专题5.4 一元一次方程含参问题（2大知识点5类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年七年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题5.4 一元一次方程含参问题（2大知识点5类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做一元一次方程的解,也叫做方程的根。本专题就一元一次方程含参问题解的几种情况进行探讨学习。 【知识点1】一元一次方程的整数解 首先按照一元一次方程的解法求出方程的解，再根据解为整数，讨论其中的参数需要满足的条件，从而求出最终的值 【知识点2】一元一次方程有唯一解、无解、无数解 （1）当一元一次方程化为最简的形式时，当时，方程就有唯一解，即：； （2）当一元一次方程化为最简的形式时，当时，这时无论取何值，左边都不会等于右边，此时方程就无解； （3）当一元一次方程化为最简的形式时，当时，这时无论取何值，左边=右边=0，这时方程就有无数个解。 考点与题型目录 【考点一】一元一次方程含参问题（整数解问题） 【题型1】一元一次方程含参问题（整数解问题）........................................2 【考点二】一元一次方程含参问题（解的个数问题） 【题型2】一元一次方程含参问题（有解）..............................................2 【题型3】一元一次方程含参问题（无解）..............................................2 【题型4】一元一次方程含参问题（无数解）............................................3 【考点三】一元一次方程含参问题（解与参数无关问题） 【题型5】解与参数无关问题..........................................................3 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】一元一次方程含参问题（整数解问题） 【题型1】一元一次方程含参问题（整数解问题） 【例1】（2024七年级·全国·竞赛）已知关于的方程有整数解，且是整数，求的值． 【变式1】（23-24七年级上·辽宁铁岭·期末）已知关于x的方程的解是整数，且k是正整数，则满足条件的所有k值的和为（　　） A．4 B．5 C．7 D．8 【变式2】（23-24七年级下·重庆南岸·开学考试）已知关于的方程的解为偶数，则整数的所有可能的取值的和为 ． 【考点二】一元一次方程含参问题（解的个数问题） 【题型2】一元一次方程含参问题（有解） 【例2】（21-22七年级上·全国·课后作业）已知关于x的方程，当k为何值时，方程有解？ 【变式1】（23-24八年级下·上海浦东新·期中）如果关于x的方程有解，那么m的取值范围是（  　  ） A． B． C． D．任意实数 【变式2】（20-21六年级下·上海浦东新·期中）若关于的方程有解，则实数的取值范围是 ． 【题型3】一元一次方程含参问题（无解） 【例3】（21-22七年级上·天津南开·阶段练习）已知关于x的方程（x﹣6）无解，则a的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．±1 D．a≠1 【变式1】（2022八年级下·上海·专题练习）若m、n是有理数，关于x的方程3m（2x﹣1）﹣n＝3（2﹣n）x有至少两个不同的解，则另一个关于x的方程（m+n）x+3＝4x+m的解的情况是（　　） A．有至少两个不同的解 B．有无限多个解 C．只有一个解 D．无解 【变式2】（22-23八年级下·上海长宁·阶段练习）关于x的方程无解，那么m、n满足的条件是 ． 【题型4】一元一次方程含参问题（无数解） 【例4】（24-25七年级上·全国·期末）已知多项式，． (1)若代数式的值与x无关，求m，n的值． (2)在（1）的条件下，若关于x的方程有无数个解，求a，b的值． (3)在（2）的条件下，关于x的方程有无数个解，求c的值． 【变式1】（2023九年级·全国·专题练习）关于x的方程有无穷多个解，则（　　） A． B． C． D． 【变式2】（21-22六年级下·黑龙江大庆·期末）关于x的方程有无穷多个解，则 ． 【考点三】一元一次方程含参问题（解与参数无关问题） 【题型5】解与参数无关问题 【例5】（20-21七年级下·四川·开学考试）已知关于的方程中，、、为常数． （1）若方程的解与的值都是最大的负整数，求的值． （2）若无论为何值，方程的解总是1，求的值． 【变式1】（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）若不论k取什么数，关于x的方程（m、n是常数）的解总是．则的值是（    ） A． B． C．0.5 D．1.5 【变式2】（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）若为定值，关于的一次方程，无论为何值时，它的解总是1，则 ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.4 一元一次方程含参问题（2大知识点5类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做一元一次方程的解,也叫做方程的根。本专题就一元一次方程含参问题解的几种情况进行探讨学习。 【知识点1】一元一次方程的整数解 首先按照一元一次方程的解法求出方程的解，再根据解为整数，讨论其中的参数需要满足的条件，从而求出最终的值 【知识点2】一元一次方程有唯一解、无解、无数解 （1）当一元一次方程化为最简的形式时，当时，方程就有唯一解，即：； （2）当一元一次方程化为最简的形式时，当时，这时无论取何值，左边都不会等于右边，此时方程就无解； （3）当一元一次方程化为最简的形式时，当时，这时无论取何值，左边=右边=0，这时方程就有无数个解。 