt图像是顶点在坐标 62 第二童匀查速直线运动的研究么组 原点的抛物线的一部分，如图所示. 后敲黑板 2.x-t图像和t-t图像的比较 -t图像和t图像的 xt图像 t图像 应用技巧 ② (1)确认是哪种图像，是 典型图像 ① t图像还是x-t图像. 3 (2)理解并熟记五个对应 关系： 对应某一时刻物体 对应某一时刻 图线上的点 ①斜率与加速度或速度 所处的位置 物体的速度 对应： 可求物体在某段 可求物体在某段 线段 ②纵裁距与初速度或初 时间内发生的位移 时间内速度的变化量 始位置对应： 斜率 对应物体运动的速度 对应物体运动的加速度 ③横截距对应速度或位 图像中各 同一时刻各物体 同一时刻各物体 移为0的时刻： 图线的交点 处于同一位置 运动的速度相同 ①交点对应速度或位置 纵轴截距 初位置 初速度 相同： ⑤拐点对应运动状态发 与时间轴 无意义 位移 生改变 所围面积 3.图像的应用 (1)首先看清纵、横轴代表的物理量，弄清图像反映的是什么 量间的函数关系。 (2)对直线运动图像的认识应该做到： ①能根据图像识别物体运动的性质： ②能认识图像截距的意义： ③能认识图像斜率的意义： ④能认识图像面积的意义： ⑤能说出图线上任一点对应的运动情况. 例固(2024·江苏涟水一中高一月考)在如图所示的位移 时间图像和速度一时间图像中，给出四条图线1、2、3、4代表四个 不同物体的运动情况.关于它们的物理意义，下列描述正确的是 ). A.图线1表示物体做曲线运动 63 重难点手细高中物理必修第一册)（浙江专用） B.t图像中t1时刻>2 C.vt图像中0~3时间内3和4的平均速度大小相等 D.两图像中，2、4时刻分别表示2、4开始反向运动 解析图线1是位移一时间图像，表示物体做变速直线运动， 选项A错误：1图线上某点斜率的绝对值的大小表示速度的大 小，选项B正确：t图像中0一3时间内3和4位移不同，所以平 均速度不相等，选项C错误：2时刻2开始反向运动，14时刻4的 加速度方向变化但运动方向不变，选项D错误. [答案B 重难点2匀变速直线运动的重要推论及应用 推论一在连续相等的时间(T)内的位移之差为一恒定值， 卫记方法司 即△x=aT2(又称为匀变速直线运动的判别式). “位移差”法 推证：设物体以初速度、加速度α做匀加速直线运动，自计 在由纸带粗略地判断物 体是否做匀变速直线运动时， 时起时间T内的位移x1=%T十aT, ① 往往运用“位移差”法来进行 在第2个时间T内的位移 判断，即判斯纸带上的任意相 邻计数点间的位移是否满足 r2T+a(2T)-ti=T+aT. ② 关系式x+1一无。=aT了.如果 联立①②两式，得连续相等时间内的位移差 等式成立，则可判断物体做匀 变速直线运动 Ar-fi-ti-uT+jaT-uT-2uT-aT', 即△x=aT2,进一步推证可得 a==五=t2=工= T 2T2 3T2 推论二某段时间内中间时刻的瞬时速度等于这段时间内 的平均速度，即 4=0=十4 2 推证：由u,=十at, ① 知经号的瞬时速度4=，十a 2 ② 由①式得al=双一，代人②式中得4=十型 2 由平均速度的定义式及位移公式得 2a1=4+u + 21 64 第二章匀变速直线运动的研究酱组 可见叫=0=号-“士 2 已对点练 推论三初速度为0的匀加速直线运动的几个比例关系 从斜面上某一位置每隔 ①速度比例（连续相等时间） 0.1s释放一个小球，释放后 小球做匀加速直线运动，在连续 1T末、2T末、3T末、…的速度之比功：边：：…：w= 释放几个后，对在斜面上滚动的 1:2:3；…. 小球拍下如图所示的照片，测 ②位移比例（连续相等时间） 得.xm=15cm,x任=20cm a.1T内、2T内、3T内、…的位移之比 小球的加速度和拍摄时小球 B的速度分别为( 0:x2:…:xm=1:2232:…n. b.第一个T内、第二个T内、第三个T内、…的位移之比 x1:xm:xm:…:xv=1:3:5:…:(2N-1). ③时间比例（连续相等位移） A.30 m/s2,3 m/s a.通过前x、前2x、前3x、…的位移所用时间之比 B.5 m/s,23 m/s C.5m/s2,L.75m/s t1:tn:tm:…:tw=l:2:3:…:N D.30m/s2,1.75m/s b.通过连续相等的位移所用的时间之比 [答案：C] 14:t2:tg:…:tn=1:(2-1):(3-V2):…:(n n-1). 例6(2023·黑龙江大庆铁人中学高一期中)如图所示，物 体从O点由静止开始做匀加速直线运动，途经A、B、C三点，其中 AB-2m,BC=3m.若物体通过AB和BC这两段位移的时间相 等，则O、A两点之间的距离等于( OA B A号m B.gm Cim 解析设物体通过AB、BC所用时间均为T,则B点的速度 为=2齐=2开.根搭△=u下得a=片=是，则有队=% T=》是·T=品根搭追度位形公式得，0A两点之间的 9 距离为0--4 8m,选项A正确. 9 2a 2 m= T [答案A 65 国避食手细高中物理必修第一册)（浙江专用） 重难点3匀变速直线运动常用规律的比较与应用 1.列表比较 场=0时的 涉及的 未涉及的 公式 一般形式 形式 物理量 物理量 速度公式 u=h十ad v=at 、h,a、f 位移公式 ur r-gup r、h、t、a 位移、速度 一6=2ax =2a.x u、h、,x 关系式 平均速度求 x= 位移公式 2 工、h、形、t 表中公式共涉及匀变速直线运动的初速度h、末速度、加 刀对点练切 速度α、位移x和时间t五个物理量，这五个物理量中前四个都是 一物体以一定的初速度 矢量，应用时要规定统一的正方向（通常取的方向为正方向）， 冲上固定的光滑斜面，到达斜 并注意各物理量的正负， 而最高点C时，速度恰好为 2.公式选用 0,如图所示.已知该物体第一 (1)速度与时间的关系：=h十at. 次运动到B,点时，所用时间为 (2)位移与时间的关系：x=+ar,r=0 ,x讪= 3 Te,求物体从B滑 (3)速度与位移的关系：一6=2ax 到C所用的时间. 三个公式包含五个物理量：h,a、t、、x,已知其中任意三个， 可求其余两个.公式的选用原则： A (1)若与题目相关的物理量无位移，选公式，=十at. [答案：.] (2)若与题目相关的物理量无末速度，选公式x=1十24。 (3)若与题目相关的物理量无时间，选公式一6=2ax 3.求解位移 求解匀变速直线运动的位移问题，有三个公式：x=山十“、 2 =1十心和-，实际解题时选用哪个公式，要看已知 量的情况.显然，公式x=西十心：在不涉及加速度时使用较方便， 2 公式x=1+a在不涉及末速度时使用较方便，而公式x 运在不涉及时间时使用较方便，注意选择公式的基本原则是 2a 充分运用已知条件，并尽量减少未知量： 66