考点与题型目录 【考点一】一元一次方程含参问题（整数解问题） 【题型1】一元一次方程含参问题（整数解问题）........................................2 【考点二】一元一次方程含参问题（解的个数问题） 【题型2】一元一次方程含参问题（有解）..............................................3 【题型3】一元一次方程含参问题（无解）..............................................5 【题型4】一元一次方程含参问题（无数解）............................................6 【考点三】一元一次方程含参问题（解与参数无关问题） 【题型5】解与参数无关问题..........................................................9 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】一元一次方程含参问题（整数解问题） 【题型1】一元一次方程含参问题（整数解问题） 【例1】（2024七年级·全国·竞赛）已知关于的方程有整数解，且是整数，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解方程，解题的关键是先将a看作已知数，得出，根据x为整数，得出或，再求出a的值即可． 解： 去括号得：， 整理得：， 解得， 当或时，是整数， ∴． 【变式1】（23-24七年级上·辽宁铁岭·期末）已知关于x的方程的解是整数，且k是正整数，则满足条件的所有k值的和为（　　） A．4 B．5 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的拓展题型，根据一元一次的方程先解出x，根据题意可得是5的约数，得出满足题意的所有k值，算出和即可． 解：先求解方程， 解得：， ∵x为整数，且k是正整数， ∴或者 ∴k的值为1或3， ∴所有k值的和为， 故选：A． 【变式2】（23-24七年级下·重庆南岸·开学考试）已知关于的方程的解为偶数，则整数的所有可能的取值的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，方程的解，首先将该方程的解表示出来，然后根据该方程的解为偶数，分情况进行讨论即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 解：， ， ， ∴ ∵关于的方程的解为偶数， ∴为偶数， ∵为整数， ∴或， ∴或或或， ∴所有可能的取值的和为， 故答案为：． 【考点二】一元一次方程含参问题（解的个数问题） 【题型2】一元一次方程含参问题（有解） 【例2】（21-22七年级上·全国·课后作业）已知关于x的方程，当k为何值时，方程有解？ 【答案】． 【分析】先解含字母系数的方程，把方程化为：，根据时，方程有解，从而可得答案. 解： 去分母得： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 当时，方程有解， 【点拨】本题考查的是含有字母系数的方程，含字母系数的方程，当 方程无解，当 方程有无数个解，当 方程有唯一解，掌握以上知识是解题的关键. 【变式1】（23-24八年级下·上海浦东新·期中）如果关于x的方程有解，那么m的取值范围是（  　  ） A． B． C． D．任意实数 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程无解的情况， 根据中，当时，方程无解可知当时关于的方程有解． 解：由题意得：当时，关于的方程有解， 解得， 故选：C． 【变式2】（20-21六年级下·上海浦东新·期中）若关于的方程有解，则实数的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】由方程有解，分和两种情况讨论，列出关于m的不等式进行求解 解：分两种情况讨论： ①若，则方程可化为， 移项并合并同类项，得 ∵原方程有解， ∴， 即，或， ∴或； ②若，则方程可化为， 移项并合并同类项，得 ∵原方程有解， ∴， 即，， ∴； 综上所述，m的取值范围是或． 故答案为：或 【点拨】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，难度不大，关键是先分类讨论x的取值再求m的取值范围． 【题型3】一元一次方程含参问题（无解） 【例3】（21-22七年级上·天津南开·阶段练习）已知关于x的方程（x﹣6）无解，则a的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．±1 D．a≠1 【答案】A 【分析】先解一元一次方程得到，再根据方程无解即可得到，即可得到答案． 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵方程无解， ∴， 解得， 故选A． 【点拨】本题主要考查了一元一次方程无解的问题，解题的关键是能够正确求出一元一次方程的解，然后令这个解的分母为0即可求解． 【变式1】（2022八年级下·上海·专题练习）若m、n是有理数，关于x的方程3m（2x﹣1）﹣n＝3（2﹣n）x有至少两个不同的解，则另一个关于x的方程（m+n）x+3＝4x+m的解的情况是（　　） A．有至少两个不同的解 B．有无限多个解 C．只有一个解 D．无解 【答案】D 【分析】首先解方程3m（2x﹣1）﹣n＝3（2﹣n）x，可得：（6m+3n﹣6）x＝3m+n，再根据方程有两个解的条件可得到m，n的值，然后代入方程（m+n）x+3＝4x+m中即可知道其解的情况． 解：解方程3m（2x﹣1）﹣n＝3（2﹣n）x 可得：（6m+3n﹣6）x＝3m+n ∵有至少两个不同的解， ∴6m+3n﹣6＝3m+n＝0， 即m＝﹣2，n＝6， 把m＝﹣2，n＝6代入（m+n）x+3＝4x+m中得：4x+3＝4x+m， ∴方程（m+n）x+3＝4x+m无解． 故选：D． 【点拨】此题主要考查了解含字母系数的一元一次方程，关键是根据解的情况判断字母系数的值． 【变式2】（22-23八年级下·上海长宁·阶段练习）关于x的方程无解，那么m、n满足的条件是 ． 【答案】且 【分析】根据方程无解的条件即可解答． 解：∵， 当， ∴， 当，时，即； 此时方程有无数个解； 当，即时， 此时，方程无解； 综上：关于x的方程无解，且． 故答案为：且． 【点拨】本题考查了一元整式方程的无解问题，根据方程无解得出关于m，n的值是解题关键． 【题型4】一元一次方程含参问题（无数解） 【例4】（24-25七年级上·全国·期末）已知多项式，． (1)若代数式的值与x无关，求m，n的值． (2)在（1）的条件下，若关于x的方程有无数个解，求a，b的值． (3)在（2）的条件下，关于x的方程有无数个解，求c的值． 【答案】(1)；(2)；(3). 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，解一元一次方程： （1）根据正数的加减计算法则求出的结果，根据代数式的值与x无关，可得的结果中含x的项的系数都为0，据此求解即可； （2）根据（1）所求得到，则关于x的方程有无数个解，即关于x的方程有无数个解，据此可得，可得； （3）根据（2）所求得到关于x的方程有无数个解，讨论x的取值范围去绝对值，根据方程有无数解进行求解即可． 解：（1）∵，， ∴ ， ∵代数式的值与x无关， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵关于x的方程有无数个解， ∴关于x的方程有无数个解， ∴关于x的方程有无数个解， ∴， ∴； （3）解：∵关于x的方程有无数个解， ∴关于x的方程有无数个解， 当时，则，解得，即当时，对于任意的x只要满足，都满足，即此时方程有无数解； 当时，则，解得，此时方程只有一个解，不符合题意； 当时，则，解得，即当时，对于任意的x只要满足，都满足，即此时方程有无数解； 综上所述，． 【变式1】（2023九年级·全国·专题练习）关于x的方程有无穷多个解，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把原方程化为，可得当，即时，，此时方程有无穷多个解，即可求解． 解：， ∴， ∴， ∴当，即时，，此时方程有无穷多个解， ∴当时，方程有无穷多个解． 故选：A 【点拨】本题主要考查了一元一次方程的解，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键． 【变式2】（21-22六年级下·黑龙江大庆·期末）关于x的方程有无穷多个解，则 ． 【答案】 【分析】方程整理后，根据有无穷多个解，确定出a与b的值，即可求出所求． 解：方程整理得：（3a﹣5）x＝2a+3b， ∵方程有无穷多个解， ∴3a﹣5＝0，2a+3b＝0， 解得：a＝，b＝﹣， 则a﹣b＝+ ＝． 故答案为：． 【点拨】此题考查一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 【考点三】一元一次方程含参问题（解与参数无关问题） 【题型5】解与参数无关问题 【例5】（20-21七年级下·四川·开学考试）已知关于的方程中，、、为常数． （1）若方程的解与的值都是最大的负整数，求的值． （2）若无论为何值，方程的解总是1，求的值． 【答案】（1）1．   （2）3 【分析】（1）根据方程的解与k的值都是最大的负整数，求出a、b的值，再求解即可； （2）先把方程化简，然后把x＝1代入化简后的方程，因为无论k为何值时，它的根总是1，就可求出a、b的值，再求解即可． 解：（1）由题意知：． ∴， 即， ∴， ∴， ∴． （2）由题意知：， 代入，则 ∴， ∴， 【点拨】本题主要考查了一元一次方程的解，理解方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，本题利用方程的解求未知数a、b． 【变式1】（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）若不论k取什么数，关于x的方程（m、n是常数）的解总是．则的值是（    ） A． B． C．0.5 D．1.5 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的拓展，根据题意得出、的方程是解题关键将代入方程，去分母整理得，进而求出、的值，即可计算求值． 解：关于x的方程（m、n是常数）的解总是， ， 整理得：， 若不论k取什么数，关于x的方程的解不变， ，解得：， ， 故选：A 【变式2】（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）若为定值，关于的一次方程，无论为何值时，它的解总是1，则 ， ． 【答案】 0 11 【分析】本题主要考查了解一元一次方程的 拓展，先把代入原方程得到，再由无论为何值时，原方程它的解总是1，得到关于k的方程有无数解，则，据此可得答案． 解：∵关于的一次方程，无论为何值时，它的解总是1， ∴把代入中得：， ∴， ∴， ∴， ∵无论为何值时，原方程它的解总是1， ∴关于k的方程有无数解， ∴， ∴， 故答案为：0，11． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$